Sang kien kinh nghiem L67 cuc hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (247.85 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I. Đặt vấn đề:

1,C¬ së lý thuyÕt:

Trong chơng trình mơn Tốn THCS, kiến thức về luỹ thừa đợc dùng khá phổ
biến và rộng rãi. Tuy nhiên, sách giáo khoa ngồi các cơng thức cơ bản về luỹ
thừa thì các dạng tốn đa vào chơng trình cịn ít và đơn điệu, cha có hệ thống các
bài tập lơgíc, cha khai triển hết các dạng bài tập cũng nh cha đi sâu phát triễn
kiến thức nâng cao qua các dạng toán về luỹ thừa.

2, C¬ së thùc tiƠn:

Khi dạy bồi dỡng cho học sinh hiểu đợc một cách sâu sắc về kiến thức này cũng
nh sự vận dụng linh hoạt kiến thức trong giải các dạng bài tập nâng cao là việc rất
khó. Trên cơ sở thực tiễn đó bản thân tơi thấy cần phải có một chuyên đề riêng
cho tất cả các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải chúng. Trong đó bằng sự
tìm tịi, nghiên cứu, tự học, tự bồi dỡng của bản thân, chuyên đề mà tôi đa ra bao
gồm các dạng tốn có chiều sâu hơn, vận dụng linh hoạt kiến thức cũng nh phát
triển cho học sinh tính t duy, sáng tạo hơn trong học và giải tốn về luỹ thừa. Đó
chính là lý do tơi viết nên đề tài này.

Tôi xin giới thiệu chuyên đề mang tờn:

Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải

3. Gii thiu s l c v ti:

- Đề tài bao gồm 8 dạng toán ( 24 bài toán mẫu và 11 bài tập áp dụng)

- Sau mỗi dạng tốn đều có phơng pháp giải phù hợp.

- Hệ thống bài tập đợc sắp xếp từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao.
II. Giải quyết vấn đề

1. C¬ së thùc tiƠn:

Q trình dạy học về phần luỹ thừa tôi thấy học sinh chỉ làm đựơc các bài toán ở
mức độ đơn giản là áp dụng trực tiếp kiến thức SGK. Song khi gặp bài tốn khó
nh so sánh luỹ thừa, tốn c/m chia hết, …thì các em rất lúng túng về cách giải,
hoặc không có cách giải chặt chẽ, vận dụng kiến thức cha sáng tạo.

2. Khảo sát thực tiễn của đề tài:

a, Sè liƯu thèng kª:

Khi cha áp dụng đề tài, GV dạy các dạng tốn về luỹ thừa thì kết quả thu đợc trong lớp bồi
d-ỡng nh sau:

Số HS không giải đợc hoặc giải sai Số HS có cách giải cha hợp lý
67% 33%

b, Phân tích nguyên nhân:

* HS không giải đợc:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Cha cã tÝnh sáng tạo trong giải toán cũng nh khả năng vận dơng kiÕn thøc
cha linh ho¹t.

- HS cha đợc trang bị đầy đủ về phơng pháp giải dạng toán này
* HS gii c:

- Thời gian tìm lời giải còn dài, cách giải cha chặt chẽ

- Khả năng vận dụng kiến thức cha thật sáng tạo.

c, Đề xuất giải pháp:

Khi dy về phần này thì GV cần cung cấp kiến thức là các công thức cơ bản cũng
nh nâng cao về luỹ thừa cho HS một cách vững chắc, từ các bài toán cơ bản biết
khai thác nhiều dạng tốn nâng cao, từ đó xây dựng phơng pháp giải phù hợp cho
từng dạng.

III. Néi dung:

1, C¬ së lý thuyÕt:

Các công thức cơ bản về l thõa: ( víi n, m ỴN ; x, y Ỵ R; x,y 0 )
1, xn = x.x…x ( n thõa sè x)

2, xn . xm = xn + m

3, xn : xm = xn - m (n >m )

4, (xn)m = xn . m
 5, (x . y)n = xn . yn

6, (x : y)n = xn : yn * Qui íc: xo =1 ; x1 = x

2. Nội dung cụ th ca ti:

A. Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Sè 1: ViÕt kÕt qu¶ díi d¹ng mét luü thõa

a, 420. 810 d, (0,125)3 . 512

b, 413 . 526 e, 920 : (0,375)40

c, 2715 : 910

Gi¶i:

a, 420. 810 = (22)20. (23)10 = 240 . 230 = 270

b, 413 . 526 = 413. (52)13 = (4 . 25)13 = 10013

c, 2715 : 910 = (33)15 : (32)10 = 345: 320 = 325

d, (0,125)3 . 512 = (0,53)3 . 29 = (0,5)9 . 29 = (0,5 . 2)9 = 19 = 1

e, 920 : (0,375)40 = (32)20 : (0,375)40 = 340 : (0,375)40 = (3 : 0,375)40 = 840

* Ph¬ng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản về lòy thõa

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A = 72

3. 542

1084 B =

312.13

+312. 3

311. 24

C = 2

10.13

+210. 65

28. 104 D =

810

+410

+411

Gi¶i:

A = 72

. 542

1084 =

2. 33¿2
¿

22. 33¿4
¿

23. 32

¿3.¿
¿
¿

= 2

. 36. 22.36
28. 312 =

211. 312
28. 312 = 2

3 = 8

B = 3

.13+312. 3

311. 24 =

312(13+3)

311. 24 =

312.24
311.24 = 3

C = 2

.13+210. 65

28. 104 =
210

(13+65)

28.23.13 =

210.78
211. 13 =

211. 3 .13
211. 13 = 3

D = 8

+410

84+411 =

230+220

212+222 =

220(210+1)

212

(1+210) = 2

8 = 256

* Phơng pháp giải:

- Biểu thức A ta biến đổi các luỹ thừa trong biểu thức về tích các luỹ thừa
của số nguyên tố rồi rút gọn.

- BiÓu thøc B, C ta sư dơng tÝnh chÊt ab  ac = a (b c), đa tử và mẫu vỊ
d¹ng tÝch råi rót gän.

- BiĨu thøc D, ta kÕt hỵp hai phơng pháp trên.

Dạng 2: Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thõa
Sè 3: Tìm x ẻ N biết:

a, 2x.4 = 128 b,

(

)

2x −1

c, (2x – 3)3 = 343 d, (2x – 3)2 = 9

e, (x – 3)6 = (x – 3)7 g, x100 = x

Gi¶i: a, 2x . 22 = 26 b,

(

)

2x −1

(

)

=> 2x = 26 : 22 => 2x – 1 = 3

=> 2x = 24 => 2x = 4

=> x = 4 => x = 2
c, (2x - 3)3 = 73 d, (2x – 3)2 = 9

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

=> 2x = 10 =>

2x −3=3

2x −3=−3

¿
¿
¿
¿

=> x = 5 =>

2x=6

2x=0

¿
¿
¿

x=3

x=0

¿
¿
¿
¿

e, (x – 3)6 = (x – 3)7

TH 1: NÕu x – 3 = 0 => x = 3 (v× 06 = 07 = 0)

TH 2: Nếu x – 3  0, chia 2 vế cho (x – 3) ta đợc

x −3¿7
¿

x −3¿6
¿
¿
¿
¿
hay x – 3 = 1 => x = 4

g, C1: x100 = x => x = 0 hoặc x = 1 (vì 0100 = 0 vµ 1100 = 1)

C2: x100 = x => x100 – x = 0 => x( x99 –1) = 0 =>

x=0

x99−1

¿
¿
¿
¿

x=0

x99=1

⇒

x=0

x=1

¿
¿
¿
¿
¿
¿
* Phơng pháp giải:

- ở câu a, b ta biến đổi 2 vế của đẳng thức về luỹ thừa cùng cơ số, đẳng
thức xảy ra khi số mũ ở 2 vế bằng nhau.

- ở câu c, d ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa cùng số mũ, đẳng thức xảy ra khi cơ số
ở 2 vế bằng nhau.

- ë c©u e, g ta sử dụng công thức 0n = 0 và 1n = 1 (nẻN*) hoặc đa về dạng
tích(câu g).

Sè 4: Cho A= 3 + 32 + 33 +…+ 32008

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Gi¶i : Ta cã 3A = 3( 3 + 32 + 33 +…+ 32008) = 32 + 33 +…+ 32008 +32009

A = 3 + 32 + 33 +…+ 32008

3A – A = 32009- 3

2A = 32009- 3

=> 2A + 3 = 32009- 3 + 3 => 2A + 3 = 32009

Mặt khác: 2A + 3 = 3x

Suy ra: 32009 = 3x hay x = 2009

* Phơng pháp giải: Tỉng qu¸t
 A = n + n2 + n3 +…+ nk 
 nA – A = nk+1- n => A = nk+1−n

n −1 ( n, k Ỵ N; n >1, k  1)

Cao hơn ta có dạng toán đối với 2 ẩn x,y sau:

Sè 5: T×m x, y biÕt: a, ( x- 3)2 + (y+2)2 = 0

b, (x-12 + y)200 + ( x- 4 – y)200= 0

c, 2x + 2x+3 = 136

Gi¶i: a, (x-3)2  0 x

(y+2)2  0 y

§Ĩ (x- 3)2 + (y+2)2 = 0 

x-3¿2 =0

y+2¿2=0

¿
¿{

¿
¿


¿

x=3
y=−2

¿{

b, Tơng tự câu a ta tìm đợc
¿

x=8
y=4

¿{

¿
c, V× 136 = 2.4 + 27

Nªn 2x + 2x+3 = 2.4 + 27 =>

2x=2. 4

2x+3

=27

¿{

=>
¿

x=4
x+3=7

¿{

=> x= 4
* Phơng pháp giải:

- Câu a, b vì các hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng 0 nên đẳng thức xảy ra khi các 
hạng tử đều bằng 0

- Câu c ta biến đổi vế phải về dạng tổng thích hợp với vế trái, đẳng thức xảy ra 
khi ta đồng nhất các hạng tử thích hợp của 2 vế.

Bài toán trên là cơ sở để phát triễn

bài toán cao và khó hơn sau:

Sè 6*: T×m x, y biÕt: a, 2x+1. 3y = 12x
b, 10x : 5y = 20y

c, 8. 23x. 7y= 562x. 5x-1

Gi¶i

a, 2x+1. 3y = 12x  2x+1. 3y = (23.3)x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>



x+1=2x
y=x

¿{



x=1
y=1

¿{

 x= y =1

b, 10x : 5y = 20y 10x = 20y. 5y 10x = 100y

 10x = 102y  x = 2y

c, 8. 23x. 7y = 562x. 5x-1  23. 23x.7y = (23.7)2x. 5x-1

 23x+3 . 7y = 26x . 72x . 5x-1



3x+3=6x
y=2x
x −1=0

⇔

¿x=1

y=2

¿{ {

* Phơng pháp giải:

Ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa của các số nguyên tố, đẳng thức xảy ra khi 
số mũ của luỹ thừa cùng cơ số ở 2 vế bằng nhau (câu a, b). Đồng thời triệt tiêu 
các số mũ của luỹ thừa khơng cùng cơ số(câu c)

D¹ng 3: So s¸nh luü thõa
Dạng 3.1: Đa về hai luü thõa cïng c¬ sè 
 Sè 7: So s¸nh: a, 450 vµ 830

(

)

vµ

(

)

Gi¶i: a, 450 = (22)50 = 2100

830 = (23)30 = 290

V× sè mị 100 > 90 và cơ số 2( 2 >1) => 2100 > 290

(

)

[

(

)

]

17=

(

)

(

)

[

(

)

]

12=

(

)

V× sè mị34 < 36 và cơ số là 13 ( 0 < 13 < 1) nªn

(

)

(

)

(

)

17
>

(

271

)

*Phơng pháp giải: Tỉng qu¸t. Víi m, n ẻN* và m > n , a 0
 Ta cã: - NÕu a > 1 th× am > an ( c©u a)
 - NÕu a =1; a= 0 th× am = an 
 - NÕu 0 < a < 1 th× am < an (câu b)

Đối với cơ số là số âm ta có bài toán sau

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a, (-27)27 vµ (-243)13

(

−1

)

vµ

(

−1

128

)

Gi¶i:

a, (-27)27 = (-33)27 = (-3)81

(-243)13= (-35)13 = (-3)65

Vì số mũ 81 > 65 ( là số lẻ) và cơ số 3 (3 < 0) nªn (-3)81 < (-3)65

=>(-27)27 <(-243)13

(

−1

)

[

(

−1

)

]

25=

(

−1

)

(

−1

128

)

[

(

−1

)

]

13=

(

−1

)

Vì số mũ 75 < 91 và cơ số lµ −1

2 ( -1 <

−1

2 < 0 ) nªn

(

−1
2

)

(

−21

)

(

−1

)

(

−1

128

)

*Ph¬ng pháp giải: Tổng quát

Với m, n ẻN* và m > n trong đó m, n là số lẻ, a < 0
 Ta có: - Nếu a < -1 thì am < an (câu a)
 - Nếu a = -1 thì am = an 
 - Nếu -1 < a < 0 thì am > an (câu b)
L

u ý : Với trờng hợp m, n là số chẵn ta đa về dạng bài 7

Dạng 3.2: §a vỊ 2 l thõa cïng sè mị
Sè 9: So s¸nh:

a, 3230 vµ 975

(

)

vµ

(

)

Gi¶i:
a, 3230 = (25)30 = 2150

975 = (32)75 = 3150

V× 2 < 3 nªn 2150 < 3150 => 3230 < 940

(

)

[

(

)

]

10=

(

)

(

3
7

)

[

(

)

]

20=

(

)

V× 4

5>
9

49 nên

(

4
5

)

(

)

(

)

(

)

*Phơng pháp giải: Tổng quát

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- NÕu a < bm

- NÕu a = b th× am = bm 
 - NÕu a > b th× am > bm

Trong nhiều trờng hợp việc đa 2 luỹ thừa về cùng cơ số hay đa

về cùng số mũ một cách trực tiếp để so sánh chúng đều là việc

khơng thể. Từ đó ta có các dạng so sánh cao hơn.

Dạng 3.3: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh

Sè 10: So s¸nh:
a, 637 vµ 1612

b*, 1714 vµ 3111

Gi¶i:
a, V× 637 < 647 < 648

vµ 1612 = (42)12 = 424 = 648 . VËy 637 < 1612

b, Ta cã: 1714 > 1614 = (24)14 = 256
vµ 3111 < 3211 = (25)11 = 255

V× 256 > 2 55 nªn 1714 > 3155

*Phơng pháp giải: Tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c th× a > c
 ( b gọi là thành phần trung gian)

- Cõu a ta sử dụng 648 làm luỹ thừa trung gian để so sánh.

- Câu b ta sử dụng 1614 và 3211 làm luỹ thừa trung gian để so sánh.

Đối với những bài tốn khơng thể sử dụng đợc các phơng pháp

trên ta cịn có phơng pháp cao và khó hơn sau:

Dạng 3.4: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân
Số 11*: So sánh: 1031 và 2100

Gi¶i

Ta cã 1031 = 231 . 531

2100 = 231 . 269

Vậy để so sánh1031 và 2100 ta chỉ cần so sánh 531 và 269

531 = 53 . 528 = 53 . (54)7 = 125 . 6257

269 = 26 . 263 = 26 . (29)7 = 64 . 5127

Ta so sánh các cặp thừa số tơng øng víi nhau
V×

125>64

6257>5127
}

=> 125 . 6257 > 64 . 5127

=> 531 > 269 hay 1031 > 2100

*Phơng pháp giải: Víi a, b, c, dỴ N* .

NÕu
¿

a>b
c>d
}

=> a. c > b. d

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

D¹ng 4: So s¸nh c¸c biÓu thøc cã chøa luü thõa

Sè 12: So sánh 2 biểu thức A và B trong tõng trêng hỵp:
a, A = 10

1016+1 vµ B =

1016+1

1017+1

b, C = 2

2008−3

22007−1 vµ D =

22007−3

22006−1

Gi¶i:
a, Ta cã A = 10

1016

+1 => 10A = 10 .

(

1015

1016+1

)

1016

+10

1016

= 10

+1+9

1016+1 =1+

9
1016+1

B = 10

1017+1 => 10B = 10 .

(

1016+1

1017

)

1017+10

1017+1

= 10

+1+9

1017

+1 =1+

9
1017

V× 1016 + 1 < 1017 + 1 nªn 9
1016

+1>

9
1017

=> 1+ 9

1016+1>1+

1017+1 => 10A > 10B hay A > B

b, Ta cã C = 2

2008

−3

22007−1 =>

2 C =
1
2 .

(

22008−3

22007−1

)

22008−3

22008−2=

22008−2−1

22008−2

= 1− 1

22008−2

D = 2

2007−3

22006−1 =>

2 D =
1
2 .

(

22007−3

22006−1

)

22007−3

22007−2=

22007−2−1

22007−2

= 1− 1

22007−2

V× 22008 – 2 > 22007 – 2 nªn 1
22008−2<

1
22007−2

=> 1− 1

22008−2 > 1−
1
22007−2

=> 1

2 C >
1

2 D hay C > D

*Phơng pháp giải:

- ở câu a, biểu thức A và B cã chøa luü thõa c¬ sè 10 -> ta so sánh 10A và10B
- ở câu b, biểu thức C và D có chứa luỹ thừa cơ số 2 nên ta so sánh 1

2 C và
1

2 D
L

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

sánh từng phần tơng ứng.

Víi a, n, m, KỴ N* . Ta cã:
 - NÕu m > n th× K - a

m > K 
-a

n vµ K +
a

m < K + 
a
n

- NÕu m < n th× K - a

m < K 
-a

n vµ K +
a

m > K + 
a
n

(còn gọi là phơng pháp so sánh phần bù)

Số 13: So s¸nh M = 3

83+

84 vµ N =

7
83+

3
84

Gi¶i
Ta cã: 3

83+
7
84 =

3
83+

3
84+

84 =

(

3
83+

3
84

)

4
84

83+

3
84 =

3
83+

4
83+

84 =

(

3
83+

3
84

)

4
83

V× 4

84<
4

83 =>

(

3
83+

3
84

)

84 <

(

3
83+

3
84

)

83 => M < N

Dạng 5: Tìm số các chữ số của một luỹ thừa

Số 14: Tìm các chữ số của các số n và m trong các trờng hỵp sau:

a, n = 83 . 155

b, m = 416 . 525

Gi¶i: a, Ta cã n = 83 . 155 = (23)3.(3.5)5 = 29. 35. 55

= 24. 35.(2.5)5 = 16.243 .105 = 3888. 105

Sè 3888. 105 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.

VËy n cã 9 ch÷ sè.
b, Ta cã : m = 416 . 525 = (22)16. 525

= 232.525 = 27.(225.525) = 128.1025

Số 128.1025 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.

VËy m cã 28 ch÷ số.
*Phơng pháp giải:

Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó 
lập luận tìm số chữ số của số đó.

D¹ng 6: Tìm chữ số tận cùng của mét luü thõa
D¹ng 6.1: Tìm một chữ số tận cùng

Số15: Tìm các chữ số tận cùng của các số sau
a, 342008

b, 735

Gi¶i: a, 342008 = (34)1004. 2 = (342)1004 = (…6)1004 = (…6)

VËy 342008 cã tËn cïng lµ 6

b, 735 = (7)4.8 + 3 = (74)8 .73 = (…1)8 . 243 = (…3)

VËy 735 cã tËn cùng là 3

* Nhận xét: Tìm một chữ số tËn cïng cña mét luü thõa

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

- Các số có tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa 4n (nẻN*) có tận cùng là 6.
- Các số có tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa 4n (nẻN*) có tận cùng là 1.

Dạng 6.2: Tìm hai chữ số tận cùng

Số16: Tìm hai chữ số tận cùng của

a, 2100 b, 72007

Gi¶i

a, Ta thÊy 210 = 1024

Bình phơng của số có tận cùng là 24 thì tËn cïng lµ 76

Số có tận cùng là 76 nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) cũng có tận cùng là 76.
Do đó: 2100 = (210)10 = 102410 = ( 10242)5 = (…76)5 =(…76)

VËy 2100 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76

b, V× 74 = 2401

Sè có tận cùng là 01 khi nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) cũng có tận cùng là 01

Do đó: 72007 = (74)501. 73 = ( 2401)501. 343 = (…01) . 43 = (…43)

Vậy 72007 có hai chữ số tận cùng là 43

* Nhận xét:

- Các số có tận cùng là 01; 25; 76 dù nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng 
có tận cùng là chính nó

- Các số 320 (hay 815) ; 74 ; 512; 992 cã tËn cïng b»ng 01
- C¸c sè 220; 65; 184; 242; 684; 742 cã tËn cïng lµ 76
- Sè 26n (n >1) cã tËn cùng là 76.

Dạng 6.3: Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
Số 17: Tìm ba chữ số tận cùng của 52005

Giải: Vì 54 = 625

Số có tận cùng là 625 dù nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) vẫn có tận cùng là 625
Do đó : 52005 = (54)501. 5 = (625)501. 5 = (…625) .5 = (…125)

Vậy 52005 có ba chữ số tận cùng là 125

* NhËn xÐt:

- C¸c sè cã tËn cïng b»ng 001; 376; 625 dù nâng lên luỹ thừa nào(khác 0)
cũng có tận cùng là chính nó.

- Các số có tận cùng là 0625 dù nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) cũng có tận
cùng là 0625.

Dạng 7: Luỹ thừa trong toán chứng minh chia hết
Dạng 7.1: VËn dơng ch÷ sè tËn cïng cña luü thõa

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b, 24n+2+ 1

5 lµ mét số tự nhiên (nẻN)

Giải: a,Vì một số có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 10 nên ta cần chøng tá hiÖu
7777197 – 3333163 cã tËn cïng b»ng 0 .

Ta cã: 7777197 = (7777)196+1 = (77774)49 . 7 = (…1)49 . 7 = (…7)

3333163 = (3333)160+3 = ( 33334)40 . 33 = (…1)40 . 27 = (…7)

Do đó 7777197 – 3333163 có tận cùng là 7 – 7 = 0 nên chia hết cho 10

b, §Ĩ c/m 2

4n+2

+ 1

5 là một số tự nhiên, ta cần c/m tö chia hÕt cho mÉu

( tøc lµ 24n+2 + 1 ⋮ 5 ; nỴN)

Ta cã: 24n+2 + 1 = (24)n .22 + 1 = (…6)n . 4 + 1 = (…5) (nỴN)

VËy 24n+2 + 1 có tận cùng là 5 nên chia hÕt cho 5

hay 24n+2+ 1

5 lµ mét sè tù nhiên (nẻN)

*Phơng pháp giải: - Sử dụng cách tìm ch÷ sè tËn cïng cđa mét l thõa .
 - Sư dơng dÊu hiƯu chia hÕt cho 5; 10; …

D¹ng 7.2: Sư dơng tÝnh chia hÕt cđa mét tÝch
 Sè19: Chøng minh r»ng:

a, 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 11

b*, 2454 . 5424 . 210 chia hÕt cho 7263

Gi¶i: a, Ta cã: 76 + 75 – 74 = 74 (72 + 7 – 1) = 74 (49 + 7 – 1)

= 74 . 55 = 74 . 5. 11 ⋮ 11

b, Ta cã 7263 = (8.9)63 = (23 . 32)63 = 23.63 . 33.63 = 2189 . 3126

2454 = (3.8)54 = (3. 23)54 = 354 . 23. 54 = 354 . 2162

5424 = (2.27)24 = (2.33)24 = 224 . 33.24 = 224. 372

Do đó: 2454 . 5424 . 210 = 354 . 2162 . 224 . 372 . 210
= 2162 + 24 + 10 . 354 + 72 = 2196 . 3126

= 27 . (23)63 . (32)63 = 27 . (8.9)63 = 27 . 7263 ⋮ 7263

VËy 2454 . 5424 . 210 ⋮ 7263

Sè 20: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn dơng n thì:

a, 3n +2 – 2n+2 + 3n – 2n ⋮ 10

b, 3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 ⋮ 6

Gi¶i:

a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n (32 + 1) – 2n (22 + 1) = 3n . 10 – 2n . 5

= 3n. 10 – 2n-1 . 2 . 5 = 3n . 10 – 2n-1 . 10

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VËy 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hÕt cho 10

b, 3n + 3 + 3n + 1 + 2n + 3 + 2n + 2 = 3n + 1 (32 + 1) + 2n + 2 (2 + 1)

= 3n . 3 . 10 + 2n + 1 . 2 . 3

= 3n . 5 . 6 + 2n + . 6 = (3n . 5 + 2n + 1) . 6 ⋮ 6

VËy 3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 ⋮ 6

Sè 21*: Chøng minh r»ng:

A = 75 . (42007 + 42006 + … + 42 + 4 + 1) + 25 lµ sè chia hÕt cho 100

Gi¶i: Ta cã: A = 75 . (42007 + 42006 + … + 42 + 4 + 1) + 25

= 25.3 (42007 + 42006… + 42 + 4 + 1) + 25

= 25 (4-1) (42007 + 42006 … + 42 + 4 + 1) + 25

= 25. (42008 + 42007 + … + 42 + 4 – 42007 – 42006 -…- 42 – 4 – 1)

+ 25

= 25 (42008 – 1) + 25 = 25 (42008 – 1 + 1)

= 25.42008 = 25.4.42007 = 100.42007

VËy A lµ sè chia hÕt cho 100
*Phơng pháp giải:

- Phõn tớch thng tớch, ng thi sử dụng các công thức cơ bản về luỹ thừa

- Sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tÝch.

Dạng 8: Luỹ thừa trong bất đẳng thc

Số 22: Tìm số nguyên d¬ng n biÕt:
a, 64 < 2n < 256

b, 243 > 3n  9

Gi¶i: a, 64 < 2n < 256 => 26 < 2n < 28 => 6 < n < 8 , n nguyên dơng

VËy n = 7

b, 243 > 3n 9 => 35 > 3n  32 => 5 > n 2 , n nguyên dơng

VËy n = 4; 3; 2

Sè 23: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho : n200 < 6300

Gi¶i: Ta cã: n200 = (n2)100

6300 = (63)100 = 216100

§Ĩ n200 < 6300  (n2)100 < 216100 n2 < 216 và nẻ Z (*)

Sè nguyªn lín nhÊt tho· m·n (*) lµ n = 14

Nâng cao bài 21 lên ta có dạng toán khó hơn sau

Số 24*: Tìm các số nguyên n thoÃ mÃn:

364 < n48 < 572

Giải: Ta giải từng bất đẳng thức 364 < n48 và n48 < 572

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Vì n ẻ Z nên n > 4 (1)

Mặt khác n48 < 572 (n2)24 < (53)24  (n2)24 < 12524 n2 < 125

và n ẻ Z => -11  n  11 (2)

Tõ (1) vµ (2) => 4 < n  11. VËy n Ỵ  5; 6; 7; 8; 9; 10; 11

* Từ bài tốn trên có thể thay đổi câu hỏi để đợc các bài toán sau:

Số1: Tìm tổng các số nguyên n thoÃ mÃn: 364 < n48 < 572

( gi¶i tơng tự trên ta có các số nguyên n thoÃ mÃn là 5+6+7+8+9+10+11=56)
Số2: Tìm tất cả các số nguyên có một chữ số sao cho 364 < n48 < 572

( sè 5; 6; 7; 8; 9;)

Số3: Tìm tất cả các số nguyên có 2 chữ số sao cho 364 < n48 < 572
 ( số 10; 11)

*Phơng pháp giải:

- a cỏc lu thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ rồi lập luận tìm n (số 20;21)
- Có thể tách thành từng bất đẳng thức nhỏ rồi giải (số 22)

B- Bài tập áp dụng:

Sè 1(D¹ng 1): Tính giá trị cđa biĨu thøc:
A = 126

7.544

125. 1896

Sè 2( D¹ng 2): T×m x biÕt:

a, (2x + 3)4 = 2401

b, 32x . 27 = 2187

Sè 3*(D¹ng 2): T×m x, y biÕt: 2x . 3y+2 = 122y

Sè 4(Dạng 3): So sánh:

a, 544 vµ 2112 b*, 259 vµ 1017

Sè 5(D¹ng 4): So s¸nh giá trị của biểu thức A và B biết:
A = 23

2000

232001

+40 vµ B

232001+3

232002

+40

Sè 6( D¹ng 5): Tìm số các chữ số của số p = 22008 . 251003 . 63

Sè 7*(D¹ng 6): Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:
200420072008

Sè 8(D¹ng 7): Chøng minh r»ng:

a, 10100 + 1099 + 1098 ⋮ 222

b, 817 – 279 – 913 ⋮ 45

Sè 9(D¹ng 7): Chøng minh r»ng

20072005 – 20032003 ⋮ 10

Sè 10(D¹ng 7): Cho A = 4 + 42 + 43 + … + 42008

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b, Chøng minh r»ng A ⋮ 84
Sè 11(D¹ng 8): Tìm n ẻ Z biết:

a, 32 < 2n 512

b*, 318 < n12  208

IV. KÕt qu¶ thùc tiÔn:

- Trớc khi cha áp dụng đề tài này để bồi dỡng cho học sinh thì học sinh khá, giỏi làm

bài tập dạng này cha có phơng pháp giải phù hợp cho từng dạng, thời gian mị mẫm
để tìm ra cách giải còn dài, nhiều bài tập giáo viên đa ra học sinh đã khơng tìm ra
đ-ợc cách giải (ví dụ: so sánh 231 và 10100 ; Tìm nẻ Z thoã mãn: 364< n48 < 572… ). Mặt

khác học sinh cha linh hoạt trong vận dụng kiến thức về luỹ thừa cũng nh sự phát
hiện nhanh về phơng pháp giải các dạng toán. Sau khi bản thân áp dụng đề tài này
bồi dỡng cho học sinh nhất là ở khối 6, khối 7 thì thấy chất lợng học sinh tăng lên rõ
rệt, đặc biệt học sinh rất chăm học cũng nh háo hức hơn với các bài tập giáo viên đa
ra. Qua đó tơi thấy dờng nh học sinh say mê hơn khi học toán và sáng to nhiu hn
trong gii toỏn.

- Kết quả khảo sát trong các năm học ở lớp bồi dỡng khối 6; 7 cho thấy:
Năm

học Đề tài không hiểuSố HS

bài

Số HS hiểu

bài ở mức độTB Số HS hiểu bàimức độ khá,
giỏi

2005-2006 Khi cha ¸p dơng 67% 25% 8%

2006-2007 Khi bắt đầu áp dụng đề tài 22% 50% 28%

2007-2008

áp dụng đề tài
rộng rãi

5% 58% 37%

V. KÕt luËn – KiÕn nghÞ:

1, KÕt luËn:

- Để đáp ứng không ngừng việc đổi mới phơng pháp trong dạy học, cũng nh sự đổi
mới trong cách dạy của thầy và cách học của trò, nhằm đạt hiệu quả dạy học cao
nhất thì buộc ngời thầy phải truyền thụ kiến thức một cách thật sáng tạo, phải có sự
đầu t nghiên cứu sâu bài dạy hay về một lĩnh vực kiến thức nào đó, trị qua sự truyền
đạt hấp dẫn và sâu sắc của thầy để từ đó lĩnh hội đợc kiến thức một cách tốt nhất.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

bạn sẽ đa lớp lớp học sinh thân yêu của mình tới những miền kiến thức mới, rộng mở
hơn để các em say mê khám phá những''bí ẩn” trong kho tàng tốn học, đó cũng
chính là bớc dẫn dắt đầu đời cho những sáng tạo trong tơng lai.

- Đề tài là tâm huyết của bản thân đối với sự nghiệp giáo dục, với thời gian nghiên cứu
khá kỹ lỡng song không thể tránh khỏi những khiếm khuyết, rất mong các đồng
nghiệp góp ý thêm để đề tài ngày càng có hiệu quả cao hơn, đợc áp dụng rộng rãi
hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!

2, Kiến nghị:

- Đề tài áp dụng chủ yếu cho båi dìng HS kh¸, giái khèi 6; 7.

- Viết sáng kiến kinh nghiệm chính là q trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân
nhằm không ngừng nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ của mình. Mặt khác có
tác dụng đem lại hiệu quả cao trong dạy học. Vì vậy tơi thiết nghĩ hàng năm cần
phát động rộng rãi hơn nữa phong trào viết SKKN trong nhà trờng, đồng thời cần có
sự khích lệ đúng mực cho những đề tài mang lại hiệu quả cao trong nghiên cứu và
dạy học.

Hång LÜnh, tháng 4 năm 2007- 2008

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17></div>