Tài liệu chuyên đề nâng cao

Phòng GD & ĐT Tp Tuy Hòa
Trường THCS LÊ LỢI
GV: TRẦN NHẬT.
CHUYÊN ĐỀ DẠY TỰ CHỌN
MÔN TOÁN 8
CHUYÊN ĐỀ I:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
A)MỤC TIÊU:
- Giúp HS nắm chắc cách giải các dạng phương trình :
+ Phương trình bậc nhất một ẩn
+ Phương trình tích
+ Phương trình có ẩn ở mẫu thức
+ Phương trình có chứa tham số ; có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
- Rèn luyện cho HS khả năng giải pt thành thạo và biết phân tích ; tổng
hợp giải các pt một cách linh hoạt – nhanh – chính xác . Nắm vững
phương pháp giải từng dạng pt.
- Giáo dục HS tinh thần tự giác , ham học hỏi và yêu thích môn Toán. Biết
vận dụng toán học vào các môn học khác và áp dụng vào đời sống KH kĩ
thuật.
B ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
I ) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
a) Cách giải : Xét pt : A(x) = B(x) .
Để giải pt này thông thường người ta sử dụng các phép biến đổi đồng nhất và
các phép biến đổi tương đương để đưa pt đã cho về dạng C(x) = 0
+ Nếu C(x) là một đa thức bậc nhất thì pt có dạng: ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) đây là
một pt bậc nhất một ẩn. Ta dễ dàng thấy rằng pt có một nghiệm duy nhất : x
= -b/a
+ Nếu C(x) = 0 có dạng 0x + b = 0 thì nghiệm phụ thuộc b
Với b = 0 ⇒ 0x = 0 : PT thỏa mãn với mọi x.
Với b ≠ 0 ⇒ 0x = -b : Pt vô nghiệm

+ Nếu C(x) là một biểu thức phức tạp ta sẽ giải theo thứ tự các bước giải sau:
B1: QĐMT và khử mẫu ( nếu có )
B2: Bỏ dấu ngoặc
B3: Chuyển vế ( Đưa các số hạng có chứa ẩn về vế trái )
B4: Thu gọn mỗi vế
B5: Chia hệ số của ẩn cho 2 vế ( Tìm giá trị của ẩn tức là tìm nghiệm của Pt)
b) Bài toán: Giải các pt sau :
2 2
(x 2) (x 1) (x 4)(x 6)
1)
12 21 28
3(2x 1) 3x 2 2(3x 1)
2) 5
4 10 5
3(2x 1) 5x 3 x 1 7
3) x
4 6 3 12
− + − −
− =
+ + −
− − =
+ + +
− + = +
* Lưu ý: Không phải bất cứ pt nào ta cũng giải theo trình tự các bước trên mà
ta có thế biến đổi để giải đơn giản hơn.
Ví Dụ: Giải các pt sau:
1)
x 1 x 3 x 5 x 7
2005 2003 2001 1999
+ + + +

+ = +
Giải: Thêm 2 vào 2 vế của pt ta được pt tương đương:
x 1 x 3 x 5 x 7
1 1 1 1
2005 2003 2001 1999
+ + + +
+ + + = + + +
⇔
x 2006 x 2006 x 2006 x 2006
2005 2003 2001 1999
+ + + +
+ = +
⇔
1 1 1 1
(x 2006)( ) 0
2005 2003 2001 1999
+ + = + =
⇔ x + 2006 = 0 ⇔ x = - 2006
2)
392 x 390 x 388 x 386 x 384 x
5
32 34 36 38 40
− − − − −
+ + + + = −
3)
x 2006 2007 x 2005 2007 x 2005 2006
3
2005 2006 2007
− − − − − −
+ + =

c) Các bài tập trong SGK và SBT Toán 8.
II) PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
a) Cách giải: A(x) = B(x) ⇔ C(x) = O
⇔ P(x).Q(x) = O
b) Bài tập: Giải các pt sau:
1) x
2
+ 5x + 6 = 0 2) x
2
+ 7x + 2 = 0
3) x
2
– x – 12 = 0 4) x
2
+ 2x + 7 = 0
5) x
3
– x
2
– 21x + 45 = 0 ⇔ (x-3)( x
2
+ 2x – 15 ) = 0
6) 2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 = 0 ⇔ (2x-1)(x
2
– 2x + 3 ) = 0
7) ( x+3)

4
+ ( x + 5 )
4
= 2 . Đặt x + 4 = y . Ta có pt:
( y – 1 )
4
+ ( y + 1 )
4
= 2 ⇔ ( y
2
– 2y + 1 )
2
+ ( y
2
+ 2y + 1 )
2
= 2
⇔ 2y
4
+ 12y
2
= 0
⇔ y
2
( y
2
+ 6 ) = 0 ⇔ y = 0
8) Giải pt bậc 4 dạng:
ax
4

+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0 ( a ≠ 0 )
Ta đưa về dạng: a( x
2
+
2
1
x
) + b ( x +
1
x
) + c = 0 . Đặt x +
1
x
= y
Ta được pt: ay
2
+ by + c – 2a = 0 .
Giải pt tìm y từ đó suy ra x.
9) Giải pt bậc 4 dạng:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
- bx + a = 0 ( a ≠ 0 )

Ta đưa về dạng: a( x
2
-
2
1
x
) + b ( x -
1
x
) + c = 0 . Đặt x -
1
x
= y
Ta được pt: ay
2
+ by + c + 2a = 0 .
Giải pt tìm y từ đó suy ra x.
Ví dụ: Giải pt sau : x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 3x + 1 = 0
Vì x = 0 không phải là nghiệm của pt . Chia 2 vế của pt cho x
2
≠ 0 , ta được:
( x
2
+

2
1
x
) - 3 ( x +
1
x
) + 4 = 0 . Đặt y = x +
1
x
⇒ x
2
+
2
1
x
= y
2
– 2
PT trên trở thành:
( y
2
– 2 ) – 3y + 4 = 0 ⇔ y
2
– 3y + 2 = 0
⇔ ( y – 1)( y – 2) = 0 ⇔ y = 1 ; y = 2
* Với y = 1 ⇒ x +
1
x
= 1 ⇒ x
2

– x + 1 = 0 : Vô nghiệm
* Với y = 2 ⇒ x +
1
x
= 2 ⇒ x
2
–2x + 1 = 0 ⇒ x = 1
III) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
a) Cách giải:
+ Chú ý cần có tập xác định của pt và thực hiện theo các bước giải pt bậc
nhất . Sau khi tìm giá trị của ẩn ta cần kiểm nghiệm có thuộc TXĐ không rồi
trả lời kết quả.
b) Bài tập: giải các pt sau:
1)
1 5
2 x
x 3 x 1
+ = +
− −
2)
2
2 3
x 3
x 4x 21
=
−
+ −
3)
2 2
1 1

4
x 2x 3 x 1
+ =
+ + +
4)
2
2x 1 2x 1 8
2x 1 2x 1
4x 1
+ −
− =
− +
−
5)
2
3x 1 2x 5 4
1
x 1 x 3
x 2x 3
− +
− + =
− +
+ −
IV) PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
Ta xét cách giải pt có chứa tham số qua một số ví dụ cụ thể sau:
Ví dụ: Giải và biện luận pt sau:
1) 3( m + 1)x + 4 = 2x + 5 ( m + 1 )
⇔ ( 3m + 1 )x = 5m + 1
+ Nếu 3m +1 ≠ 0 ⇒ m ≠ - 1/3 thì pt có một nghiệm x =
5m 1

3m 1
+
+
+ Nếu 3m +1 = 0 ⇒ m = - 1/3 .
PT trở thành 0x = -5/3 + 1 = - 2/3 : Vô nghiệm
2) ( m + 2 ) x + 4( 2m + 1 ) = m
2
+ 4 ( x – 1)
3)
2
2
mx 3 m 1 x 5 2
(x m 1)
6 2 10 5
+ − +
+ = + + +
4)
x a x b
2
x b x a
− −
+ =
− −
V) PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a) Cách giải:
Dạng : 1) f(x)  = k ⇔ f(x) = ± k với k > 0 . Nếu k < 0 thì pt vô nghiệm
2) f(x)  = g(x) với g(x) < 0 : Pt vô nghiệm
Với g(x) >0 thì pt ⇔ f(x) = ± g(x)
3) f(x)  =  g(x) ⇔ f(x) = ± g(x)
b) Ví dụ: Giải các pt sau:

1) 2x – 0,5  - 4 = 0
2) 2x + 3  = x - 1
3)  5 – x  = 3x + 2
4) ( x – 1 )
2
 =  x – 2 
VI) GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT
a) Giải BT bằng cách lập pt ta có thể làm theo các bước sau:
B1: Lập phương trình:
+ Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn số. Đặt điều kiện và đơn vị thích hợp
cho ẩn ( nếu có).
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập pt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
B2: Giải phương trình
B3: Kiểm nghiệm và trả lời kết quả.
b) Các dạng toán:
* Loại toán Chuyển động: Để làm toán CĐ cần nắm vững công thức:
S = v.t hoặc V= S / t ; t = S / v
* Cần phải đọc kĩ đề để hiểu được là CĐ cùng chiều hay ngược chiều ; xuất
phát cùng một lúc hay không cùng lúc . Có thể vẽ sơ đồ hoặc lập bảng hoặc
tóm tắt dưới dạng đẳng thức để hình dung và giải bài toán dễ dàng hơn.
b) Ví dụ:
1) Một người đi ô tô khởi hành từ A lúc 6h 15 phút với vận tốc 50km/h . Đến
B nghỉ lại 1h30 phút rồi trở về A với vận tốc 40km/h . Về đến A lúc 14h30
phút . Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu ?
Giải:
Gọi quãng đường AB là x ( x > 0 ; km )
Thời gian lúc đi là: x/50 giờ ; lúc về là: x / 40 giờ.
Vì tổng thời gian lúc đi và về là: 14h30 – ( 6h15 + 1h30) = 6h45 = 6
3

4
h
Nên ta có pt:
x x 3
6
50 40 4
+ =
⇔ x = 150 ( Thỏa mãn)
Vậy quãng đường AB dài 150km.
2) Một người đi xe đạp , một người đi xe máy , một người đi ô tô cùng đi từ
A đến B . Họ khởi hành từ A theo thứ tự nói trên lúc 6h ; 7h ; 8h . Vận tốc
trung bình của họ theo thứ tự trên là 10km/h ; 30km/h ; 40km/h . Hỏi lúc ô tô
ở chính giữa vị trí xe đạp và xe máy thì ô tô đã cách A bao nhiêu km.
Đáp số: 50km.
3) Một ca nô xuôi dòng từ bến A lúc 5h 30 phút để đến bến B và nghỉ lại đây
2h15phuts để dỡ hàng , sau đó lại quay về A. Đến A lúc 13h45 phút . Tính
k/c giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc ca nô khi nước yên lặng là
24,3km/h và vận tốc dòng nước chảy là 2,7km/h. Đáp số: 72km.
* Dạng toán về năng suất ( Toán về công việc đồng thời ; hoặc các vòi nước
chảy).
+ Năng suất làm việc = (KL công việc làm được): (thời gian tương ứng)
Ví dụ:
1) Hai vòi cùng chảy vào bể thì sau 10h sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất
trong 6h , khóa lại rồi mở vòi thứ hai trong 3h thì đầy được 2/5 bể.
Hỏi nếu để mỗi vòi chảy riêng một mình thì sau bao lâu mới đầy bể.
Giải: Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x ( x > 10 ; giờ )
Năng suất của vòi I là 1/x và của vòi II là: 1/10 – 1/x
Theo đề bài ta có pt: 6/x + 3( 1/10 - 1/x) = 2/5 ⇔ x = 30
Vậy vòi I chảy một mình đầy bể trong 30 h
Vòi II chảy một mình đầy bể trong 1;( 1/10 – 1/30 ) = 15h.

2) Hai vòi nước chảy vào một cái bể thì đầy sau 3h20’ . Người ta cho vòi
J chảy trong 2h và vòi II chảy trong 2h thì được 4/5 bể . Tính thời gian
mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
3) Hai máy cày công suất khác nhau phải cày một thủa ruộng . nếu mỗi
máy làm việc riêng một mình thì máy thứ I cần 20h , máy thứ II cần
15h mới cày xong thủa ruộng . Nông trường giao cho máy thứ I cày