Phuong trinh bac cao

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO</b>

<b>I.Tóm tắt lý thuyết</b>
<b>1. Các định lý cơ bản</b>

<b>Định lý 1. Nếu phương trình </b> <i>anxn</i>+<i>an −1xn −1</i>+.. .+a1<i>x+ a</i>0=0 có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm phải
có dạng <i>x=p</i>

<i>q</i> trong đó <i>p</i> là ước của <i>a</i>0 , <i>q</i> là ước của <i>an</i> .

Đặc biệt khi <i>a_n</i>=1 _{thì nghiệm hữu tỷ nếu có sẽ là nghiệm nguyên.}

<b>Định lý 2. Mọi đa thức bậc bốn có nghiệm thực đều phân tích được thành tích của 2 tam thức </b>

bậc hai với hệ số thực.

<b>Định lý 3. Cho phương trình bậc </b> <i>2 n: a2 nx2 n</i>+<i>a2 n −1x2n − 1</i>+. . .+a<i>nxn</i>+. . .+a1<i>x+a</i>0=0

Nếu tồn tại số thực <i>α</i> sao cho <i>an − i</i>=<i>an+i. αi,∀ i=1,2,3 .. .</i> thì phương trình trên có thể đưa

được về một phương trình bậc <i>n</i> .

<b>Định lý 4. Mọi phương trình bậc lẻ đều có nghiệm thực. Phương trình bậc </b> <i>n</i> có khơng q
<i>n</i> nghiệm.

<b>Định lý 5. Không thể giải được bằng căn thức các phương trình tổng quát bậc năm trở lên.</b>
<b>2. Một số phương trình thường gặp</b>

a) <i>a x</i>3+bx2+cx+d=0 (ac3=db3<i>≠0)⇔(x+ c</i>
<i>b</i>)

[

<i>a x</i>

2

+

(

<i>b −</i>ac
<i>b</i>

)

<i>x +a</i>

<i>c</i>2
<i>b</i>2

]

=0
b) (<i>x+a)(x+b)(x+c)(x +d )=mx</i>2(<i>ab=cd ≠ 0)⇔</i>

(

<i>x +</i>ab

<i>x</i> +<i>a+b</i>

)(

<i>x +</i>
cd

<i>x</i> +<i>c +d</i>

)

=<i>m</i> . Đặt <i>y=x +</i>
ab

<i>x</i>
c) (<i>x+a)(x+b)(x+c)(x +d )=m (a+b=c +d )</i> . Đặt <i>y=(x+a)(x+b)</i> hoặc <i>y=x</i>2+(<i>a+b)x +</i>ab +cd

2
d) <i>x+b</i>¿

4
=<i>c</i>
<i>x +a</i>¿4+¿

¿

. Đặt <i>y=x +a+b</i>
2

e) <i>a x</i>4+bx3+cx2+dx +e=0(ad2=eb2)<i>⇔ a x</i>2+<i>bx+c+d</i>
<i>x</i>+

<i>e</i>

<i>x</i>2=0 . Đặt <i>y=x +</i>
<i>d</i>
bx

<b>II. Một số phương pháp giải</b>
<b>1. Phân tích thành nhân tử.</b>

Thí dụ 1. Giải phương trình (<i>x</i>2<i>_{− 3 x +2}</i>_{) (}<i>_x</i>2

+<i>15 x +56</i>)+8=0(1)

Lời giải

<i>x</i>2_{+6 x −8=0}

¿

<i>x</i>2_{+6 x −15=0}

¿

<i>x=−3 ±</i>√17
¿

<i>x=−3 ±</i>√24
¿
¿
¿

<i>⇔</i>¿
¿
¿

¿(1)<i>⇔ x</i>

4

+12 x3+13 x2<i>−138 x +120=0⇔</i>(<i>x</i>4+6 x3<i>− 15 x</i>2)+(<i>6 x</i>3+36 x2<i>− 90</i>)<i>−</i>(<i>8 x</i>2+48 x − 120)=0
<i>⇔</i>(<i>x</i>2+<i>6 x −8</i>)(<i>x</i>2+<i>6 x − 15</i>)=0<i>⇔</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Lời giải

<i>x −1</i>¿2+7

(<i>x</i>3<i>− 1</i>)2+<i>2 x</i>4+3 x2+¿=0<i>⇔</i>
¿

<i>x+1=0</i>

¿

<i>x</i>2<i>− x − 1=0</i>

¿

<i>x=− 1</i>

¿

<i>x=1±</i>√5
2
¿
¿
¿

<i>⇔</i>¿
¿
¿
(2)<i>⇔(x+1)(x</i>2

<i>− x −1)</i>¿
<b>2. Đưa về hằng đẳng thức</b>

a) <i>a</i>2=<i>b</i>2

Thí dụ 3. Giải phương trình <i>x</i>4<i>₋₄</i>

√<i>3 x − 5=0(3)</i>
Lời giải

(3)<i>⇔ x</i>4

+2 x2+1=2 x2+4√<i>3 x+6⇔</i>(<i>x</i>2+1)2=(√<i>2 x +</i>√6)2<i>⇔</i>

<i>x</i>2

+√<i>2 x+1+</i>√6=0
¿

<i>x</i>2<i>−</i>√<i>2 x+1 −</i>√6=0
¿

¿
¿
¿
¿

(bạn đọc tự giải)

b) <i>a</i>3
=<i>b</i>3

Thí dụ 4. Giải phương trình <i>x</i>3<i>_{− x}</i>2<i>_{− x=}</i>1
3(4)
Lời giải

(4 )<i>⇔3 x</i>3

<i>−3 x</i>2<i>−3 x − 1=0⇔ 4 x</i>3

=<i>x</i>3+3 x2+3 x +1<i>⇔4 x</i>3=<i>( x+1)</i>3<i>⇔ x=</i>₃ 1

√<i>4 − 1</i> .
c) <i>a</i>2+<i>b</i>2=0<i>⇔ a=b=0</i>

Thí dụ 5. Giải phương trình <i>6 x</i>4

+<i>8 x</i>2+6=(<i>x</i>4+<i>2 x</i>2+1) (<i>1+4 y − y</i>2)(5)

Lời giải

(5)<i>⇔ 6 x</i>4+<i>8 x</i>2+6
<i>x</i>4

+<i>2 x</i>2+1 +<i>y</i>
2

<i>− 4 y −1=0⇔</i>

(

<i>x</i>2<i>− 1</i>
<i>x</i>2₊₁

)

2

+( y − 2)2=0<i>⇔</i>

(

<i>xx</i>22<i>−1</i>+1

)

2

=0
<i>( y −2)</i>2=0

<i>⇔</i>

¿<i>x=±1</i>

<i>y=2</i>

¿{

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Thí dụ 6. Giải phương trình
Lời giải

Đặt <i>y=x +4</i> , ta được phương trình











 






























































2
5
9
5
3
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2

3
4
2
3
4
4
3
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>

Thí dụ 7. Giải phương trình <i>(6 x+ 7)</i>2<i>(3 x +4 ) ( x+1)=6(7)</i>
Lời giải

(7)<i>⇔</i>(<i>36 x</i>2

+<i>84 x+49</i>) (<i>3 x</i>2+7 x +4)=6 . Đặt <i>y=3 x</i>2+<i>7 x+4=3</i>

(

<i>x +</i>7
6

)

2
<i>−</i> 1

12<i>≥−</i>
1

12 , phương trình đã

cho trở thành





3

2
6

1

12<i>y</i> <i>y</i>   <i>y</i>

. Với <i>y=</i>
2
3<i>⇒3 x</i>

2_{+7 x+4=}2

3<i>⇔ x</i>1=<i>−</i>
2

3<i>, x</i>2=<i>−</i>
5
3 _.
Thí dụ 8. Giải phương trình <i>4 (x +5 )( x+6)(x +10)(x +12)=3 x</i>2₍₈₎

Lời giải

(8)<i>⇔4</i>

[

(<i>x +5)(x +12)</i>

]

.

[

(<i>x+6)(x +10)</i>

]

<i>− 3 x</i>2=0<i>⇔4</i>(<i>x</i>2+<i>17 x +60</i>) (<i>x</i>2+<i>16 x +60</i>)<i>− 3 x</i>2=0
<i>⇔ 4</i>

(

<i>x+</i>60

<i>x</i> +17

)(

<i>x +</i>
60

<i>x</i> +16

)

<i>−3=0</i>

đặt <i>x+</i>60

<i>x</i> +16= y , ta được

<i>4 ( y +1) y −3=0⇔</i>
<i>y =</i>1

2
¿
<i>y=−</i>3

2
¿
¿
¿
¿
¿
Với <i>y=</i>1

2 ta được phương trình <i>x+</i>
60

<i>x</i> +16=
1
2<i>⇔2 x</i>

2

+31 x+120=0<i>⇔ x=− 8 ; x=−</i>15
2
Với <i>y=−</i>3

2 ta được phương trình <i>x+</i>
60

<i>x</i> +16=−
3
2<i>⇔2 x</i>

2

+<i>35 x +120=0⇔ x= −35 ±</i>√265

4 .

Thí dụ 9. Giải phương trình <i>x</i>4<i>−5 x</i>3+10 x +4=0 (9)
Lời giải

(9)<i>⇔ x</i>2

<i>−5 x +</i>10
<i>x</i> +

4

<i>x</i>2=0<i>⇔</i>

(

<i>x</i>
2

+ 4

<i>x</i>2

)

<i>−5</i>

(

<i>x −</i>
2

<i>x</i>

)

=0<i>⇔</i>

(

<i>x −</i>
2
<i>x</i>

)

2

<i>−5</i>

(

<i>x −</i>2

<i>x</i>

)

+4=0 . Đặt <i>y=x −</i>
2
<i>x</i>
ta được phương trình

<i>y</i>2<i>− 5 y+4=0⇔ y =1; y =4</i>
Với <i>y=1⇒ x −</i>2

<i>x</i>=1<i>⇔ x</i>
2

<i>− x −2=0(x ≠0)⇔ x=− 1; x=2</i>
Với <i>y=4⇒ x −</i>2

<i>x</i>=4<i>⇔ x</i>
2

<i>− 4 x −2=0⇔ x=2 ±</i>√6 _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Lời giải

Đặt <i>y=x</i>2+4√5>0 ta có phương trình

<i>y</i>2<i>− 12 y +16=0</i>

¿

<i>y</i>2<i>_{−11 y +49=0}</i>

¿

<i>⇔ y =6 ±2</i>√5<i>⇒ x</i>2

=6 ±2√<i>5− 4</i>√5<i>⇒ x</i>2

=6 − 2√5<i>⇒ x</i>2

=(_√<i>5 −1</i>)2<i>⇔ x=±</i>(_√<i>5− 1</i>)

¿
¿
¿<i>y</i>2<i>− 7 y − 28=(34 − 3 y )</i>√<i>y⇔</i>(<i>y</i>2<i>−7 y −28</i>)

2

=(34 −3 y )2<i>y⇔ y</i>4<i>− 23 y</i>3+<i>197 y</i>2<i>−764 y+784=0</i>
<i>⇔</i>(<i>y</i>2<i>−12 y +16</i>) (<i>y</i>2<i>− 11 y +49</i>)=0<i>⇔</i> ¿
Thí dụ 11. Giải phương trình <i>x+3</i>(<i>2− 3 x</i>2

)2=2(11)
Lời giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>y +3 x</i>2₌₂
<i>⇔</i>

¿<i>x +3 y</i>2=2

<i>x − y +3 y</i>2<i>−3 x</i>2=0
<i>⇔</i>

¿<i>x +3 y</i>2=2
<i>( x − y )</i>(<i>1 −3 ( x + y )</i>)=0

<i>⇔</i>

¿

<i>x+3 y</i>2=2
<i>x= y</i>

¿
¿
¿

<i>x+3 y</i>2=2
¿

<i>x + y =</i>1
3
¿
¿
¿

<i>⇔</i>

¿
¿
¿
<i>3 x</i>2

+<i>x − 2=0</i>
¿
¿

<i>x= y</i>

¿
¿
¿
¿
¿
<i>3 y</i>2<i>− y −</i>5

3=0
¿

<i>x=</i>1
3<i>− y</i>

¿
¿
¿
¿

Thí dụ 12. Giải phương trình

(

<i>8 x</i>3+2001

2002

)

3

=4004 x −2001(12)
Lời giải

(12)<i>⇔</i>(<i>2 x</i>)3+2001=2002

_√

3<i>2002(2 x)−2001</i> . Đặt <i>t=2 x ; y=</i>_√3<i>2002 t −2001</i> ta được hệ phương

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>t</i>3+2001=2002 y
¿

<i>y</i>3+<i>2001=2002 t</i>
<i>⇔</i>

¿<i>t</i>3+<i>2001=2002 y</i>
<i>t</i>3<i>− y</i>3+<i>2002(t − y )=0</i>

<i>⇔</i>

¿<i>t</i>3+<i>2001=2002 y</i>
(<i>t − y)(t</i>2+ty+ y2+2002)=0

<i>⇔</i>

¿<i>t</i>3+<i>2001=2002 y</i>
<i>t= y</i>

<i>⇒</i>

¿

¿{

¿
¿ ¿

¿

<b>4. Phương pháp tham số phụ</b>

Thí dụ 13. Giải phương trình <i>54 x</i>3<i>_{− 9 x+}</i>

√2=0(13)
Lời giải

Ta tìm cách viết vế trái của phương trình dưới dạng <i>x</i>3

+<i>a</i>3+<i>b</i>3<i>−3 abx</i> . Như vậy thì <i>a , b</i> là

nghiệm của hệ phương trình
¿

<i>a</i>3

+<i>b</i>3=√2
54
<i>a</i>3<i>_{. b}</i>3

= 1
183
<i>⇒ a</i>3<i>_,b</i>3

¿{

¿

là nghiệm của phương trình <i>t</i>2<i>−</i>√2
54 <i>t+</i>

1

183=0<i>⇔ t=</i>
1

54√2 <i>⇒ a=b=</i>
1
3√2

Khi đó phương trình đã cho tương đương với
<i>( x+ a+b )</i>(<i>x</i>2

+<i>a</i>2+<i>b</i>2<i>− a x − bx − ab</i>)=0<i>⇔</i>

(

<i>x+</i> 2
3√2

)(

<i>x</i>

2<i>₋</i> 2
3√2<i>x +</i>

1

18

)

=0<i>⇔ x =−</i>
2
3√2<i>; x=</i>

1
3√2
Thí dụ 14. Giải phương trình <i>x</i>4<i>_{−2 x}</i>2<i>_{−16 x +1=0 (14)}</i>

Lời giải

Viết phương trình đã cho dưới dạng (<i>x</i>2+<i>α</i>)2=2(<i>1+α</i>)<i>x</i>2+16 x −(1 − α2) . Ta cần chọn <i>α</i> sao

cho

<i>Δ'</i>₌₈2_{+2(1+α)(1 − α}2₎₌₀<i>_⇒α=3</i>
Khi đó phương trình đã cho tương đương với

(<i>x</i>2+3)2=8 ( x +1)2<i>⇔</i>(<i>x</i>2+2√<i>2 x +3+2</i>√2) (<i>x</i>2<i>−2</i>√<i>2 x +3 −2</i>√2)=0<i>⇔ x=</i>√<i>2±</i>

_√

2√<i>2 −1</i> .
Thí dụ 15. Giải phương trình <i>5 x</i>5+5 a x3+<i>a</i>2<i>x+5 b=0 (a ≥ 0)(15)</i>

Lời giải
Đặt

<i>u+v</i>¿5<i>⇒ x</i>5=<i>u</i>5+<i>v</i>5+5 uv(<i>u</i>3+<i>v</i>3)+10 u2<i>v</i>2<i>(u+v )=u</i>5+<i>v</i>5+5 uv

[

<i>(u+ v )</i>3<i>−3 uv (u+v)</i>

]

+¿+10 u2<i>v</i>2(<i>u+v )=u</i>5+<i>v</i>5+5 uvx3<i>−15 u</i>2<i>v</i>2<i>x +10 u</i>2<i>v</i>2<i>x⇒ x</i>5<i>− 5 uvx</i>3+<i>5u</i>2<i>v</i>2<i>x −</i>(<i>u</i>5+<i>v</i>5)=0
¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>−5 uv=a</i>
<i>−</i>(<i>u</i>5+<i>v</i>5)=<i>b</i>

<i>⇔</i>

¿<i>u</i>5<i>. v</i>5=<i>−a</i>

5

55
<i>u</i>5

+<i>v</i>5=<i>− b</i>
<i>⇒</i>

¿{

¿

<i>u</i>5<i>, v</i>5 là hai nghiệm của phương trình

0
5

5
2









<i>bt</i> <i>a</i>
<i>t</i>

<i>Δ=b</i>2+4

(

<i>a</i>

5

)

5

<i>≥ 0(a ≥ 0)</i> . Do đó <i>t</i>_1,2=<i>−b</i>
2<i>±</i>

√

(

<i>b</i>
2

)

2
+

(

<i>a</i>

5

)

5

suy ra nghiệm (duy nhất) của phương
trình đã cho là

<i>x=u+v=</i>

√

5<i>−b</i>
2+

√

(

<i>b</i>
2

)

2
+

(

<i>a</i>

5

)

5

+

√

5<i>−b</i>
2<i>−</i>

√

(

<i>b</i>
2

)

2
+

(

<i>a</i>

5

)

5

.

<b>5. Quan niệm là phương trình bậc 2</b>

Thí dụ 16. Giải phương trình <i>x</i>4<i>₋₂</i>

√<i>5 x</i>2

+<i>x+5 −</i>√5=0(16)
Lời giải

(16)<i>⇔5 −</i>(<i>2 x</i>2₊₁₎

√<i>5+x</i>4

+<i>x=0</i> , ta coi đây là phương trình bậc hai đối với ẩn là √5 . Khi đó
biệt thức

<i>Δ=</i>(<i>2 x</i>2₊₁

)2<i>− 4(x</i>4

+<i>x)=4 x</i>2<i>− 4 x +1=(2 x − 1</i>)2 . Do đó √5=<i>2 x</i>
2

+1 ±(2 x −1 )

2 <i>⇒</i>√<i>5=x</i>

2

+<i>x ; x</i>2<i>− x+1</i>

√<i>5=x</i>2+<i>x⇔ x</i>2+<i>x −</i>_√5=0<i>⇔ x=−1 ±</i>

√

1+4√5
2

√<i>5=x</i>2<i>− x+1⇔ x</i>2

<i>− x+1−</i>√5=0<i>⇔ x= 1 ±</i>

√

<i>−3+4</i>√5

2 .

<b>BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Giải các phương trình sau:</b>

1. <i>x</i>4

+(<i>x −1)</i>(<i>x</i>2<i>−2 x+2</i>)=0

2. <i>x</i>4+4 x3<i>− 4 x</i>2<i>−16 x +16=0</i>

5. <i>(12 x −1)(6 x −1)( 4 x −1)(3 x −1)=5</i>
6. (<i>x − 18)(x −7)(x +35)(x+90)=2001 x</i>2
7. <i>x</i>4<i>₋₈</i>

√<i>2 x +12=0</i>

8. (<i>x</i>2+<i>3 x +2</i>) (<i>x</i>2+<i>7 x+12</i>)=24
9. <i>6 x</i>3+3 x −5=0

10. <i>x=1− 2009</i>(<i>1− 2009 x</i>2

)2

11. (<i>x</i>2<i>− 6 x</i>)2<i>−2 ( x − 3)</i>2=81
12. (<i>x</i>2<i>− 3 x +2</i>)3=<i>x</i>6<i>−(3 x −2)</i>3
13. (<i>x</i>2<i>_{− a}</i>

)2<i>−6 x</i>2

+<i>4 x +2 a=0</i>

14. <i>x</i>4<i>−10 x</i>3<i>−2 (a −11) x</i>2+2 (5 a+6) x+2 a+a2=0
15. <i>2004 x</i>4+<i>2001 x</i>3+2008 x2+<i>2004 x+2004=0</i>
16. <i>32 x</i>5<i>−40 x</i>3+10 x −√3=0

</div>

<!--links-->