Khóa luận tốt nghiệp: Ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

HỒNG THỊ BÍCH

ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN VÀ KHƠNG GIAN VECTƠ
TRONG VẬT LÝ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chun ngành : Vật lý lý thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học :

PGS.TS Hà Thanh Hùng

HÀ NỘI , 2018


LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến quý thầy cô Khoa Vật Lý Trƣờng Đại
học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt vốn kiền thức quý báu cho chúng em trong
thời gian học tập tại trƣờng. Và đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS
Hà Thanh Hùng , ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ em để hồn
thành tốt khóa luận này.
Trong q trình làm khóa luận với kiến thức, trình độ và thời gian có hạn nên
khó tránh khỏi sai xót, rất mong q thầy cơ bỏ qua. Đồng thời do trình độ lí luận
cũng nhƣ kinh nghiệm thực tiễn nên khóa luận khơng thể tránh khỏi sai xót nên em
rất mong thầy cơ góp ý ,đóng góp để em học thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm giúp em

hồn thành khóa luận đƣợc tốt hơn.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới bố mẹ và những ngƣời thân u trong
gia đình, bạn bè đã ln cổ vũ động viên em trong suốt quá trình thực hiện khóa
luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Hồng Thị Bích


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin đảm bảo khóa luận này gồm các kết quả chính mà bản thân tơi đã thực
hiện trong thời gian là nghiên cứu. Cụ thể, phần Mở đầu và Chƣơng 1 là phần tổng
quan giới thiệu những vấn đề trƣớc đó liên quan đến khóa luận. Trong Chƣơng 2 tôi
đã sử dụng một phần kết quả đã nghiên cứu trƣớc đó với phần mà tơi đã thực hiện
cùng với thầy hƣớng dẫn PGS.TS Hà Thanh Hùng.
Cuối cùng, tơi xin khẳng định các kết quả có trong khóa luận “Ứng dụng của
ma trận và không gian vectơ trong vật lý” là kết quả mới không trùng lặp với kết
quả của các khóa luận và cơng trình đã có.

Sinh viên

Hồng Thị Bích


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................1
CHƢƠNG 1: SƠ LƢỢC VỀ LÝ THUYẾT ...............................................................3
1.1. Khơng gian vectơ .................................................................................................3

1.1.1. Các tính chất của khơng gian vectơ ..................................................................3
1.1.2. Tốn tử tuyến tính trong khơng gian vectơ. ......................................................5
1.2. Ma trận .................................................................................................................6
1.2.1. Phép biến đổi của ma trận .................................................................................6
1.2.2. Các tính chất của ma trận ..................................................................................8
1.2.3. Các dạng ma trận .............................................................................................14
1.2.4. Trị riêng và vectơ riêng của ma trận ...............................................................17
CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN VÀ KHƠNG GIAN VECTƠ
TRONG VẬT LÝ .....................................................................................................23
2.1 Mơ phỏng bài toán vật lý bằng vectơ .................................................................23
2.1.1. Vectơ biểu diễn đại lƣợng vật lý có hƣớng .....................................................23
2.1.2. Vectơ chỉ hƣớng của ánh sáng truyền trong không gian.................................27
2.1.3. Dùng các phép cộng, trừ và nhân vectơ trong vật lý ......................................29
2.2. Giải bài tốn vật lý bằng ma trận .......................................................................33
2.2.1. Tính Hermite của ma trận ...............................................................................33
2.2.2.Hàm riêng và trị riêng của các đại lƣợng vật lý ...............................................36
KẾT LUẬN ...............................................................................................................42
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................43


CÁC KÍ HIỆU CHUNG

SVD

: singular value decomposition : là một dạng khai triển của ma trận

BĐT

: bất đẳng thức

CĐĐT : cƣờng độ điện trƣờng
Đpcm : điều phải chứng minh


PHẦN MỞ ĐẦU
Trong Vật lý lý thuyết, có thể nói Vật lý lý thuyết là một môn học khá quan
trọng đối với sinh viên ngành Vật lý. Nó có thể coi là cơ sở cho tất cả các môn học
đối với sinh viên Lý. Trong đó ma trận và khơng gian vectơ là những phần kiến
thức cơ bản và gây hứng thú nhiều nhất với môn học này. Ma trận và khơng gian
vectơ là vấn đề có tính thời sự, nó có mặt trong tất cả các ngành liên quan đến vật lý
nhất là giải bài tập. Nó giúp học sinh hình thành cách giải một cách nhanh chóng
nhất trên cơ sở vật lý và toán học. Xuất phát từ vấn đề đó, tơi đã lựa chọn đề tài :
“Ứng dụng của của ma trận và không gian vectơ trong vật lý” với mong muốn
trang bị cho các em học sinh những kiến thức cần thiết để giải bài tập một cách
hồn thiện nhất.
Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về ma trận và không gian vectơ
Đƣa ra các bài tốn về vật lý có liên quan đến ma trận và khơng gian vectơ,
hình thành cách giải
Đối tƣợng nghiên cứu
Lý thuyết
Một số dạng toán thƣờng gặp về ma trận và khơng gian vectơ
Nội dung nghiên cứu
Các tính chất của khơng gian vectơ
Các tính chất của ma trận
Mơ phỏng các bài toán vật lý bằng vectơ
Các dạng bài tập về ma trận và không gian vectơ
Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng lí luận và các cơng cụ tốn học
Nghiên cứu các tài liệu liên quan

Cấu trúc khóa luận

Cấu trúc khóa luận đƣợc sắp xếp nhƣ sau:

1


Chƣơng 1: Sơ lƣợc về lý thuyết
Chƣơng 2: Ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý
Kết luận chung: Điểm qua các kết quả chính thu đƣợc và đề xuất hƣớng
nghiên cứu trong thời gian tới.

2


CHƢƠNG 1: SƠ LƢỢC VỀ LÝ THUYẾT
1.1. Không gian vectơ
1.1.1. Các tính chất của khơng gian vectơ
 Vectơ cơ sở
- Nếu V là một không gian vectơ W chiều, sau đó bất kì tập hợp N vectơ độc
lập tuyến tính e1, e2,…,eN tạo thành một cơ sở cho V. Nếu x là một vectơ tùy ý nằm
trong V thì bộ N+1 vectơ x, e1, e2,…, eN phải phụ thuộc tuyến tính và dó đó:

 e1   e2  ...   eN   x  0
không phải tất cả bằng không và đặc biệt   0 .Hay chúng

+ Các hệ số:

ta có thể viết x nhƣ một tổng tuyến tính của các vectơ:
N

x  x1e1  x2e2  ...  xN eN   xi ei
i 1

- Các hệ số xi là các thành phần của x đối với ei – cơ sở. Các thành phần này là
duy nhất, nếu cả hai:
N

x   xi ei
i 1

N

Thì:

  x  y e
i 1

i

i

i

N

và

y   yi ei
i 1

0

- Từ các trình bày ở trên thì chúng ta thấy rằng bất kì tập hợp N vectơ độc lập
tuyến tính có thể hình thành cơ sở cho một khơng gian vectơ N- chiều. Nếu chúng
ta chọn một bộ ei' khác nhau; i = 1,…N thì có thể viết x nhƣ sau:
N

x  x1' e1'  x2' e2'  ...  xN' eN'   xi' ei'
i 1

 Tích vơ hƣớng
- Chúng ta có thể mơ tả về vectơ trong khơng gian vectơ bằng cách xác định
tích vơ hƣớng chúng, kí hiệu bằng : <a|b> ; nó là một hàm vô hƣớng của a và b .
Các vô hƣớng : a.b = |a||b|.cos của vectơ trong không gian thực của khơng gian ba
chiều (

là góc giữa các vectơ )

3


- Các tích vơ hƣớng có các tính chất sau:
(i) <a|b> = <b|a>*
(ii) a | b  c   a | b   a | c
Lƣu ý: Cho một không gian vectơ phức tạp (i),(ii) chỉ ra rằng:

a | b | c  * a | c  * b | c
a | b  * a | b
- Hai vectơ trong không gian vectơ tổng đƣợc xác định là trực giao nếu

<a|b>=0.
^

^

^

- Chúng ta đƣa vào không gian vectơ N chiều một cơ sở e1 , e2 ,..., eN có tính
chất trực giao ( các vectơ cơ sở trực giao lẫn nhau và mỗi vectơ có một quy tắc đơn
vị nhất định ) , tức là:
^

^

ei | e j   ij

 ij là biểu thức tam giác Kronecker:

{
- Từ cơ sở trên, chúng ta có thể viết hai vectơ bất kì a và b là:
N

^

a   ai ei
i 1

N

^

và b   bi e j
i 1

- Với a bất kì ,trong một cơ sở trực giao chúng ta có:
N

^

^

N

^

^

^

e j | a   e j | ai ei   ai e j | ei  a j
i 1

i 1

^

Do đó,thành phần của a đƣợc đƣa ra bởi: ai  ei | a . Lƣu ý, đây chỉ đúng khi
cơ sở là trực giao.Chúng ta có thể viết a và b là các tích vô hƣớng của cơ sở trực
chuẩn nhƣ:
^

^

^

^

^

^

a | b  a1 e1  a2 e2  ...  aN eN | b1 e1  b2 e2  ...  bN eN
N

^

^

N

  ai*bi ei | ei  
i 1

i 1

N

a b
j 1

*
i i

4

^

^

ei | e j

N

  ai*bi
i 1


 Một số bất đẳng thức hay sử dụng
(i) BĐT Schwarz là kết quả cơ bản nhất và khẳng định rằng:
|<a|b>|

||a|| ||b||

Chúng bằng nhau khi a là bội số vô hƣớng của b, tức là khi a   b . Để phân
biệt giữa giá trị tuyệt đối của một đại lƣợng vô hƣớng |  | và quy tắc của một vectơ
|a|. BĐT Schwarz có thể chứng minh:
a  b  a  b | a  b
2

 a | a   a | a  * b | a  * b | b

Nếu chúng ta viết <a|b> nhƣ a | b ei thì:
a  b  a  
2

2

b   a | b ei   * a | b ei

2

2

(ii) Các BĐT tam giác:
a b  a  b
^

(iii) BĐT Bessel ra đời từ 1 cơ sở trực giao ei ; i = 1,2,…N của khơng gian N
chiều và nó khẳng định rằng:
^

a   ei | a
2

i

(iv) Đẳng thức hình bình hành:



a b  a b  2 a  b
2

2

2

2



1.1.2. Toán tử tuyến tính trong khơng gian vectơ.
Một tốn tử tuyến tính 𝒜 đối với tất cả các vectơ x khác nhau:
y = 𝒜x
Tƣơng tự, đối với hai vectơ a và b:
𝒜(λa+μb) = λ𝒜a+μ𝒜b
Trong đó: λ μ là vơ hƣớng. Chúng ta nói rằng 𝒜 hoạt động dựa trên x tạo thành
các vectơ cho y. Lưu ý 𝒜 khơng thuộc bất kì cơ sở hoặc hệ tọa độ nào và có thể
coi là chuyển một thực thể hình học.

5


Nếu chúng ta đƣa vào một cơ sở ei , i = 1,2,…N vào khơng gian vectơ thì tác
động của 𝒜 trên mỗi cơ sở là để tạo ra một sự kết hợp tuyến tính, đƣợc viết nhƣ
sau:
N

𝒜 ei   ijei
i 1

Aij là thành phần thứ i của vectơ cơ sở 𝒜ei ; gọi chung Aij là các thành phần của
tốn tử tuyến tính trong ei –cơ sở. Mối liên hệ giữa y = 𝒜x có dạng:
N
N
 N
 N
y   yi ei  𝒜   x j e j    x j  ijei
i 1
 j 1
 j 1 i 1
N

yi   ij x j
j 1

Chúng ta giả sử rằng vectơ y là không gian vectơ giống x. Tuy nhiên, nếu y
thuộc về một khơng gian vectơ khác, nói chung là M-chiều ( M # N) thì biểu thức
trên sẽ thay đổi. Đƣa một cơ sở fi ; i = 1,2,…M vào không gian vectơ y thì chúng ta
có thể viết nhƣ sau:
M

𝒜ej =  ij fi
i

Aij của tốn tử tuyến tính 𝒜 liên quan đến cả ej và fj
Nếu x là một vectơ và 𝒜 và ℬ là hai tốn tử tuyến tính thì có các tính chất sau:
(𝒜+ℬ)x 𝒜x+ℬx
(λ𝒜)x λ(𝒜x)
(𝒜ℬ)x= 𝒜(ℬ)x

1.2. Ma trận
1.2.1. Phép biến đổi của ma trận
 Các phép tính đại số cơ bản của ma trận
Các ma trận đại số cơ bản có thể đƣợc rút ra từ các tính chất của các tốn tử
tuyến tính điển hình. Trong một cơ sở nhất định, tác dụng của hai toán tử tuyến tính
𝒜 và ℬ trên một vectơ tùy ý x được cho bởi:

    

ij

j

x j   ij x j   ij x j
j

j

6


   

ij

j

j

  

ij

j

x j    ij x j
x j   ik  x k  
k

j



ik

kj x j

k

Bây giờ, với x tùy ý, chúng ta có thể ngay lập tức suy ra cách thức mà ma trận
đƣợc thêm vào hoặc nhân lên.
 Cộng ma trận và phép nhân bởi một vô hƣớng
Chúng ta thấy rằng tổng của hai ma trận, S = A+B , là ma trận mà các phần tử
đƣợc xác định bởi:
Sij = Aij + Bij
Cho mỗi cặp kí hiệu i,j với i = 1,2,…M và j = 1,2,…N
Từ định nghĩa, ta suy ra rằng : A+B = B+A và tổng của hai ma trận có thể viết
một cách rõ ràng,tức là phép cộng ma trận là giao hoán và kết hợp.
Sự khác nhau giữa hai ma trận đƣợc xác định bằng cách suy luận trực tiếp với
phép cộng.Ma trận D = A-B có:

Dij = Aij - Bij
Với i = 1,2,…M và j = 1,2,…N
Nhân ma trận A với một vô hƣớng λ tạo thành ma trận λAij ,ví dụ:
13   11 12

23   21 22

 11 12
 21 22



13 
23 

Phép nhân với một vô hƣớng là phân phối và kết hợp
 Phép nhân ma trận
Chúng ta hãy xem xét lại các biến đổi của một vectơ vào y = 𝒜x , ta có:
N

yi   ij x j với i=1,2…N
j 1

Viết cho dạng y= 𝒜x ,chúng ta có:
 y1

 y2
 ...

 yM

  11
 
    21
  ...
 
  M 1

12
 22
...
M 2

7

... 1N  x1 
 
...  2 N  x2 
... ...  ... 
 
...  MN  xN 


Nếu thay vào 𝒜 một vectơ cơ sở ej có tất cả các thành phần bằng 0 trừ j thì ta có:
 11


e j   21
 ...


 M 1

12
 22
...
M 2

... 1N  0   1 j 



...  21  0    2 j 

... ...  ...   ... 

  
...  MN   1    Mj 

Chúng ta có thể mở rộng các kết quả của hai ma trận : P = AB , trong đó P là
ma trận của một số giao kết bởi các phép tính của các hàng của ma trận A trên cột
của B, trên mỗi cột của B lần lƣợt là vectơ x đại diện cùng hợp thành. Đây là một
định nghĩa có ý nghĩa, số lƣợng cột trong A phải bằng số hàng trong B. Vì vậy, các
kết quả AB của M×N ma trận A với N×R ma trận B chính là M×R ma trận P:
N

ij   ik kj với i = 1,2,…M ; j = 1,2,…R
k 1

Nhƣ đã nói ở trên, nếu A là M×N và B là N×M thì sau đó hai ma trận có kết
quả là: P = AB và Q = BA

- Đây chứng tỏ là không giống nhau, vì P là một M×M ma trận trong khi Q là
một ma trận N×N. Vì vậy, phải viết kết quả theo thứ tự đã dự định: P = AB nhƣng
Q = BA. Lƣu ý: A2 nghĩa là AA , A3 nghĩa là A(AA) = (AA)A. Thậm chí, nếu A và
B là vng thì: AB # BA, tức là nhân của ma trận nói chung khơng phải là giao
hốn.
- Tính chất của ma trận là phân phối; tức là:
(A+B)C = AC+BC và C(A+B) = CA+CB
1.2.2. Các tính chất của ma trận
- Nếu một ma trận A là ma trận vng (nhƣ đã đề cập) thì ngƣời ta có thể xác
định lũy thừa của A một cách đơn giản.
Ma trận A vng có dạng:
S   an n
n

Hàm mũ của một ma trận, đƣợc định nghĩa bởi:
n
exp   
n 0 n !


8


Định nghĩa này có thể sử dụng để xác định các hàm khác nhƣ sinA và cosA.
 Cách chuyển vị một ma trận
- Chúng ta thấy rằng các vectơ của tốn tử tuyến tính trong một hệ tọa độ nhất
định có thể đƣợc viết dƣới dạng một ma trận A.Tuy nhiên, nên xem xét sự khác
nhau của ma trận mẫu qua việc trao đổi các hàng và cột của A.Ma trận đó đƣợc gọi
là chuyển vị của A và kí hiệu : AT
Rã ràng, nếu A là một ma trận M×N thì chuyển vị của AT là một ma trận N×M

- Chuyển vị của tích của hai ma trận, (AB)T đƣợc đƣa ra lấy theo thứ tự ngƣợc lại:
(AB)T = BTAT
Chứng minh nhƣ sau:

  ij    ij    jk ki


k

    
k

            


kj



ik

k





ik

kj



ij

có thể mở rộng cho nhiều kết quả của ma trận:

 C...G 



 G  ...C  

 Vết của ma trận
- Đối với một ma trận A, trong hai phần trƣớc chúng ta đã xem xét các ma trận
khác nhau mà có thể bắt đầu từ nó.Tuy nhiên, đơi khi ngƣời ta muốn lấy đƣợc một số
duy nhất từ một ma trận. Ví dụ đơn giản, là vết của một ma trận vuông đƣợc biểu thị
bởi TrA và đƣợc định nghĩa là tổng của các số hạng trên đƣờng chéo của ma trận.
N

r   11  12  ...   NN   ii
i 1

Rõ ràng là lấy vết là một tốn tử tuyến tính,do đó:
Tr(A±B) = TrA ± TrB
Ta có kết quả nhƣ sau:
N

N

i 1

i 1

N

r      ij  
N


i 1

 
j 1

N

N

j 1

j 1

ij

ij

 ijij     jj  r

9

Kết quả này có thể mở rộng cho các kết quả của nhiều ma trận
 Các định thức của một ma trận.
Một số tính chất của định thức đƣợc xác định đơn giản từ việc xác định detA.
Việc sử dụng chúng thƣờng quy về việc đánh giá định thức.
- Tính chất của các định thức của ma trận
(i) Đinh thức của một ma trận chuyển vị
Ma trận chuyển vị AT ( thu đƣợc qua việc chuyển đổi hàng và cột của A) có đề
cập đến định thức nhƣ A chính nó, tức là:
  

(ii) Định thức phức tạp và liên hợp Hermite
Rõ ràng là các ma trận A* thu đƣợc bằng cách lấy liên hợp phức tạp của mỗi
phần tử A có định thức   



. Ta thấy rằng:

        




(iii) Thay thế hai hàng hoặc cột
Nếu hai hàng ( hoặc cột ) của A đổi chỗ lẫn nhau thì yếu tố quyết định khơng
thay đổi gì
(iv) Thay thế thừa số
Nếu tất cả các phần tử của một hàng (hoặc cột) của A có một thừa số chung, λ,

thì thừa số đó có thể đƣợc loại bỏ, giá trị của các thừa số đƣợc đƣa ra bởi tích số của
các định thức còn lại và λ. Điều này cho thấy, nếu tất cả các phần tử bất kì của hàng
(cột) là khơng thì |A| = 0. Nếu mọi phần tử của N×N ma trận A nhân với hằng số
bội λ thì:

   N 
(v) Đồng nhất hàng hoặc cột
Nếu hai hàng ( cột ) bất kì của A trùng nhau hoặc là bội số của nhau thì nó có
thể biểu thị: |A| = 0
(vi) Thêm hằng số bội vào một hàng ( cột) khác

10


Các định thức của ma trận là không thay đổi về giá trị bằng cách thêm vào các
phần tử của một hàng ( cột) nào đó.
(vii) Định thức của một tích số
Nếu B là một ma trận vng thì:
     

Mở rộng hơn ta có:
...G    ... G   G ...   ...G

Thấy rằng định thức là bất biến theo hoán vị của các ma trận.
 Nghịch đảo của một ma trận
- Chúng ta xét mối tƣơng quan P = AB nhƣ tƣơng đƣơng với B = P/A, với
điều kiện A#0. Tuy nhiên, nếu A, B và P là ma trận thì kí hiệu này khơng có ý nghĩa
rõ ràng. Một ma trận vng có định thức bằng 0 gọi là ma trận kì dị ; nếu khác nhau
nó là khơng kì dị. Chứng minh rằng: nếu A là kì dị thì chúng ta có thể xác định ma
trận, biểu thức A-1 đƣợc gọi là nghịch đảo của A, trong đó nếu

AB = P thì B = A-1P . Nói cách khác, B có thể thu đƣợc bằng cách nhân P với
A-1 . Tƣơng tự, nếu B là kì dị thì A = PB-1.
Ta có:
AI = A -> I = A-1A
Trong đó: I là ma trận đơn vị và do đó:
A-1A = I = AA-1
Trên thực tế, tìm nghịch đảo của ma trận A có thể thực hiện bằng một số cách
khác nhau. Phƣơng pháp đầu tiên là xây dựng ma trận C có chứa các phần phụ đại
số của các phần tử của A, sau đó chỉ cần nghịch đảo A-1 có thể tìm đƣợc bằng cách
chuyển đổi C và chia các định thức của A. Do đó, các phần tử của nghịch đảo A-1
đƣợc đƣa ra bởi:

 

 C ik


1

ik





11



Cik




Xét các thành phần A-1A ta có:

         
1

1

ij


k

Từ đó, suy ra:

C

ki

ik

k

kj


Cki
kj   ij




kj   ij

k

- Một số tính chất hay sử dụng có liên quan đến ma trận nghịch đảo:
(i)

 

1 1



(ii)

 

   1 



(iii)

 

   1 



(iv)

 

(v)

 ...G 

 1

 1

1

 11
1

 G 1...11

Chứng minh các tính chất từ (i)->(iv)
Nghịch đảo của một ma trận vuông : AA-1 = I = A-1A
(i) Từ biểu thức trên
(ii) Lấy chuyển vị của mỗi biểu thức

 

1 

      1 



(iii) Chứng minh tƣơng tự nhƣ (ii) bằng cách biến đổi (ii) liên hợp Hermite và
sử dụng kết quả cho liên hợp Hermite của một ma trận
(iv) Chúng ta có thể viết :

  

1

     

1

  

Lấy vế trái nhân với A-1 ta đƣợc:
1    1 và do đó:      1
1

1

Lấy tiếp về trái nhân với B-1:
1     11
1

12

(v) Sử dụng hai lần kết quả (iv) ta đƣợc:

 C 

1

  C  1  C 111
1

Từ đó, chúng ta tìm đƣợc: 1   1  
  1 

1


 Thứ hạng của ma trận
- Thứ hạng của một ma trận M×N là một khái niệm quan trọng, đặc biệt là
trong các phép tính của phƣơng trình tuyến tính đồng thời. Cũng giống nhƣ các vết
và định thức, thứ hạng của ma trận A là một số duy nhất mà thuộc các phần tử của
A; thứ hạng của ma trận có thể có đƣợc định nghĩa ngay cả khi A khơng phải là ma
trận vng. Có hai định nghĩa tƣơng đƣơng với thứ hạng của một ma trận chung.
+) Thứ nhất, thứ hạng của một ma trận có thể đƣợc định nghĩa về sự độc lập
tuyến tính của các vectơ. Giả sử các cột của ma trận M×N đƣợc hiểu là các thành
phần trong một cơ sở N vectơ v1, v2, …vN nhƣ sau:
 
  v
 1
 





v2


...



vN 




Thì thứ hạng của A , kí hiệu : rankA hoặc R(A) ; đƣợc định nghĩa là số vectơ
độc lập tuyến tính trong tập v1, v2, …vN và tƣơng đƣơng với kích thƣớc của khơng
gian kéo dài bởi những vectơ.
+) Thứ hai (tƣơng đƣơng ) định nghĩa về thứ hạng của một ma trận có thể đƣợc
đƣa ra và sử dụng các khái niệm về ma trận phụ. Một ma trận phụ của một A là một
ma trận bất kì có thể đƣợc hình thành từ các phần tử của A bằng cách bỏ qua hoặc
thêm nhiều hơn vào hàng hoặc cột của nó. Nó chƣa chỉ ra rằng thứ hạng của M×N
ma trận nói chung là tƣơng đƣơng với kích thƣớc của ma trận phụ vng lớn nhất
của A có định thức khác khơng. Do đó, nếu ma trận A có r×r ma trận phụ S với S#0
, nhƣng khơng có (r-1)×(r+1) ma trận phụ khác khơng thì bậc của ma trận là r. Từ
một trong hai định nghĩa, rõ ràng là bậc của A là nhỏ hơn hoặc bằng với M và N.
- Ma trận vuông, tức là N×N , rất phổ biến trong các ứng dụng vật lý.

13

1.2.3. Các dạng ma trận
 Ma trận đơn vị
Là ma trận chéo có các phần tử trên đƣờng chéo bằng 1.
 i,j  0, i  j

i , j  1, i  j

Ma trận đơn vị đƣợc kí hiệu là In với n là cấp của ma trận. Ví dụ ma trận đơn
vị có cấp 3 đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
1 0 0 
3  0 1 0 
0 0 1 

 Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0: Ai,j = 0
Ví dụ:
0
0

0

0

0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0

0

 Ma trận đƣờng chéo
- Ma trận đơn vị mà chúng ta đã gặp là một ví dụ về một ma trận đƣờng chéo,
ma trận nhƣ vậy đƣợc đặc trƣng bởi các phần tử khác khơng trên đƣờng chéo chính,
tức là chỉ yếu tố Aij với i=j có thể khác khơng.
1 0 0 


  0 2 0 
 0 0 3 



là một 3×3 ma trận đƣờng chéo, một ma trận nhƣ vậy đƣợc kí hiệu: A=diag(1,2,-3)
Nếu ma trận có dạng : A=diag(A11, A22, …ANN) thì:
|A|=A11A22…ANN
→ Lƣu ý: Nếu A và B là hai ma trận chéo thì tích của chúng sẽ là giao hốn :
AB = BA
Điều này khơng đúng đối với ma trận nói chung.
 Ma trận tam giác phía dƣới và phía trên

Một ma trận vng A đƣợc gọi là ma trận tam giác phía dƣới nếu tất cả các số
hạng trên đƣờng chéo chính bằng khơng.

14


Ví dụ: ma trận 3×3 thấp hơn ma trận tam giác là:
 11 0

   21 22

 31 32

0 

0 
33 

các số hạng Aij=0 hoặc khác không.
Tƣơng tự, ma trận vuông đƣợc gọi là ma trận tam giác phía trên nếu các số
hạng dƣới đƣờng chéo chính bằng 0.
Ví dụ:

 11

 0
 0


12

22
0

13 

23 
33 

 Ma trận đối xứng và ma trận không đối xứng
Một ma trận vuông A bậc N với A = AT đƣợc gọi là đối xứng. Tƣơng tự nhƣ vậy,
một ma trận A = -AT đƣợc cho là không hoặc nghiêng đối xứng và các số hạng trên
đƣờng chéo của nó là a11, a22,…aNN tất yếu bằng không. Hơn nữa, nếu A không đối
xứng thì ma trận nghịch đảo của nó là A-1. Dễ dàng chứng minh nếu: A = ±AT thì:

    
1 

 1

 1

Bất kì N×N ma trận A có thể đƣợc viết nhƣ tổng của một đối xứng và một ma
trận không đối xứng, nhƣ sau:


1
1
             C

2

2

Rõ ràng: B = BT và C = CT. Do đó, ma trận B đƣợc gọi là phần đối xứng của A
và C là phần không đối xứng.
Nếu A là khơng đối xứng thì AT = -A. Ta có:
       1 


→ Nhƣ vậy, nếu N là số lẻ thì : |A| = - |A| và |A| = 0
 Ma trận trực giao
Khá nhiều ma trận với đặc tính chuyển vị của nó cũng là nghịch đảo của nó.

15


AT = A-1 đƣợc gọi là ma trận trực giao. Nghịch đảo của một ma trận trực giao
cũng là trực giao.

    
1 

 1

   1 

1

Đối với một ma trận trực giao : ATA = I , ta có:
      2    1

Yếu tố quyết định của một ma trận trực giao là: |A| = ±1
Giả sử rằng y = 𝒜x đƣợc biểu diễn trong một hệ tọa độ bằng phƣơng trình ma
trận: y = Ax .Sau đó, <y|y> đƣợc đƣa vào trong hệ tọa độ bằng cách:
y  y  x  x  x x

 Ma trận Unita
Một maa trận Unita A đƣợc định nghĩa là một ma trận mà:
A+ = A-1
Rõ ràng, nếu A là thực thì A+ = AT, cho thấy rằng một ma trận trực giao là một
trƣờng hợp đặc biệt của một ma trận Unita, trong đó tất cả các số hạng là thực. Lƣu
ý, nghịch đảo A-1 của một Unita cũng là Unita, vì:

    
1 

 1

   1 

1



Ta có: A+A=I nên            1
Yếu tố quyết định của ma trận Unitacó đơn vị mơđun
Nếu y = 𝒜x đƣợc biểu diễn trong một số hệ tọa độ bằng phƣơng trình ma trận :
y = Ax, sau đó <y|y> đƣợc đƣa vào hệ tọa độ bằng cách:
y  y  x   x  x  x

 Ma trận có liên hợp Hermite

Một tập hợp cuối cùng của ma trận đặc biệt bao gồm các ma trận có liên hợp
Hermite, mà:
AA+ = A+A

16


Tức là một ma trận có liên hợp Hermite là một giao hoán với liên hợp Hermite.
Chúng ta dễ dàng chứng minh ma trận Hermite và ma trận Unita về ma trận có liên
hợp Hermite. Đối với ma trận Hermite, A = A+ và do đó:
AA+ = AA = A+A
Tƣơng tự nhƣ vậy, đối với ma trận Unita: A-1 = A+ và do đó:
  1  1   

Lƣu ý, nếu A là liên hợp Hermite thì nghịch đảo của nó là A-1
1  1   1                1    1   1


1

1

1



1.2.4. Trị riêng và vectơ riêng của ma trận
Giả sử rằng một tốn tử tuyến tính 𝒜 biến đổi vectơ x trong một không gian
vectơ N chiều thành vectơ khác 𝒜x trong cùng một không gian. Khả năng đặt ra
rằng là có thể tồn vectơ x trong số đó đƣợc chuyển hóa bởi 𝒜 vào một bội số của

chính nó. Vectơ nhƣ vậy sẽ phải đáp ứng:
𝒜x = λx
Vectơ x#0 bất kì nào thỏa mãn đối với một số giá trị của λ đƣợc gọi là vectơ
riêng của tốn tử tuyến tính; 𝒜 và λ đƣợc gọi là giá trị riêng tƣơng ứng.
 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận có liên hợp Hermite
Trong các phần trƣớc, chúng ta đã định nghĩa một ma trận có liên hợp Hermite
A là một ma trận có thể liên hợp với liên hợp Hermite của nó, do đó:
A+A = AA+
Bây giờ chúng ta thảo luận về tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng của ma
trận có liên hợp Hermite.
Nếu x là một vectơ riêng của một ma trận có liên hợp Hermite A tƣơng ứng với
giá trị riêng λ thì sau đó:
Ax = λx hoặc tƣơng đƣơng : (A – λx)x = 0
Biểu thức: B = A – λI thì Bx = 0 , lấy liên hợp Hermite ta có:
(Bx)+ = x+B+ = 0
→ (Bx)+ = x+B+Bx
Tuy nhiên, B+B đƣợc cho bởi:

17


                        


          

A là liên hợp Hermite , thì ta có: AA+ = A+A và do đó:
                       


Và do đó B là liên hợp Hermite. Từ đó ta thấy:
x   x  x   x    x   x  0


Từ đó ta thu đƣợc:  x        x  0
Vì vậy, đối với một ma trận A có liên hợp Hermite, giá trị riêng của A+ là liên
hợp phức tạp của các giá trị riêng của A.
Bây giờ chúng ta xét hai vectơ riêng xi và xj của ma trận có liên hợp Hermite A
tƣơng ứng với hai giá trị riêng khác nhau xi và xj. Chúng ta có:
x i  i x i

x j   j x j

Nhân vế trái với  x i  ta có đƣợc:


x 

i 

x j   j  xi  x j


Tuy nhiên, trên LHS chúng ta có:

x 

j 

    xi      xi   i  xi 







Ta viết:  xi  i xi   i   j   xi  x j  0


Nhƣ vậy, nếu i   j thì vectơ riêng của xi và xj phải trực giao, tức là:

x 

i 

xj  0

Nếu tất cả N giá trị riêng của một ma trận A có liên hợp Hermite là khác nhau thì
tất cả N vectơ riêng của A là trực giao lẫn nhau. Tuy nhiên, nếu hai hay nhiều giá trị
riêng đều giống nhau thì đƣợc cho là cần thiết. Giả sử, λ1 thối hóa k lần; tức là:
x i  1 x i với i=1,2,…k

18


Nhƣng nó khác với bất kì λk+1, λk+2, … sau đó, sự tổ hợp tuyến tính của các xi
cũng là một vectơ riêng và giá trị riêng của λ1 nên : z   i 1 Ci xi
k

k

k

k

i 1

i 1

i 1

z   Ci xi   Ci xi   Ci 1 xi  1 z

Nếu xi đƣợc định nghĩa là chƣa trực giao lẫn nhau thì chúng ta có thể xây dựng
vectơ riêng zi mới chƣa trực giao, nhƣ sau:
z1  x1
 ^    ^
z 2 x 2  x 2   z1  x 2  z1
 


….
 ^    ^
 ^    ^
z k  x k   z k 1  x k  z k 1  ...   z1  x k  z1



 


Cách xây dựng đó đƣợc gọi là sự trực giao Gram-Schmidt.
- Vì vậy, ngay cả khi A có một số giá trị riêng thối hóa thì chúng ta có thể xây
dựng bằng cách xây dựng đƣợc một tập hợp các N vectơ riêng trực giao lẫn nhau.
- Nhƣ một kết quả tùy ý, vectơ y đƣợc biểu diễn nhƣ một sự tổ hợp tuyến tính
của các vectơ riêng xi :
y   ai x i với ai   xi  y
N



i 1

Nhƣ vậy,vectơ riêng tạo thành một cơ sở trực giao cho khơng gian vectơ bằng
cách xác định bình thƣờng hóa các vectơ riêng để  x i  x i  1 để cơ sở là trực giao.


 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận Unita
Một ma trận Unita thỏa mãn : A* = A-1 và là cũng là một ma trận có liên hợp
Hermite, với vectơ riêng trực giao lẫn nhau.
Để làm rõ các giá trị riêng của ma trận Unita, chúng ta lƣu ý rằng : Ax = λx ,
sau đó:
x x  x  x    x x

19


Và chúng ta suy ra :      1 . Nhƣ vậy, giá trị riêng của ma trận Unita có
2

đơn vị mơđun.
 Vectơ riêng và giá trị riêng của một ma trận vng
Khi một ma trận N×N là khơng có liên hợp Hermite, khơng có đặc tính chung
của vectơ riêng của nó thì khơng thể tìm thấy tập hợp trực giao của N vectơ riêng
hoặc thậm chí để tìm cặp vectơ riêng trực giao (trừ một số trƣờng hợp đặc biệt).
Trong khi N vectơ riêng không trực giao thƣờng độc lập tuyến tính và do đó tạo thành
cơ sở cho khơng gian vectơ N chiều. Nó có thể đƣợc hiển thị (mặc dù chúng ta không
chứng minh điều đó) mà bất kì ma trận N×N với giá trị riêng khác biệt có N vectơ
riêng độc lập tuyến tính , do đó tạo thành một cơ sở cho khơng gian N chiều.
Nếu một ma trận vng chung có giá trị riêng thối hóa, sau đó nó có thể hoặc
có thể khơng có N vectơ riêng độc lập tuyến tính. Một ma trận mà vectơ riêng
khơng phải là độc lập tuyến tính đƣợc gọi là khiếm khuyết.
 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận Hermite và không Hermite
Đối với một ma trận có liên hợp Hermite thì nếu : Ax = λx thì A+x = λ*x . Tuy
nhiên, nếu A là Hermite thì A = A+ thì λ = λ* . Nhƣ vậy, giá trị riêng của Hermite là
thực và có thể chứng minh trực tiếp.
Đối với vectơ riêng bất kì xi , chúng ta hãy liên hợp Hermite của x i  i x i để:

x 

i 

  i  xi 



Sử dụng A+ = A , vì A là Hermite và nhân vế phải với xi , ta đƣợc:

x 

i 

xi  i  xi  xi


Nhƣng nhân x i  i x i ở bên trái với (xi)+ ta đƣợc:

x 

i 

xi  i  xi  xi


Trừ hai vế ta đƣợc: 0   i  i  xi  xi


Kết quả này có ý nghĩa đối với sinh viên học mơn Cơ học lƣợng tử. Trong Cơ học
lƣợng tử, các giá trị riêng tƣơng ứng với giá trị đo đƣợc của các đại lƣợng quan sát

20