SKKN Mot so dang toan ve DT HS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (378.95 KB, 48 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

phần I

Mở đầu

1. Lớ do chn tài:

Toán học là mơn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều
lĩnh vực khác nhau. Các thành tựu của tốn học ln góp phần to lớn vào việc
cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của lồi ngời ngày một
tốt đẹp hơn.

Tốn học là một môn khoa học rất cần sự logic và phân tích giỏi, nó có
ứng dụng rất rộng rãi trong đời sống xã hội. Toán học giúp cho ngời học tính
tốn nhanh, t duy tốt, tính chính xác cao – lơgic hợp lí, tính khoa học. Dạy
tốn học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông
cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất,
năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để
nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải
tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi ngời.

Trong chơng trình tốn bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn
đại số là "Số" và "Hàm số". Khái niệm "Hàm số" xun suốt chơng trình mơn
đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của mơn đại
số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng ứng, phần
hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều. Tuy vậy bài tập về hàm số thì
thật là nhiều dạng và khơng thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm
hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết
quả của học sinh không cao.

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của
đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh cịn rất lúng

túng chính vì vậy tơi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "Một số dạng toán
về hàm số và đồ thị hàm số".

2. Mục đích nghiên cứu:

Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra
một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác,
có nhiều nội dung ứng dụng phong phú. Hàm số còn đợc coi là cơng cụ giải
quyết một số bài tốn khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng
trình.

3. NhiƯm vơ nghiªn cøu:

Thơng qua q trình giảng dạy thực tiễn, hỏi han ý kiến của các đồng
nghiệm đi trớc có nhiều kinh nghiệm, tiếp xúc và trò chuyện với học sinh, trực
tiếp đánh giá sự tiếp thu kiến thức của học sinh; tơi nhận thấy rằng đa số các
em cịn sử dụng kiến thức về hàm số trong việc giải các bài tập có liên quan
cịn máy móc, cha linh hoạt; nhiều em cha hiểu kĩ đợc kiến thức cơ bản của
mảng kiến thức về hàm số. Chính vì vậy, việc áp dụng cũng nh khai thác sâu
kiến thức về hàm số và đồ thị hàm số để giải các bài toán tìm cực trị, giải
ph-ơng trình, bất phph-ơng trình của học sinh cịn gặp nhiều khó khăn – và đây
cũng là một vấn đề – môt nhiệm vụ mà tôi mạnh dạn tìm hiểu, đi sâu để cuối
cùng đa ra một chuyên đề thực sự hữu ích cho các đồng nghiệp và các em học
sinh tham khảo. Trong quá trình nghiên cứu và viết đề tài, tơi cịn gặp nhiều
thiếu sót mong các thầy cơ góp ý để đề tài ny ngy cng hon thin v y
hn.

4. Đối tợng, phạm vi nghiên cứu:

- i tng nghiờn cu: Mt s dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong
ch-ơng trình tốn THCS (lớp 7 và 9)

- Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức về hàm số để giải một
số dạng tốn: tìm tập xác định, tìm giá trị của hàm số; xác nh cụng thc ca
hm s; ....

5. Phơng pháp nghiên cứu:

- Phơng pháp quan sát s phạm: quan sát học sinh khi cho các em làm bài tập,
khi xét khả năng thực lực của các em đến đâu, các em trao đổi nh thế nào?
trao đổi những gì?

- Phơng pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy đợc những
vớng mắc của học sinh khi giải một s dng toỏn v hm s.

- Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ và trò chuyện với các
giáo viên dạy trực tiếp hoặc các giáo viên cã nhiỊu kinh nghiƯm.

- Phơng pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động của học sinh: Vở bài tập và bài
kiểm tra của học sinh.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Phần II

Ni dung ti

Chơng I: lý thuyết cơ bản

lm tt cỏc bi tp v hàm số và đồ thị trớc hết chúng ta và học sinh
cần nắm vững khái niệm hàm số.

I. Kh¸i niƯm hµm sè:

Khái niệm hàm số đợc định nghĩa theo quan điểm hiện đại " Hàm số là
một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập hợp số"

Tríc tiên ta làm quen với ánh xạ:

1. ánh xạ:

a. Định nghÜa:

Cho tập hợp Xvà Y 

:

f là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y

lµ một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x



X víi mét vµ chØ mét y



Y
KÝ hiƯu: f: X Y

x  y = f(x)

Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f
Y là tập đích của ánh xạ f

PhÇn tư y = f(x)

Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

b. Các loại ánh xạ:
* Đơn ánh

ánh xạ: f: X Y

x  y = f(x)

ánh xạ f là đơn ánh  x1, x2



X: x1 x2 thì f(x1) f(x2)

Hoặc x1, x2

X: x1 x2 thì f(x1) = f(x2) th× x1= x2

VÝ dơ: f: R R

x  y = f(x) = 3x

* Toàn ánh: ánh x¹ f: X Y

x  y = f(x)

ánh xạ f là toàn ánh y

Y thì x

X: (x) = y

Hoặc f là toàn ánh phơng trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y

Y cho
trớc

Ví dụ: f: R R

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lµ mét toµn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x =

2
y

vi y xỏc nh.

* Song ánh: ánh xạ f: X Y

x  y = f(x)

ánh xạ f là song ánh  f là đơn ánh và f là tồn ánh

2. Hµm sè:

a. Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm
tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.

Trong chơng trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái
niệm hàm số đợc trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (đợc nhắc lại trong sách
giáo khoa lớp 9) nh sau:

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho
t-ơng ứng mỗi giá trị x



X một và chỉ một giá trị y



Y mà kí hiệu là y = f(x)

Ngêi ta viÕt:f: X Y

x  y = f(x)

X là tập xác định, x



X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x.
Trong chơng trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm
hàm số ở toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại
lợng biến thiên và nhận các giá trị số. Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho:
Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc
gọi là hàm số của x và x gọi là biến số"

* Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều có

thuộc tính bản chất:

+ X vµ Y lµ hai tËp hỵp sè

+ Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x



X đều xác định duy nhất một số y



Y
+ Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi

+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y l i lng bin
thiờn ph thuc

b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)

+ th ca hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ
có toạ độ (x; f(x)) với x



+ Chó ý:

- Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngợc lại
- Điểm M(xM; yM)



đồ thị hàm số y = f(x) yM= f(xM)

c. Cách cho một hàm số:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng giá trị

+ Cỏch 3: Cho bng th hm s

II. Các hàm số trong ch ơng trình THCS:

1. Hàm số bậc nhất:

a. §Þnh nghÜa:

Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b, trong đó
a, b là các hằng số xác định a 0, x



b. Tính chất:
+ Tập xác định: R

+ Tính biến thiên: a > 0 thì hàm số đồng biến trong R
a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R
c. Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x



R) là đờng thẳng đi qua điểm A(0;b)
và điểm B( b

a

 ; 0)

+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ

2. Hàm số bậc hai

a. Định nghĩa:

Hm s bc hai là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax2 + bx + c với a, b, c

lµ c¸c h»ng sè (a 0, x



R)
b. TÝnh chÊt:

- Tập xác định: R
- Tính biến thiên:

a > 0: Hàm s ng bin trong (

2a
b

; +

) và nghịch biến trong (-

;

2a
b
)

a < 0: Hàm số nghịch biến trong (

2a
b

 ; +



) và đồng biến trong (-



;

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c. Đồ thị:

th hm s y = ax2 + bx + c (a 0, x



R) là Parabol (P) có đỉnh là D(

2a
b
 ;

-4a


); nhận đờng thẳng x =

2a
b

 là trục đối xứng

Chơng II: Một số dạng bài tập
Dạng 1: tìm tập xác định của hm s

1. Định nghĩa:

Tp xỏc nh ca hm s y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức 
f(x) có nghĩa

V× vËy:

- Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x



- Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: {x



R/ mẫu
thức 0}

- Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định: {x



R/ biểu
thức trong căn 0}

2. VÝ dơ:

+ VÝ dơ 1: Hµm sè y = 5x- 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =

x2 2cã TX§: {x



R/ x 0}
+ VÝ dụ 3: Hàm số y = 4x1 có TXĐ:













4
1

x
R
x

3. Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:

a. y = x – 3 x+2

b. y =

3
5
2
1






x
x

3

-x
x2

c. y = x2 4 2 x

Dạng 2: tìm tập giá trị của hàm số

Tập giá trị của hàm số: f: X Y

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

là tập giá trị y

Y sao cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x

1. Cách giải:

+ Cỏch 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá
trị của y.

+ Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm trong tập
xác định.

2. VÝ dô:

* VÝ dô 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 víi x



[-1; 1]

Gi¶i

Ta cã x -1 2x -2 2x – 5 -7 hay y -7
x 1  2x 2  2x-5 -3 hay y -3

VËy miỊn gi¸ trị của hàm số y = 2x 5 với x



[-1; 1] lµ y



[-7; -3]

* VÝ dơ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 6 7 x

Gi¶i

x
x

x

x 6 7   67 =1 hay y 1

Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6  7 x víi x



R lµ y



R, y 

* VÝ dơ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 2x + 3 víi x



[2; 3]

Gi¶i:

Hàm số y = x2+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1

VËy víi x



[2; 3] ta cã y(2)  y(3)  3 y 6

Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 + 2x + 3 víi x

[2; 3] là [3; 6]

*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 4 x + 3

Giải:

TXĐ của hàm số là R

Xét phơng trình x2- 4 x +3 = y  ( x - 2)2 = y + 1

Phơng trình có nghiệm khi y + 1 0  y -1

3. øng dông:

ø ng dơng 1: T×m giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x – x2 – 2

Gi¶i:

Ta cã y = 2x – x2- 4

= -(x2- 2x + 1) – 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

2
x
x
x
2
2



x 6 (1)

Gi¶i:

Hàm số có tập xác định: R vì x2 + x + 2 = (x +

2
1

)2 +

4
7

Giả sử y là một giá trị của hàm số phơng trình

2
x
x
x
2
2

x 6= y có

nghiệm  (y - 1)x2+ (y - 1)x + 2y – 6 = 0 (2) cã nghiƯm

+XÐt y = 1 ph¬ng trình (2) vô nghiệm

+Xét y 1 phơng trình (2) cã nghiÖm   0

 (y -1)2- 4(y – 1)(2y - 6)

 0
 (y - 1)(23 – 7y) 0

1< y
7
23

Vậy giá trị của hµm sè lµ 1< y 
7
23

+ Víi y =

7
23

ta cã x =

2
1

 vËy hµm sè cã giá trị lớn nhất là

Max y =

7
23

tại x =

2
1


+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dới dạng:
Tìm x



R để hàm số y =

2
x
x
x
2
2




x 6 nhËn giá trị nguyên

Biến đổi: y =1 +

2
x
x
4
2



Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y



Z  x2 + x + 2 nhn giỏ tr

là ớc nguyên của 4.

Sai lầm trong lời giải ở chỗ x

R nên x2 + x + 2 có thể nhận giá trị

không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán
+ Cách giải từ việc có miền giá trị 1< y 

7
23

ta chØ ra y



Z  y = 2
hoặc y = 3

Giải phơng trình

2
x
x
x
2
2

x 6=2

 x2 + x + 2 = 0  x = 1; x = -2


x 6=3

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

VËy x



{-2; -1; 0; 1} th× y



*

ø ng dụng 2 : Giải phơng trình f(x) = g(x) (1)

Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ
vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xác định D chung
của chúng:
Nếu









m

x

g

m

x

f

)

(

)

(

víi x



D th× f(x) = g(x)

m

x

g

m

x

f

)

(

)

(

(2)

Nếu x0

D thoả mÃn (2) thì x0 là nghiệm của phơng trình (1)

Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x2 2= x 1 x 2  2x 3 4x 13 (1)

+Tập xác định: R

+Ta cã VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x - 3)2 7 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi x

= 3

VP = x 1 x 2 2x 3 4x 13  7

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 x

4
13

+ Vậy phơng trình (1)

7

13

4

3

2

1

7

2 x

-6x

x

x = 3

Kết luận phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 2:

Giải phơng trình: – 16x4+ 72x3– 81x2 + 28 = 16(x – x 2) (3)

Ta cã VT = – 16x4+ 72x3 – 81x2 + 28 = 16

















 2
2
4
9
4
7
x

x  28

DÊu b»ng x¶y ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =

4
9

Đặt x 2= t 0 x = t2 + 2 ta cã VP = 16(t2 – t + 2)

= 16

















4
7
2
1 2

t  28

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t =

2
1

 x =

4
1

+2  x =

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Vậy phơng trình (3)

28 VT

VP

x = 4
9

Kết luận nghiệm của phơng trình là x =

4
9

4. Bài tập:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu cã) cđa hµm sè y = x2- 3x + 1

trên đoạn: a. [-3;1] b. [0;2]

Bài 2: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 3 















a
b
b
a
a
b
b
a
8
2
2
2
2

Bµi 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phơng trình

1

2

1 a

y

x

2
2

y

a

x

Tìm a để x, y có giá trị lớn nhất
Bài 4: Giải phơng trình

a. 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2










b. 2 4 2 6 11







 x x x

x

Dạng 3: xác định cơng thức hàm số
1. Khi biết tính chất đồ thị hàm số

Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1- 1 nên ta sẽ xác định đợc
cơng thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng

a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có 
tính chất: Đi qua điểm A(x1;y1) v im B(x2;y2)

Giải:

Vì A(x1;y1)

d nên ax1 + b = y1

B(x2;y2)



d nªn ax2 + b = y2

Ta có hệ phơng trình

2
2
1
1

ax

y

b

ax

y

b

giải hệ phơng trình ta có a, b

Kết luận công thức hàm số.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Giải:

Vì A(1;1)

d nên a.1 + b = 1
B(-1;2)



d nên a(-1) + b = 2

Ta có hệ phơng trình:

2

1 a

b

a

b

2

3

2

1 -a

b

Kết luận hàm số cần tìm là y =

2
3
2
1

x

b. Đồ thị đi qua điểm A(x1;y1) và song song với đờng thẳng d' có phơng

tr×nh y = a1x + b1 (a 0)

Giải:

Vì A(x1;y1)



d nªn ax1 + b = y1  b = y1 ax1

Vì d song song với d' nên a = a1

Kết luận hàm số cần tìm là y = a1x + y1 – ax1

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;

2
1

) vµ song

song với đờng thẳng d' cú phng trỡnh y = 2x -

2
1

Giải:

Vì A(1;

2
1

)



d nªn a + b =

2
1

Vì d song song với d' nên a = 2 do đó: b =

2
3

Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x

2
3


c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và vng góc với đờng thẳng d' có

ph¬ng tr×nh y = a1x + b1 (a 0)

Giải:

Vì A(x1;y1)

d nên ax1 + b = y1

Vì d vuông góc với d' nên aa1 = -1  a =

a
1

nªn b = y1+

a
1

Kết luận hàm số cần tìm là: y = x
1

a
1

-+ y1 +

a
1

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và vng

góc với đờng thẳng d cú phng trỡnh y =

2
3

x

2
1

Giải:

Vì A(1; 1)

d nên a + b = 1(*)

Vì d vuông góc víi d' nªn aa1 = -1  a = 2 thay vµo (*) ta cã: b = -1

KÕt luËn hàm số cần tìm là y = 2x 1

d. Đồ thị qua điểm A(x1;y1) và tiếp xúc với Parabol (P): a'x2 + b'x + c' (a 0)

Giải:

Vì A(x1;y1)

d nªn ax1 + b = y1 (1)

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nên phơng trình hồnh độ

giao ®iĨm: ax + b = a'x2 + b'x + c' cã nghiÖm kÐp

 a'x2 + (b' – a)x + c' – b = 0 cã nghiÖm kÐp

 =(b' - a)2- 4a'(c' – b) = 0 (2)

Giải hai hệ phơng trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận cơng thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm
A(-1;2) và tiếp xúc với Parabol

Lời giải: vì (d) đi qua điểm A(-1;2)

d nên: –a + b = 2 (1)

Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 + 1 nên phơng trình hồnh độ giao

®iĨm: ax + b = x2 + 1 cã nghiÖm kÐp

 x2 – ax + 1 – b = 0 cã nghiÖm kÐp

 = a2 - 4(1 – b) = 0 (2)

Ta cã hƯ ph¬ng trình:

4

2

a-2

b

a

b

4 )2

(4

2 a

a

b

0 )2

(

2 a

b

2

0 a

b

Vậy hàm số cần tìm là y = -2x

2. Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol(P)

a. §i qua 3 điểm phân biệt A(x1;y1), B(x2;y2) , C(x3;y3)

Giải:

Vì A(x1;y1)

(P)nên ax12+ bx1+ c = y1 (1)

Vì B(x2;y2)

(P)nên ax22+ bx2+ c = y2 (2)

Vì C(x3;y3)

(P)nªn ax32+ bx3+ c = y3 (3)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

KÕt luận công thức hàm số

Vớ d: Xỏc nh hm s bậc hai y = ax2 + bx + c có th l Parabol (P) i

qua 3 điểm phân biệt A(-1; 0), B(0; 3), C(1; 0)

Giải:

Vì A(-1;0)

(P) nên a- b+ c = 0 (1)
Vì B(0;3)

(P) nên c = 3 (2)
Vì C(1;0)

(P) nên a+ b+ c = 0 (3)

Ta có hệ phơng trình:

0

3

0 c

b

a

c

b

a

3

0

3 c

b

a

Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = - 3x2 + 3

b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x0, y0) v i qua im A(x1;y1)

Giải:

Vì A(x1;y1)

(P) nªn ax12+ bx1+ c = y1 (1)

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên x0

-b

2a (2)

- y0

4a (3)

Giải hệ gồm ba phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận cơng thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

đi qua điểm A(-1; 2) và có đỉnh là D(1; 2)
Giải:

Vì A(-1;2)



(P) nên a + b + c = 2 (1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên 1

2a
b

-(2)
2
4
4
2  2  



a
ac
b
4a
- (3)

Ta cã hƯ ph¬ng tr×nh

2
2
1
2

4
2
4

a b c
b
a
b ac
a

   






 
 




























0

8

4

0

2 ac

a

b

a

c

b

a





















1

2

1 c

b

a

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

c. (P) có toạ độ đỉnhD(x0, y0) và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = a'x + b'

Gi¶i:

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên x0

-b

2a (1)

- y0

4a (2)

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên phơng trình hồnh độ:

ax2 + bx + c = a'x+b' cã nghiÖm kÐp

 ax2 + (b – a’)x + c - b' = 0 cã nghiÖm kÐp

 = (b - a' )2– 4a(c - b' ) = 0 (3)

Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c.

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

nhận D(1; 1) là đỉnh và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x – 2.
Giải:

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên 1

2a
b

-; 1

4
4
1
2






a
ac
b
4a

-(2)

Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x –2 nên phơng trình hoành độ
ax2 + bx + c = 2x – 2 có nghiệm kép

 ax2 + (b – 2)x + c– 2 = 0 cã nghiÖm kÐp

 = (b - 2 )2 – 4a(c - 2 ) = 0 (3)

Ta có hệ phơng trình:

( 2) 4 ( 2) 0

1
2

4
1
4

b a c

b
a

b ac
a

    






 
 



2
2

4 8 4 4 0

2 0

4 4 0

b ac a b

a b

b ac a

     

 


  


2
2 0

12 4 4 0

4 4 0

a b

a b

b ac a

  

  


  



















2

1 c

b

a

VËy hµm số cần tìm có công thức y = x2 - 2x + 2

3. Bµi tËp:

Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = -2x – 1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b. Viết phơng trình đờng thẳng vng góc với đờng thẳng d và đi qua điểm
N(-1;5)

Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax2 + bx + c đi qua O(0; 0) và có

đỉnh là D(1;-1)

Bµi 3: Cho Parabol (P): Y = ax2 + bx + 1 (a


2
1

)

a. Xác định a, b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đờng thẳng d: y = 2x + 1
b. Với a, b vừa tìm đợc vẽ Parabol(P) và đờng thẳng d trên cùng một mặt

phẳng toạ độ

4. Xác định công thức hàm số khi biết phng trỡnh hm

Ví dụ 1: Tìm f(x) của hàm sè biÕt f(1+1

x) = x

2 – 1 vµ f(0) = 0

Gi¶i:

+Với x 0 ta đặt 1+

x
1

= t råi rót x theo t ta cã: x =

-t

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (

1

-t

)2 1 f(t) =

2
1)

-(t
t)

-t(2

Vì tơng ứng hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu nên coi f(x) = 2

1)

-(x
x)

-x(2

+Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm đợc ta có f(0) = 0
Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 2

1)

-(x
x)

-x(2

VÝ dơ 2: T×m biĨu thøc f(x) cđa hµm sè biÕt: f(x) + 2f(1

x) = x
2

Tõ c«ng thøc ta thay x bëi 1

Ta cã:  

2











































x
1
x
2f
x
1
f
x
1
x
1
1
2f
x
1
f
2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>























































2
2

1 )

(

2

1

2 )

(

x

f

x

f

x

f

x

f





2
2
2

2

1

2

4

1

2 )

(

x

f

x

f

x

f

x

f

2
4

3
2
)
(
x
x
x

f

Vậy công thức hàm số là f(x) = 2

4
3
2
x
x

Bµi tËp:

Bài 1: Xác định biểu thức f(x) biết

a. ( 1)2

2
1  






 x
x
x
x

f vµ f(1) = 0

b. 






 1
x
x

f =

1
4 
 x
2
3x
8x

-4

víi x 1 vµ f(1) = 0

c. 






 x
x
f

2 = 4 ( 2 4)


 x
x
2
5x

-4

-10x

và f(2) = -1
Bài 2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết



















































x

g

x

f

x

g

x

f

1

2

1

2 )1

2(





 

























x

g

x

f

x

g

x

f

2

3

2

1

3

1

6 )1

3(

DạNG 4: đồ THị HàM Số
1. Nhắc lại về đồ thị hàm số:

a. Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng
toạ độ có toạ độ (x; f(x) ) với x



TXĐ

b. Đồ thị: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng
Cách vẽ:

- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn cơng thức hàm số
Chẳng hạn A(0; b ) và B(-

a
b

; 0)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

-1 0 1 2 3 4 x
-1 (Hình e1)

y
2
1

c. Đồ thị hµm sè bËc hai: y = ax2 + bx + c (a 0) là Parabol(P) có:

+ Đỉnh D 







  



a
a
b

4
;
2

+ Trục đối xứng: x =

2a
b


+ BÒ lâm quay lªn trªn khi a > 0; BỊ lâm quay xuèng díi khi a < 0

d. Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối (hình 1d) y

Chẳng hạn: y = x =

0 x

với

x

-0

x

với

x

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của góc vuông I và II (hình1d)

0 x

e. Đồ thị phần nguyên: y = x trong đó x l ký hiu s nguyờn ln

nhất không vợt quá x

+ Đồ thị hàm số y = x víi –1 x < 3 cã d¹ng bËc thang nh (h×nh e1)

y =











3
x
2
víi
2

2
x
1
víi
1

1
x
0
víi
0

0
x
1
-
víi
1

-f. NhËn xÐt:

* Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung.

*Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận trục tung

làm trục đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần:
+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x 0

+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung

* y =x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số

mà chỉ cần vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ.

2. VÝ dơ:

*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x +3

+ TX§: x



</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

-1 0 1 2 3 4 x
-1

3
2
1

-1 0 1 x
-1

Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: y

x ...0 1 2 3 4...

y ...3 0 -1 0 3...

Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đờng
thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

*Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - x

+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến.

y = 2x - x =











0 x

víi

3x

0 x

víi

x

+ B¶ng giá trị:

x ...0 1 -1...

y ...3 1 -3...

+ Đồ thị:

-3

Đồ thị hàm số y = 2x - x có dạng nh hình ở trên

3. ứng dụng: Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa hµm sè

Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ
nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất). Vì vậy khi tìm
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm
cao nhất (thấp nhất) của đồ thị.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Ta cã y =





















1)

x

(

3 2x

-2)

x

(1

1 2)

(x

3 2x

Đồ thị hàm số gồm các phần đờng thẳng y = 2x – 3 (x > 2)

y = 2x + 3 (x < 1) và đoạn y = 1 (1 x 2)
Vậy giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè lµ Min y = 1 khi x = 1 hoặc x = 2

4. Bài tập

Bài 1: Cho hµm sè y = 2 4 4 4 2 4 1







 x x x

x + ax

a. Xác định a để hàm số luôn đồng biến

b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị của hàm
số với a vừa tìm đợc

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2 4 4 2 6 9 3 2 2 1










 x x x x x

x

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ x0y vẽ tập hợp các điểm M(x;y) mà toạ độ 
(x;y) thoả mãn x 1+ y 2=1

Dạng 5: vị trí tơng đối giữa các đồ thị

C¬ së lÝ thuyÕt:

+Điểm M(xM;yM)



đồ thị hàm số y = f(x)  yM = f(xM)

+ Vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số
điểm chung của hai đồ thị.

Giả sử M(xM;yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x)

 M



đồ thị hàm số y = f(x) và M



đồ thị hàm số y = g(x).

 yM= f(xM) vµ yM= g(xM)

 (xM;yM) lµ nghiƯm cđa hệ phơng trình

g(x)

y

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Vy v trớ tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc vào

sè nghiƯm cđa ph¬ng trình

g(x)

y

f(x)

y

1. Cách giải:

a. Bi toỏn xỏc nh v trớ tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và
y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc 2)

+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị hàm số là nghiệm của hệ









(2)

g(x)

y

(1)

f(x)

y

+ Phơng trình hồnh độ: f(x) = g(x) (3)

+ Số nghiệm của phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số
y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc 2)

Hai đồ thị cắt nhau  phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt
Hai đồ thị tiếp xúc  phơng trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị khơng cắt nhau  phơng trình (3) vơ nghiệm

* Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của
ph-ơng trình (3)

* Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phơng trình (3) tìm
hồnh độ x = x0, dựa vào phơng trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ tơng

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

KÕt ln chung

1. Chó ý:

Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng d: y = ax + b và d1: y = (2m – 3)x + 2

+ d song song víi d1  a = a1; b  b1

+ d c¾t d1  a a1

+ Đặc biệt d vuông góc với d1 aa1= -1

+ d trïng víi d1  a = a1; b = b1

2. VÝ dơ:

Ví dụ 1: Cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d1: y = (2m – 3)x + 2

a. Biện luận theo m vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Gi¶i:

+ d // d1 











2 2m

3 -2m

m













1 m

3 m

 m = 3

+ d c¾t d1  m 2m – 3  m  3

+ Khơng có giá trị nào của m để d trùng với d1

b. Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vng góc. Xác định toạ độ
điểm chung cho từng trờng hợp.

Gi¶i:

+ d vu«ng gãc víi d1  m(2m – 3) = -1

 2m2 – 3m + 1 = 0

 m = 1 hc m =

2
1

+ Víi m = 1 ta cã d: y = x + 2 vµ d1: y = -x + 2 vu«ng gãc víi nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ















2 -x

y

2 x

y



x








y 2
0

Vậy: với m =1 hai đờng thẳng vng góc với nhau tại A(0; 2)
+ Với m =

2
1

ta cã d: y =

2
1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ



















2 -2x

y

2

1 y

x

1



x






 



6
y

2
5

VËy víi m =

2
1

hai đờng thẳng vng góc với nhau tạo B 






5
6
;
5
2

VÝ dơ 2:

Biện luận theo m vị trí tơng đối của đồ thị các hàm số y = x2 - 4x + m (P) và

y = 2x + 1 (d). Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc.

Gi¶i:

Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ















(2)

1 2x

y

(1)

m

4x

-

x

y

Phơng trình hồnh độ: x2 - 4x + m = 2x + 1  x2 - 6x + m – 1 = 0 (3)

+ (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt phơng trình (3) có hai nghiƯm ph©n
biƯt  = 9 – m + 1 > 0  m < 10

+ (P) tiÕp xúc với (d) phơng trình (3) có nghiÖm kÐp
 = 9 – m + 1 = 0

 m = 10

Với m = 10 phơng trình (3) trë thµnh x2 - 6x + 9 = 0  x = 3 thay vµo (2) ta

cã y = 7

VËy với m = 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm A(3;7)
+ (P) không giao nhau với (d) phơng trình (3) vô nghiệm
 = 9 – m + 1 < 0 hay m > 10

VÝ dơ 3:

Tìm m để đồ thị các hàm số y = x2 – 4x – 8 (P)

vµ y = mx2 + (m + 2)x + 8(P' ) có không quá một điểm chung

Giải:

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

(2)

8 2)x

(m

mx

y

(1)

8 4x

-

x

y

2
2

+ Phơng trình hồnh độ: x2 – 4x – 8 = mx2 + (m + 2)x + 8

 (m – 1)x2 + (m + 6)x + 16 = 0 (3)

+ (P) vµ (P') có không quá một điểm chung phơng trình (3) có không

quá một nghiệm.

- Xét m = 1, phơng trình (3) có dạng: 7x + 16 = 0  x = -

7
16

lµ nghiƯm
duy nhÊt.

VËy với m = 1: (P) và (P' ) cắt nhau tai một điểm

- Xét m 1: (P) và (P' ) có không quá một điểm chung 0

 (m+6)2 – 64(m – 1)  0

 m2 – 52m + 100

 0

 26 – 576 m  26 + 576 m 1

VËy (P) vµ (P' ) có không quá một điểm chung 26 - 576 m  26 +

576

3. øng dơng:

BiƯn ln sè nghiƯm của phơng trình f(x) = g(x)
* Cơ sở lí thuyết:

+ Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x=x0 khi đó giá trị tơng ứng của các

vÕ lµ f(x0) = g(x0) = y0

+ Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0;y0).

Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng toạ độ
thì số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phơng trình (1).

* Cách giải bài toán:

+ Bin lun s nghim ca phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp đồ
thị

+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C' )
trên cùng mặt phẳng toạ độ.

+ BiÖn luËn sè nghiÖm chung cđa (C) vµ (C' )  sè nghiƯm cđa phơng
trình.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Vớ d 1: Bin lun theo m số nghiệm của phơng trình x 1+ x 2 và 
y = m trên cùng một mặt phẳng toạ độ

y
3
2
1

0 1 2 3 x

+ Theo th ta cú:

m<1 phơng trình (1) vô nghiệm

m=1 phơng trình (1) có vô số nghiệm: 1 x 2
m>1 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phơng trình sau có nghiệm duy nhất

a
x

2 +1= x3 (1)

Giải:

Phơng trình (1) 2x a = x3 -1

XÐt hai hµm sè y = 2x a =

2
2

2
a
x a x

a
x a x

  

   


  



 

    

  



vµ y= x3 -1=









2 3

4 3

x x



Đồ thị hàm số có dạng: y

y= 2x a

y= x3 -1

2
-3 0

-4 -2 -1 1 a x

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

-2 -1 0 1 2 3 4
-1

Từ đồ thị ta có:
+ Nếu

2
a

<-4



2
a

>-2  a<-8



a>-4 thì đồ thị cắt nhau tại hai điểm
phân biệt nên phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

+ NÕu -4 <

2
a

< -2  -8 < a < -4 thì hai đồ thị khơng có điểm chung
nên phơng trình (1) vơ nghiệm.

+ Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất  hai đồ thị có một điểm

chung duy nhÊt:



















2

4

2 a

















4

8 b

a

VÝ dơ 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của k để phơng trình: ( x- 1)2 = 2 x k cú bn nghim

phân biệt.

Giải:

Ta cã (x - 1)2 = 2 x k  x k =  

2
1

-x 2  x- k =

 
2

1

-x 2















(2)

2k

1 -

x

(1)

2k

1 -4x

x

-

2
2

y
5

y=2k

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

a. Ta xÐt hai hµm sè y = -x2+4x-1 vµ y=2k

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ
y = -x2+4x-1 là Parabol(P

1) cã giao víi trơc tung lµ (0;-1) nhËn S(2; 3)

là đỉnh

y=2k là đờng thẳng (d) song song với trục 0x
b. Xét hàm số y=x2+1 và y=2k

Vẽ đồ thị hàm số trên cùng hệ trục toạ độ
y=x2+1 là Parabol(P

2) có đỉnh là S'(0;1)

y=2k là đờng thẳng song song với trục 0x

Khi đó phơng trình (x-1)2=2 x k có 4 nghiệm phân biệt  (d) ct (P
1) v

(P2) tại 4 điểm phân biệt 











2

3

2

1 k

















1

2

3

2

1 k

4. Bµi tËp:

Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau. Tìm
toạ độ tiếp điểm

a.(P): y=x2 vµ (D): y=4x-4

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bài 2: Chứng minh (P): y=mx2-2mx+(m-1) tiếp xúc với mọi đờng

thẳng cố định với mọi m  0

Híng dÉn:

Các đờng thẳng x=a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi a. Nên dờng
thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b

Vậy đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m  0

 =0 m 0

 (2m+a)2- 4m(m - 1- b) =0

m 0

 4m(a+1+b)+ a2 = 0

m 0












0 a

0 b

1 a

2 









1-b

0 a

Vậy đờng thẳng y=-1 luôn tiếp xúc với (P): y =mx2-2mx+(m-1)

m 0

Bài 3: Cho Parabol(P) y= x5+5x-5. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A(3;2) và

hÖ sè gãc m

a. Chứng minh đờng thẳng (d) luôn cắt (p) tại hai điểm phân biệt B, C.
b. Xác định m để BC có độ dài ngắn nhất.

Chó ý:

+ NÕu B(xb; yb); C(xc; yc) th× BC2=(xb- xc)2 +(yb- yc)2

+ NÕu BC > 0 nªn BCMin  BC2Min

Dạng 6: Điểm cố định (chùm đờng thẳng, chùm Parabol)

* C¬ së lý thuyÕt:

+ Điểm M (x0;y0)



đồ thị hàm số y=f(x)  y0=f(x0)

+ Hµm sè y=f(x) (cã phơ thc vào tham số m) luôn đi qua điểm M (x0;y0)

y0=f(x0) với mọi m

+ Phơng trình ax2+bx+c=0 có nhiều hơn hai nghiệm

0 c

b

a

1. Cách giải:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Gi sử M (x0;y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) đi qua với

mäi m.

Ta có: y0=f(x0) (1) đúng với mọi m

+ Biến đổi (1) về phơng trình chính tắc ẩn m (coi x0;y0 là tham số) có

nghiƯm víi mäi m suy ra các hệ số của phơng trình bằng 0 (2)
Giải hệ điều kiện (2) tìm x0;y0

+ (Th li) kt luận điểm cố định

2. VÝ dơ:

Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): y=(2m+1)x- 3m+2 đi
qua với mọi m.

Gi¶i:

Giả sử M(x0;y0) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) đi qua với m.

 y0=(2m+1)x0-3m+2 đúng với m.

 2mx0-3m+x0-y0+2=0 đúng với m.

 (2x0-3)m+(x0-y0+2)=0 đúng với m



















0

2

0

3

2

0
0
0

y

x















2

7

2

3

0
0

y

x

Vậy đờng thẳng đi qua điểm M(

2
7
;

2
3

) víi m

VÝ dơ 2:

Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): (-m2+m-2)y=(m2+m-3)x+2m-5 đi qua

víi m .

Gi¶i:

Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) đi qua với m

 (-m2+m-2)y

0=(m2+m-3)x0+2m-5 đúng với m

 (x0+y0)m2+ (x0+y0+2)m -3x0+ 2y0- 5 = 0 đúng với m

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

VÝ dơ 3:

Tìm điểm cố định Parabol(P): y = (m2-m+2)x2+(2m+3)x-4m2+1 đi qua với

mäi m.

Gi¶i:

Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (P) đi qua với mọi m.

 y0 = (m2-m+2)x02+(2m+3)x0-4m2+1 đúng với m

 (x02-4)m2 – (x02-2x0)m + 2x02 + 3 x0 + 1 - y0 = 0 đúng với m



























0

1

3

2

0

2

0

4

0
0

2
0

0
2
0

2
0

y

x











15

2

0
0

y

x

VËy (P) ®i qua ®iĨm M(2; 15) víi mäi m

Bµi tËp

Bài 1: Tìm điểm cố định mà mỗi đờng thẳng đi qua với mọi giá trị của tham
số

a. (d): y = (2m +1)x – 3m + 2
b. (b): (a-1)x + (2a+1)y = 3
c. (a): (2m+1)x + (3m-1)y = 4

Bài 2: Tìm m để các đờng thẳng đồng quy
(d1): 2x –3y = -1

(d2): (m-1)y = (m+1)x –2

(d3): (2m+1)x +(3m-1)y = 4

Dạng 7: Quỹ tích đại số

* C¬ së lý thut:

+ Điểm M(xM; yM) có toạ độ thoả mãn yM =f(xM) thì M thuộc đồ thị hàm

sè y = f(x)

+ Hàm số và đồ th ca nú tng ng l 1-1

1. Cách giải bài to¸n:

Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m

Gi¶i:

+ Biểu diễn toạ độ của M theo tham số

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị hàm số y = f(x)

* Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra
điều kiện của x để giới hạn quỹ tích.

2. VÝ dơ:

VÝ dơ 1:

Tìm tập hợp giao điểm nếu có của hai đờng thẳng
(d1): (m-1)x + 2y = 3

(d2): mx + y = -4

Gi¶i:

Toạ độ điểm chung M của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ:



















y

mx

y

x

m

)1

2 (





















8

2

3

2 )1

(

y

mx

y

x

m















4

11 )1

(

mx

y

x

m

























1

4

7

1

11 (

m

y

m

x

(m 1)

Ta cã























1

4

7

1

11 m

y

m

x

M
M
























1

11

7

1

11 m

y

m

x

M
M

 yM-xM = 7  yM=xM + 7

3. Bµi tËp

Bµi 1:

Cho Parabol(P)y = x2. Gọi A và B là giao điểm của đờng thẳng y = 2x + m

với (P). Tìm quỹ tích trung điểm của AB khi m thay đổi.

Bài 2: Cho Parabol(P)y = x2. Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ đợc hai tiếp

tuyến vng góc đến (P).

Bµi 3: Cho Parabol(P)y= x2 + 7x + 6. Tìm điểm M trªn trơc tung sao cho hai

tiÕp tun cđa (P) qua M vu«ng gãc víi nhau.
Híng dÉn:

+ M



Oy nên M có toạ độ M(0;a)

+ Giả sử đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y= kx + a (1) là tiếp tuyến
của (P)  Phơng trình hồnh độ x2 + (7 – k)x + (6 – a) = 0 (2) có nghiệm

kÐp.

 = (7 – k)2 –4(6-a) = 0  k2 – 14k + 25 + 4a = 0 (3)

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Phơng trình (3) có hai nghiệm k1.k2= -1

 4a + 25 = -1

 a =

2
13


Ch¬ng III: Bài tập tổng hợp

Bi 1: Trong cựng mt phng toạ độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (d)

là đồ thị hàm số y = -x + m

a. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; 1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc.
b. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có, và tìm toạ độ tiếp điểm
c. Gọi B là giao điểm của (d) ở câu 2 với trục tung. C là điểm đối xứng
của A qua trục tung. Chng t rng:

+ C nằm trên (P)

+ Tam giác ABC vuông cân

Hớng dẫn:

a. (P): y = x2

4
1

b. Phng trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là x2

4
1

 = -x + m 

x2+4x-4m = 0

Cho = 0 ta có m = 1 và tiếp điểm là A(2; 1)

c. Xác định các điểm: A(2;1); B(0;1); C(-2;-1)

Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vng cân

Bµi 2: Cho Parabol(P): y = x2 – 4x + 3

a. Chứng minh đờng thẳng y = 2x – 6 tiếp xúc với Parabol(P)
b. Giải bằng đồ thị bất phơng trình: x2 – 4x + 3 > 2x - 4

Bµi 3: Cho Parabol(P): y = x2

2
1

, điểm I(0;2) và điểm M(m; 0) víi m 0
a. VÏ (P)

b. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua I và M

c. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
A; B với m  0

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

2. Chứng minh độ dài đoạn AB > 4 với m 0

Hớng dẫn:

+ Đờng thẳng (d) y = x2

m
2

(m 0)

+ Phơng trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là mx2+4x-4m = 0 có

>0.

+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác HIK vng tại I.
+ Tính khoảng cách AB:

AB2=







4



. 1 4 16 4

2  











 AB

m
x

x
x

xA B A B

Bài 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol(P) y = -x2 + 4x – 3 và

đ-ờng thẳng (d): 2y + 4x 17 = 0
1. VÏ (P) vµ (d)

2. Tìm vị trí của điểm A



(P) và điểm B



(d) sao cho độ dài đoạn AB
ngắn nhất

Híng dÉn:

2. AB ngắn nhất tơng đơng với tiếp tuyến với (P) tại điểm A song song với
đ-ờng thẳng (d)

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d') tiếp xúc với (P) và song song với (d)
y = -2x + 6  A(3;0)

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d'') vng góc với (d') tại A. Xác định
giao điểm của (d'') với (d) để tìm B(4;

2
1

)
+ Kho¶ng cách AB =

5 là lớn nhất

Bi 5: Cho Parabol(P) y = x2 và hai điểm A;B thuộc B có hồnh độ x

A = -1;

xB= 2. Tìm M thuộc Parabol có hồnh độ x



 1;2 sao cho diện tích tam

gi¸c AMB lín nhÊt.
Híng dÉn:

+ Khoảng cách tam giác AMB lớn nhất tơng đơng với khoảng cách từ M đến
AB lớn nhất.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Bµi kiĨm tra

(Thêi gian: 60 )’

Câu 1: Khoanh trịn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng:

a, Hµm sè nµo lµ hµm sè bËc hai?

A. y = 2x -1 B. y = x2 + 5x C. y = 2x3 – x -6 D. y = 6x.

b, Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 1 2 5 1

3x  x lµ:

A. M(0; 1) B. N(-1; 1) C. (0; -1) D. (3; 5)
c, Đồ thị hàm số y = ax2 đi qua ®iĨm A (2; -1) cã hƯ sè a b»ng:

A. 1

4 B. 0 C. 2 D.
1



d, Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng y = 4 1
4

 x vµ y = 4x là:

A. Cắt nhau B. Trïng nhau

C. Song song víi nhau D. Vuông góc với nhau.

Câu 2:

a, Vit phng trỡnh ng thẳng đi qua gốc toạ độ O và điểm M(2; 4)
b, Viết phơng trình parabol dạng y = ax2 và đi qua điểm M (2; 4)

c, Vẽ parabol và đờng thẳng trên trong cùng một hệ trục toạ độ và tìm toạ độ
giao điểm của chúng.

Câu 3: Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:

2x2 +1 = m

Câu 4: Giải bất phơng trình sau bằng đồ th: x2 < x + 2

Đáp án và thang điểm

Cõu 1: 2đ (đúng mỗi câu đợc 0,5đ)

C©u A b c d

Đáp án B C D D

Câu 2: (4,5đ)
a, (1, 5đ)

ng thẳng đi qua gốc toạ độ có dạng: y = ax ( a khỏc 0)

Đồ thị hàm số đi qua M(2; 4) nªn: 4 = a. 2. Suy ra: a = 2 (thoả mÃn)
Vậy: Đờng thẳng cần tìm có dạng: y = 2x

b, (1,5đ)

Đồ thị hàm số y = ax2 đi qua M (2; 4) nên ta có:

4 = a. 22

Suy ra: a = 1 (thoả mÃn đk a khác 0)

Vậy: Phơng trình parabol cần tìm là: y = x2

c, (1,5đ)

- V chớnh xác và đẹp hai đồ thị hàm số trên đợc 1đ
- Tìm giao điểm đúng đựơc 0,5đ

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

- Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x và y = x2 là nghiệm của

phơng trình: x2 = 2x 2 1

2 0 ( 2) 0

2
x

x x x x

x




       




+ Với x1 = 0 thay vào y = 2x ta đợc y1 = 0

+ Với x2 = 2 thay vào công thức y = 2x ta đợc y2 = 4.

Vậy: Giao điểm của hai đồ thị trên là A(0; 0) v B(2; 4)

Câu 3: (1, 5đ)

Vẽ đồ thị y = 2x2 và y = m – 1

- NÕu m < 1 : v« nghiệm

- Nếu m = 1: phơng trình có một nghiệm
- Nếu m > 1: Phơng trình có hai nghiệm

Câu 4: (2®)

Vẽ đồ thị parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = x+2 trên cùng một hệ

trục toạ độ. Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình:
x2 = x + 2 2 2 0 ( 1)( 2) 0 1

2
x

x x x x

x




         




- Víi x = -1 th× y = 1
- Víi x = 2 th× y =4

đo đó (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm A(-1; 1) và B(2; 4) . Đối chiếu trên
hệ trục toạ độ vị trí của hai đồ thị trên ta có

VËy: NghiƯm cđa bÊt phơng trình là -1< x <2

Kết quả thực nghiệm: (§èi víi 20 häc sinh líp 9C)

Số HS cha áp dụng chun đề Số HS áp dụng chun đề

§iĨm TB TØ lƯ §iĨm TB TØ lƯ

6/ 20 30% 14/20 70%

PhÇn III: KÕt ln chung

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

dạng có phơng pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc
hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh khơng cịn thấy sợ

"Hàm số". Đúng nh Ăng ghen đã từng nhận định " Các khái niệm định 
l-ợng biến thiên và hàm số đã đa t tởng biện chứng vào toán học và do đó 
phạm vi ứng dụng của tốn học đã rộng hơn và sâu hơn". Hiện nay tốn
học cịn sâu sắc và linh hoạt hơn rất nhiều so với thời kỳ Ăng ghen. Chơng
trình cải cách giáo dục đã đa tập hợp số thực vào chơng trình lớp 7 nên học
sinh lớp 7 tiếp thu khái niệm " Đồ thị hàm số" một cách tự nhiên, dễ hiểu hơn.

Đối với đối tợng học sinh khá giỏi nếu có thời gian cần tiếp thu phát
triển các ứng dụng của từng dạng toán, nâng cao yêu cầu trong từng bài giúp

các em phát huy đợc năng lực học mơn Tốn.

Trên đây là nội dung đề tài mà tơi đã tìm hiểu. Trong q trình thực
hiện và trình bày đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tơi rất mong đợc
sự góp ý của thầy cụ giỏo cựng cỏc bn bố ng nghip

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Tân Quang, tháng 4 năm 2009
Ngời thực hiện

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Phần IV:

Tài liệu tham kh¶o

1. Sách giáo khoa đại số lớp 7, đại số lớp 9

2. Sách phát triển đại số 7, đại số 8, đại số 9 của (Vũ Hữu Bình)
3. Trọng điểm đại số 9 (Ngô Long Hậu – Trần Luận)

4. Toán nâng cao đại số 9 (Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Viẹt Hải, Vũ Dơng
Thuỵ)

5. Tài liệu chuyên toán đại số 9 (Hồng Chúng, Thiệu Hùng, Quang Khải)
6. Giải tích I (Hong Thu)

7. Báo toán học và tuổi trẻ.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

8
6

4
2
0

1 2 3 4 x

Bài soạn

:

Đồ thị hàm số

y = ax (

a

0

)

(

lớp 7

)

A. Mục tiªu:

* Học sinh hiểu đợc khái niệm đồ thị hàm số, đồ thị hàm số y = ax
* Học sinh thấy đợc ý nghĩa của đồ thị trong thực tiễn và trong nghiên
cứu hàm số.

* Biết cách vẽ đồ th hm s

B. Chuẩn bị của GV và HS:

* GV: Đèn chiếu và các phim giấy trong (hoặc bảng phụ) ghi bài tập,
kết luận.

* HS: Thớc thẳng bảng nhóm

C. Tiến trình dạy học:

Hot ng ca GV Hot ng của HS

Hoạt động 1: Kiểm tra (8 phút)
HS1: Chữa bài tập 37/68 SGK
(Đa đề bài lên màn hình)

S1: a) C¸c cặp giá trị của hàm số là:
(0; 0); (1; 2); (2; 4)...

y
D
C
B

A

HS2: Thực hiện yêu cầu ?1(a bi
?1 lờn mn hỡnh)

GV yêu cầu HS cả lớp cùng làm vào
vở

Cho tên các điểm lần lợt là: M; N; P;
Q; R

HS2 và HS cả lớp làm

a. {(-2;3); (-1;2); (0;-1); (0,5;1);

(1,5;-2)

y
M 3

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

(GV bố trí ?1 ở vị trí phù hợp để giữ
lại khi giảng bài

GV nhËn xÐt cho ®iĨm HS

N 2
1 Q
1,5

-2 -1 0 0,5 1 x
-1 P
-2 R

HS nhËn xÐt bµi lµm cđa b¹n

Hoạt động2: Đồ thị của hàm số là gì ?(7 phút)
GV: HS2 vừa thực hiện ?1 SGK. Các

®iĨm M, N, P, Q, R biĨu diễn các cặp
số của hàm số y = f(x)

Tp hợp các điểm đó gọi là đồ thị
của hàm s y= f(x) ó cho

GV yêu cầu nhắc lại
Trở lại bài làm của HS1.

GV hi: th ca hm số y = f(x)
đợc cho trong bài 37 là gì?

Vậy đồ thị của hàm số y = f(x) là gì?
GV đa định nghĩa đồ thị của hàm số
y=f(x) lên màn hình

HS: Đồ thị của hàm số y = f(x) đã
cho là tập hợp các điểm(M,N,P,Q,R )
HS: Đồ thị của hàm số y = f(x) này
là tập hợp các điểm {O,A,B,C,D}
HS: Đồ thị của hàm số y = f(x) là
tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các
cặp giá trị tơng ứng (x;y)trên cùng
mặt phẳng toạ độ

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x)
đã cho trong ?1

GV: Vậy để vẽ đồ thị hàm số

y = f(x) trong ?1, ta phải làm những
bớc nào

HS:

+ Vẽ hệ trục toạ độ Oxy.

+ Xác định trên mặt phẳng toạ độ,
các điểm biểu diễn các cặp giá trị
(x;y) của hàm số

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

XÐt hµm sè y = 2x, cã dạng y = ax
với a = 2

-Hàm số nµy cã bao nhiêu cặp số
(x;y)

- Chớnh vì hàm số y = 2x có vơ số
cặp số (x;y) nên ta không thể liệt kê
đợc hết các cặp số của hàm số

Để tìm hiểu về đồ thị của hàm số này
các em hãy hoạt động nhóm làm ?2.
GV đa ?2 lên màn hình

HS: Hµm sè cã vô số cặp số (x;y)

HS hot ng theo nhúm l ?2 (Giấy
trong của các nhóm có kẻ ơ vng
mờ)

Bµi lµm:

a. (-2;-4); (-1;-2); (0;0); (1;2); (2;4)
b. y

2
1

-2 -1 1 2 x
-2

-4

GV yêu cầu 1 nhóm lên trình bày bài
làm

Kiểm tra thêm bài làm của vài nhóm
khác.

GV nhn mnh: Cỏc im biu diễn
các cặp số của hàm số y = 2x ta
nhận thấy cùng nằm trên một đờng

c. Các điểm cịn lại có nằm trên đờng
thẳng qua hai điểm (-2;-4) và (2;4)
Đại diện 1 nhóm lên trình bày bài
làm

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

thẳng qua gốc toạ độ.

GV đa lên màn hình một mặt phẳng
toạ độ biểu diễn các điểm thuộc đồ
thị hàm số y = 2x

+ Ngời ta đã chứng minh đợc rằng:
Đồ thị hàm số y = ax (a 0) là một
đờng thẳng đi qua gốc toạ độ.

GV yêu cầu HS nhắc lại kết luận.
+ Từ khẳng định trên, để vẽ đợc đồ
thị của hàm số y = ax (a 0) ta cần
biết mấy điểm của đồ thị.

+ Cho HS lµm ?4

Đa đề bài lên màn hình

HS nhắc lại kết luận về đồ thị hàm số
y = ax (a 0)

Để vẽ đợc đồ thị hàm số y = ax (a 

0) ta cần biết 2 điểm phân biệt của
đồ th.

HS cả lớp làm ?4 vào vở. Sau ít phút
gọi 1 HS lên bảng trình bày.

y = 0,5x. HS tự chän ®iĨm A

a. A(4;2) y

b. 2 A

0 4 x

GV cho kiĨm tra bµi lµm cđa vµi HS
+ NhËn xÐt: (SGK)

Yêu cầu HS đọc phần nhận xét SGK
trang 71

+ Ví dụ 2:Vẽ đồ thị hàm số y = -1,5x
+ GV: Hóy nờu cỏc bc lm

GV yêu cầu HS làm bài tập vào vở.

Nhận xét bài làm của bạn

+ Một HS đọc to phần "nhận xét"
SGK

HS: + Vẽ hệ trục toạ độ Oxy

+ Xác định thêm một điểm thuộc đồ
thị hàm số khác điểm O

Ch¼ng h¹n A(2;-3)

+ Vẽ đờng thẳng OA, đờng thẳng đó
là đồ thị hàm số y = -1,5x.

Một học sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm
số y = -1,5x

Hoạt động4: Luyện tập củng cố (10 phút)
GV: Đồ thị hàm số là gỡ?

+ Đồ thị hàm số y = ax (a 0) là
đ-ờng nh thế nào?

+ Mun v th của hàm số y = ax
ta cần làm qua các bớc nào?

+ Cho HS lµm bµi tËp 39 trang 71

HS: Nêu định nghĩa SGK
HS trả lời câu hỏi

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

SGK

GV: Quan sát các đồ thị bài 39 trả
lời bài 40 SGK

GV cho HS quan sát đồ thị của một
hàm số khác cũng có dng ng
thng

Hai HS lần lợt lên bảng.

HS1: V hệ trục tọ độ Oxy và đồ thị
hàm số y = x; y =-x

HS2:Vẽ đồ thị hàm số y = 3x; y =-2x
HS: Nếu a >0, đồ thị nằm ở các góc
phần t thứ I và thứ III, nếu a < 0 đồ
thị nằm ở góc phần t thứ II và thứ IV.

y= x y=2x+3

-3 -1,5 3 x

-2 y = -2

Hoạt động5: Hớng dẫn về nhà

+ Nắm vững các kết luận và cách vẽ đồ thị hàm số y = ax
+ Bi tp 41;42;43 trang 72,73 SGK

53;54;55 trang 52,53 SBT

***********************************

Bài soạn:

Đồ thị của hàm số y = ax

(a

0)

(Lớp 9)

I. Mục tiêu :

 HS biết đợc dạng của đồ thị hàm số y=ax2(a0) và phân biệt đợc

chóng trong 2 trêng hợp a > 0 và a < 0.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

 Biết cách vẽ đồ thị hàm số y = ax2(a0).

II. Chuẩn bị :

GV : Thớc thẳng, bảng phụ

HS : Nghiên cứu trớc bài; Giấy kẻ ô vuông, thớc thẳng, MTBT

III. Cỏc hot ng dy hc :

1. ổn định tổ chức :

 GV kiÓm tra sÜ sè lớp, t cách HS

2. Kiểm tra bài cũ :

Gọi 2 HS lên bảng kiÓm tra :
HS1 : Điền vào ô trống

X -3 -2 -1 0 1 2 3

y=2x2

HS2 : §iỊn vào ô trống

x -4 -2 -1 0 1 2 4

y= 1 2

x
2



GV nhËn xét cho điểm
3. Bài mới :

Hot ng ca thy v trò Nội dung

Hoạt động 1

:

GV ®a ra VD 1

VÝ dơ 1 : Đồ thị hàm số y=2x2

Ta thấy a = 2 > 0

x -3 -2 -1 0 1 2

y=2x2 18 8 2 0 2 8

A(-3;18) ; B(-2;8) ;C(-1;2) ; O(0;0) ;
C’(1;2) ; B’(2;8) ; A’(3;18).

Vẽ đờng cong qua các điểm đó
Yêu cầu HS quan sát và vẽ vào vở
? Hãy nhận xét về dạng đồ thị hàm số
trên ?

GV khẳng định : Ta gọi đờng cong trên
là parabol.

GV treo b¶ng phơ

HS quan sát và làm ?1 (SGK – 34)
HS hot ng theo nhúm

Đại diện các nhóm trả lời
GV chốt lại

GV tiếp tục đa ra VD 2(SGK -34)

Đồ thị hàm số y= 1 2

x
2

1. Các ví dụ :

a, Ví dụ 1: SGK 33

Đồ thị hàm số y=2x2

Bảng giá trị tơng ứng : SGK - 33

th hm số có dạng đờng cong
- Đồ thị hàm số nằm trên trục hoành
- Các cặp điểm A,A’; B,B’;… đối
xứng nhau qua trc tung.

- Điểm thấp nhất là O(0;0)

b, Ví dụ 2: SGK - 34

Đồ thị hàm số y= 1 2

x
2

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Từ bảng kiểm tra lấy các điểm

M(4;8);N(2;2);P(; 1

2

 );O(0;0);P’(1; 1

2

 );

N’(2;-2); M’(4;-8)

Yêu cầu HS vẽ đờng cong

Yêu cầu HS làm ?2

Hat ng 2 :

Nhn xét

? Qua 2 VD trên, em có NX gì về vị trí
của đồ thị hàm số y= ax2(

a0) ?

HS lần lợt trả lời

GV cht li phn NX (SGK – 34
HS đọc lại phần NX

Yêu cầu HS làm ?3
Hoạt ng nhúm

GV thu kết quả của các nhóm và NX
chung

GV nhấn mạnh toàn bộ
GV đa ra chú ý

Chú ý :

1. khi vẽ đồ thị hàm số y = ax2 do tính

chất đối xứng của đồ thị hàm số nên ta
chỉ cần vẽ 1 số điểm ở bên phải trục Oy
rồi lấy đối xứng qua Oy

¸p dơng víi hµm sè y=1 2

x

3 (SGK – 35)
2. Sự liên hệ của đồ thị và tính chất hàm
số

? §å thị hàm số y=2x2 cho ta thấy điều

gì

- Đồ thị hàm số 1 2

y x (a 0)

2

cho ta
thấy điều gì ?

HS lần lợt trả lời

GV chốt lại chú ý thứ 2 (SGK 36)

Bảng giá trị tơng ứng: SGK 34

?2: SGK - 34

- Đồ thị hàm số nằm dới trục hoành
- Các cặp điểm M,M’; N,N’… đối
xứng nhau qua trục tung

- §iĨm cao nhÊt lµ O(0; 0).

2. NhËn xÐt: SGK - 35

?3: SGK – 35
KÕt qu¶ :

a) D(3;-4,5)
b)

2 2

1

x 5 x 10 x 10
2

     

* Chó ý: SGK - 35

Thực hành vẽ:

- Đồ thị hàm số cho ta thÊy víi

- a > 0, khi x âm và tăng thì đồ
thị đi xuống chứng tỏ hàm số
nghịch biến. Khi x dơng và
tăng thì đồ thị hàm số đi lên
chứng tỏ hàm số đồng biến
- Nhận xét tơng tự với hàm số

2

1

y x (a 0)
2

 

-2

-5 5

  

O 1
-1
-2
-3

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

4. Cñng cè :

Qua bài học hôm nay các em đã đợc học về những vấn đề gì ?
- Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai một ẩn

- Một số kĩ năng khi tính tốn và vẽ đồ thị hàm số y = ax2(a0).

GV nhÊn mạnh

5. Hớng dẫn về nhà :

- Xem li cỏc vớ dụ đã làm ở lớp.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Mơc lơc

C¸c ý chính Nội dung Trang

Phần I Mở đầu 1

1 Lớ do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 NhiƯm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tợng, phạm vi nghiên cứu 2

5 Phơng pháp nghiên cứu 3

Phn II

Ni dung ti 3

Chơng I Lý thuyết cơ bản 3

I. Khái niệm về hàm số 3

II. Các hàm số trong chơng trình THCS 6

Chơng II Một số dạng bài tập 7

Dng 1 Tỡm tp xỏc nh ca hm s 7

Dạng 2 Tìm giá trị của hàm số 8

Dng 3 Xỏc nh cụng thc hm s 12

Dạng 4 Đồ thị hàm số 18

Dng 5 Vị trí tơng đối giữa các đồ thị 21

Dạng 6 Điểm cố định 29

Dạng 7 Quỹ tích đại s 32

Chơng III bài tập Tổng hợp 33

Bài kiểm tra 36

Phần III Kết luận chung 38

Phần IV Tài liệu tham kh¶o 39

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46></div>
(47)<div class='page_container' data-page=47></div>
(48)<div class='page_container' data-page=48></div>

SKKN Mot so dang toan ve DT HS

<b>phần I</b>

<b>Mở đầu</b>

<b>Phần II</b>

<b>Ni dung ti</b>

:

















<sub></sub>













<sub></sub>



















<sub></sub>



<sub></sub>





















<i>m</i>

<i>x</i>

<i>g</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

)

(

)

(



<i>m</i>

<i>x</i>

<i>g</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

)

(

)

(

7

13

4

3

2

2

1

7

2

x

-6x

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>