Lý thuyết và bài tập về hàm số liên tục Toán 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (956.12 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TOÁN 11

1. Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa 1: Cho hàm số y f x

 

xác định trên khoảng

 

a b; . Hàm số y f x

 

được gọi là liên tục
tại x0 nếu

 

0
lim

xx f x  f x .

Hàm số y f x

 

không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt chú ý đến điều kiện hàm số xác định trên một
khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó.

Định nghĩa 2: Hàm số y f x

 

được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của
khoảng đó.

Hàm số y f x

 

được gọi là liên tục trên một đoạn

 

a b; nếu nó liên tục trên khoảng

 

a b; và

 

lim , lim

x a x b

f x f a f x f b

 

    .

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại 
điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).

Định lý 2:

a) Hàm đa thức liên tục trên R.

b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
c) Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lý 3: Nếu hàm số y f x

 

lên tục trên đoạn

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì tồn tại ít nhất một điểm

 

;

c a b sao cho f c

 

0.

Nếu y f x

 

liên tục trên đoạn

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì phương trình f x

 

0 có ít nhất một
nghiệm nằm trong khoảng

 

a b; .

2. Một số dạng toán thường gặp 
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số. 
Phương pháp:

- Bước 1: Tính f x

 

0 và

 

lim

xx f x

- Bước 2: So sánh và kết luận.

+) Nếu

 

0
lim

xx f x  f x thì hàm số liên tục tại x0.
+) Nếu

 

lim

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

- Bước 1: Chứng minh hàm số y f x

 

liên tục trên đoạn

 

a b; .

- Bước 2: Chứng minh f a f b

   

. 0.

- Bước 3: Kết luận phương trình f x

 

0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn

 

a b; .

Đối với bài toán chứng minh phương trình f x

 

0 có nghiệm mà khơng cho khoảng nào thì ta cần tìm
hai số a, b sao cho f a f b

   

. 0.

3. Bài tập

Câu 1. Cho hàm số

 

0
,
1

0
2

ax

e

khix
x

f x

khix

  


 

 



với a0. Tìm giá trị của a để hàm số f x

 

liên tục tại

0 0.

x 

A. a1. B. 1

a . C. a 1. D. 1

a 
Hướng dẫn giải

Chọn B.

Câu 2. Tìm a để các hàm số 2

4 1 1

khi 0

( ) (2 1)

3 khi 0

x

f x ax a x

x

   



  

 



liên tục tại x0

A. 1

2 B.

4 C.

1
6

 D. 1

Hướng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có :





0 0

4 1 1

lim ( ) lim

2 1

x x

x

f x

x ax a

 

 


 









4 2

lim

2 1

2 1 4 1 1

x ax a x a

 



   

Hàm số liên tục tại 0 2 3 1

2 1 6

x a

a

     

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3
Câu 3. Cho hàm số

 

, 1
2

, 0 1
1

sin , 0

x x

x

f x x

x
x x x

 




   






. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. f x

 

liên tục trên . B. f x

 

liên tục trên \ 0 .

 

C. f x

 

liên tục trên \ 1 .

 

D. f x

 

liên tục trên \ 0;1 .

 

Hướng dẫn giải 
Chọn A

TXĐ: D .

Với x1 ta có hàm số f x

 

x2 liên tục trên khoảng



1;



 

1
Với 0 x 1 ta có hàm số

 

3
2
1

x
f x

x



 liên tục trên khoảng

 

0;1 .

 

2
Với x0 ta có f x

 

xsinx liên tục trên khoảng



; 0



 

Với x1 ta có f

 

1 1;

 

1 1

lim lim 1

x f x xx

  ;

 

1 1

lim lim 1

x x

x
f x

x

 

    

Suy ra

 

lim 1 1

x f x   f .

Vậy hàm số liên tục tại x1.

Với.x0. ta có f

 

0 0;

 

0 0

lim lim 0

x x

x
f x

x

 

     ; 0

 





lim lim .sin

x x

f x x x

 

  

0 0

sin
lim . lim 0

x x

x
x

x

 

 

  suy ra

 

lim 0 0

x f x   f .

Vậy hàm số liên tục tại x0.

 

Từ

 

1 ,

 

2 ,

 

3 và

 

4 suy ra hàm số liên tục trên .

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

 

1 1

khi 0
1

x x

x
x

f x

x

m x

x

    


 



  

 



liên tục tại x0.

A. m1. B. m 2. C. m 1. D. m0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
Câu 5. Tìm m để các hàm số

2 2 1

khi 1

( ) 1

3 2 khi 1

   




  

  



x x

x

f x x

m x

liên tục trên

A. m1 B. 4

3


m C. m2 D. m0

Hướng dẫn giải 
Chọn B.

Với x1 ta có

2 2 1
( )

  





x x

f x

x nên hàm số liên tục trên khoảng \ 1

 

Do đó hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x1

Ta có: (1)f 3m2
3

1 1

2 2 1
lim ( ) lim

 

  





x x

f x

x





1 2 3 3 2

2
lim 1

( 1) 2 ( 2)



 

 

 

   

    

 

 

x

x x

x x x x x

2 2

1 3 3

lim 1 2

2 ( 2)



   

   

     

 

x

x x

x x x x

Nên hàm số liên tục tại 1 3 2 2 4
3

     

x m m

Vậy 4

3


m là những giá trị cần tìm.

Câu 6. Tìm m để các hàm số

2 4 3 khi 2

( ) 1

khi 2

2 3 2

   



  



   



x x

f x x

x

x mx m

liên tục trên

A. m1 B. 1

6
 

m C. m5 D. m0

Hướng dẫn giải 
Chọn C.

Với x2 ta có hàm số liên tục

Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục trên khoảng



; 2



và liên tục tại x2.
 Hàm số liên tục trên



; 2



khi và chỉ khi tam thức

( ) 2 3  2 0,  2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
TH 1:

' 3 2 0 3 17 3 17

2 2

(2) 6 0

         



   


m m

m

g m

TH 2:

2
2

2
1

3 2 0

' 3 2 0

2
' 2

' ( 2)

   

     

  

 

   

 

   



m m

m

x m

m

3 17

2
6

  




   

 


m

m
m

Nên 3 17 6

  

m (*) thì g x( )0,  x 2







2 2

lim ( ) lim 2 4 3 3

     

x f x x x

2 2

1 3

lim ( ) lim

2 3 2 6

 

 



 

   

x x

x
f x

x mx m m

Hàm số liên tục tại 2 3 3 5

    



x m

m (thỏa (*))

Câu 7. Cho hàm số liên tục tại Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải 
Chọn C.

Câu 8. Chon hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số

liên tục tại .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải 
Chọn A.

Hàm số đã cho xác định trên .

 

   






   

   




2
2

2
4

3 2

2 6 2

x x

neáu x
x

f x x b neáu x

a b neáu x

2.

x I  a b?

9
30

I  93

I   19

I  173

I  

 





khi 3.
3

khi 3

x

f x x

m x

 

 

  

 



m

x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6

Ta có .

Tương tự ta có .(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)

Vậy nên không tồn tại. Vậy với mọi , hàm số đã cho không
liên tục tại .

Do đó đáp án đúng là A.

Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi để hiểu rõ hơn.

Câu 9. Cho hàm số

( 2) 2

khi 1

( ) 3 2

8 khi 1

ax a x

x

f x x

a x

   




  

  



. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số

liên tục tại x1?

A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có



















1 1 1

1 2

( 2) 2

lim lim lim 2 3 2 8 1 .

3 2 3 2

x x x

x ax a

ax a x

ax a x a

x x

  

  

           

 

   

Hàm số liên tục tại

 





1 lim 1 8 1 8 .

8
x

a

x f x f a a

a






        



Câu 10. Cho hàm số

 









12 9

.
2 12

9
1 2

x

f x ax b

x
x






    

  



Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục tại

0 9.

x  Tính giá trị của P a b.

A. 1

P B. P5 C. P17 D. 1

P 
Hướng dẫn giải

Chọn D.

 









 

3 3 3 3 3

3 3 3

lim lim lim lim lim 1 1

3 3 3

x x x x x

x x x

f x

x x x

    

    

   

      

  

 

lim 1

x

f x



 

 

3 3

lim lim

x x

f x f x

 

   limx3 f x

 

m
3

x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên 
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các 
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp 
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư

liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Lý thuyết và bài tập về hàm số liên tục Toán 11

<b>LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TOÁN 11 </b>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 













 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 