BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM

TRÖÔØNG THPT ABC
TOÅ TOAÙN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong (a;b)
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại một điểm x
0
∈(a;b)
( )
0
0
1
lim ( ) ( )f x f x
x x
⇔ =
→
0 0
0
lim ( ) lim ( ) ( )f x f x f x
x x x x
+ −
⇔ = =
→ →
Tóm tắt phương pháp xét tính liên tục của
hàm số y = f(x) tại 1 điểm x = x
0
•
* Tính f(x
0
)
•
* Nhận xét xem hàm số có thay đổi biểu thức ở hai bên điểm x

0
+ Nếu f(x) không đổi :
Ta tính
0
lim ( )
x x
f x
→
rồi so sánh f(x
0
) và
0
lim ( )
x x
f x
→
Nếu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
thì hàm số liên tục tại x
0
+ Nếu f(x) thay đổi :
Ta tính
rồi so sánh
0 0

lim ( ) , lim ( )f x f x
x x x x
+ −
→ →
0 0
0
lim ( ) lim ( ) ( )f x f x f x
x x x x
+ −
= =
→ →
Nếu thì hàm số liên tục tại x
0
Bài toán 1
Cho hàm số
( )
2
5 6
1
1
7 1
x x
x
f x
x
x
+ −

≠


=
−


=

Xét tính liên tục của hàm f tại x
0
= 2 ; x
0
= 1
Nhận xét :
•
Hàm số xác đònh với ∀x∈R
•
* Tại x
0
= 2 , ta so sánh f(2) và
2
lim ( )
x
f x
→
(với )
( )
2
5 6
1
x x
f x

x
+ −
=
−
* Tại x
0
= 1 , ta thấy hàm số không đổi biểu thức ở hai bên của
x
0
= 1 nên ta so sánh f(1) và
( )
1
lim
x
f x
→
(với )
( )
2
5 6
1
x x
f x
x
+ −
=
−
- 1
- 2
1

1
7
6
- 3
- 6
0
x
y
( )
2
5 6
1
1
7 1
x x
x
f x
x
x
+ −

≠

=
−


=

Bài toán 2 :

Cho hàm số
( )
2
2
2
1
1
1 1
x x
x
f x
x
x x x
+ −

>

=
−


+ + ≤

Xét tính liên tục của hàm f tại x
0
= 1
Hàm số trên thay đổi biểu thức ở hai bên của x
0
= 1
Do đó : phải xét giới hạn trái, phải của hàm số khi x dần tới 1.

So sánh :
( ) ( ) ( )
1 1
1 , lim , lim
x x
f f x f x
+ −
→ →
Nhận xét :
- 1
- 2
1
1
3
0
x
y
( )
2
2
2
1
1
1 1
x x
x
f x
x
x x x
+ −


>

=
−


+ + ≤

2
1
Bài toán 3 :
Cho hàm số
( )
2
0
1 0
x x
f x
x x
≤

=

+ >

Xét tính liên tục của hàm f tại x
0
= 0
Nhận xét :

( ) ( )
0 0
lim lim
x x
Do f x f x
+ −
→ →
≠
Nên hàm số không tồn tại giới hạn khi x→ 0
Vậy hàm số không liên tục tại x = 0
.
.
.
.
.
.
. . . . . . .
-3 -2 -1 1 2 3 x
y
5
4
3
2
1
-1
-2
( )
2
0
1 0

x x
f x
x x
≤

=

+ >

0
Tóm tắt phương pháp đònh f(x
0
) để
hàm số f(x) liên tục tại x
0
Do f liên tục tại x
0
0
0
( ) lim ( )
x x
f x f x
→
⇒ =
Tìm
0
lim ( )
x x
f x
→

rồi ⇒ f(x
0
)
Cho hàm số f(x) = (1 + cos2x).tgx
( )
2
f
π
Đònh để hàm số liên tục tại
0
2
x
π
=
Nhận xét :
Do hàm số liên tục tại
0
2
x
π
=
nên
2
( ) lim ( )
2
x
f f x
π
π
→

=
Tính
2
lim ( )
x
f x
π
→
⇒
Suy ra kết quả.
Bài toán 1 :
Cho hàm số
Nhận xét :
Do hàm số liên tục tại x
0
= 1 nên
Tính
Suy ra kết quả.
2
3 2
3 4
1
( )
2 3
2 1
x x
x
f x
x x
ax x

+ −

>

=
+ −


− ≤

Tìm a để hàm số f liên tục tại x
0
= 1
(1) lim ( ) lim ( )
1 1
f f x f x
x x
+ −
= =
→ →
lim ( ) , lim ( ) .
1 1
f x f x
x x
+ −
→ →
Bài toán 2: