De HSG 11 Hau Loc 4 Thanh hoa 20092010

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.49 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4

---***---ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 – 2010
Mơn thi: TỐN - Khối 11

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu I: (4 điểm)

Cho phương trình: (3-m)sinx – 4sin3x = (2-m)(1-cos2x)

1. Giải phương trình với m = 3

2. Tìm m để phương trình đã cho có 10 nghiệm thuộc



0;3



Câu II: (5 điểm)

Cho khai triển



1 2



0 1 ...

n n

n

x a a x a x

     , trong đó n N*

1. Tính

0 ...

2 2

n
n

a
a

A a   

với n 10.

2. Biết các hệ số a a0, ,...,1 an thỏa mãn hệ thức a0a1...an 813.

Tìm số lớn nhất trong các số a a0, ,...,1 an.
Câu III: (4 điểm)

1. Cho các số 1, 2, 3, 4. Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số
1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1.

2. Tính giới hạn: lim

x→ 0

(1+2 x )3√1+3 x −1

x
Câu IV: (5 điểm)

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm của AB.Trên hai đờng thẳng BC và
BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung điểm của BM, D là trung điểm của
BN. EM cắt AC tại I, EN cắt AD tại J .

1. Chøng minh IJ // (BCD).

2. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c EIJ theo a.
Câu V: (2 điểm)

Cho phương trình: 8 1 2x



 x2

 

8x4  8x2 1



1
Xác định số nghiệm của phương trình trên on [0;1].

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: SBD:. . lớp:. ………..
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4

---***---ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu Ý Nội dung Điểm

I Cho phương trình: (3-m)sinx – 4sin3x = (2-m)(1-cos2x) (1) 4,0

I.1 Giải phương trình với m = 3 2,0

Với m = 3 ta có: (1) – 4sin3x = cos2x – 1

  




 




3 2

4sin 2sin 0

sin 0
1
sin

x x

x
x

0,5
0,5
0,5









 



   




  



2 (k Z)
6

2
6

x k

0,5

I.2

Tìm m để phương trình đã cho có 10 nghiệm thuộc



0;3



2,0

 

(1) sin 4sin 2(2 )sin 3 0

sin 0 2
1

sin 2 3
3

sin 4

x x m x m

x
x

m
x

 

       



 



  





 



0,25

0,5

V× x

0;3

nên pt(2) có nghiệm làx ,x 2
pt(3) nghiƯm lµ

5 13 17

, , ,

6 6 6 6

x  x   x   x  

Vậy để pt (1) có 10 nghiệm thuộc



0;3



thì pt(4) có 4 nghiệm pb
khác các nghiệm của pt(2) v pt(3).à

Biện luận để (4) có 4 nghiệm thoả mãn

lµ





  





 

   

  




3 1

2 2

3 3 5

0 1

2
m

m

m m

0,5

II Cho khai triển



1 2



0 1 ...

n n

n

x a a x a x

     , trong đó n N* 5,0

II.1

Tính

0 ...

2 2

n
n

a
a

A a   

với n 10.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đặt

  

1 2



0 1 ...

n n

n

f x   x a a x a x .

1
0

1 1

... 1 2. 2

2 2 2 2

n
n
n
n
a
a

A a f    

          
   
Với n 10 ta có A = 210 = 1024

0,5
1,0
0,5

II.2 Biết các hệ số a a0, ,...,1 an thỏa mãn hệ thức

0 1 ... n 81

a a  a 

Tìm số lớn nhất trong các số a a0, ,...,1 an.

3,0

Ta có

 

3 3 12

0 1 ... 81 1 81 3 3 12

n
n

a a  a   f     n 1,0

Với mọi k 



0,1, 2,...,11



ta có 2 12,

k k
k

a  C 1 2k 1 12k 1

k

a  C 

 





1 1

1 12

2 1 23

1 1 1

2 2 12 3

k k
k

k k

k

a C k

k

a C  k



      

  k 7.

Do đó a0 a1...a8

1,0

Tương tự 1

1 7

k
k

a

k

a     , do đó a8 a9 ...a12

Vậy số lớn nhất trong các số a a0, ,...,1 a12 là

8 8

8 2 12 126720.

a  C 

1,0

III 4,0

III.1 Cho các số 1, 2, 3, 4. Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số cũn li khỏc nhau v khỏc s 1. 2,0

Mỗi số có 5 chữ số gồm 2 số 1 và 3 số khác là hoán vị 5 phần tử
1,1,2,3,4

do 2 số 1 khi hoán vị vẫn đợc 1 số vậy các số cần lập là

5
2
60
P
P 
1,0
1,0
III.2 Tính giới hạn: lim

x→ 0

(1+2 x )3√1+3 x −1

x 2,0

















3 3 3

1 2 1 3 1

lim

1 2 1 3 1 2 + 1 2 1

lim

x

x x

x

x x x x

x


  
     

0,5



1 2





1 3 1





1 2



3 1

lim
0

x x x

x x
x
 
 
 
 
 
    
 
 0,5
1,0













0 0

1 2 1 3 1 1 2 1

lim lim

3 6 15

2 2

x x

x x x

x x

 

    

 

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

đờng thẳng BC và BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung
điểm của BM, D là trung điểm của BN. EM cắt AC tại I, EN cắt 
AD tại J .

IV.1 Chøng minh IJ // (BCD). 2,0

Có I,J lần lợt là trọng tâm của tam giác ABM và ABN
AI

AC=

AJ

AD=
2

3 IJ // CD

Mà CD(BCD) IJ / /(BCD).

0,25

1,0
0,5
0,25

IV.2 TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c EIJ theo a. 3,0

Chỉ ra tam giác EIJ cân tại E 1,0

Cã

2
;

2 3

a a

AE AI  0,25

EI2=AE2+AI2−2 AE. AI . cos 600=13 a

36
Cã

2 2

3 3

a

IJ  CD 1,0

2
2

2 2 13

36 3 2

a a a

EH EI IH  

       

 

0,5

6

EIJ

a

S







0,25

V

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Xác định số nghiệm của phương trình trên đoạn [0;1].

Do x 



0;1



nên đặt xsint, suy ra

0;
2

t   

  . Pt (1) đã cho trở

thành: 8sin 1 2sint



 2t

 

8sin4t 8sin2t1



1

0,5

8sin .cos2 .cos4t t t 1 (2)

  0,25

Nhận thấy cost = 0 không phải là nghiệm, ta có:
(2)  8cos .sin .cos 2 .cos 4t t t tcos t

 sin8tcost

, k Z

18 9

, l Z

14 7

k
t

l
t

 



  


 

   



0,5

Vì

0;
2

t   

  cho nên chỉ có k= 0, k = 1, l = 0, l = 1 thoả mãn.

5 5

; ; ; .

18 18 14 14

t  t  t  t 

    

0,25

Mặt khác: số nghiệm của pt (2) với

0;
2

t   

  bằng số nghiệm của

pt (1) với x 



0;1



Vậy, trên đoạn



0;1



pt (1) có bốn nghiệm là:

5 5

sin ; sin ; sin ; sin

18 18 14 14

x  x  x  x 

</div>

De HSG 11 Hau Loc 4 Thanh hoa 20092010











 







 

 

 









  



 

































<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>

6

<i>a</i>

<i>S</i>











 











Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về