Chuyên đề Diện tích đa giác Toán 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (414.26 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1

Chuyên đề

DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

I. Kiến thức cần nhớ

1. Mỗi đa giác có một diện tích xác định.

Diện tích đa giác là một số dương có các tính chất sau :
- Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.

- Nếu một đa giác được chia thành những đa giác khơng có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng
tổng diện tích của những đa giác đó.

- Hình vng cạnh có độ dài bằng 1 thì có diện tích là 1.

2. Các cơng thức tính diện tích đa giác

- Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó
S = ab (a, b là kích thước hình chữ nhật)

- Diện tích hình vng bằng bình phương cạnh của nó

S = a (a là độ dài cạnh hình vng)

- Diện tích hình vng có đường chéo bằng d là

1 d

2

- Diện tích tam giác vng bằng nửa tích hai cạnh góc vng
S = 1

2ab (a, b là độ dài hai cạnh góc vng)

- Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó
S = 1

2ah (a, h là độ dài cạnh và đường cao tương ứng)

- Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao :
S = 1

2 (a + b) h (a, b là độ dài hai đáy, h là độ dài đường cao)

- Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó ;
S = ah (a, h là độ dài một cạnh và đường cao tương ứng)

- Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc bằng nửa tích hai đường chéo :

1 2 1 2
1

S = d d (d ; d

2 là độ dài hai đường chéo tương ứng).

- Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo

1 2 1 2
1

S = d d (d ; d

2 là độ dài hai đường chéo tương ứng).
3. Bổ sung

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2

- Hai tam giác có chung một đường cao (hoặc một cặp đường cao bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số
hai cạnh ứng với đường cao đó.

- ABCD là hình thang (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thì

S

AOD

= S

BOC.
- Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vng có diện tích lớn nhất.

- Hai hình chữ nhật có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy.

- Tam giác đều cạnh a có diện tích là

a

3 .

4 II. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có diện tích là S. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao

cho AM = 2.BM, BN = 2.NC, CP = 2.PA. Tính diện tích tam giác MNP theo S.

Giải (h.52)

Áp dụng tỉ số diện tích của hai tam giác có chung đường cao, ta có :

ABN ABC

BMN ABN

2 BN =

BC =>S

= S

3

1 1 2

2 BM = AB =>S

= S

= . S= S.

3 3 3

9

Tương tự như vậy ta có :
AMP CNP

2 2

S = S ; S = S.

9 9

Suy ra

MNP ABC AMP BNM CNP

1 S

= S

-

S

-

S

- S

=

S

3

Ví dụ 2. Cho ABC, trên tia đối của các tia BA, CB, AC lấy M, N, P sao cho BM = BA, CN = CB, AP

= AC. Chứng minh SMNP = 7SABC.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3
ABC và ANC có chung đường cao kẻ từ A và BC = CN nên

S

ABC

= S

ACN.

Tương tự, ta có :

APN ACN APN ABC

PMB PAB ABC

MNC MBC ABC

S

= S

=> S

= S

S

= S

;

S

= S

Mà SMNP = SABC + SACN + SANP + SAPB + SBPM + SBCM + SCNM.

Do đó :

S

MNP

= 7S

ABC

.

Nhận xét

- Nên nhớ tính chất : Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng

nhau.

- Vận dụng kĩ thuật trên, có thể làm được bài tốn sau : Cho tứ giác ABCD, trên tia đối của các tia AD,
BA, CB, DC lấy M, N, P, Q sao cho AM = AD, BN = BA, CP = CB, DQ = CD. Chứng minh

MNPQ ABCD

S

= 5S

Ví dụ 3. Cho ABC. Lấy điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh AC, AB, BC sao cho

CM BP AN 1

= = = .

AC BC AB 3 Gọi I là giao điểm của BM, CN. Gọi E là giao điểm của CN, AP. Gọi F là giao

điểm của AP, BM. Chứng minh :

S

EIF

= S

IMC

+ S

FBP

+ S

NEA

Giải (h.54)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4

Ta có : ABP ABC

1 BP =

BC => S

= S

3

Tương tự, ta có: BMC ABC

1 S

= S

;

3

CAN ABC

1 S

= S

.

3

Suy ra:

S

ABP

+ S

BMC

+ S

CNA

= S

ABC

hay

S

ANE

+ S

BNEF

+ S

BFP

+ S

BFP

+ S

CPFI

+ S

CMI

+ S

CMI

+ S

MIEA

+ S

ANE

= SANE + SBNEF + SBFP + SCPFI + SCMI + SMIEA + SEFI

Vậy:

S

ANE

+ S

BFP

+ S

CMI

= S

EFI

.

Nhận xét. Kĩ thuật của bài là vận dụng tính chất hai tam giác có chung đường cao thì số diện tích bằng tỉ

số hai đáy ứng với đường cao đó, và lưu ý :

1

3 + + =

3

. Dựa vào kĩ thuật đó, có thể giải được bài sau : Cho ABC. Lấy điểm M, N, P lần lượt

thuộc cạnh AC, AB, BC sao cho CM= ; 1 AN=1

AC 3 AB 6 và BP = CP. Gọi I là giao điểm của BM, CN. Gọi E

là giao điểm của CN, AP. Gọi F là giao điểm của AP, BM. Chứng minh :

S

EIF

= S

IMC

+ S

FBP

+ S

NEA.

Ví dụ 4. Cho ABC vng cân tại A có BC = 36cm. Vẽ hình chữ nhật MNPQ sao cho MAB, QAC,
P, NBC. Xác định vị trí của N và P để diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất.

Giải (h.55).

Đặt MN = NB = x thì PQ = CP = x và PN = 36 - 2x.
Suy ra diện tích MNPQ là :

S = NP.QP = x.(36 - 2x)
S = 36x -

2 x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5

Vậy diện tích của hình chữ nhật MNPQ lớn nhất là 162

cm

2khi BN = CP = 9(cm).

III. Bài tập tự luyện

1. Cho hình thang ABCD (BC là đáy nhỏ). Gọi I là trung điểm của CD. Qua I kẻ đường thẳng d song

song với AB. Kẻ AH và BE vng góc với d. Chứng minh

S

ABCD

= S

ABEH

.

2. Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) có AC = 8cm, BDC = 45°.Tính diện tích hình thang ABCD.

3. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm và hai đường chéo là AC = 16cm, BD =

12cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

4. Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với bốn đỉnh ta được 8 điểm, trong đó khơng có 3

điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 1. Chứng minh rằng : tồn tại một tam giác có ba đỉnh lấy từ
8 điểm đã cho có diện tích khơng vượt q 1

10. Tổng qt hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm

trong đa giác đó.

(Tuyển sinh lớp 10 chuyên THPT Chu Văn An,
Hà Nội - Amsterdam năm học 2003- 2004)

5. Cho tam giác ABC. M, N tương ứng là trung điểm của các đoạn CA ; CB. I là điểm bất kì trên đường

thẳng MN (I M ; I  N). Chứng minh rằng trong ba tam giác IBC, ICA, IAB có một tam giác mà diện
tích của nó bằng tổng các diện tích của hai tam giác cịn lại.

6. Cho hình bình hành ABCD có diện tích là S. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi N là giao điểm AM và

BD. Tính diện tích tứ giác MNDC theo S.

7. Cho hình thang có độ dài hai đường chéo là 3cm và 5cm. Độ dài đoạn nối trung điểm hai đáy là 2cm.

Tính diện tích hình thang.

8. Ta nói ABCDE là ngũ giác đặc biệt nếu mỗi đường chéo song song với một cạnh tương ứng (h.56).

Nói cách khác BD // EA, EB// DC, AC// ED, CE// BA và DA// CB. Gọi X, Y, Z, V, W là giao điểm các
đường chéo như hình vẽ.

Chứng minh rằng nếu ABCDE là ngũ giác đặc biệt thì 5 tam giác AXY, BYZ, CZV, DVW và EWX có
diện tích bằng nhau và bản thân ngũ giácXYZVW cũng là ngũ giác đặc biệt.

9. Cho tam giác ABC nhọn. Xác định vị trí điểm M nằm trong tam giác sao cho AM. BC + BM. CA +

CM. AB đạt giá trị nhỏ nhất.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Chuyên đề Diện tích đa giác Toán 8

<i><b>Chuyên đề </b></i>

<b>DIỆN TÍCH ĐA GIÁC </b>

<b>I. Kiến thức cần nhớ </b>

1

d

2

S

= S

a

3

.

4

<b>II. Một số ví dụ </b>

2

2

2

BN =