Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM MIN, MAX LIÊN QUAN

ĐẾN SỐ PHỨC

1. Kiến thức cần nhớ

- Mô đun của số phức z = a + bi là z  a2b2 0
- Bất đẳng thức Cô-si: x y 2 xy với x y, 0

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki:



a2b2



c2d2







ac bd



- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: z1  z2  z1z2  z1  z2

2. Một số dạng tốn thƣờng gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mơ đun nhỏ nhất, lớn nhất. 
Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Gọi số phức z x yi x y



, R



- Bƣớc 2: Thay z và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của x,y

- Bƣớc 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra x y, z.

Ví dụ: Cho z z1; 2 thỏa mãn z1z2 1; z1z2 3. Tính maxT  z1  z2 .
A. 8

B. 10
C. 4
D. 10

Giải

Đặt z1 x1 y i z1; 2 x2y i2 . ( ,x y x y1 1, 2, 2R). Điều kiện đã cho trở thành

+) z1z2 1 x1y i1  x2 y i2  1 (x1x2)2(y1y2)2 1

2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

x x y y x x y y

       (1)

+) z1z2  3 x1y i1  x2 y i2 3

2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 9

x x y y x x y y

       (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được x12x22y12y22 5
+) T  z1  z2  x12y12  x22y22

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2









1 1 2 2 1 2 1 2

1. 1. 1 1 .

T  x y  x y   x x y y

2.5 10

   maxT  10.
Đáp án D.

Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này.

Phƣơng pháp:

Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+) Đường thẳng

+) Đường tròn
+) Đường elip
+) Parabol

Bƣớc 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mơ đun

Số phức z x yi x y( , R) có điểm biểu diễn là M x y( , ). Mô đun của số phức z là độ dài đoạn thẳng
OM với O là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức z x yi thỏa mãn z 2 4i  z 2i đồng thời có mơ đun nhỏ nhất. Tính

2 2

N x y

A. N = 8
B. N = 10
C. N = 16
D. N = 26

Giải

Gọi M x y( , ) là điểm biểu diễn của số phức z x yi

+) z 2 4i  z 2i  (x 2)2(y4)2x2(y2)2   4x 4 8y16  4y 4

4x 4y 16 x y 4 0

      

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của z là một đường thẳng x  y 4 0
+) N x2y2  z2

N

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3
(2, 2)

M

 N2222 8
Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mơ đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trƣớc. 
Phƣơng pháp:

- Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho z thỏa mãn z 2 4i  5. Tìm max z .
A. 3 5

B. 5
C. 5
D. 13

Giải

Dấu hiệu: Đề bài u cầu tính max của một mơ đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.
Ta có: z   2 4i   z 2 4i  z 20  5 z 20 53 5

 max z 3 5
Đáp án A.

3. Bài tập

Bài 1: Tìm số phức z có z 1 và

max:

z i

A. 1 B. 1 C. i D. i

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
Đặt z a bi  thì z  a b ; z i  a  



b 1



Khi đó ta có: 2 2 2





2 2 2

1 1 1; 1 2 1 2 2 2

z  a b   b z i  a  b  a  b b  b 
Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi a0;b1;zi.

Chọn C.

Bài 2: Trong các số phức z thỏa mãn z 1. Tìm số phức z để 1 z 3 1z đạt giá trị lớn nhất.

A. 4 3 , 4 3 .

5 5 5 5

z   i z   i B. 3 , 3 .

5 5

z  i z i

C. 4 3 , 4 3 .

5 5 5 5

z  i z  i D. 3 , 4 3 .

5 5 5

z  i z   i

Lời giải

Giả sử z x yi x y,



, 



Vì z  1 x2 y2  1 x2y2 1
Khi đó:





















2 2 2 2

1 3 1 1 3 1

1 1 3 1 1 2 1 3 1

z z x y x y

x x x x x x

        

           

Xét hàm số f x

 

 2



1 x 3 1x



trên đoạn



1;1



ta có:

 

1 3

 

' 2 ; ' 0

2 1 2 1

f x f x x

x x

 

       

 

 

Ta có:

 

1 6; 4 2 10
5

f   f  

 

Vậy max

2 2

4 3

4 ;

4 5 5

2 10 5

4 3
5
;
1
5 5
x y
x
f f
x y
y x

       
  
     
        


Vậy 4 3 , 4 3 .

5 5 5 5

z   i z   i

Chọn A.

Bài 3: Số phức z có mơ đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện





3 2 13
2

Z   i i  là:

A. z 1 3i B. 2 1

2 2

z  i C. 3 1

2 2

z  i D. 3 15

4 4

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
Lời giải

+ Gọi z x yi

Từ giả thiết ta có:



 

2 2



2 13.
4

x y  x y 

+ Đồng thời 2 2

z  x y lớn nhất. Kiểm tra các đáp án và so sánh.

Chọn D.

Bài 4: Cho số phức z thảo mãn z  4i 2 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. 1 B. 3 C. 7 D. 8

Lời giải

Giả sử z a bi, ta có: a bi  3 4i  4



a3

 

2 b 4



2 16

Đặt 3 4sin 3 4sin

4 4 cos 4 cos 4

a a

b b

 

   

 



     

 

2 2 2 2

9 16sin 24sin 16 32 cos

3 4

41 24sin 32 cos 41 40 sin cos

5 5

z a b   

   

       

 

       

 

Đặt 3 4 2 2 2





cos = ,sin 41 40sin 1.

5 5 z a b

         

Dấu "" xảy ra khi 2 2 .

2 k 2 k

 

            

Vậy min z 1.

Chọn A.

Bài 5: Trong các sô phức thỏa điều kiện z  4i 2 2iz , mô đun nhỏ nhất của số phức z bằng:

A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 3 2

Lời giải

Giả sử số phức z x yi

Theo đề



 



2 2





 

4 2 2 2 4 2 4 0 4 1

z  i i z x  y  x  y       x y y x

Mà z  x2y2  x2 



4 x



2 (thay

 

1 vào)





2 x 2 8 2 2.

   

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6

Bài 6: Tìm số phức Z có mơ đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện





3 2 .
2

Z   i i 

A. 3 15

4 4

z  i B. 1 5

4 4

z  i C. 3 15

4 4

z   i D. 1 5

4 4

z  i

Lời giải

Gọi z x yi x y



, R



  z x yi





13 2 2 39

1 3 2 5 0.

2 8

z   i i  x y  x y 

(Thay các số phức z vào và mơ đun lớn nhất thì ta sẽ chọn).
So với các đáp án trên ta chọn đáp án A.

Chọn A.

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z 1 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
2

T     z i z i

A. maxT 8 2. B. maxT8. C. maxT 4 2. D. maxT4.
Lời giải

Đặt z x yi x y, , ta có:

1 2 1 2

z x yi

2 2 2 2

1 2 2 1 *

x y x y x

Lại có: T       z i z 2 i x



y1



i   x 2



y1



i

2 2 2

2 1 2 1

x y x y

2 2 2 1 2 2 4 2 5

x y y x y x y

Kết hợp với * , ta được:

2 2 2 6 2 2

T x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

2 2

1 1 2 2 2 6 2 2 4

T x y x y

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7

Bài 8: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z i
z


 với z là số phức khá

0 và thỏa mãn z 2. Tính 2Mm.

A. 2 3.
2

M  m B. 2 5.

M  m C. 2M m 10. D. 2M m 6.

Lời giải

Ta có Mặt khác:

Vậy, giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi giá trị lớn nhất của bằng xảy ra khi

2 .

M  m

Chọn B.

1 3

1 1 .

| | 2
i

P

z z

     1 1 1 1.

| | 2
i

z z

   

P 1

2 z 2 ; i P

2 z2 .i

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội 
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng 
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và 
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường 
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp 
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả 
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi 
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và

Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức

<b>PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM MIN, MAX LIÊN QUAN </b>

<b>ĐẾN SỐ PHỨC </b>

<b>1. Kiến thức cần nhớ </b>











<b>2. Một số dạng tốn thƣờng gặp </b>













<b>3. Bài tập </b>

































 









 

 

 







 





 









 







 





 

























<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về