Bài giảng ĐỀ THI HSG 9

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
HUYỆN HOÀI ÂN NĂM HỌC: 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
13 160−
-
53 4 90−
b) B =
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5+ + + − +
Câu 2: (5 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
3
+ 4x
2
- 29x + 24
b) (x
2
– x + 2)
2
+ (x + 2)
2
Câu 3: (3 điểm)
Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
a
3
+ b
3

+ c
3
chia hết cho 3abc.
Câu 4: (3 điểm)
Cho P =
2
2 1 2 2
y
x z
xy x yz y xz z
+ +
+ + + + + +
Biết xyz = 4, tính
P
.
Câu 5: (4 điểm)
Cho M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD. Chứng
minh rằng: MA
2
+ MC
2
= MB
2
+ MD
2

Hết
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP
9
HUYỆN HOÀI ÂN NĂM HỌC: 2010 - 2011

MÔN THI: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1: (5 điểm)
a)
13 2 40 53 2 360A = − − +
(0,5đ)
8 2. 8. 5 5 45 2. 45. 8 8A = − + − + +
(0,5đ)
2 2
( 8 5) ( 45 8)A = − − +
(0,5đ)
8 5 45 8A = − − −
(0,5đ)
5 3 5 4 5A = − − = −
(0,5đ)
b) Vì B > 0 (0,25đ)
2
8 2 10 2 5 2 (8 2 10 2 5 )(8 2 10 2 5 ) 8 2 10 2 5B = + + + + + − + + − +
(0,25đ)
2
16 2 64 4(10 2 5)B = + − +
(0,25đ)
2
16 2 24 8 5B = + −
(0,25đ)
2
16 4 6 2 5B = + −
(0,25đ)
2 2
16 4 ( 5 1)B = + −

(0,25đ)
2
12 4 5B = +
(0,25đ)
2
2(6 2 5)B = +
(0,25đ)
2 2
2( 5 1)B = +
(0,25đ)
Suy ra:
2( 5 1)B = +
(0,25đ)
Câu 2: (5 điểm)
a) x
3
+ 4x
2
- 29x + 24
= x
3
– x
2
+ 5x
2
– 5x – 24x + 24 (0,75đ)
= x
2
( x – 1) + 5x( x – 1) – 24( x – 1) (0,25đ)
= ( x – 1)( x

2
+ 5x – 24) (0,25đ)
= ( x – 1)( x
2
– 3x + 8x – 24) (0,75đ)
= ( x – 1)(x(x – 3) + 8(x – 3)) (0,25đ)
= ( x – 1)( x – 3)( x + 8) (0.25đ)
b) (x
2
– x + 2)
2
+ (x + 2)
2
= x
4
+ x
2
+ 4 – 2x
3
+ 4x
2
– 4x + x
2
– 4x + 4 (0,5đ)
= x
4
– 2x
3
+ 6x
2

– 8x + 8 (0,5đ)
= x
4
+ 4x
2
– 2x
3
– 8x + 2x
2
+ 8 (1đ)
= x
2
( x
2
+ 4) – 2x(x
2
+ 4) +2( x
2
+ 4) (0,25đ)
= ( x
2
+ 4)( x
2
– 2x + 2) (0,25đ)
I
B
A
d
M
J

D
C
Câu 3: (3 điểm)
Ta có: a + b + c = 0 (gt)
Nên: a + b = -c hay c = - (a + b) (1đ)
a
3
+ b
3
+ c
3
= a
3
+ b
3
+ (-( a + b))
3
(0,5đ)
= a
3
+ b
3
– a
3
– 3a
2
b – 3ab
2
– b
3

(0,5đ)
= - 3ab( a + b) (0,5đ)
= 3abc M 3abc (đpcm) (0,5đ)
Câu 4: (3 điểm)
ĐKXĐ:
0, 0, 0x y z≥ ≥ ≥
(0,25đ)
Và xyz = 4 (gt) (0,25đ)
Nên x > 0, y > 0, z > 0 và
xyz
= 2 (0,5đ)
Nhân
z
vào hạng tử thứ nhất, nhân
xz
vào hạng tử thứ hai (0,5đ)
2
2
2 2 2
xyz
xz z
P
xyz xz z xz z
xyz xyz xz
= + +
+ + + +
+ +
(0,25đ)
2 2
2 2 2 2 2 2

xz z
P
xz z z xz xz z
= + +
+ + + + + +
(0,5đ)
2 2
1
2 2
xz z
P
xz z
+ +
= =
+ +
(0,5đ)
Suy ra:
1P =
(0,25đ)
Câu 5: (4 điểm)
Hình vẽ ( 0,5đ)
Qua M kẻ đường thẳng d
⊥
AB nên d
⊥
CD vì
AB//CD, d cắt AB tại I, cắt CD tại J. (1đ)
Tứ giác AIJD là hình chữ nhật vì
0
ˆ

ˆ ˆ
90DAI ADJ AIJ= = =
(0,25đ)
Suy ra: IA = JD (0,25đ)
Do đó: IB = JC ( Vì AB- AI = CD – DJ) (0,25đ)
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông: IAM, MJC, IMB, DMJ, ta có:
MA
2
= IM
2
+ AI
2
MC
2
= MJ
2
+ CJ
2
(0,5đ)
MB
2
= MI
2
+ IB
2
MD
2
= MJ
2
+ DJ

2
Do đó: MA
2
+ MC
2
= IM
2
+ AI
2
+ MJ
2
+ JC
2
(0,25đ)
MB
2
+ MD
2
= MI
2
+ IB
2
+ MJ
2
+ DJ
2
(0,25đ)
Mà: IA = JD nên AI
2
= JD

2
(0,25đ)
IB = JC nên IB
2
= JC
2
(0,25đ)
Suy ra: MA
2
+ MC
2
= MB
2
+ MD
2
(đpcm) (0,25đ)
Ghi chú: - Các cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa.
- Điểm tổng toàn bài không được làm tròn số.