phwong phap toa do trong kh Oxyz

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (596.64 KB, 24 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1

Chủđề 2 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

ℑ 1 TỌA ĐỘĐIỂM VÀ VECTƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I. Tọa độđiểm :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:

1. M x y z( M; M; M)⇔OM =x i y j z kM + M + M

uuuur r r r

2. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) ta có:

AB

=

(

x

B

−

x y

A

;

B

−

y z

A

;

B

−

z

A

)

uuur

;
( )2 ( )2 ( )2

B A B A B A

AB= x −x + y −y + z −z

3. M là trung điểm AB thì M ⎟

⎠
⎞

⎜

⎝

⎛ + + +

2
;
2
;
2

B
A
B
A
B

A x y y z z

x

II. Tọa độ của véctơ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .
1. ar=( ; ; )a a a1 2 3 ⇔ a a i a j a kr= 1r+ 2r+ 3r

2. Cho a=( ; ; )a a a1 2 3
r

và b=( ; ; )b b b1 2 3
r

ta có

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

=
⎧
⎪
= ⇔⎨ =

⎪ =
⎩
r r

a br r± =(a1±b a1; 2±b a2; 3±b3)

k a.r=(ka ka ka1; 2; 3)

a br r. = a b cr r. os(a; )r rb =a b a b1 1+ 2 2+a b3 3

2 2 2

1 2 3

ar = a +a +a

2 1 12 22 2 2 3 23 2

1 2 3 1 2 3

.

s( , )

.

a b

co a b

a

b

+

=

+

r r

(với ar r r r≠0 ,b≠0)
ar và br vng góc ⇔a b1 1. +a b2. 2+a b3. 3 =0

III. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng: 
Tích có hướng của a=( ; ; )a a a1 2 3

và b=( ; ; )b b b1 2 3
r

là :
2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

, ; ; ( ; ; )

b b b b b b

a b ⎛ ⎞ a b a b a b a b a b a b

⎡ ⎤ = ⎜ ⎟= − − −

⎣r r⎦ ⎝ ⎠

Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao

a
r

vàbrcùngphương

1 1

2 2

3 3

a kb
k R a kb a kb
a kb

=
⎧
⎪
⇔ ∃ ∈ = ⇔⎨ =

⎪ =
⎩

r r

a
r

,rb,

c

r

đồng phẳng ⇔ ∃m n R c ma nb, ∈ :r= r+ r
(ar,br không cùng phương)

1.Tính chất :

⎡⎣a br r, ⎤ ⊥⎦ ar ,⎡⎣a br r, ⎤ ⊥⎦ br
⎡⎣a br r, ⎤ =⎦ a br r sin( , )a br r

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2

Diện tích: 1 2. 2

(

.

)

2
2

ABC

S = AB AC − uuur uuurAB AC

Thể tích: VABCD = 1 .

(

, ( )

)

3SABC d C ABC

Thể tích khối hộp:

VABCD.A’B’C’D’= 2SABC.d A ABC

(

', ( )

)

2.Các ứng dụng tích có hướng :

Diện tích tam giác : 1[ , ]
2

ABC

S = uuur uuurAB AC
Thểtích tứ diệnVABCD=1[ , ].

6 AB AC AD

uuur uuur uuur

Thể tích khối hộp:

VABCD.A’B’C’D’ = [AB AD AA, ]. '
uuur uuur uuur

IV.Phương trình mặt cầu:

1. Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình là :(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2
2. Phương trình : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D=0 với A2+B2+C2-D>0

là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính r= A2+B2+C2−D. 
 3.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho (S):

( ) ( ) ( )

x−a2+y−b2+z−c2=R2vaø (α): Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α) :
d > R : (S) ∩α = φ

d = R : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)

*Tìm tiếp điểm H (là h chiếu của tâm I trên mpα)

9 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp(α): ta có ad =nα

9 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)

d < R : α cắt (S) theo đường trịn có pt

(

) (

) ( )

⎩
⎨
⎧

=
+
+
+
α

=
−
+
−
+

− 2

0
D
Cz
By
Ax

:

R
c
z
b
y
a
x
:

(S) 2 2 2

*Tìm bán kính r và tâm H của đường trịn: 
+ bán kính 2 2( ,α)

I
d
R
r= −

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp(α))

9 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp(α) : ta có ad =nα

9 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)

3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

+
=

t
a
z
z

t
a
y
y

t
a
x
x
d

3
o

2
o

1
o

: (1) vaø (S):

( ) ( ) ( )

x−a2+ y−b2+ z−c2=R2 (2)

+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm

CÁC DẠNG TOÁN VI

Ế

T PH

ƯƠ

NG TRÌNH M

Ặ

T C

Ầ

U

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A

ª S(I,R):

(

x−a

) (

2 + y−b

) (

2 + z−c

)

2 =R2(1)

Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB

Tâm I là trung điểm AB

Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(α)

2
2
2
.
.
)
(
C
B
A
D
I
z
C
I
y
B
S
+

+
+
+
+
=
= d(I, ) A.xI
R
I
tâm
cầu
mặt
Pt
α

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Dùng (2) S(I,R): x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 A,B,C,D ∈ mc(S) ⇒

hệ pt, giải tìm a, b, c,
d

Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

S(I,R): x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0(2) 
A,B,C ∈ mc(S): theá tọa tọa A,B,C vào (2).
I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α).

Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d.

Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.

Tiếp diện (α) của mc(S) tại A : (α) qua A,vtptnr=→IA

V. Điều kiện khác

1. Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k ( MA k MBuuur= uuur) thì ta có :

; ;

1 1 1

A B A B A B

M M M

x kx y ky z kz

x y z

k k k

− − −

= = =

− − − Với k ≠ 1

2. G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔

;

3

A B C A B C A B C

G G G

x

y

z

x

=

+ +

y

=

+ +

z

=

+ +

3. G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔

4
4
4

A B C D

G

A B C D

G

A B C D

G

x x x x

x

y y y y

y

z z z z

z
+ + +
⎧ =
⎪
⎪
+ + +
⎪ =
⎨
⎪
+ + +
⎪ =
⎪⎩

B - BÀI TẬP

Bμi 1: Viết tọa độ của các vectơ sau đây: →a= −2→i+→j; →b=7→i−8→k; →c= −9k→; d→=3→i−4→j+5→k

Bμi 2: Cho ba vect¬

→

a

= ( 2;1 ; 0 ),

→

b

= ( 1; -1; 2) ,

→

c

= (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ :

→

u

= 4

→

a

- 2

→

b

+ 3

→

c

b) Chøng minh r»ng 3 vect¬

→

a

→

b

→

c

khơng đồng phẳng .
c) Hãy biểu diển vectơ

→

w

= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬

→

a

,
→

b

,
→

c

Bμi 3: Cho 3 vect¬

→

a

= (1; m; 2),

→

b

= (m+1; 2;1 ) ,

→

c

= (0 ; m-2 ; 2 ). Định m để 3 vectơ đó đồng
phẳng .

Bμi 4: Cho: →a=

(

2; 5;3 ,−

)

→b=

(

0;2; 1 ,−

)

→c=

(

1;7;2

)

. Tìm tọa độ của vectơ:
a) 4 1 3

2
d a b c

→ → → →

= − + b) e a 4b 2c

→ → → →

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4
Bμi 5: Tìm tọa độ của vectơx

→

, biÕt r»ng:
a) a x 0

→ → →

+ = vμ a

(

1; 2;1

)

→

= −

b)a x 4a

→ → →

+ = vμa

(

0; 2;1

)

→

= −

c) a 2x b

→ → →

+ = vμ a

(

5;4; 1

)

→

= − ,

b

(

2; 5;3 .

)

→

=

−

Bμi 6: Cho ba điểm không thẳng hμng: A(1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).B − C − − Hãy tìm tọa độ trọng
tâm G của tam giác ABC.

Bμi 7:Cho bốn diểm không đồng phẳng: A(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).− B C − D− −

Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.

Bμi 8:Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz.

b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.

Bμi 9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:

a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.

Bμi 10:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ
của các đỉnh còn lại.

Bμi 11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đ−ờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nμo ? b) Tìm tọa độ điểm M.

Bμi 12 . Cho ba vect¬ a

(

1; 1;1 ,

)

b

(

4;0; 1 ,

)

→ →

= − = − →c =

(

3;2; 1 .−

)

T×m:

2 2 2 2

) . ; ) . ; ) ;

a ⎜⎛→ → →a b c⎞⎟ b a b c→ ⎛⎜→ →⎟⎞ c a b b c c a→ →+→ →+→ →

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2

) 3 2 . ; ) 4 . 5

d a→− ⎜⎛a b b c b→ → →⎞⎟ +→ → e → →a c b+→ − →c

⎝ ⎠ .

Bμi 13.TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a

→

vμ b

→

(

)

(

)

) 4;3;1 , 1;2;3

a a→= b→= − b a)

(

2;5;4 ,

)

b

(

6;0; 3 .

)

→ →

= = −

Bμi 14.

a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) vμ B(-2; 4; 1).

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vμ C(3; 1; -1).

Bμi 15. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ

a b c

, ,

→ → →

trong mỗi trờng hợp sau đây:

(

)

(

)

(

)

) 1; 1;1 , 0;1; 2 , 4; 2;3

a a→= − b→= →c= b a) →=

(

4;3; 4 ,

)

→b=

(

2; 1; 2 ,−

)

→c=

(

1; 2;1

)

(

)

(

)

(

)

) 4; 2;5 , 3;1;3 , 2;0;1

c a→= b→= →c = d a) →= −

(

3;1; 2 ,−

)

→b=

(

1;1;1 ,

)

→c= −

(

2; 2;1 .

)

Bμi 16. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).

a) Chứng minh rằng A, B, C lμ ba đỉnh của một tam giác.
b) Tính chu vi vμ diện tích ΔABC.

c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC lμ hình bình hμnh.
d) Tính độ dμi đ−ờng cao của ΔABC hạ từ đỉnh A.
e) Tính các góc của ΔABC.

Bμi 17. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D lμ bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD vμ tính độ dμi đ−ờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

Bμi 18. Cho Δ ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dμi đ−ờng phân giác
trong của góc B.

Bμi 19.Trong kh«ng gian Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

5

c) Tính độ dμi đ−ờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
d) Tính góc ABC vμ góc giữa hai đ−ờng thẳng AB, CD.

Bμi 20. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).

a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D khơng đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .

c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d) Tìm tọa độ chân đ−ờng cao của tứ diện vẽ từ D .

Bμi 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) Tìm độ dμi các cạnh của tam giác ABC.

b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC

Bài 22: Trong khơng gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính F =⎣⎡uuur uuur uuurAB AC, ⎤⎦.(OA+3CuuurB).

b) Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật, tính diện tích hình chữ nhật đó.
c) Cho S(0;0;5). Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp. Tính thể tích khốichóp đó
Bài 23: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)

a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.

c) Tính các góc của tam giác ABC.
d) Tính diện tích tam giác BCD.

e) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từđỉnh A.

Bài 24: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3),
C’(1;2;3).

a) Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.
b) Tính thể tích hình hộp.

c) Tìm tọa độđiểm H là hình chiếu vng góc của D lên đoạn A’C.
Bài 25:

a/ Cho ba điểm A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng
b/ Tìm trên Oy điểm cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).

c/ Tìm trên mp(Oxz) điểm cách đều ba điểm A(1 ; 1; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ;1 ; -1).
Bài 26: Trong không gian Oxyz cho A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1 ; 1 ; 1)

a) Chứng minh bốn điểm đó khơng đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.
c) Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD

d) Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD
e) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 27 :Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Tâm I(1 ; 0 ; -1), đường kính bằng 8.

b) Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)

c) Tâm O(0 ; 0 ; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1
d) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).

e) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy).

Bài 28: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Đi qua ba điểm A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.

c) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)

Bài 29: Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m để nó là phương
trình một mặt cầu và tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

Bài 30: Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau:
a) x2 + y2 + z2 -2x + 4y -8z +12 = 0

b) x2 + y2 + z2 –6y +2z –6 =0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

6
Bài 31: Chứng minh rằng mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S), tìm tâm và bán kính của đường trịn
thiết diện:

a) (S): x2 + y2 + z2 – 8x – 4y + 2z –43 = 0 ; (α): 2x – y +z +7 =0 
b) (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2y - 2z –19 = 0 ; (α): x +2y -z -5 =0

Bài 32 : Trong khơng gian Oxyz, hãy viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau
1/ Có tâm I(5;-3;7) và có bán kính r = 2.

2/ Có tâm I(4;-4;2) và đi qua gốc tọa độ.
3/ Có tâm I(3;-2;1) và đi qua điểm M(2;-1;-3).
4/ Có tâm I(1;0;-1) và đường kính bằng 8.

5/ Tâm I(1,-3,2) và bán kính R = 5
6/ Tâm I(2,4,-1) và đi qua A(5,2,3)
7/ Tâm I(0,3,-2) và đi qua gốc tọa độ O
8/ Đường kính AB với A(1,-2,4) , B(3,-4,-2)

9/ Có tâm O(0;0;0) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm (3;-2;4), bán kính bằng 1.

10/ Tâm I(2,1,-4) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 7 = 0

11/ Tâm I(1,-2,1) và tiếp xúc với đường thẳng (d) : x = 1 + 4t; y = 3 – 2t ; z = 4t – 2
12/ Tâm I(-5,1,1) và tiếp xúc với mặt cầu (S’) : x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0

13/ Qua 3 điểm E(1;2;0), F(-1;1;3), G(2;0;-1) và có tâm nằm trong (xOz).
14/ Ngoại tiếp hình chóp A.BCD với A(1;0;2), B(2;-1;1), C(0;2;1), D(-1;3;0).

15/ Qua 4 ủieồm O, M , N , P vụựi M , N , P laứ giao ủieồm cuỷa mp(P):x–3y+2z–6=0 với 3 trục
tọa độ.

ℑ

2. M

Ặ

T PH

Ẳ

NG

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
I. Phương trình mặt phẳng:

Định nghĩa :

Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 
 với A2+B2+C2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến là nr=( ; ; )A B C
 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận n=( ; ; )A B C

làm vectơ pháp tuyến có 
phương trình dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Nếu (P) có cặp vectơ ar=( ; ; ), b ( ; ; )a a a1 2 3 r= b b b1 2 3 không cùng phương và có giá song song
hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định ,nr= ⎣ ⎦⎡a br r⎤

Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng : 
Trong không gian Oxyz cho mp( )α : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:

D = 0 khi và chỉ khi ( )α đi qua gốc tọa độ.

A=0 ,B 0≠ ,C 0≠ , D 0≠ khi và chỉ khi ( )α song song với trục Ox

A=0 ,B = 0 ,C 0≠ , D 0≠ khi và chỉ khi ( )α song song mp (Oxy )
A,B,C,D 0≠ . Đặt a D , b D ,c D

A B C

= − = − = − Khi đó ( ) : x y z 1

a b c

α

+ + =

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

7
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D=0 và (α’):A’x+B’y+C’z+D’=0
(α)cắt (α’) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’

(α) // (α’) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(α) ≡ (α’) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Đặc biệt

(α) ⊥ (α’) ⇔n n1. 2 = ⇔0 A A B B C C. '+ . '+ . ' 0=
ur uur

CÁC DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP

Dạng 1:Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :

° Caëp vtcp: →

AB,AC→ °

]
)
(

→
→
=[AB ,AC
n

vtpt
qua

C
hay
B
hay
A
α

Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB :

° →

=AB

vtpt

AB
điểm
trung
M
qua

nr
α

Dạng 3:Mặt phẳng (α) qua M và ⊥ d (hoặc AB)

)
....(AB
n →

⊥(d)nên vtpt =ad
Vì

M
qua

Dạng 4:Mpα qua M vaø // (β): Ax + By + Cz + D = 0

β
α
β

α quaVì M// nên vtpt nr =nr

Dạng 5: Mp(α) chứa (d) và song song (d/)

Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
Mp(α) chứa (d) nên ad =aα

Mp(α) song song (d/) neân

α
b
ad/ =
■ Vtpt n=

[

ad,ad/

]

Dạng 6Mp(α) qua M,N và ⊥β :
■ Mp (α) qua M,N neân MN =aα
■ Mp (α) ⊥ mp (β) neân nβ =bα

]
,

[ β

α

n
n

vtpt

N)
(hay
M
qua

r
r = MN→

Dạng 7Mp(α) chứa (d) và đi qua M
■ Mp(α) chứa d nên ad =aα

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

8
°

]
,

[ AM

n
vtpt

A
qua

→
= ad
r

α

B. BÀI T

Ậ

P:

Bài 33: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vng góc với mp(ABC).
Bài 34: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z - 4=0 và
(Q): x - 2y - 2z + 4=0

a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc nhau.

b) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A,B,C. Tính diện tích tam giác ABC.
c) Chứng tỏ rằng gốc tọa độ O khơng thuộc mặt phẳng (P), từ đó tính thể tích tứ diện

OABC.

Bài 35: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0

a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P).
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độđến mặt phẳng (P). ( TNPT năm 1993)

Bài 36: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau

b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và đi
qua A(-1;2;3).

c) Lập phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song
song với Oz.

d) Lập phương trình mặt phẳng (γ ) đi qua gốc tọa độ O và vng góc với hai mặt phẳng
(P) và (Q).

Bài 37: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và
(Q): mx - 6y - 6z + 2 = 0

a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q), hãy tính khoảng
cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d).

Bài 38: Trong không gian cho 3 điểm A(2;-1;1) , B(1;-4;1) , C(1;0;1) . Lập phương trình mặt
phẳng (ABC)

Bài 39: Cho 2 điểm A(2;-1;3), B(2;1;-1). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của AB

Bài 40: Cho 2 điểm A (7;2;-3), B(5;6;-4). Lập phương trình mặt phẳng (P) chứaA , B và song

song với trục hoành .

Bài 41: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(2;-1;1) và vng góc với các mặt phẳng :

2x – z + 1 = 0 ; y = 0 .

Bài 42: Cho 2 điểm A(1;-1;-2) và B(3;1;1) và mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 5 = 0 . Lập
phưong trình mặt phẳng (Q) đi qua A , B và vng góc với mặt phẳng (P) .

Bài 43:Trong không gian Oxyz, lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)
1/ Đi qua điểm M(3,-2,5) và vng góc với vectơ n = (4,-3,2)

2/ Đi qua điểm N(1,6,-2) và vng góc với (D) đi qua 2 điểm A(2,-5,6), B(-1,-3,2)
3/ Đi qua điểm E(-2,3,1) và có cặp vectơ chỉ phương a = (3,-5,2) , b = (1,-4,3)
4/ Đi qua 2 điểm A(4,0,2) , B(1,3,-2) và có 1 VTCP a = ( 4,5,3)

5/ Đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,-2,4) , B(3,2,-1), C(-2,1,-3)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

9

8/ Đi qua 2 điểm A(1,3,-5) , B(-2,-1,1) và song song với trục x’Ox .
9/ Đi qua điểm M(2,-5,3) và vng góc với OM

10/ Đi qua điểm N(2,-3,4) và vng góc với trục y’Oy

11/ (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(3,-2,5) , B(-5,4,7)
12/ Đi qua điểm E(-4,3,-2) và chứa trục y’Oy

13/ Đi qua 2 điểm A(2,-1,4) , B(3,2,1) và vng góc mặt phẳng (Q) : 2x – y + 3z - 5 = 0
14/ Qua điểm M(-1,4,-3) và vng góc với hai mặt phẳng (Q) : x – 2y + z + 4 = 0 ;

(R): 3x + y – 2z – 1 = 0.

Bài 44: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) :
a. Chứa trục Ox và điểm A (4,-1,2)

b. Chứa trục Oy và điểm B (1,4,3)
c. Chứa trục Oz và điểm C (3,-1,7)

Bài 45: Viết phương trình mặt phẳng (P):

a/ Song song với (Q): 3x – y – 2z + 4 = 0 và hợp với 3 mặt phẳng tọa độ 1 tứ diện có thể tích
bằng 8.

b/ Qua M(4;2;8) và tạo cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho
OA:OB:OC = 1:2:3

ℑ

3.

ĐƯỜ

NG TH

Ẳ

NG

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I. Phương trình đường thẳng:
Định nghĩa :

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ

phương ar=( ; ; )a a a1 2 3 :

0 1

0 2

0 3

(t R)

x x a t

y y a t

z z a t

= +
⎧

⎪ = + ∈

⎨

⎪ = +
⎩

Nếu a1, a2 , a3 đều khác không. Phương trình đường thẳngΔ viết dưới dạng chính

tắc như sau:

0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

− = − = −

II Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:

Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao

1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng
' '

1
1

' '

2 2

' '

0 3 3

: ' : '

o
o

o o

o

x x a t

d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

⎧ = +
= +

⎧

⎪

⎪ = + = +

⎨ ⎨

⎪ = + ⎪ = +

⎩ ⎩

d cóvtcp

u

r

đi qua Mo;d’có vtcp

u

'

ur

đi quaMo’

u

r

,

u

ur

'

cùng phương

d // d’⇔
0

'
'
u ku

M d

⎧ =
⎪

⎨ ∉

⎪⎩

r ur

1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng
' '

1
1

' '

2 2

' '

0 3 3

: ' : '

o
o

o o

o

x x a t

d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

⎧ = +
= +

⎧

⎪

⎪ = + = +

⎨ ⎨

⎪ = + ⎪ = +

⎩ ⎩

d có vtcp

u

r

điqua Mo;d’cóvtcp

u

'

ur

điqua Mo’

(d) // (d’) ⇔ [ , ']=0
Mo '

u u
d
⎧⎪
⎨

∉
⎪⎩

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

10

d ≡ d’⇔
0
'
'
u ku
M d
⎧ =
⎪
⎨
∈
⎪⎩
r ur

u

r

,

u

ur

'

không cùng phương

' '

1 1

' '

2 2

' '

0 3 3

'
'
'
o o
o o
o

x a t x a t

y a t y a t

z a t z a t

⎧ + = +
⎪
+ = +
⎨

⎪ + = +
⎩
(I)

dcắtd’⇔HệPtrình (I) có một nghiệm

d chéo d’⇔Hệ Ptrình (I) vơ nghiệm

(d) ≡ (d’) ⇔
0
[ , ']=0

M '
u u
d
⎧⎪
⎨
∈
⎪⎩

r ur r

(d) cắt (d’) ⇔

'
0
, ' 0

, ' . o 0

u u

u u M M
⎧⎡⎣ ⎤ ≠⎦
⎪
⎨
⎡ ⎤ =
⎪⎣ ⎦
⎩
r ur
uuuuuur
r ur

(d) chéo (d’) ⇔ '
0 0

, ' . 0

u u M M

⎡ ⎤ ≠

⎣ ⎦
uuuuuur
r ur

2)Vị trí tương đốicủa đthẳng vàmặtphẳng:
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D=0

và

1
2
0 3
:
o
o

x x a t

d y y a t

z z a t

= +
⎧
⎪ = +
⎨
⎪ = +
⎩

pt:A(xo+a1t)+B(yo+a2t)+C(z0+a3t)+D=0(1) 
P.trình (1) vơ nghiệm thì d // (α)

P.trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)
P. trình (1) có vơ số nghiệm thì d⊂(α)
Đặc biệt :

(d) ⊥ (α) ⇔ a nr r, cùng phương

2)Vị trí tương đốicủa đthẳng vàmặtphẳng:

Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng
d qua M(x0;y0;z0) có vtcp

a

=

( ; ; )

a a a

1 2 3

r

và(α): Ax+By+Cz+D=0 cóvtpt nr=( ; ; )A B C
d cắt (α) ⇔ .a nr r≠0

d // (α) ⇔ . 0
( )
a n
M α
⎧ =
⎪
⎨
∉
⎪⎩
r r

d⊂ (α) ⇔ . 0
( )
a n
M α
⎧ =
⎪
⎨
∈
⎪⎩
r r

(Bổ sungkiếnthức chươngtrình nâng cao)

3) Khoảng cách:

Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:
( )2 ( )2 ( )2

B A B A B A

AB= x −x + y −y + z −z

Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi công thức
0 0 0

0 2 2 2

( ,( )) By Cz D

d M

A B C

α = + + +

+ +

Khoảng cách từ M đến đường thẳng d
Phương pháp :

Lập ptmp(α)đi quaM vàvnggócvới d

Tìm tọa độ giao điểm Hcủa mp(α) và d

d(M, d) =MH

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
d điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp

a

=

( ; ; )

a a a

1 2 3

r

d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp

a

' ( ' ; ' ; ' )

=

a a a

1 2 3

uur

Phương pháp :

Lập ptmp(α)chứa d và songsong với d’

d(d,d’)= d(M’,(α))

Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng d
( d đi qua M0 có vtcp

u

r

)
0

[M

, ]

( , )

M u

d M d

u

=

uuuuur r

r

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
d điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp

a

=

( ; ; )

a a a

1 2 3

r

d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp

a

' ( ' ; ' ; ' )

=

a a a

1 2 3

uur

[ , '].

'

( , ')

[ , ']

hop
day

a a MM

V

d d d

S

a a

=

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

11
Gọiφ là góc giữa hai mặt phẳng (00≤φ≤900)

(P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
P

P 2 2 2 2 2 2

P Q

n . A.A' . ' . '

os = cos(n , )

n . n . ' ' '

Q
Q

n B B C C

c n

A B C A B C

ϕ = = + +

+ + + +

uur uur
uur uur

uur uur

Góc giữa hai đường thẳng

(Δ) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

a

=

( ; ; )

a a a

1 2 3

r

(Δ’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP

a

' ( ' ; ' ; ' )

=

a a a

1 2 3

uur

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

. '

. '

os

os( , ')

. '

.

'

a a

a a

c

a a

a

ϕ

=

+

r uur

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
(Δ) đi qua M0 có VTCP

a

r

, mp(α) có VTPT nr=( ; ; )A B C
Gọi φ là góc hợp bởi (Δ) và mp(α)

2 21 2 2 2 3 2 2

1 2 3

Aa +Ba +Ca

sin

os( , )

A

.

c

a n

B

C

a

ϕ

=

+

r r

CÁC D

Ạ

NG TOÁN VI

Ế

T PH

ƯƠ

NG TRÌNH

ĐƯỜ

NG TH

Ẳ

NG

TRONG KHƠNG GIAN

Dạng 1:

:

Đường thẳng (d) đi qua A,B

⎩
⎨
⎧
= AB
a
Vtcp
hayB
quaA
d
d

)
(
)
(

Dạng 2:

Đường thẳng (d) qua A và song song (

Δ

)

Δ
=
Δ)nên vtcp ad a
(
//
(d)
Vì
qua
r
r
A
d)
(

Dạng 3:

Đường thẳng (d) qua A và vng góc mp(

α

)

α
α n
d
a
vtcp
nên
)

(
(d)
Vì
qua
r
r =
⊥
A
d)
(

Dạng4:

PT d’ hình chiếu của d lên

α

: d

/

=

α

∩

β

Viết pt mpβ chứa (d) và vng góc mpα

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

12

Dạng 5:

Đường thẳng (d) qua A và vng góc (d

1

), (d

2

)

]
d
a
,
d
a
[
a
vtcp
qua

1 2
)

(d Ar = r r

Daïng 6: PT d vuông góc chung của d

1

và d

2

:

+

Tìm

ad

= [

ard1

,

ard2

]

+

Mp (

α

) chứa d

, (d); mp(

β

) chứa d

, (d)

⇒

d =

α

∩

β

Daïng 7: PT qua A và d cắt d

1

,d

2

: d = (

α

)

∩

(

β

)

với mp(

α

) = (A,d

) ; mp(

β

) = (A,d

)

Dạng 8: PT d //

Δ

và cắt d

1

,d

2

: d = (

α

1

)

∩

(

α

2

)

với mp (

α

) chứa d

//

Δ

; mp (

α

) chứa d

//

Δ

Dạng 9: PT d qua A và

⊥

d

1

, caét d

2

: d = AB

với mp (

α

) qua A,

⊥

d

; B = d

∩

(

α

)

Dạng 10: PT d

⊥

(P) cắt d

1

, d

2

: d = (

α

)

∩

(

β

)

với mp(

α

) chứa d

,

⊥

(P) ; mp(

β

) chứa d

,

⊥

(P)

B. BÀI T

Ậ

P

Bài 46: Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng (d) trong các trường hợp

1/ Đi qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2).

2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng
(P) : 2x – z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

3/ Viết phương trình tham số, chính tắc của đuờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : 2P x+ − + =y z 4 0 , ( ) :Q x− +y 2z+ =2 0

4/ Đi qua điểm (2;0;-1) và có VTCP (-1;3;5)
5/ Đi qua điểm (-2;1;-1) và có VTCP (0;0;-5)
6/ Đi qua 2 điểm (2;3;-1) và (1;2;4)

7/ Đi qua điểm (4;2;-2) và song song với đường thẳng AB với A(5;3;2) và B(2;1;-2)
8/ Qua điểm (-1;4;3) và vng góc với trục z’Oz tại K

9/ Qua (3;2;-1) và song song với trục Ox.

10/ Qua (2;-5;3) và song song với đường thẳng (d’): 2 3 5

3 4 2

x− = y− = z−

− −

11/ Qua (-2;3;4) và vng góc với mặt phẳng (xOy)

12/ Qua (1;-2;5) và vng góc với mp (P): 4x–3y+2z+5 = 0

13/ (d) là hình chiếu vng góc của đường thẳng (d’): 2 1 3

3 2

x y

z
− = + = +

trên mặt phẳng
(P): 2x – y + 2z + 3 = 0.

Bài 47 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một đường

thẳng (Δ) có phương trình : 9 2 ,
5 3
x t

y t t R

z t

=
⎧

⎪ = + ∈

⎨
⎪ = +

⎩

a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

13
c) Chứng tỏ rằng mọi điểm M của đường thẳng (Δ) đều thỏa mãn AM ⊥ BC, BM ⊥ AC,

CM ⊥ AB.
Bài 48: Cho hai đường thẳng:

x=2+t
2 '

( ) : 3 ( '): y=1-t , '
z=2t
1 '

x t

t t R
y

z t

= − ⎧

⎧

⎪ ⎪

Δ ⎨ = Δ ⎨ ∈

⎪ = + ⎪

⎩ ⎩

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (Δ) và (Δ’) không cắt nhau nhưng vng góc nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (Δ)và (Δ’).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (Δ) và vng góc với (Δ’).
d) Viết phương trình đường vng góc chung của (Δ)và (Δ’).

Bài 49: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3),C(3;-3;-1),D(-1;-5;3).
a) Lập phương trình tham sốđường thẳng AB.

b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vng góc với đường thẳng AB.

c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vng góc của đường thẳng CD
xuống mặt phẳng (P).

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài 50: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
a) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC).
d) Tìm tọa độđiểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).

e) Tìm tọa độđiểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
Bài 51: Cho đường thẳng

( ) : 4
1 2

x t

y t

z t

= − +
⎧

⎪

Δ ⎨ =

⎪ = − +
⎩

và mp (P) : x + y + z - 7=0
a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (Δ) và (P).

c) Viết phương trình hình chiếu vng góc của (Δ) trên mp(P).

Bài 52: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (Δ) và (Δ’) lần lượt có phương
trình:

7 3

1 2 5

: ; ' : 2 2

2 3 4

1 2

x t

x y z

y t

z t

= +
⎧

− + − ⎪

Δ = = Δ ⎨ = +

− ⎪ = −

⎩

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (Δ) và (Δ’) cùng nằm trong mặt phẳng (α)
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α)

c) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc và cắt cả hai đường thẳng (Δ) và (Δ’) .
Bài 53: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường thẳng
(Δ): x = 5 + t ; y = -1 + 2t ; z = - 4 + 3t .

a/ Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, B, C. Chứng minh rằng (α) và (Δ) vng góc nhau,
tìm tọa độ giao điểm H của chúng.

b/ Chuyển phương trình của (Δ) về dạng chính tắc. Tính khoảng cách từđiểm M(4;-1;1) đến (Δ).

c/ Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (Δ), biết (d) và (Δ) cắt nhau.
Bài 54: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:

1/ Qua (3;2;2) và vng góc với mp(xOy)
2/ Qua (2;3;4) và vng góc với trục y’Oy tại H

3/ Qua (-1;3;5) và song song với đường thẳng

( ) : 4
1 2

x t

y t

z t

= − +
⎧

⎪

Δ ⎨ =

⎪ = − +
⎩

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

14
Bài 55: Cho tam giác ABC, với A(3;2;-1), B(1;4;-2) và C(5;-2;3). Viết phương trình tổng quát
của:

1/ Trung tuyến AM

2/ Đường trung trực của BC trong tam giác ABC
3/ Đường cao AH

4/ Đường phân giác ngồi AD của góc A.

Bài 56: Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng (d)

1/ Song song với đường thẳng(d1): 1 1

2 1 2

x= y− = z−

− và cắt hai đường thẳng (d2):

1
2
1
x t

y t

z t

= −
⎧
⎪ =
⎨
⎪ = −
⎩

và

(d3): 2 1 3

3 2

x y

z
− = + = +

2/ Qua (2;3;-1) và cắt hai đường thẳng (d1): 2 1 1

2 3

y z

x− = − = −

− ; (d2):

3 4
1

2 3

x t

y t

z t

= −
⎧

⎪ = +
⎨

⎪ = − +
⎩

3/ Qua (3;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng (d1): 2 1 1

2 3

y z

x− = − = −

− ; (d2):

3 4
1

2 3

x t

y t

z t

= −
⎧

⎪ = +
⎨

⎪ = − +
⎩

Bài 57: Tìm phương trình tổng quát của (d) biết (d) là hình chiếu vng góc của đường thẳng

(d’): 2 1 3

3 2

x y

z

− = + = + trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z+3 =0

Bài 58: Tìm phương trình tổng quát của (d) trong các trường hợp sau: (d) là hình chiếu vng
góc của đường thẳng (d’): 1 2 3

2 3 1

x− = y+ = z−

a. Trên mặt phẳng Oxy
b. Trên mặt phẳng Oxz
c. Trên mặt phẳng Oyz

Bài 59: Cho điểm M(1;2;-1), tìm tọa độ hình chiếu của điểm M
1/ Trên đường thẳng (d): 1 1

2 1 2

x= y− = z−
−

2/ Trên đường thẳng (d):

3 4
1

2 3

x t

y t

z t

= −
⎧

⎪ = +
⎨

⎪ = − +
⎩

Bài 60: Cho điểm M(1;2;-1), tìm tọa độ hình chiếu của điểm M
1/ Trên mặt phẳng (P): 2x + y – 3z = 0

2/ Trên mặt phẳng Oxy

3/ Trên mặt phẳng Oxz
4/ Trên mặt phẳng Oyz

Bài 61: Cho điểm M(1;2;0), và đường thẳng (d): 2 1 1

2 3 2

x+ = y− = z−

1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (d)
2/ Tìm tọa độđiểm N đối xứng của M qua (d)

Bài 62: Cho điểm A(2;3;1) và đường thẳng (d):

3 4
1 2
2 3

x t

y t

z t

= −
⎧

⎪ = −
⎨
⎪ = +

⎩

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

15
2/ Tính tọa độ của H và B.

Bài 63: Cho đường thẳng (d): 1 1

2 1 2

x= y− = z−

− và điểm M(1;2;3)
1/ Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với (d)
2/ Tính tọa độ giao điểm A của (P) và (d)

3/ Tìm phương trình đường thẳng MA

4/ Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d), tính MN.

Bài 64: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) :
⎩
⎨
⎧

=
−
+
−

−

0
3
2

0
2

z
y
x

z
x

và vng
góc với mặt phẳng (P): x – 2y + z + 5 = 0

Bài 65: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình :
(P) : 6x – y + 4z – 5 = 0 ; (d) :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

+
−
=

−
=

t
z

t
y

t
x

4
1

2
7

3
2

a. Chứng minh (d) // ( P)

b. Tìm khoảng cách từ (d) đến (P) .

Bài 66: Cho hai đường thẳng (d1) :

2
3
1

1
2

−
−
=
−
=

− y z

x ;(d

1) :

1
1
2

3 = −

−
+
=

− y z

x

a. Chứng minh rằng ( d1) chéo với (d2)

b. Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

Bài 67: Cho 4 điểm S(1,2,-1) , A(3,4,-1) , B(1,4,1) , C(3,2,1)

1. Chứng minh S.ABC là hình chóp
2. Tìm phương trình tổng qt của SA , BC
3. Tìm phương trình mặt phẳng (ABC)
4. Tính khoảng cách giữa SA và BC

5. Tìm phương trình đường thẳng vng góc chung của SA và BC
6. Tính đường cao và thể tích hình chóp

Bài 68: Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng :3x - 2y + z – 3 = 0 ;

x – 2z = 0 và vng góc với mặt phẳng: x – 2y + z + 5 = 0

Bài 69: Lâïp phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2,-1,5) và vng góc với 2 mặt phẳng có

phương trình: (P): 3x – 2y + z + 7 = 0; (Q) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0

Bài 70: Định m để 2 mặt phẳng sau

(P1): (m+2)x + (2m+1)y +3z + 2 = 0
(P2): (m+1)x + 2y +(m+1)z - 1 = 0

a/ Song song b/ Cắt nhau c/ Trùng nhau

BÀI TẬP TỔNG HỢP:

Bài 71: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 -2x - 4y - 6z = 0 và hai điểm 
M(1;1;1), N(2;-1;5).

a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
b/ Viết phương trình đường thẳng MN.

c/ Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu (S).

d/ Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng MN. Viết phương trình mặt phẳng tiếp
xúc với mặt cầu tại các giao điểm.

Bài 72: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0).
a/ Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.

b/ Tính thể tích tứ diện ABCD.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

16

d/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm và bán kính mặt cầu
đó

e/ Gọi (T) là đường trịn qua ba điểm A,B,C . Hãy tìm tâm và tính bán kính của đường trịn (T)

Bài 73: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + 6=0

a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).Từđó suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)
theo một đường trịn mà ta ký hiệu là (C). Tính bán kính R và tọa độ tâm H của đường tròn (C).
Bài 74: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0, điểm I(1;2;-2) và đường
thẳng

1 2

( ) : ,

x t

d y t t R

z t

= − +
⎧

⎪ = ∈

⎨

⎪ = +
⎩

a/ Tìm giao điểm của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P).

b/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
c/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) và I.

d/ Viết phương trình đường thẳng (d’) nằm trong (P), cắt (d) và vng góc (d).
Bài 75: Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;2) , B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
a/ Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.

b/ Gọi A’ là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt
cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.

c/ Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’.

Bài 76: Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3)

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc OC tại C. Chứng minh O,B,C thẳng hàng. Xét vị
trí tương đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính R= 2 với mặt phẳng (P).

b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vng góc của đường thẳng AB lên
mặt phẳng (P).

Bài 77: Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x + y + z – 1 = 0, mp(P) cắt các trục tọa độ tại

A, B, C.

a/ Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa

độ giao điểm D của (d):

2
,
3 3

x t

t R

y t

z t

= +
⎧

⎪ = − ∈

⎨

⎪ = − −
⎩

với mp(Oxy). Tính thể tích tứ diện ABCD.

b/ Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp tam
giác ACD. Xác định tâm và tính bán kính của đường trịn đó.

Bài 78: Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi:
(2; 4; 1), 4 , (2; 4;3), 2 2

A= − OB iuuur r= + r rj k C− = ODuuur= +ri r rj k−

a/ Chứng minh AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

b/ Viết phương trình tham số của đường (d) vng góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Tính góc giữa (d) và mặt phẳng (ABD).

c/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A, B, C, D.Viết phương trình tiếp diện (α ) của (S)
song song với mặt phẳng (ABD).

Bài 79: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mp(P): x+y+z–2 = 0.
a) Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P).

b) Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC

c/ Cho D(0;3;0).Chứng tỏ rằng DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách giữa đường
thẳng DC và mặt phẳng (P).

Bài 80: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).

a/ Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu.
b/ Viết phương trình mặt phẳng(ABC).

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

17

d/ Tìm tọa độ tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 81: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0
a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).

b/ Gọi A,B,C lần lượt là giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) của mặt cầu (S) với các trục tọa độ
Ox,Oy,Oz.Tính tọa độ A,B,C và viết phương trình mặt phẳng (ABC).

c/ Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.Từ đó hãy xác định tâm và bán kính đường
trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 82:Cho hai dường thẳng 1: 2

2 3 4

x y+ z

Δ = = và 2

: 2 ,

1 2

x t

y t t R

z t

= +
⎧
⎪

Δ ⎨ = + ∈

⎪ = +
⎩

a/. Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa Δ1và song song với Δ2.

b/. Cho điểm M(2;1;4).Tìm tọa độđiểm H thuộc đường thẳng Δ2sao cho đoạn MH có độ
dài nhỏ nhất.

Bài 83: Cho hai điểm A(2;0;0) ,B(0;0;8) và điểm C sao cho uuurAC=(0;6;0).Tính khoảng cách từ
trung điểm I của BC đến đường thẳng OA .

Bài 84: Trong không Oxyz cho mp

( )

β : x+3ky – z +2=0 và

( )

γ :kx – y +z +1=0 . Tìm k để
giao tuyến của

( )

β và

( )

γ vng góc với mặt phẳng

( )

α :x – y – 2z +5=0 .

Bài 85:Trong không gian Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng d:

3 2

1 ,

1 4

x t

y t t R

z t

= − +
⎧

⎪ = − ∈

⎨

⎪ = − +
⎩

Viết phương trình đường thẳng Δđi qua điểm A , cắt và vng góc với đường thẳng d.

Bài 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD , AC cắt BD tại gốc tọa độ O.
Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2 2 ) . Gọi M là trung điểm SC .

a/ Viết phương trình mặt phẳng chứa SA và song song với BM
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.

Bài 87: Trong không gian Oxyz cho điểm D(-3;1;2) và mặt phẳng

( )

α đi qua ba điểm
A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8).
a/ Viết phương trình đường thẳng AC .

b/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

( )

α .

c/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D,bán kính r = 5.Chứng minh mặt phẳng

( )

α cắt mặt cầu

(S).

Bài 88: Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng

( )

α : 2x +y – z – 6 = 0 .
a/ Viết phương trình mặt phẳng

( )

β đi qua O và song song với

( )

α .

b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vng góc với mp

( )

α .
c/ Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng

( )

α .

Bài 89: Cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;5), O(0 ;0 ;0 ) và
đỉnh D đối xứng với O qua tâm của hình hộp chữ nhật .

a/ Xác định tọa độđỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD) .

b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng (ABD) .
Bài 90 : Trong không gian Oxyz, cho A( 6 ;- 2 ;3) ,B(0 ;1 ;6) , C(2 ;0 ;-1), D(4 ;1 ;0)

a/ Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D . Hãy lập phương trình mặt cầu (S)
b/ Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

Bài 91 : Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1), D(1; 1; 0)
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

18
Bài 92: Trong không gian Oxyz cho A( 2;4;-1) ,B(1;4;-1) , C(2 ;4;3), D(2;2;-1).

a/ Chứng minh các đường thẳng AB,AC,AD vng góc với nhau từng đơi một .

b/ Viết phương trình tham số của đường vng góc chung Δcủa hai đường thẳng ABvà CD
c/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D

d/ Viết phương trình mặt phẳng

( )

α tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (ABD)
Bài 93: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;6) , B(-1;7;-2) , C( 1;-3;2), D(5;1;6)

a/ Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng .Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC
b/ Chứng minh A,B,C,D không đồng phẳng.Xác định tọa độ trọng tâm của tứ diện .
c/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD .

d/ Tính diện tích các tam giác là các mặt của tứ diện.
e/ Tìm tọa độđiểm I cách đều các đỉnh của tứ diện .

f/ Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của D lên mặt phẳng (ABC)
Bài 94: Trong không gian Oxyz cho ba mặt phẳng có phương trình :
(P): x + y – 2 = 0 , (Q) : x – 3y – z +2 = 0 , (R): 4y + z – 2 = 0

a/ Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau . Viết phương trình tham số của đường
thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) .

b/ Viết phương trình mặt phẳng (T) chứa đường thẳng d và song song với mặt phẳng (R)
Bài 95: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình :
(S) : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 , (P) : 2x – 2y – z +9 = 0

a/ Chứng minh: (P) và (S) cắt nhau .

b/ Xác định tâm và bán kính đường trịn là giao tuyến của của (P) và (S).
Bài 96: Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z – 6 = 0

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x + y + z – 9 = 0 và cắt (S)
theo thiết diện là một đường tròn lớn .

b/ Viết phương trình mặt phẳng (K) song song với mặt phẳng (R): x + 2y + z – 1 = 0 và cắt (S)

theo thiết diện là một đường trịn có diện tích bằng 3π.

Bài 97 : Cho dường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình :
(d) : 6

1 3 3

x= y− = z

− , (P) : 3x + 2y +z – 12 = 0.
a/ Chứng minh (d) ⊂(P) .

b/ Lập phương trình mặt phẳng chứa (d) và vng góc với mặt phẳng (P) .
c/ Lập phương trình mặt phẳng chứa (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc 60o .

Bài 98: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình
(d1) : 7 5 9

3 1 4

x+ = y− = z−

− , (d2)

4 18

3 1 4

x= y+ = z+
−

a/ Chứng tỏ (d1) và (d2) song song với nhau.

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và (d2) .
c/ Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) .

d/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d1) và cách (d2) một khoảng bằng 2.

e/ .Lập phương trình đường thẳng (Δ) thuộc mặt phẳng (P) và song song cách đều (d1) và (d2).

Bài 99: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2)

(d1):

7 3

2 2 , ( )
1 2

x t

y t t R

z t

= +
⎧

⎪ = + ∈

⎨
⎪ = −
⎩

, (d2) : 1 2 5

2 3 4

x− = y+ = z−

−

a/ Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
(d1) và (d2).

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

19
Bài 100: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2)có phương trình :

(d1) :

1 2

2 , ( )

3 3

x t

y t t R

z t

= +
⎧

⎪ = + ∈

⎨

⎪ = − +
⎩

và (d2) :
2

3 2 ,( )

1 3

x u

y u u R

z u

= +
⎧

⎪ = − + ∈

⎨
⎪ = +
⎩

a/ Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau .
b/ Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).

c/ Viết phương trình đường vng góc chung của (d1) và (d2)

d/ Viết phương trình đường thẳng (Δ) song song với Oz , cắt cả (d1) và (d2).

Bài 101:Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình :

(d) :
3

2 2 , ( )
3

x t

y t t R

z t

=
⎧

⎪ = + ∈

⎨
⎪ = −
⎩

, (S) : x2 + ( y – 1 )2 + (z – 1)2 = 5

a/ Chứng tỏđường thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độđiểm tiếp xúc.

b/ Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) và cắt (S) tại hai điểm A,B sao
cho độ dài AB = 2 .

c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) cắt (S) theo thiết diện là đường trịn có chu vi bằng 2π
Bài 102: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :

(d) :

1 2

2 ,( )

x t

y t t R

z t

= +
⎧

⎪ = − ∈

⎨
⎪ =
⎩

, (P): 2x – y – 2z + 1= 0

a/ Tìm các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P)
bằng 1 .

b/ Gọi K là điểm đối xứng của I(2 ;-1 ;3) qua đường thẳng (d) . Xác định tọa độđiểm K.
Bài 102: Trong không gian Oxyz, cho

đườ

ng th

ẳ

ng d và m

ặ

t ph

ẳ

ng (P) có ph

ươ

ng trình:

12 9 1

: ; ( ) : 3 5 2 0

4 3 1

x y z

d − = − = − P x+ y z− − =

1/ Tìm t

ọ

a

độ

giao

đ

i

ể

m A c

ủ

a

đườ

ng th

ẳ

ng d v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

ng (P). Tính góc gi

ữ

a d và (P).

2/ Vi

ế

t ph

ươ

ng trình m

ặ

t ph

ẳ

ng (P’)

đ

i qua

đ

i

ể

m M(1;2;-1) và vng góc v

ớ

i

đườ

ng

th

ẳ

ng d.

3/ Vi

ế

t ph

ươ

ng trình hình chi

ế

u vng góc d’ c

ủ

a d trên m

ặ

t ph

ẳ

ng (P).

4/ Cho

đ

i

ể

m B(1;0;-1), hãy tìm t

ọ

a

độ

đ

i

ể

m B’ sao cho m

ặ

t ph

ẳ

ng (P) là m

ặ

t ph

ẳ

ng trung

tr

ự

c c

ủ

a

đọ

an th

ẳ

ng BB’.

5/ Vi

ế

t ph

ươ

ng trình

đườ

ng th

ẳ

ng

Δ

n

ằ

m trong m

ặ

t ph

ẳ

ng (P), vng góc và c

ắ

t

đườ

ng

th

ẳ

ng d.

Bài 103: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình:
(P): 2x – y + 3z + 1 = 0 và (Q): x – y + z + 5 = 0
1/ Chứng minh rằng (P), (Q) cắt nhau. Tính góc giữa (P) và (Q).

2/ Viết phương trình tham số của giao tuyến Δ của (P), (Q).

3/ Gọi H là hình chiếu của M trên (P), K là hình chiếu của M trên (Q). Tính độ dài HK.
4/ Tính khoảng cách từđiểm M đến đường thẳng Δ.

5/ Viết phương trình đường thẳng đi qua M, vng góc với Δ và cắt Δ.

6/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của (P), (Q) và vng góc với mặt phẳng ( R ):
3x – y + 1 = 0.

Bài 104: Cho hai đường thẳng

1
2

: ; : 2

2 3 4

1 2

x t

x y z

d y t

z t

= +
⎧

+ ⎪

Δ = = ⎨ = +

⎪ = +
⎩
1/ Viết phương trình mp (P) chứa Δ và song song với d

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

20
Bài 105: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng

3 2

: 1

1 4

x t

d y t

z t

= − +
⎧

⎪ = −
⎨

⎪ = − +
⎩

Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A, cắt và vng góc với đường thẳng d.

Bài 106: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết
A(2;0;0), B(0;1;0), S

(

0;0; 2 2

)

. Gọi M là trung điểm cạnh SC.

1/ Viết phương trình mặt phẳng chứa SA và song song với BM.
2/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.

Bài 107: Trong không gian cho điểm D(-3;1;2) và mp(P) đi qua 3 điểm A(1;0;11), B(0;1;10),
C(1;1;8)

1/ Viết phương trình đường thẳng AC.
2/ Viết phương trình tổng quát của mp(P).

3/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5. Chứng minh rằng (S) cắt (P)

Bài 108: Cho mp(P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0
1/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của (S).

2/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mp(P). Từđó chứng minh rằng mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một
đường trịn mà ta kí hiệu ( C ). Xác định bán kính r’ và tâm H của đường tròn ( C ).

Bài 109: Cho mp(P): 2x + y – z – 6 = 0

1/ Viết phương trình mp (Q) đi qua O và song song với (P).

2/ Viết pt tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vng góc với mp (P).
3/ Tính khoảng cách từ gốc tọa độđến mp (P).

Bài 110: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3) và D(2;2;-1)
1/ Chứng minh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vng góc với nhau từng đôi một.
2/ Viết pt tham số của đường vng góc chung Δ của hai đường AB và CD.

3/ Viết pt mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.

4/ Viết pt mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD).

Bi 111: Viết phơng trình của mặt phẳng song song với đờng thẳng d:

+

=

+

=

t

z

t

y

t

x

2

5

2

1

2

v qua

giao tuyến của hai mặt phẳng: x + y + z - 4 = 0 vμ 2x - y + 5z - 2 = 0.

Bài 112: Cho ®iĨm A(-2;-4;5) vμ B(1;6;0) vμ (P) : y + 2z - 3 = 0
1/ Chøng minh AB // (P).

2/ LËp phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng AB lên mặt phẳng (P).
3/ Lập phơng trình mặt cầu có tâm l trung điểm của AB v tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Bi 113: Trong khụng gian Oxyz cho mp(P): x + y - 2z - 6 = 0 vμ điểm M(1; 1; 1).
1/ Viết ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng d đi qua M vμ vng góc với mp (P).
2/ Tìm điểm N đối xứng với M qua mặt phẳng (P).

3/ ViÕt ph−¬ng trình mặt cầu (S) có tâm N v tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Bi 114: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng ():

=

+

=

+

=

3

2

1 z

t

y

t

x

v mặt phẳng (P): 2x + 4y - 3z + 1 = 0
1/ Chứng minh rằng () luôn cắt (P).

2/ Gäi giao ®iĨm cđa (Δ) víi (P) lμ I viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua I v vuông góc với ().
3/ Viết phơng trình tham s ca ®−êng th¼ng lμ giao tun cđa (P) vμ (Q).

Bài 115:( TN THPT 2002-2003):

Trong kg Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi hệ thức
A(2;4;-1), 4OB iuuur r= + r rj k C− ; (2;4;3);ODuuur= +2ri 2r rj k−

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

21
2/ Viết phương trình tham số của đường vng góc chung (d) của 2 đường thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (ABD).

3/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (P) của
mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).

Bài 116:( TN THPT 2003-2004):

Trong kg Oxyz cho 4 điểm A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
1/ CMR A, B, C, D là 4 điểm không đồng phẳng

2/ Gọi A’ là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt
cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.

3/ Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
Bài 117:( TN THPT 2004-2005):

Trong kg Oxyz cho mặt cầu (S) :x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0

và hai đường thẳng 1 2

2 2 0 1 1

( ) : ; ( ) :

2 0 1 1 1

x y x y z

d d

x z

+ − =

⎧ − = − =

⎨ − = − −

⎩

1/ CMR (d1) và (d2) chéo nhau.

2/ Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng
(d1) và (d2).

Bài 118:( TN THPT 2005-2006):

Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6)

1/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC.
2/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.
Bài 119:( TN THPT 2006-2007):

Trong kg Oxyz cho đường thẳng ( ) : 2 1 1

1 2 3

x y z

d − = + = − và mp(P): x–y + 3z + 2 = 0
1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) với mặt phẳng (P).

2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và vng góc (P).
Bài 120:( TN THPT 2006-2007 - lần 2)

Trong kg Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng

1 2

( ) : 3

x t

d y t

z t

= +
⎧

⎪ = − +
⎨

⎪ = −
⎩

1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vng góc với đường thẳng d.

2/ Viết pt tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M, N.
Bài 121: ( TN THPT 2007-2008 )

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3) và mp(P): 2x – 3y + 6z + 35 = 0
1/ Viết pt đường thẳng đi qua M và vng góc với mp (P).

2/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P). Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox sao cho độ dài
đọan thẳng NM bằng khoảng cách từđiểm M đến mp(P).

Bài 122: ( TN THPT 2007-2008 – lần 2 )

Trong kg Oxyz, cho điểm M(-2;1;-2) và đường thẳng ( ) : 1 1

2 1 2

x y z

d − = + =

−
1/ Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d
2/ Viết pt mp (P) đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng d.
Bài 123: ( TN THPT 2007-2008 – Phân ban)

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P): 2x – 2y + z - 1 = 0
1/ Viết pt đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với mp(P)

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

22
Bài 124: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho

hai đường thẳng:

Δ1 : và Δ2:

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 và song song với đường thẳng Δ2.

b) Cho điểm M (2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 sao cho đoạn thẳng MH
có độ dài nhỏ nhất.

Bài 125: (ĐH KHỐI B-2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D .

b) Gọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD,A1D1 .Tính góc giữa hai
đường thẳng MP và C1N .

Bài 126: ( ĐH KHỐI D-2002): Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho

mặt phẳng (P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm :
(m là tham số)
Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P).

Bài 127: ( ĐH KHỐI A-2003):

Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyzcho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0).
Gọi M là trung điểm CC’.

a. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.

b. Xác định tỷ số a/b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vng góc với nhau

Bài 128: ( ĐH KHỐI B-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho
hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho uuurAC=(0;6;0) . Tính khoảng cách từ trung
điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Bài 129: ( ĐH KHỐI D-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz
cho đường thẳng Tìm k để đường thẳng dk vng góc với mặt
phẳng (P): x – y – 2z + 5 = 0

Bài 130: ( ĐH KHỐI A-2004):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC
cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; ). Gọi M là trung điểm của
cạnh SC.

a) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM.

b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN.

Bài 131: ( ĐH KHỐI D -2004):

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a;0;0);
B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) với a > 0, b > 0.

a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

23
Bài 132: ( ĐH KHỐI B-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểmA (-4; -2; 4) và

đường thẳng d:

3 2
1

1 4

x t

y t

z t

= − +
⎧

⎪ = −
⎨

⎪ = − +
⎩

. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt và vng

góc với đường thẳng d.

Bài 133:( ĐH KHỐI A-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng:

d : mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0

a)Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.

b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số
của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), biết Δ đi qua A và vng góc với d.

Bài 134: ( ĐH KHỐI B-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng
ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4).

a) Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt
phẳng (BCC1B1).

b) Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và
song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN.

Bài 135: ( TN THPT 2009) Theo chương trình chuẩn Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu
(S) và mp(P) có phương trình:(S): (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 36 và mp(P): x+2y+2z + 18 = 0.
1/ Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mp(P).
2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vng góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của
d và (P).

Bài 136: ( TN THPT 2009) Theo chương trình nâng cao

Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;-2;3) và đường thẳng d có phương trình

1 2 3

2 1 1

x+ = y− = z+

−

1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng d.
2/ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc
với d.

Bài 137: ( KHỐI A - 2009) 
1 - Theo chương trình chuẩn

Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu

(S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo 
một đường tròn . Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường trịn đó.

2 - Theo chương trình nâng cao

Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng

1 2

1 9 1 3 1

: ; :

1 1 6 2 1 2

x+ y z+ x− y− z+

Δ = = Δ = =

−

Xác định tọa độđiểm M thuộc đường thẳng Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.

Bài 138: ( KHỐI B - 2009) 
1 - Theo chương trình chuẩn

Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1),
D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng
khoảng cách từ D đến (P).

2 - Theo chương trình nâng cao

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

24
Bài 139: ( KHỐI D - 2009)

1 - Theo chương trình chuẩn

Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng
(P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độđiểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD
song song với mặt phẳng (P).

2 - Theo chương trình nâng cao

Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng : 2 2

1 1 1

x+ y− z

Δ = =

− và mặt phẳng
(P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vng
góc với đường thẳng Δ.

</div>

phwong phap toa do trong kh Oxyz

<i>AB</i>

=

(

<i>x</i>

−

<i>x y</i>

;

−

<i>y z</i>

;

−

<i>z</i>

)

uuur

.

.

.

s( , )

.

<i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>a b</i>

<i>co a b</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

+

+

=

+

+

+

+

r r

<i>c</i>

r

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

(

) (

) ( )

( ) ( ) ( )

<b>CÁC DẠNG TOÁN VI</b>

<b>Ế</b>

<b>T PH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG TRÌNH M</b>

<b>Ặ</b>

<b>T C</b>

<b>Ầ</b>

<b>U </b>

(

) (

) (

)

;

;

3

3

3

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>z</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

=