SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO AN GIANG
TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN

Họ và tên: Lê Thiện My
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân
Chuyên ngành: Sư phạm Toán

2018 - 2019


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG
TRƯỜNG THCS&THPT PHÚ TÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ GIẢI
BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG
PHUONG PHÁP HÌNH HỌC”

Họ và tên: Lê Thiện My
Chức vụ: giáo viên
Chuyên ngành: Toán
Đơn vị: THCS&THPT Phú Tân


MỤC LỤC
A

PHẦN MỞ ĐẦU

B

PHẦN NỘI DUNG

I

Cơ sở lý thuyết

I.1

Các khái niệm

I.2

Các phép toán

I.3

Tính chất

II

Giải bài toán cực trị số phức bằng phương ph

II.1

Một số phương pháp giải bài toán cực trị số p

II.2

Phương pháp hình học

II.2.1

Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang hệ tọa

II.2.2

Các bài toán thường gặp

III.

Hiệu quả đạt được

IV.

Mức độ ảnh hưởng

V.

Kết luận
Tài liệu tham khảo


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
THCS&THPT

Trung học cơ sở và Trung học phổ thông

TN THPT

Tốt nghiệp Trung học phổ thông

SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm

SGK

Sách Giáo Khoa

BGH

Ban giám hiệu


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Sơ lược lý lịch tác giả
- Họ và tên: LÊ THIỆN MỸ
- Ngày tháng năm sinh: 1985
- Đơn vị công tác: THCS&THPT Phú Tân
- Chức vụ hiện nay: giáo viên bộ mơn
- Trình độ chun môn: đại học sư phạm Toán
- Lĩnh vực công tác: giáo dục

II. Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị
- Tình hình đơn vị: Trường đóng trên địa bàn nơng thôn của huyện Phú Tân tỉnh An
Giang, cơ sở vật chất phục vụ giảng dạy cịn hạn chế, đa sớ các gia đình đi làm ăn xa ít
quan tâm đến việc học của học sinh, một bộ phận học sinh có hồn cảnh khó khăn ảnh

hưởng đến việc học tập
- Thuận lợi: Được sự quan tâm chỉ đạo của BGH nhà trường, sự giúp đỡ, chia sẻ kinh

nghiệm của đồng nghiệp trong công tác giảng dạy, đa số học sinh u thích học toán.
- Khó khăn: Học sinh thuộc địa bàn nơng thơn kinh tế cịn khó khăn nên việc quan tâm đầu

tư cho học sinh của gia đình cịn hạn chế. Hơn nữa trình độ tuyển sinh đầu vào của trường
khá thấp nên rất khó khăn cho việc giảng dạy nâng cao để học sinh đỗ vào các trường Đại
học tốp đầu của cả nước.
- Tên đề tài: “Giải bài tốn cực trị số phức bằng phương pháp hình học”.
- Lĩnh vực: “Phương pháp dạy học toán”

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 1


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học
BI. Mục đích u cầu của đề tài

III.1. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến
Trong các lĩnh vực của Toán học thì sớ phức ra đời khá muộn kể từ thế kỉ XVI sau
khi các nhà toán học nghiên cứu về phương trình đại sớ. Tuy sinh sau nhưng sớ phức có
nhiều đóng góp cho các ngành toán học như: đại sớ, lượng giác, hình học.
Ở trường phở thơng thì học sinh chỉ được tiếp xúc sớ phức ở ći chương trình giải

tích lớp 12. Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ biết
được các kiến thức cơ bản của số phức, hơn nữa bài toán cực trị sớ phức là bài toán tương
đới khó đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm học sinh khơng có nhiều thời gian để tư duy
tìm lời giải. Từ đó dẫn đến việc ôn tập TN THPT Quốc gia gặp khó khăn.

III.2. Sự cần thiết áp dụng sáng kiến
Để làm tớt bài toán trên trong kì thi TN THPT Q́c gia học sinh phải tìm ra cách
giải nhanh chóng, chính xác trong khoảng thời gian ngắn. Vì vậy sáng kiến “giải bài tốn
cực trị số phức bằng phương pháp hình học” đưa ra cách giải ngắn gọn trực quan học sinh
chỉ cần vẽ hình áp dụng các tính chất cơ bản của hình học sẽ có ngay đáp sớ. Sáng kiến này
đáp ứng được u cầu chính xác nhanh chóng khơng địi hỏi tư duy quá nhiều trong việc
giải bài thi trắc nghiệm.
III.3. Nội dung sáng kiến
III.3.1. Tiến trình thực hiện
 Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến sớ phức, các nội dung thi TN THPT Quốc gia

môn Toán có liên quan đến cực trị sớ phức.

 Hướng dẫn học sinh áp dụng sáng kiến giải các bài tập trắc nghiệm cực trị số phức
 Tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ tiếp thu của học sinh.
 Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 2


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

III.3.2. Thời gian thực hiện
Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng trong học kì 2 năm học 2017 – 2018 tại trường
THCS&THPT Phú Tân.
III.3.3. Biện pháp tổ chức
 Nghiên cứu lý thuyết hoàn chỉnh sáng kiến.
 Áp dụng giảng dạy thực tế trên lớp.

 Đưa ra phương pháp để học sinh áp dụng giải bài tập
 Sửa bài làm của học sinh đối chiếu với các phương pháp giải khác.
 Tìm ra ưu điểm và khuyết điểm của phương pháp.
 Điều chỉnh sáng kiến, phương pháp giảng dạy.
 Kiểm tra mức độ tiếp thu của học sinh.

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 3


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

B. PHẦN NỘI DUNG
Chương I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I.1. CÁC KHÁI NIỆM
I.1.1. Định nghĩa số phức
bi , trong đó a, b

Mỗi biểu thức dạng

,i2

1 được gọi là một số phức

a

Đới với sớ phức

z

a

bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z .

Tập hợp các sớ phức kí hiệu là

.

Chú ý:


Mỗi sớ thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a

a

0i



Như vậy ta có
.
 Sớ phức bi với bđược gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)


Số 0 được gọi là số vừa thực vừa ảo; số i được gọi là đơn vị ảo.

I.1.2. Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau:

a bi c di

I.1.3. Số phức đối và số phức liên hợp
Cho số phức z a



Sớ phức đới của z kí hiệu là z



Sớ phức liên hợp của z
I.1.4. Biểu diễn hình học của số phức
Điểm M ( a; b) trong một hệ trục tọa độ vng góc của mặt phẳng được gọi là điểm
biểu diễn số phức z = a + bi .

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 4


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

I.1.5. Mơđun của số phức
Giả sử sớ phức z
vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là | z |.
Vậy: | z | | OM | hay | z |
Nhận xét: | z | |
I.2. CÁC PHÉP TOÁN
I.2.1. Phép cộng và phép trừ

Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức.
Tổng quát:
(
a
(
a

bi )

(
c

di )
di )

bi )
(c

(
a
(
a

c
)

(
b

d )i

c)

(
b

d )i

I.2.2. Phép nhân
1 trong kết

Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2
quả nhận được.
Tổng quát:
(a

bi ).
(c

di
)

(a
c

bd )

bc )i.

(ad

Chú ý:
 Phép cộng và phép nhân các số phức có đầy đủ các tính chất của phép cộng và phép

nhân các số thực.



Cho số phức z

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

a

bi ,a , b

,i

2

1. Ta có: z

z

2

2a ; z .z | z | .

Trang 5

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

I.2.3. Phép chia hai số phức
Với a

bi

c

Cụ thể:

I.3 TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức z




Tính chất 1: Số phức z
Tính chất 2: Số phức z

Cho hai số phức z 1






Tính chất 3:
Tính chất 4:

Tính chất 5:

 Tính chất 6: | z 1 .z 2 | | z 1 | . | z2 |






Tính chất 7:

Tính chất 8: | z 1
Tính chất 9: | z 1

a bi

0 , để tính thương

di


Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 6


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

CHƯƠNG II. GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC
II.1. Một số phương pháp giải bài toán cực trị số phức.
Có nhiều phương pháp để giải bài toán cực trị số phức ở đây tôi xin trình bày một sớ
phương pháp quen thuộc như: phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác,
phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Sau đây chúng ta xét một sớ ví dụ minh họa
Ví dụ 1. (Phương pháp sử dụng bất đẳng thức) Cho số phức z
M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

A. S =34.
Lời giải
Ta có: 4

z 1 2i

4 3 2

S

M

2

m2

68 . Chọn D.

Ví dụ 2. (Phương pháp khảo sát hàm số) Cho sớ phức z
Tìm giá trị nhỏ nhất của S
A. Smin
Lời giải. Gọi z

z 2 4i

S

z

z 2i


Giáo viên: Lê Thiện Mỹ


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Xét

2x2

f x

=3

Vậy Smin

2.

Ví dụ 3. (Phương pháp lượng giác hóa) Cho sớ phức z thỏa mãn
lớn nhất của P

A. Pmax
C. Pmax
Lời giải
Gọi z x yi ;
Ta có:

z
z

1

2i

2i
1

2

26

26

6

17

 Nhận xét: các phương pháp trên giải quyết bài toán cực trị sớ phức khá hiệu quả.

Tuy nhiên nó địi hỏi người học phải có vớn kiến thức rộng và sự tư duy nhạy bén, việc
phát hiện ra lời giải trong vịng khoảng 8 phút là tương đới khó khăn. Vì vậy để giúp học

sinh phát hiện nhanh cách giải và đáp số trong bài toán trắc nghiệm tôi xin đề cập đến
phương pháp hình học được trình bày ở phần II.2 dưới đây, học sinh chỉ cần áp dụng các
tính chất hình học quen thuộc và vẽ hình trên giấy kẻ ô sẽ dự đoán ngay được đáp số
trong bài toán trắc nghiệm.


Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 8


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

II.2. Phương pháp hình học
II.2.1. Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang hệ tọa độ Oxy





Với M z
Với M
Với A

Az

A

tập hợp M



Với M 0

M

0

tròn tâm M0



Với

M1
z

z

z

1

trục lớn k
Các bước áp dụng phương pháp hình học trong bài tốn cực trị số phức.
• Đặt M

M z từ điều kiện của bài toán ta tìm tập hợp biểu diễn các sớ phức z thơng

thường các tập hợp đó là: đường thẳng, đường tròn, elip.

 Từ biểu thức P chứa mơ-đun sớ phức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta biểu

thị sang các yếu tố hình học tương ứng thơng thường P là tởng độ dài các đoạn
thẳng, tởng bình phương độ dài các đoạn thẳng, khoảng cách từ một điểm đến
đường thẳng. Từ đó ta chuyển một bài toán số phức sang bài toán hình học.
 Vẽ hình biểu diễn tập hợp các sớ phức z , biểu diễn biểu thức P trên hệ trục tọa độ

Oxy áp dụng các tính chất hình học cơ bản như: AB

BC

AC A, B,C , tính chất

đường trung tún, tính chất tam giác vng suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của P

Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

Trang 9


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

II.2.2. Các bài toán thường gặp
Bài toán 1. Cho sớ phức z0
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của
b. Tìm sớ phức z
Nhận xét
Gọi M

M z ,M

Điều kiện

0

z z1

Tìm Mđể MM0 nhỏ nhất.

b.

Ta thấy MM0
z z

M
d M0 ,

0
min

Từ đó ta có cách giải như sau:
Đặt z

x

a.

Tính

b.

Gọi

yi

x,y

z

z

0

là đ

Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 4: Trong tất cả các sớ phức z thỏa mãn
z

.

A.

z

m


Giáo viên: Lê Thiệ

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Lời giải
Đặt z x yi x , y
Ta có:

z 1 2i

Vậy tập hợp các sớ phức z là đường thẳng

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ơ dự đốn M

án A.

Ta có

z

d O,

min

Ví dụ 5. Cho sớ
S

z

2

.

i

A. S
min

Lời giải


Đặt z x yi x , y
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Ta có:

z 1

3i

Vậy tập hợp các sớ phức z là đường thẳng
S

z 2 i

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ơ dự đốn Smin
gần đáp án D.

Kiểm tra dự đoán

Ví dụ 6. Trong các sớ phức z
mãn

z

1 i

A. S=−
Lời giải
Đặt z x yi x , y

đạt g


Ta có:
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

z

2

5i


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Vậy tập hợp các sớ phức z là đường thẳng

:x 4y 6

0

z 1 i

Nhận xét: vẽ hình trên giấy kẻ ơ dự đốn

Kiểm tra dự đoán: Gọi

hay

: 3 x y 2 0 . Gọi H l

x 4y
3x

y

6 0
2 0

Bài toán 2. Cho sớ phức z

Nhận xét

a.

Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của

b.

Tìm sớ phức z


Giáo viên: Lê Thiện Mỹ


SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học



z z

0

R

IM

R suy ra M thuộc đường trịn

C tâm I bán kính R .

Bài toán trở thành
a. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của AM với M
b. Tìm M

C

C để AM đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất.

Gọi M1 , M2

là giao điểm của

Khi đó AM1
Vậy min AM
Từ đó ta có cách giải
+ Điều kiện
a. min
b. Tìm z .
+ Viết phương trình đường thẳng
trình C và phương trình .
Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 7. Cho sớ phức z thỏa mãn
A. Smin
Giáo viên: Lê Thiện Mỹ

SKKN giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

z z0
AM