Mot so dang he phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (246.31 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

1.

2 2

2 1

x y
x xy y

 




  



2.

2 2

3 6

2 3 18 0

x y
x xy y

 




   



3.



 



2 2

2 2 2 1 0

3 32 5 0

x y x y

x y

     




  




4.

2 2

2 7 0

2 2 4 0

x y

y x x y

  




    



5.

4 9 6

3 6 3 0

x y

x xy x y

 





   



6.

2 1 0

12 2 10 0

x x y

x x y

    




   




7.



22 1

 

2 2



3 1 0

x y x y

xy y y

     




   




8.











164
y

2
y
x

9.












1
y
2x

7
y
5xy

x2 2

Bài 2.

Cho hÖ PT :

2 2

x 4y 8
x 2y m

  




 




a) Gi¶i HPT với m = 4

b) Giải và biện luận HPT theo tham sè m

Bài 3.

Gi¶i HPT :

2 2

9x 4y 36
2x y 5

  




 




Bài 4. Tìm m để HPT :

2 2

x y mx my m 1 0
x y 4

      




 




cã 2 cặp nghiệm phân biệt (x

; y

) và ( x

; y

) tho¶ m·n (x

– x

)

+ (y

– y

)

= 4

Bài 5. Tìm m để HPT sau có nghiệm duy nhất :

2 2

9x 16y 144
x y m

  




 




Bài 6. Cho HPT :

2 2

x y 1

x y m

  




 




xác định các giá trị của a để HPT có nghiệm duy nhất

Bài 7. Cho HPT :

2 2

x y x 0

x ay a 0

   




  




a) Gi¶i hƯ khi a = 1

b) Tìm a để hệ PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt

c) Gọi (x

; y

) , (x

; y

) là các nghiệm của hệ đã cho . CMR (x

- x

)

+ (y

- y

)

≤ 1

Bài 8. Cho HPT :

2 2

x 2y 9
2x y m

  




 




a) Gi¶i HPT víi m = 0

b) Gi¶i vµ biƯn ln HPT theo tham sè m

Bài 9. Cho HPT :

2 2

x 3y m

3x 5y 13

 

a) Giải HPT với m = 13

b) Giải và biÖn luËn HPT theo tham sè m

Bài 10. Gäi ( x; y) lµ nghiƯm cđa hƯ :

2 2 2

x y a 2a 3

x y 2a 1

    




  


</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 11. Gäi ( x; y) lµ nghiƯm cđa hƯ :

2 2 2

x y 2a 2

x y a 1

   




  




Tìm a để P = xy đạt giá trị lớn nhất

Bài 12. Gọi ( x; y) là nghiệm của hệ :

2 2 2

x y a 4a

x y 2a 1

   




  




Tìm a để P = xy đạt giá trị nhỏ nhất và GTLN

Bài 13.Tìm k để hệ phơng trình:















k

y

x

y

x

2

1 cã nghiƯm duy nhất.

Bi 14. Cho hệ phơng trình:

1



2



x y m

x y xy m y

 






   





1) Gi¶i hƯ khi m = 4

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm.

Bài 15. Cho hệ phơng trình:

xx ay a2 y2 x 00




 

1) Giải hệ phơng trình khi a = 1.

2) Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

3) Gọi (x

; y

), (x

; y

) là các nghiệm của hệ đã cho. Chứng minh rằng:



x2 x1



2



y2 y1



2 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I. Hệ đối xứng loại I có dạng tổng quát:

f(x, y) = 0
g(x, y) = 0

ìïï
íï

ïỵ

, trong đó

f(x, y) = f(y, x)
g(x, y) = g(y, x)

ìïï
íï
ïỵ

Phương pháp giải chung:

1. Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cú). Biến đổi từng phơng trình trong hệ xuất hiện biểu thức:

n
m

(x y)

(xy)










2. Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và

S2 ³ 4P

.

3. Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình.

Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y.

Chú ý:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1. Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.

2. Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.

3. Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

2 2

3 3

x y xy 30

x y 35

ìï + =

ïí

ï + =

ïỵ

.

BÀI TẬP HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I

DẠNG 1: Sử dụng phương pháp giải thơng thường

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

1.





2 2

x + xy + y = 4

x + xy + y = 2

2.




 2 2

xy = 5

x + y + x + y = 42

3.



 2 2

x + y + xy = 5
x + y = 5

4. 

 





 









2 2

x + x + 1 y + y + 1 = 3

1- x 1- y = 6

5. 

 









3 3

x + y = 19

xy + 8 x + y = 2

6.



 3 3

x + y = 2
x + y = 26

7. 











7
x + y + xy =

2
5
xy x + y =

2

8.

2 2

x + xy + y = 7
x + xy + y = 5






9.





2 2

x + xy + y = 4
x + xy + y = 2

10.

2 2

x + y = 1 - 2xy
x + y = 1






11.

2 2

xy + x + y = 11
x y + xy = 30






12.

2 2

x + y = 208
xy = 96





13.

2 2

x + y + x + y = 8
xy + x + y = 5






14.

2

2 2

2(x + y) - xy = 1
x y + xy = 0








15.

2 2

x + y + xy = 7
x + y - xy = 3







16.

2 2

3(x + y) = xy 
x + y = 160






17.

2 2

x + y - x - y = 102
xy + x + y = 69






18.

x y 13
 + =

y x 6

x + y = 5







19.

1 1 7

+ + xy =

x y 2

2(x + y) = 3xy







20.

2 2

x + y + xy = 11
x + y + 3(x + y) = 28






21.

2 2

x + y = 13

3(x + y) + 2xy + 9 = 0






22.




 2 2

x + y = 6

+y = 2(xy + 2)

x

23.





 2 2

(x -1)(y -1) = 18
+y = 65

x

23.





2

2 2

2(x + y) - xy = 1
x y + xy = 0

25.


 2 2

3(x + y) = xy

x + y = 160

26.





 2 2

xy = 4
+y = 28

x

27.




 2 2

x + y = 5
x - xy + y = 7

28.




2 2

x + xy + y = 3
2x + xy + 2y = -3

DẠNG 2: Hệ phương trình bậc cao

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1.

2 2 3 3

x + y = 4

(x + y )(x + y ) = 280






2.

2 2

3 3

x y + xy = 30
x + y = 35









3.

2 2

3 3

x + y = 1
x + y = 1







4.

3 3

x + y = 8
x + y + 2xy = 2






5.

2 2

4 4 2 2

x + y + xy = 7
x + y + x y = 21








6.

2 2

4 2 2 4

x + y = 5

x - x y + y = 13







7.

3 3 2 2

x + y = 1
x + y = x + y






8.

5 5

9 9 4 4

x + y = 1
x + y = x + y








9.

4 4
6 6

x + y = 1
x + y = 1








10.




 3 3

x + y = 1
+y = 61

x

11.





 3 3

xy(x + y) = 2
+y = 2

x 12

.







2 2
4 2 2 4

x + y = 5

x - x y + y = 13

DẠNG 3: Phương pháp đặt ẩn phụ

1.



 2 2

x - y = 2
+y = 164

x

2.

2 2

x + xy + y = 1
x - y - xy = 3






3.

2 2

x + x - y + y = 4
x(x - y + 1) + y(y - 1) = 2





4.

2 2

x + y - x + y = 2
xy + x - y = -1






5.





 2 2

xy - x + y = -3

+y - x + y + xy = 6

x

6.

2 2

x - y - xy = 1
x y - xy = 6





7.



 2 2

xy - x + y = -3

x + y - x + y + xy = 6

8.





2 2

x + y - x - y = 12

x(x -1)y(y -1) = 36

9.

2 2

x + y + x + y = 8
xy(x + 1)(y + 1) = 12





10.

3 3





x - y = 7

xy(x - y) = 2

10.

2 (AN 01)

x(x + 2)(2x + y) = 9 
x + 4x + y = 6








11.

2 2 4

2 2

1 1
x + y + + = 4

x y

1 1

x + y + +

x y






 




12.

2 2

2 2

1
(x + y)(1 + ) = 5

xy
1
(x + y )(1 + )

x y






 




13.





x y + y x = 30

x x + y y = 35

14. 






















2 2
2 2

x - y x - y = 3
x + y x + y = 15

15.







1 + 1 = 4
3

x y

xy = 9

16.


 2

x(3x + 2y)(x + 1) = 12

(BCVT - 97)

x + 2y + 4x - 8 = 0

DẠNG 4: Hệ phơng trình đặc biệt

1. x y + y x = 30

x x + y y = 35

ìïïï

íï

ïïỵ

2. (

3 2 3 2

)

3 3

2(x + y) = 3

x y + xy

x + y = 6

ìïïï

íï

ïïỵ

3. x

+

y

=

7

+ 1

y

x

xy

x xy + y xy = 78

ìïï

ïï
íï
ïï
ïỵ

4. 



x - 4 + y -1 = 4

x + y = 21 5.







2 2

x + y + 2xy = 8 2
x + y = 4

DẠNG 5: Hệ phương trình chứa tham số

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 1

. Cho hệ phương trình:



 2 2

x + xy + y = m + 1
x y + xy = m

1. Giải hệ với m = 2.

2. Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm



x y;



thỏa mãn

x 0

và

y 0

.

Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:



 2 2 2

x + y = m

x + y = -m + 6

Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

F xy2



x y



.

Bài 3. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:















2 2

x y + xy = 2 m + 1
2xy + x + y = 2 m + 2

Bài 4. Tìm m để hệ



 2 2

x + xy + y = m

x y + xy = 3m - 8

có nghiệm.

Bài 5. Gọi



x y;



là nghiệm của hệ phương trình:




 2 2 2

x + y = 2a -1
x + y = a + 2a - 3

Xác định a để xy nhỏ nhất.

Bài 6. Cho hệ phương trình
















2 2
2

x + y = 2 a + 1
x + y = 4

1. Giải hệ phương trình với a = 2.

2. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.

Bài 7. Cho HPT:

2 2

x + y = m
x + y = 6





a) Giải HPT với m = 26

b) m = ? Hệ vô nghiệm

c) m = ? Hệ có nghiệm

d) m = ? Hệ có 1 nghiệm duy nhất

e) m = ? Hệ có 2 nghiệm phân biệt

Bài 8. Cho HPT:

2 2

x + y + xy = m +1
x y + xy = 3m - 5





a) Giải HPT với m = 26

b) m = ? Hệ vô nghiệm

c) m = ? Hệ có nghiệm

d) m = ? Hệ có 1 nghiệm duy nhất

e) m = ? Hệ có 2 nghiệm phân biệt

Bài 9. Tìm m để các HPT sau có nghiệm:

a)

2 2 2

x + y = 4
x + y = m






b)

5(x + y) - 4xy = 4

x + y - xy = 1 - m





Bài 10. Cho HPT:

2 2

x + y + x + y = 8
xy(x + 1)(y + 1) = m





</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 11. Tìm m để hệ phơng trình:




 2 2

xy(x + 2)(y + 2) = 5m - 6

x + y + 2(x + y) = 2m

có nghiệm.

Bài 12. Tìm m để hệ phơng trình:

x +1 + y -1 = m

2

x + y = m - 4m + 6









Bài 13. Giải biện luận các HPT sau:

1

x y
 + = a
y x
x + y = 8







2

x - 4 + y - 1 = 4
x + y = 3a







3. 

















m

x

y

m

y

x

1

2

1

2 Bµi 14: Tìm m để hệ phương trình

x + y = m

x + y - xy = m

ìïïï
íï

ïïỵ

có nghiệm thực.

III. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II

I. DẠNG I:

(Đổi vị trí x và y cho nhau thì phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh kia)

Ph

ơng pháp gi¶i chung

Cách giải 1

Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế

vào một trong hai phương trình của hệ.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

3
3

x 2x y (1)
y 2y x (2)

ìï + =

ïïí

ï + =

ïïỵ

.

Giải

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

3 3 2 2

x - y +3x- 3y= Û0 (x- y)(x +y +xy+3) =0

2 2

y 3y

(x y) x 3 0 y x

2 4

ộổ ử ự

ờỗ ữ ỳ

- ờờỗốỗ + ữữữứ + + ỳỳ= =

ở ỷ

Th y = x vào (1) hoặc (2) ta được:

x + = Ûx 0 x=0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

ìïïíï =xy=00

ïỵ

.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

2x 3 4 y 4 (1)

2y 3 4 x 4 (2)

ìï + + - =

ïïí

ï + + - =

ïïỵ

Giải

f(x, y) = 0

f(y, x) = 0

ìïï

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Điều kiện:

3 x 4

ìïï - £ £
ïï

íï

ï - £ £
ïïỵ

.

Trừ (1) và (2) ta được:

(

2x+ -3 2y+3

) (

+ 4 y- - 4 x-

)

=0 (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0

2x 3 2y 3 4 y 4 x

+ - + - -

-Û + =

+ + + - +

(x y) 2 1 0 x y

2x 3 2y 3 4 y 4 x

ổ ửữ

ỗ ữ

- ỗỗ + ữữ= =

ỗố + + + - + - ø

.

Thay x = y vào (1), ta được:

2x+ +3 4 x- =4Û x+ +7 2 (2x+3)(4 x)- =16

2 2x2 5x 12 9 x 9 x2 0 x 3 x 11

9x 38x 33 0 9

ì - ³
ïï

Û - + + = - Û íï Û = Ú =

- + =

ïỵ

(nhận).

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11
x

x 3 9

y 3 y 11

9
ìïï =

ì = ï

ï ï

ï Ú

í í

ï = ï

ï ï

ỵ ïïỵ =

.

Cách giải 2 (Nên dùng khi cách 1 khơng giải được)

Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai

phương trình tích (thơng thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

3
3

x 2x y (1)
y 2y x (2)

ìï = +

ïïí

ï = +

ïïỵ

Giải

Trừ và cộng (1) với (2), ta được:

3 2 2

x 2x y (x y)(x xy y 1) 0

y 2y x (x y)(x xy y 3) 0

ì ì

ï = + ï - + + - =

ï ï

ï Û ï

í í

ï = + ï + - + - =

ï ï

ỵ î

2 2

2 2 2 2 2 2

x y 0 x y 0

x y 0 x xy y 1

x y 0 x xy y 3 x xy y 1 x xy y 3

ì ì

ì - = ï - = ï + = ï + + =

ï ï ï ï

ï ï

Û í Úí Úí Úí

ï + = ï - + = ï + + = ï - + =

ï ï ï ï

ỵ ỵ ỵ ïỵ

*

ïíïì xx- yy=00Û ïïíì xx=00

ï + = ï =

ï ï

ỵ ỵ

*

2 2 2

x y 0 y x x 3 x 3

x xy y 3 x 3 y 3 y 3

ì ì

ì - = ì = ï ï

ï ï ï = ï =

-ï Û ï Û ï Úï

í í í í

ï - + = ï = ï = ï =

-ï ï ï ï

ỵ ỵ ïỵ ïỵ

*

ìïïïí xx2+ =yxy 0y2 1Û ïïíìïyx2= -1x Û íïìïï yx== -11Úíïìïï yx== -11

+ + = =

ï ï ïỵ ïỵ

ỵ ỵ

*

2 2

xy 1

x xy y 1 xy 1 x 1 x 1

x y 0 y 1 y 1

x y 2

x xy y 3

ì ì ì ì ì

ï + + = ï = - ï = - ï = ï =

-ï ï

ï Û Û ï Û ï Úï

í í í í í

ï - + = ï + = ï + = ï = - ï =

ï ïỵ ïỵ ïỵ ïỵ

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt:

x 0 x 1 x 1 x 3 x 3

x 0 y 1 y 1 y 3 y 3

ì ì

ì = ì = - ì = ï = ï =

-ï ï ï ï ï

ï Úï Úï Úï Úï

í í í í í

ï = ï = ï = - ï = ï =

-ï ï ï ï ï

ỵ ỵ ỵ ïỵ ïỵ

.

Cách giải 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

2x 3 4 y 4 (1)

2y 3 4 x 4 (2)

ìï + + - =

ïïí

ï + + - =

ïïỵ

Giải

Điều kiện:

x 4

3 x 4

ìïï - £ £
ïï

íï

ï - £ £
ïïỵ

.

Trừ (1) và (2) ta được:

2x+ -3 4 x- = 2y+ -3 4 y-

(3)

Xét hàm số

f(t) 2t 3 4 t, t 3; 4

é ù

ê ú

= + - - Ỵ -ê ú

ë û

, ta có:

f (t)/ 1 1 0, t 3; 4
2
2t 3 2 4 t

ổ ửữ

ỗ

= + > " ẻ -ỗỗố ữữữ
ứ

+ - ị (3) f(x)=f(y)Û x= y

.

Thay x = y vào (1), ta được:

2x+ +3 4 x- =4Û x+ +7 2 (2x+3)(4 x)- =16

2 2x2 5x 12 9 x x 3 x 11

Û - + + = - Û = Ú =

(nhận).

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11
x

x 3 9

y 3 11

y
9
ìïï =

ì = ï

ï ï

ï Ú

í í

ï = ï

ï ï

ỵ ïïỵ =

.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình

3
3

x 2x y

y 2y x

ìï + =

ùùớ

ù + =

ùùợ

.

Gii

Xột hm s

f(t) =t3+2t ị f (t)/ =3t2+ >2 0, t" Ỵ ¡

.

Hệ phương trình trở thành

ìïïíï f(x)f(y)== y (1)x (2)

ùợ

.

+ Nu

x> yị f(x)>f(y)ị y>x

(do (1) v (2) dẫn đến mâu thuẩn).

+ Nếu

x< Þy f(x)<f(y)Þ y<x

(mâu thuẩn).

Suy ra x = y, thế vào hệ ta được

x3+ = Ûx 0 x=0.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

ìïïíï =xy=00

ïỵ

.

Chú ý:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được

mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn khơng giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện

chính xác rồi giải lại cách 1!

Ví dụ 6 (Trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình:

2
2
2

x 2

y 2

ìï +

ï =

ïï
ïí

ï +

ïï =
ïïỵ

Giải

Nhận xét từ hệ phương trình ta có

ìïïíï >xy>00

ïỵ

. Biến đổi:

2 2

2
2

x 2

3x 3xy x 2 (1)

3yx y 2 (2)

y 2

ìï +

ï =

ï ìï = +

ï ï

ï Û ï

í í

ï + ï = +

ï ïïỵ

ï =

ïïỵ

Trừ (1) và (2) ta được:

(x- y)(3xy+ +x y)= Û0 x=y (3xy+ + >x y 0).

Với

x=y : (1) Û 3x3- x2- 2=0Û (x 1)(3x- 2+2x+2)= Û0 x=1.

Vậy hệ có 1 nghiệm

ìïïíï =xy=11

ïỵ

.

II. DẠNG II:

trong đó chỉ có 1 phương trình đối xng

Ph

ơng pháp giải chung

Cỏch gii 1

a phng trỡnh i xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình cịn lại.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

1 1

x y (1)

x y

2x xy 1 0 (2)
ìïï =

-ïïí

ïï - - =

ùùợ

.

Gii

iu kin:

xạ 0, yạ 0

. Ta cú:

(1) (x y) 1 1 0 y x y 1.

xy x

ổ ửữ

ỗ

- ỗ + ữữữ= = =

-ỗố ứ

+ Vi y = x:

(2) x2- 1= Û0 x= ±1

.

+ Với

y 1
x

= -

: (2) vơ nghiệm.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

ïíìïï yx==11Úïìïïí yx= -= - 11

ï ï

ỵ ỵ

.

f(x, y) = 0

g(x, y) = 0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Cách giải 2 (Nên dùng khi cách 1 khơng giải được)

Đưa phương trình đối xứng về dạng

f(x)=f(y) Û x=y

với hàm f đơn điệu.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

x y cosx cosy (1)
x y 3y 18 0 (2)

ì - =

-ïï

íï - - =

ïỵ

.

Giải

Tách biến phương trình (1), ta được:

(1)Û x- cosx = -y cosy

(3).

Xét hàm số

f(t)= -t costÞ f (t)/ = +1 sint>0, t" Ỵ ¡

.

Suy ra

(3) Û f(x)=f(y) Û x =y

.

Thay x = y vào (2), ta được:

3 2

x - 3x 18- = Û0 (x- 3)(x +3x+6) =0Û x= 3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

ìïïíï =xy=33

ïỵ

.

Chú ý: Cách giải sau đây sai:

1 1

x y (1)

x y

2x xy 1 0 (2)
ỡùù =

-ùùớ

ùù - - =

ùùợ

.

Gii

iu kin:

xạ 0, y¹ 0

.

Xét hàm số

1 1

f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0}

t t

= - ẻ Ă ị = + > " Ỵ ¡

.

Suy ra

(1) Û f(x)=f(y)Û x =y

!

Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).

BÀI TẬP

Giải các hệ phương trình sau

1)

2
2

x 3y 2 0

y 3x 2 0

ìï - + =

ïïí

ï - + =

ïïỵ

. Đáp số:

x 1 x 2

y 1 y 2

ì = ì =

ï ï

ï Úï

í í

ï = ï =

ï ï

ỵ ỵ

.

2)

2
2

x xy x 2y

y xy y 2x

ìï + = +

ïïí

ï + = +

ïïỵ

. Đáp số:

3
x

x 0 2

y 0 3

y
2
ìïï =

ì = ï

ï ï

ï Ú

í í

ï = ï

ï ï

ỵ ïïỵ =

.

3)

x 1 y 7 4

y 1 x 7 4

ìï + + - =

ïïí

ï + + - =

ïïỵ

. Đáp số:

x 8

y 8

ì =
ïï
íï =

ïỵ

.

4)

x 1 y 2 3

y 1 x 2 3

ìï + + - =

ïïí

ï + + - =

ïïỵ

. Đáp số:

x 3

y 3

ì =
ïï
íï =

ïỵ

.

5)

x 3 2 y 3

y 3 2 x 3

ìï + + - =

ïïí

ï + + - =

ïïỵ

. Đáp số:

x 1 x 2

y 1 y 2

ì = ì =

-ï ï

ï Úï

í í

ï = ï =

-ï ï

ỵ ỵ

.

6)

3
3

x x 2y

y y 2x

ìï = +
ïïí

ï = +

ïïỵ

. Đáp số:

x 0 x 3 x 3

y 0 y 3 y 3

ì ì

ì = ï = ï =

-ï ï ï

ï Úï Úï

í í í

ï = ï = ï =

-ï ï ï

ỵ ïỵ ïỵ

.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

7)

3
2x y

x
3
2y x

y
ìïï + =
ïïï

íï

ï + =

ïïïỵ

. Đáp số:

ìïïíï =xy=11

ïỵ

.

8)

2
2

2x y

y
1

2y x

x
ìïï = +
ïïï

íï

ï = +

ïïïỵ

. Đáp số:

ìïïíï =xy=11

ïỵ

.

9)

2 2

x y 4 y

xy 4 x

ìï - =

ïïí

ï - =

ïïỵ

. Đáp số:

x 2

y 2

ì =
ïï
íï =

ïỵ

.

10)

3 2

x x x 1 2y

y y y 1 2x

ìï - + + =

ïïí

ï - + + =

ïïỵ

.

Đáp số:

ïíìïïyx==11Úïìïïí yx= -= - 11

ï ï

ỵ ỵ

.

11) (Trích đề thi ĐH khối A – 2003)

1 1

x y (1)

x y

2y x 1 (2)
ìïï =

-ùùớ

ùù = +

ùùợ

.

Hng dn gii

iu kin:

xạ 0, y¹ 0.

(1) x y x y 0 (x y) 1 1 0 x y y 1.

xy xy x

ổ ử

- ỗ ữ

- + = - ỗ + ữữữ= = =

-ỗố ứ

+ Vi

x=y

:

(2)

x 1 x 1 5.

2
- ±

Û = Ú =

+ Với

y 1: (2) x4 x 2 0.

= - Û + + =

Xét hàm số

4 / 3

f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x .

-= + + Þ = + = Û =

3 3 x

1 3

f 2 0, lim f(x) 0, x

4 4 4 đƠ

ổ ử- ữ

ỗ ữ= - > = +Ơ ị > " ẻ
ỗ ữữ

ỗố ứ Ă ị x4+ + =x 2 0

vụ nghiệm.

Cách khác:

+ Với

x < Þ1 x+ > Þ2 0 x4+ + >x 2 0

.

+ Với

x ³ 1Þ x4 ³ x ³ - xÞ x4+ + >x 2 0

.

Suy ra (2) vơ nghiệm.

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

1 5 1 5

x x

x 1 2 2

y 1 1 5 1 5

y y

2 2

ì ì

ï - + ï

-ï = ï =

ï ï

ì =

ï ï ï

ï Úï Úï

í í í

ï = ï - + ï

-ï ï ï

ỵ ï = ï =

ï ï

ỵ ỵ

.

12)

ìïïíï =xy=siny (1)sinx (2)

ïỵ

Hướng dẫn giải

Trừ (1) và (2) ta được:

x- y= siny- sinx Û x+sinx= +y siny (3).

Xét hàm số

f(t)= +t sint Þ f (t)/ = +1 cost³ 0, t" Ỵ ¡

.

(3) Û f(x)= f(y)Û x= yÞ (1)Û x- sinx=0 (4).

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Do

g(0) = Þ0 (4)Û x=0.

Vậy hệ có 1 nghiệm

x 0
y 0
ì =
ïï
íï =
ïỵ

.

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

1.

2 4 5

x y y

y x x

   


  



2.

2
2
13 4
13 4

y x y

x y x

  


 



3.

2
2
2
2
x y
y x
  


 



4.

3
3
5
5

x x y

y y x

  


 



5.

2 4
4 2
20
20
x y
x y
  


 



6.

2
2

2x +xy= 3x
2y + xy= 3y





7. 





2
2

x -2x=y

y -2y=x

8.

2 2
2 2

x -2y = 2x + y
y -2x =2y + x






9.

2
2

x = 3x+2y
y =3y+2y




10.

2 2
2 2

2 3 2

x y y

y x x

   


  



11.

2
2
1
3
1
3
x y
x
y x
y

 




  



12.

2 3 2

3 2

y x x x

x y y y

   


  



13. 

















2
2
2
2

2

3

2

3 y

x

y

14.

3 2
3 2

x 2x 2x 1 2y
y 2y 2y 1 2x

    



   



15. 







3 2
x

3 2
y

log x 2x 3x 5y 3
log y 2y 3y 5x 3

    


    


16. 

















y

x

y

x

y

x

4

3

4

3

17. 



















4

3

2

4

3

2 y

x

y

x

y

x

18. 















2

3 y

x

y

x

y

x

17.

   
 


2
2
3
( 98)
3

x x y

MTCN

y y x 18.

   



  



2 2
2 2

2 3 2

( 2000)

2 3 2

x x y

QG

y y x 19.

  



 


3
3
3 8
( 98)
3 8

x x y

QG

y y x

20.

 




  


2
2
3
2
( 2001)
3
2
x y
x
TL
y x
y
21.
 







 


2
2
2
2
2
3
( 2003)
2
3
y
y
x
KhèiB
x
x
y

19. 





















3

14

11

3

14

11 x

y

log

y

x

log

y

x

20. 





















2

3

2

3 x

y

log

y

x

log

y

x

Bài 2. Tìm m để hệ

2 0

x y m

y x m

   



  



có nghiệm.

Bài 3. Tìm các giá trị của m để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

1.

2 3 2

4
4

y x x mx

x y y my

   


  



2. 







1
2 3

x y xy

y m x m y m

  



   



3. 







2
2

xy x m y 1
xy y m x 1

   


  




Bài 4. Cho hệ phơng trình:



2 2

3 4 3 4

x y m m

y x m m

   


  



1) Giải hệ phơng trình với m = 1.

2) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm.

3) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.

IV. HỆ ĐẲNG CẤP

Bài 1. Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:

1.

2 2

x 3xy y 1

3x xy 3y 13

   


  



2.

2 2
2 2

3 5 4 3

9 11 8 6

x xy y

y xy x

   


  



3.

2 2 3 2 0

x xy y
x x y y

   


 



4.

2 2
2 2
3 0

2 3 1

x xy y

   


  



5.

2 2
2 2

3 2 11

2 3 17

x xy y
x xy y

   


  



6.

2 2
2 2

3 5 4 38

5 9 3 15

x xy y
x xy y

   


  



7.

2 2
2 2

3 8 4 0

5 7 6 0

x xy y
x xy y

   


  



8.

2
2 2

3 2 160

3 2 8

x xy
x xy y

  


  



9.

3 2
3 2
10
5
x xy
y x y

  


 



10.











3
7
2
2
2
2
xy
y
x
xy
y
x

11.

2 2
2 2

3 2 11

2 5 25

x xy y
x xy y

   



  



12. 















49

5

56

2

6

2
2
2
2

y

xy

x

y

xy

x

13.

3 2
3 2

2 3 5

6 7

x x y
y xy
  


 



14.

2 2
2 2

2 3 9

2 13 15 0

x xy y

   




  





15.

2 2

2 3 4 3

2 7

x y xy

x y
   


 



16.

2 2
2 2

2 3 9

2 2 2

x xy y
x xy y

   


 

Bi 2. Giải và biện luận HPT :

a)

2 2

x 4y 17

x xy 4y m

  


  




b)

2
2 2

x xy 2

2x 4xy 2y m

  


  



Bài 3. Chøng tá rằng hệ dới đây có nghiệm với mọi m :

2 2

x 4xy y m

y 3xy 4

   


 




Bài 4. Tìm m để hệ sau có 4 nghiệm phân biệt :

















2 2

x m 1 xy m 2 y m 1
x m 1 xy 2m 5 y m 1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 5. Cho HPT :

2 2 2

x 4xy y k
y 3xy 4

   


 



a) Gi¶i hƯ víi k = 1

b) CMR hƯ cã nghiƯm víi mäi giá trị của k

Bi 6. Chng t rng vi mi

m  

, phương trình sau lng có nghiệm:

2 2

2 4

x xy y m
xy y
   


  



V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC:

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

1.

2x y 4x 2y 3

 





2.

x 1 y 2 2 0
x 2 2y 3 0
     


   



3.

2 2

x 2xy 3y 0
x x y y 2

   


 



4. 





















6

3 y

x

y

xy

x

y

x

xy

5. 















36 )1

(

)1

(

12

2
2

y

x

y

x

y

x

6.

2 2

3 2 2 3

5
6

x y x y
x x y xy y

    


   



7.

2
2

x 1 y(y x) 4y
(x 1)(y x 2) y

    


   



8.

2 2
2 2

x y 10x 0

x y 4x 2y 20 0

   


    



9. 

















)

(3

2
2
2
2

y

x

y

x

y

x

10. 

















2

7

2
2
3
3

y

x

y

x

y

x

11. 



















1

2

1 x

y

x

12.

3
2

x y x y
x y x y

   


   



13.

3 2
1

2 5 4

4 2
2 2
x

x x
x
y y
y

  

 





14.

3 2 1

x y x y

x y x y

    


   



15.

1 1 4

xy xy
x y
 
   











16. 



9 3

1 2 1

3log 9 log 3

x y
x y
   
 











17. 



4
2 2

1
log y x log 1

x y 25


  



 


18. 















0 log

0

3

4

2

4 x

y

x

19. 













3

2 x

y

x

y

xy

log

y

log

20. 























2

7

2

3 y

x

y

x

y

x

y

x

21. 

















5 1152

2

3

2 x

y

log

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

24. 





































3

2

1

2

0

2

6

4

5

2 y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

25. 





















1

3

2

3

2

3

2

1

3 x

xy

x

.

y

x

y

x

26.  

 

   

















1

2

3

9

2

3

2 y

x

xy

log

xy

log

27. 



2 3 2

4 2

5
x y x y xy xy

4
5
x y xy 1 2x

4


    





    




28.

4 3 2 2
2

x 2x y x y 2x 9
x 2xy 6x 6

    




  




29.

2 2

xy x y x 2y
x 2y y x 1 2x 2y

    




   




30. 





















y

x

y

x

y

x

3

2

31.

2 2

1 13 13 1

6 6

97
36

y x y y

x y



      





  




32.



























0

9

5

18

3

2 y

x

y

x

Bài 2: Tìm m để hệ phơng trình sau:

1
1 3

x y

x x y y m

  




  




cã nghiƯm.

Bài 3: Chøng minh r»ng: víi mäi a > 0, hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:





ln 1

x y

e

x

y

y x a





















Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để hệ phơng trình sau có nghiệm thực:

3 3

1

5

1

15

10 x

y

x

y

x

y

m

x

y





















Bài 5: Xác định a để hệ phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất:

2 2

x x y x a

x y

    




 




Bài 5: Cho hệ phơng trình:

2 2

1 sin

ax a y x

tg x y

    




 




.

</div>

Mot so dang he phuong trinh

<b> HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI</b>

<i><b>I. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai</b></i>

<b>Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:</b>

<i><b>1. </b></i>

<i><b>2. </b></i>

<i><b>3. </b></i>



 



4.

<b>5. </b>

6.

<b>7.</b>



 



8.

9.

<b>Bài 2.</b>

<b> Cho hÖ PT : </b>

a) Gi¶i HPT với m = 4

b) Giải và biện luận HPT theo tham sè m

<b>Bài 3.</b>

<b> Gi¶i HPT : </b>

<b>Bài 4. Tìm m để HPT : </b>

cã 2 cặp nghiệm phân biệt (x

; y

) và ( x

; y

) tho¶ m·n (x

– x

)

+ (y

– y

)

= 4

<b>Bài 5. Tìm m để HPT sau có nghiệm duy nhất : </b>

<b>Bài 6. Cho HPT : </b>

xác định các giá trị của a để HPT có nghiệm duy nhất

<b>Bài 7. Cho HPT : </b>

a) Gi¶i hƯ khi a = 1

b) Tìm a để hệ PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt

c) Gọi (x

; y

) , (x

; y

) là các nghiệm của hệ đã cho . CMR (x

- x

)

+ (y

- y

)

≤ 1

<b>Bài 8. Cho HPT : </b>

a) Gi¶i HPT víi m = 0

b) Gi¶i vµ biƯn ln HPT theo tham sè m

<b>Bài 9. Cho HPT : </b>

a) Giải HPT với m = 13

b) Giải và biÖn luËn HPT theo tham sè m

<b>Bài 10. Gäi ( x; y) lµ nghiƯm cđa hƯ : </b>

<b>Bài 11. Gäi ( x; y) lµ nghiƯm cđa hƯ : </b>

Tìm a để P = xy đạt giá trị lớn nhất

<b>Bài 12. Gọi ( x; y) là nghiệm của hệ : </b>

Tìm a để P = xy đạt giá trị nhỏ nhất và GTLN

<b>Bài 13.Tìm k để hệ phơng trình: </b>















k

y

x

y

x

2

2