Đáp án chọn đội tuyển HSG Toán học lớp 12 Quảng Ninh 2011-2012
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (141.35 KB, 2 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
sở giáo dục và đào tạo quảng ninh
<b>h−ớng dẫn chấm thi chọn đội tuyển hsg năm học 2011-2012 </b>
<b>mơn tốn lớp 12 (ðỀ CHÍNH THỨC) </b>
(HDC ny cú 05 trang)
<b>Bài </b> <b>Sơ lợc lời giải </b> <b>Cho </b>
<b>điểm </b>
<b>Bài 1 </b>
<b>5 điểm </b> ðiều kiện 6, 0
0
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i>
≥ − ≠
<sub>≠</sub>
Xét phương trình (1), đặt , 2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<i>y</i> <i>x</i>
= + ≥
Khi đó (1) thành: 2 2 2
(<i>t</i> −2) − −2 3(<i>t</i> −2)+ = −<i>t</i> 6 4 2
7 14 0
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
⇔ − + + = (3) <sub>1,0 </sub>
Xét hàm số g(t)=<i>t</i>4 −7<i>t</i>2 + +<i>t</i> 14 trên (−∞ − ∪; 2] [2;+∞) (*)
Có:<i><sub>f t</sub></i>'<sub>( )</sub>=<sub>4</sub><i><sub>t</sub></i>3−<sub>14</sub><i><sub>t</sub></i>+<sub>1</sub><sub>; </sub> '' 2
( ) 12 14
<i>f t</i> = <i>t</i> − >0 trên (*)
=> f’(t) ñồng bến trên từng khoảng của (*). Khi đó ta có
' '
( ) ( 2) 3 0, ( ; 2]
<i>f t</i> ≤ <i>f</i> − = − < ∀ ∈ −∞ −<i>t</i> và ' '
( ) (2) 5 0, [2; )
<i>f t</i> ≥ <i>f</i> = > ∀ ∈<i>t</i> +∞
do đó f(t) đồng biến trên [2;+∞)và nghịch biến trên (−∞ −; 2]
=> <i>f t</i>( )≥ <i>f</i>( 2)− = ∀ ∈ −∞ −0, <i>t</i> ( ; 2] và <i>f t</i>( )≥ <i>f</i>(2)> ∀ ∈0, <i>t</i> [2;+∞)
Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất t=-2 khi ủú x=-y <sub>1,0 </sub>
Thay vào phơng trình (2) ta đợc: 2
6
4<i>x</i>= <i>x</i>+ <i>x</i> <i>x</i>2 +4<i>x</i>= <i>x</i>+6
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
1
6
2
5
2
1
6
2
5
2
)
1
6
2
(
)
5
2
(
1
6
4
)
6
(
4
25
20
4
6
4
16
4
2
2
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1,0
phơng trình 2x+5=2 <i>x</i>+6+1 + =<i>x</i> 2 <i>x</i>+6 2<sub>2</sub>
( 2) 6
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
≥ −
⇔ <sub>+</sub> <sub>= +</sub>
2
2
3 17
2 <sub>3</sub> <sub>17</sub> <sub>3</sub> <sub>17</sub>
;
2
2 2
3 2 0
3 17
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
≥ −
− +
≥ −
<sub></sub> = − + − −
⇔ ⇔<sub></sub> ⇔ = =
+ − =
<sub></sub>
− −
<sub></sub> <sub>=</sub>
1,0
phơng trình 2x+5= -2 <i>x</i>+61 3 6 <sub>2</sub>6 3
5 3 0
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
− ≤ ≤ −
⇔ − − = <sub>+ ⇔ </sub>
+ + =
6 3
5 13
5 13 5 13
;
2
2 2
5 13
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i>
− ≤ ≤ −
<sub></sub>
− +
<sub>− −</sub> <sub>− +</sub>
<sub></sub> =
⇔<sub></sub> ⇔ = =
− −
<sub></sub> <sub>=</sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>Bµi </b> <b>Sơ lợc lời giải </b> <b>Cho </b>
<b>điểm </b>
<b>Bài 2 </b>
<b>3 ®iĨm </b> Từ giả thiết suy ra <i>xn</i> > ∀ ∈0, <i>n</i> <i>N</i> , do đó
<i>x</i>
<i>n</i>> ∀ ∈
1,
<i>n</i>
<i>N</i>
Bằng qui nạp chứng minh ñược:
<i>x</i>
<i><sub>n</sub></i>< ∀ ∈
2,
<i>n</i>
<i>N</i>
<sub>1,0 </sub>Xét hàm số: ( ) ( 2)<i>x</i>
<i>f x</i> = trên R, ta thấy f(x) ñồng biến trên R
Dãy ñã cho có dạng 0
1
(1; 2)
, 0,1, 2,...
( )
<i>n</i> <i>n</i>
<i>x</i> <i>a</i>
<i>n</i>
<i>x</i> <sub>+</sub> <i>f x</i>
= ∈
<sub>=</sub>
=
Ta có 0 (1; 2); 1 ( 2) 2 0
<i>a</i>
<i>x</i> = ∈<i>a</i> <i>x</i> = > > <i>x</i>
suy ra <i>x</i><sub>2</sub> = <i>f x</i>( )<sub>1</sub> > <i>f x</i>( )<sub>0</sub> = <i>x</i><sub>1</sub>, tương tự <i>x</i><sub>3</sub>> <i>x</i><sub>2</sub>,...
Do đó dãy (xn) tăng và bị chặn trên bởi 2
Nên (xn) có giới hạn hữu hạn, giả sử giới hạn đó là b (
<i>b</i>
∈
(1; 2]
) 1,0Từ 1
( )
2
<i>n</i>
<i>x</i>
<i>n</i>
<i>x</i>
<sub>+</sub>=
, chuyển qua giới hạn ta ñược<i>b</i>
=
( 2)
<i>b</i>(1) ,<i>b</i>
∈
(1; 2]
Khi đó (1) ln<i>b</i> ln 2
<i>b</i>
⇔ = (2). Xét hàm g(x)=ln<i>x</i>
<i>x</i> trên (1;
2]
Có: '
2
1 ln
( ) <i>x</i> 0, (1;2)
<i>g x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
−
= > ∀ ∈ và g(x) liên tục trên
(1;2]
; g(2)=0Suy ra (2) có nghiệm duy nhất b = 2. Vậy
lim
<i><sub>n</sub></i><sub>→+∞</sub><i>x</i>
<i>n</i>=
2
1,0<b>Bài 3 </b>
<b>4 điểm </b> Chng minh ủc: 3(x
2
+y2+z2) ≥(x+y+z)2∀x; y; z ∈ R
Kết hợp với giả thiết, ta có:
2 2 2 2 2 2 1 2
2 ( 2) ( 1) 3 ( ) 3
3
<i>M</i> ³ <i>a</i> + + <i>b</i> + <i>c</i> + = <i>a</i> +<i>b</i> + <i>c</i> + ³ <i>a</i> +<i>b</i>+<i>c</i> +
Suy ra: <i>a</i>+ <i>b</i>+ <i>c</i>£ 6<i>M</i> - 9 (1) <sub>1,0 </sub>
Mặt khác, sử dụng bất ñẳng thức Cauchy, ta lại có
2
1 2
;
<i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<i>b</i> + ³ 2
1 2
;
<i>b</i>
<i>b</i> <i>c</i>
<i>c</i> + ³ 2
1 2
;
<i>c</i>
<i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> + ³ 1,0
2 2 2
1 1 1 9
: <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> ,
<i>suy ra M</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
³ + + ³ + + ³
+ +
do đó: <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 9 .
<i>M</i>
+ + ³ (2) 1,0
Từ (1) và (2), ta thu được bất phương trình: 9 6<i>M</i> 9
<i>M</i> £
-Giải bất phương trình này, ta ñược <i>M</i> ³ 3.
</div>
<!--links-->
