CHUYEN DE BDHSG TOAN 45PHAN Idoc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (165.88 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Các chuyên đề bồi dỡng

học sinh gii lp 5

Chuyờn 1

Các bài toán về số và chữ số

I. Những kiến thức cần l u ý :

1. Cã 10 chữ số là 0 ; 1; 2; 3; 4..;9. Khi viÕt mét sè tù nhiªn ta sư dơng mêi chữ
số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số TN phải khác 0.

2. Phân tích cấu tạo cđa mét sè tù nhiªn :

ab

= a



10 + b

abc

= a



100 + b



10 + c =

ab



10 + c

abcd

= a



1000 + b



100 + c



10 + d
=

abc



10 + d =

ab



100 +

cd

3. Quy tắc so sánh hai số TN :

a) Trong hai số TN, số nào có chữ số nhiều hơn thì lớn hơn.

b) Nu hai s cú cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn
thì số đó lớn hơn.

4. Sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 0 ; 2; 4;....;8 là các số chẵn.
5 . Sè TN có tận cùng bằng 1;3 ;5;...;9 là các số lẻ.

6. Hai số TN liên tiếp hơn ( kém ) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn ( kém ) nhau 1 đơn vị
là hai số tự nhiên liên tiếp.

7. Hai số chẵn liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn ( kém ) nhau 2
đơn vị là hai số chẵn liên tiếp.

8. Hai số lẻ liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị
là hai s chn liờn tip.

II. Một số dạng toán điển hình :

Dạng 1: ViÕt sè TN tõ nh÷ng ch÷ sè cho tríc

Bài 1 : Cho bốn chữ sè : 0; 3; 8 vµ 9.

a) Viết đợc tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho ?

b) Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 4 chữ số đã cho?
c) Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 4 chữ số ó

cho ?

Lời giải:
Cách 1.

Chọn số 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số:
3089; 3098; 3809; 3890; 3908; 3980.

Vậy từ 4 chữ số đã cho ta viết đợc 6 số có chữ số hàng nghìn bằng 3 thoả mãn điều
kiện của đầu bài.

Chữ số 0 không thể đứng đợc ở vị trí hàng nghìn.

Vậy số các số thoả mãn điều kiện của đề bài là:
6



3 = 18 ( số )

C¸ch 2:

Lần lợt chọn các chữ số nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị nh sau:

- Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện của đầu bài ( vì số 0
khơng thể đứng ở vị trí hàng nghìn ).

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

hàng trăm còn lại )

- Cú 1 cỏch chọn chữ số hàng đơn vị ( đó là 1 chữ số cịn lại khác chữ số hàng nghìn ,
hàng trăm , hàng chục )

Vậy các số đợc viết là:
3



1 = 18 ( số )

b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng
nghìn là chữ số lớn nhất ( trong 4 chữ số đã cho ). Vậy ch s hng nghỡn phi tỡm bng
9.

Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm
bằng 8.

Chữ số hàng chục là số lớn nhất trong hai chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3.
Số phải tìm là 9830.

Tơng tự số bé nhất thoả mÃn điều kiện của đầu bài là 3089.

c) Tơng tự số lẻ lớn nhất thoả mÃn điều kiện của đầu bài là : 9803
Số chẵn nhỏ nhất thoả mÃn điều kiện của đầu bài là : 3098.
Bài 2 : Cho 5 chữ số : 0; 1; 2; 3; 4.

a) Hãy viết các số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho ?

b) Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau đợc viết từ 5 ch s ó
cho ?

Dạng 2: Các bài toán giải bằng ph©n tÝch sè :

Bài 1: Tìm 1 số TN có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta
đ-ợc một số lớn gấp 13 lần số đã cho ?

Lêi gi¶i:

Gọi số phải tìm là

ab

. Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta đợc số

9 ab

. Theo bài ra ta có :

ab

9

=

ab



900 +

ab



13
900 =

ab



13 -

ab

900 =

ab



( 13 – 1 )
900 =

ab



ab

= 900 : 12

ab

= 75

Vậy số phải tìm là 75.

Bi 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì
nó tăng thêm 1112 đơn vị.

Lêi gi¶i:

Gọi số phải tìm là

abc

. Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta đợc số

abc

5

Theo bài ra ta có:

5 abc

=

abc

+ 1112

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



abc

= 1107

abc

= 1107 : 9

abc

= 123

VËy sè phải tìm là 123.

Bi 3: Tỡm mt s cú 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta đợc
một số lớn gấp 31 lần số phải tìm.

Bài 4: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta đợc
số mới lớn hn s phi tỡm l 230 n v.

Dạng 3: Những bài toán về xét các chữ số tận cùng của sè
Mét sè kiÕn thøc cÇn lu ý:

1. Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn
vị của các số hạng trong tổng ấy.

2. Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn
vị của các thừa số trong tích ấy.

3. Tỉng 1 + 2 + 3 + ... + 9 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 5.
4. TÝch 1



9 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 5.
5. TÝch a



a kh«ng thĨ cã tËn cïng b»ng 2; 3; 7 hoặc 8.

Bài 1: Không làm tính, hÃy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau :
a) ( 1991 + 1992 + ...+ 1999 ) – ( 11 + 12 + ...+ 19 ).

b) ( 1981 + 1982 + ...+ 1989 )



( 1991 + 1992 +....+ 1999 )
c) 21



27 – 11



Lêi gi¶i :

a) Chữ số tận cùng của tổng : ( 1991 + 1992 + ...+ 1999 ) và ( 11 + 12 + ...+ 19 ) đều
bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 và bằng 5. Cho nên hiệu đó có tận
cùng bằng 0.

b) Tơng tự phần a, tích đó có tn cựng bng 5.

c) Chữ số tạnn cùng của tích 21



27 vµ 11



17 dỊu b»ng ch÷ sè
tËn cïng cđa tÝch 1



7 vµ b»ng 5. Cho nªn hiƯu trªn cã tËn cïng b»ng 0.

Bài 2 : Khơng làm tính, hãy xét xem kết quả sau đây đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
a) 136



136 – 42 = 1960

ab



ab

- 8557 = 0

Lêi gi¶i:

a) KÕt qu¶ sai, v× tÝch cđa 136



136 cã tËn cïng b»ng 6 mµ sè trõ cã tËn cïng b»ng 2
nên hiệu không thể có tận cùng bằng 0.

b) Kết quả sai, vì tích của một số TN nhân với chính nó có tận cùng là một trong các chữ
số 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9.

Bài 3: Không làm tính, hÃy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau :
a) ( 1999 + 2378 + 4545 + 7956 ) – ( 315 + 598 + 736 + 89 )

b) 56



86 – 51



Bài 4 : Khơng làm tính, hãy xét xem kết quả sau đây đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
a)

abc



abc

- 853467 = 0

b) 11



41 – 19



37 = 110

***********************
Chuyờn 2

Các bài toán về dÃy số
I. Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc tr ớc một dÃy số

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Những quy luật thờng gặp là :

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trớc nó cộng (hoặc trừ) với
một số tự nhiên d.

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trớc nó nhân ( hoặc chia) với

một số TN q khác 0.

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng hai hạng đứng trớc nó .

+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ t ) bằng tổng của số hạng đứng trớc nó cộng với số TN
d cộng với số thứ tự của số hạng ấy.

+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trớc nhân với số thứ tự.
Vvv...

Bµi 1. Viết tiếp ba số hạng vào dÃy số sau :
a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;...

b) 0; 2; 4; 6; 12; 22;...
c) 0 ; 3; 7; 12;...
d) 1; 2; 6; 24;...

Lêi gi¶i:
a) NhËn xÐt :

4 = 3 + 1; 7 = 3 + 4; 11 = 4 + 7;....

Từ đó rút ra quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng
của hai số hạng đứng trớc nó. Viết tiếp ba số hạng, ta đợc dãy số sau:

1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76;...

b) Tơng tự phần a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ t )
bằng tổng của ba số hạng đứng trớc nó. Viết tiếp ba số hạng, ta đợc dãy số sau:

0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;...

c) Ta nhận xét :

Số hạng thứ hai là : 3 = 0 + 1 + 2
Số hạng thứ ba là : 7 = 3 + 1 + 3
Sè h¹ng thø t lµ : 12 = 7 + 1 + 4...

Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng ( Kể từ số hạng thứ hai ) bằng tổng của số
hạng đứng trớc nó cộng với 1 và cộng với số TT của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta
đợc dãy số sau :

0 ; 3; 7; 12;18; 25; 33;...

d) Ta nhËn xÐt :

Sè hạng thứ hai là: 2 = 1

2
Số hạng thứ ba là : 6 = 2

3
Số hạng thø t lµ : 24 = 6



4
...

Từ đó rút ra quy luật của dãy số là : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng tích của
số hạng đứng liền trớc nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta đợc
dãy số sau :

1; 2; 6; 24;120; 720; 5040;....

Bài 2 : Tìm số hạng đầu tiên của các dÃy số sau :
a)...; 17; 19; 21.

b)...: 64; 81; 100.

Biết rằng mỗi dÃy có 10 số hạng.

Lời giải :

a) Ta nhận xét :

Số hạng thứ mời là 21 = 2

10 + 1
Số hạng thứ chín là 19 = 2

9 + 1
Số hạng thứ tám là 17 = 2

8 + 1
...

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vậy số hạng đầu tiên của dÃy là: 2



1 + 1 = 3.

b) Tơng tự nh trên ta rút ra quy luật của dãy là : Mỗi số hạng của dãy bằng số thứ tự nhân
với STT ca s hng ú.

Vậy số hạng đầu tiên của d·y lµ: 1



1 = 1.

Bµi 3 : ViÕt tiÕp hai sè h¹ng cđa d·y sè sau :
a) 100; 93; 85; 76;...

b) 10; 13; 18; 26;...

II. Xác định s a cú thuc dóy ó cho hay khụng

Cách giải:

- Xác định quy luật của dãy.

- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay khơng.

Bµi 1: H·y cho biết:

a) Các số 50 và 133 có thuộc dÃy 90; 95; 100;...hay kh«ng ?
b) Sè 1996 thuéc d·y 2;5;8;11;... hay không ?

c) Số nào trong các số 666; 1000; 9999 thuộc dÃy 3; 6; 12; 24;... hay không ?
Giải thích tại sao ?

Lời giải :

a) C hai s 50 và 133 đều khơng thuộc dãy đã cho, vì :
- Các số hạng của dãy đều lớn hơn 50.

- Các số hạng đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.

b) Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều d 2 mà
1996 chia cho 3 thì d 1.

c) Cả 3 số 666; 1000 và 9999 đều khơng thuộc dãy đã cho, vì :

- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trớc nhân với 2. Cho nên
các số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) có số hạng đứng liền trớc là số chẵn mà 666 : 2 =
333 là số lẻ.

- Các số hạng đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3.

- Các số hạng của dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) đều chẵn mà 9999 l s l.

Bi 2:...

III. Tìm số số hạng của dÃy

Cách giải:

- Đối với dạng toán này, ta thờng sử dụng phơng pháp giải toán khoảng cách (giải toán
trồng cây). Ta có công thức sau :

Số các số hạng của dÃy = Số khoảng cách + 1.

- c biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trớc cộng
với s khụng i d thỡ:

Số các số hạng của dÃy = ( Sè h¹ng LN – Sè h¹ng BN ) :d + 1.
Bµi1. Cho d·y sè 11; 14; 17;...;65; 68.

a) Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 1996 là số mấy?
Lời giải :

a) Ta cã : 14- 11= 3; 17 – 14 = 3;....

Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền trớc
cộng với 3. Số các số hạng của dãy số đó là:

( 68 – 11 ) : 3 + 1 = 20 ( sè h¹ng )

b) Ta nhËn xÐt :

Sè h¹ng thø hai : 14 = 11 + 3 = 11 + ( 2-1 )



3
Sè h¹ng thø ba : 17 = 11 + 6 = 11+ ( 3-1 )



3
Sè h¹ng thø hai : 20 = 11 +9 = 11 + ( 4-1 )



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Đáp số : 20 số hạng và 59996.

Bài 2 . Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?

Lời giải:

Ta nhận xét : Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 vàg số lớn nhất có ba chữ số
chia hết cho 4 là 996. Nh vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có
số hạng BN là 100, số hạng lớn nhất là 996 và mỗi số hạng của dãy ( kể từ số hạg thứ hai
) bằng số hạng đứng kề trớc cộng với 4.

VËy sè cã ba ch÷ sè chia hÕt cho 4 lµ :
( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( số )

Bài 3: Có bao nhiêu số : cã 3 ch÷ sèkhi chia cho 5 d 1? D 2 ?
IV. Tìm tổng các số hạng của dÃy số

Cách gi¶i:

Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của dãy số đó là:
( SLN + SBN )



Số số hạng : 2

Bài 1 . Tính tổng của 50 số lẻ đầu tiên .

Lời giải:

DÃy 100 số lẻ đầu tiên là : 1; 3; 5; ...; 97; 99. Vậy ta phải tìm tæng sau:
1 + 3 + 5 +...+ 97 + 99

Vậy tổng phải tìm là : ( 99 + 1 )

50 : 2 = 2500

Bài 2: Tìm tổng của :

a) Các số có 2 chữ số chia hết cho 3.
b) Các số có 2 chữ số chia cho 4 d 1.

****************************
Chuyờn 3.

Các bài toán về chia hết

I. Những kiến thức cần nhớ:
1.Dấu hiệu chia hết cho 2:

- Những số có tận cùng bằng 0;2;4;6;8 thì chia hÕt cho 2.
- Nh÷ng sè chia hÕt cho 2 cã tËn cïng b»ng 0;2;4;6;8.
2. DÊu hiÖu chia hÕt cho 5 :

- Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
- Những số chia hết cho 5 cã tËn cïng b»ng 0 hc 5.
3. DÊu hiƯu chia hÕt cho 4:

- Nh÷ng sè cã hai ch÷ sè tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hÕt cho 4.
- Nh÷ng sè chia hÕt cho 4 có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hÕt cho 4.
4.DÊu hiƯu chia hÕt cho 3:

- Nh÷ng số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
- Những số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
5. DÊu hiƯu chia hÕt cho 9:

T¬ng tù dÊu hiƯu chia hết cho 3.

I. Viết câc số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết

Bài 1 : Với 3 chữ số 2; 3; 5 hÃy lập các số có 3 chữ số chia hÕt:
a) Cho 2?

b) Cho 5?

Lêi gi¶i:

a) Số chia hết cho 2 phải là số chẵn. Do đầu bài không yêu cầu các chữ số phải khác
nhau, nên những số lập đợc là:

222; 232;252.
322; 332; 352.
522; 532; 552.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

325; 335; 355.
525; 535; 555.

Bài 2 :Cho 4 chữ số 0; 1; 5; 8. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho
thoả mãn điều kiện:

a) Chia hÕt cho 3 ?

b) Chia hÕt cho 2 vµ 5 ?

...
II. Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số ch a bit .

Phơng pháp giải :

- Nu s phi tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thi trớc hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định
chữ số tận cùng.

- Tiếp đó dùng phơng pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết còn lại của số phải
tìm để xác định các chữ số cịn lại.

Bài 1 : Thay x và y trong số a =

1996

xy

để đợc số chia hết cho 2; 5 và 9.

Lêi gi¶i:

- a chia hÕt cho 5, vËy y ph¶i b»ng 5 hc 0.
- a chia hÕt cho2, vËy y phải là chẵn.

Suy ra y= 0. Số phải tìm cã d¹ng a=

1996

x

0

- a chia hÕt cho 9, vËy ( 1+ 9 + 9 + 9 + x ) chia hÕt cho 9 hay ( 25 +x ) chi hết cho 9.Suy
ra x = 2.

Số phải tìm là a = 199620.

Bµi 2:

Cho sè b =

xy

2008

thay x vµ y sao cho sè b chia hÕt cho 2, 5 và 3.

...

III. Các bài toán về vận dơng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng vµ mét hiƯu .

C¸c tÝnh chÊt thêng dïng:

- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chi hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu một số hạng chia hết cho 2 và các số hạng cịn lại khơng chia hết cho 2 thì tổng
của chúng cũng khơng chia hết cho 2.

- Nếu số bị trừ hoặc số trừ chia hết cho 2, số trừ hoặc số bị trừ không chia hết cho 2 thì
hiệu của chúng cũng không chia hÕt cho 2.

Cũng có tính chát tơng tự đối với trng hp chia ht cho 3,4,5,9...

Bài 1: Không làm phép tính, hÃy xét xem các tổng và hiệu dới đây cã chia hÕt cho 3 hay
kh«ng?

a) 240 + 123
b) 240 – 123
c) 459 + 690 + 1236
d) 2454 + 374

Lêi gi¶i:

Ta thấy 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:
a) 240 + 123 chia hết cho 3.

b) 240 – 123 chia hÕt cho 3.

c) 459, 690 và 1236 đều chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1236 chia hết cho 3.

d) 2454 chia hết cho 3 và 734 không chia hết cho 3 nên 2454 + 374 không chia hết cho
3.

Bµi 2:

Tổng kết năm học 2007- 2008, một trờng tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195
học sinh giỏi. Ban giám hiệu dự định thởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn học sinh
tiên tiến 2 quyển vở. Cô văn phịng nhẩm tính phải mua 1996 quyển thì đủ phát thởng.
Hỏi cơ văn phịng đã tính đúng hay sai?

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Lêi gi¶i:

Ta nhận thấy: Số học sinh tiên tiến và số học sinh giỏi đều là những số chia hết cho 3,
vì vậy số vở phát thởng cho mỗi loại học sinh phải là một số chia hết cho 3. Suy ra tổng
số vở phát thởng cũng là một số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho 3. Vậy cơ
văn phịng đã tính sai.

IV. C¸c bài toán về phép chia có d .
 Những tính chất cần lu ý:

1. Nếu a chia cho 2 d 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1, 3,5, 7 hoặc 9.

2. Nếu a chia cho 5 d 1 thì chữ số tận cùng của a phải bằng 1 hoặc 6. Tơng tự, trờng hợp
d 2 thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 7; d 3 thì tận cùng là 3 hoặc 8; d 4 tận cùng là 4
hoặc 9.

3. NÕu a vµ b cã cïng sè d khi chia cho 2 th× hiƯu cđa chóng chia hÕt cho 2. Tơng tự, ta

có trờng hợp chia hết cho 3, 4, 5 hc 9.

Bài 1: Cho a =

x

459 y

.Hãy thay x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5
và 9 đều d 1.

Lêi gi¶i:

Ta nhËn xÐt:

- a chia cho 5 d 1 nên y phải bằng 1 hoặc bằng 6.

- Mặt khác a chia cho 2 d 1 nên y phải bằng 1. Số phải tìm có d¹ng a =

x

4591

x

4591

chia cho 9 d 1 nªn x + 4+5+9+1 = x+ 19 d 1. VËy x phải chia hết cho 9 vì 19
chia cho 9 d 1. Suy ra x = 9.

Số phải tìm lµ 94591.

Bµi 2:

Cho a =

5 xy

. Hãy thay x, y bằng những chữ số thích hợp để dợc một số có 3 chữ số
khác nhau chia cho 2,3 và 5 đều d 4.

...

V.

Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có d để giải các bài tốn có lời văn.

Bài 1: Cho 3 tờ giấy. Xé mỗi tờ thành 4 mảnh. Lờy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4

mảnh nhỏ, sau đó lại lấy một số mảnh xé thành 4 mảnh nhỏ...Khi ngừng xé theo quy luật
trên ta đếm đợc 1999 mảnh lớn nhỏ cả thảy. Hỏi ngời ấy đếm đúng hay sai ? Giải thích
tại sao?

Lêi gi¶i:

Khi xé một mảnh thành 4 mảnh thì số mảnh tăng thêm là 3. Lúc đầu có 3 mảnh, sau
mỗi đợt xé số mảnh tăng thêm sẽ chia hết cho 3 nên tổng số mảnh lớn nhỏ sau mỗi đợt
xé phải chia hết cho 3. Số 1999 không chia hết cho 3 nên ngời ấy đã đếm sai.

Bài 2: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một
loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lợt là 104,115,132,136 và 148 quả. Sau khi bán đợc
một rổ cam, ngời bán hàng thấy số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có
bao nhiêu quả mỗi loại?

Lêi gi¶i:

Tỉng số cam và chanh của cửa hàng là
104+115+132+136+148 = 635(quả)

S chanh còn lại gấp 4 lần số cam cho nên số quả chanh và số quả cam còn lại phải chia
hết cho 5. Tống số 635 quả chia hết cho 5, vì vậy số quả cam đã bán phải chia hết cho 5.
Trong 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5, vậy cửa
hàng đã bán rổ ng 115 qu cam.

Số cam còn lại bằng

5

1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

( 104+132+136+148): 5 = 104 (qu¶)

Trong 4 rổ cịn lại chỉ có rổ đựng 104 quả là có số quả bằng

5

1

số quả còn lại. Vậy theo
đầu bài 104 quả là rổ cam và 3 rổ đựng 132,136,148 quả là các rổ chanh.

Sè cam cđa cưa hµng có là:
104+115 = 219(quả)

Số chanh của cửa hàng có là:
635-219 = 416(quả)

Đáp số : 219 quả cam và 416 quả chanh.

Bi 3: Mt ca hàng dồ sắt có 7 thùng đựng 2 loại đinh 5 phân và 10 phân (mỗi thùng
chỉ đựng một loại đinh). Số đinh trong mỗi thùng theo thứ tự là 24kg, 26kg, 30kg, 37kg,
41kg, 55kg và 58 kg. Sau khi bán hết 6 thùng và chỉ còn một thùng đinh 10 phân, ngời
bán hàng thấy rằng trong số đinh đã bán, đinh 10 phân gấp 3 lần đinh 10 phân. Hỏi cửa
hàng đã có bao nhiêu kilụgam inh mi loi?

************************************
Chuyờn 4.

Các bài toán về phân số

I.

Các bài toán về cấu tạo số:

Một số kiến thức cần lu ý:

1. Để kÝ hiƯu mét ph©n sè cã tư sè b»ng a, mÉu sè b»ng b ( víi a vµ b lµ STN # 0) ta viÕt:

b

a

- Một số b chỉ số phần bằng nhau đợc chia ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần đợc lấy đi.

- Ph©n số

b

a

còn hiểu là thơng của phép chia a:b

2. Mỗi số TN a có thể coi là một phân sè cã mÉu sè b»ng 1:

1 a

3. Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì
phân số đó lớn hơn 1.

4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với một số TN khác 0 thì đợc một phân
số mới bằng phân số đã cho:

b

n

a



b

a

( n#0)

5. Nếu ta chia cả...bằng phân số đã cho.

6. Ph©n sè cã mÉu sè b»ng 10, 100, 1000,...gọi là phân số thập phân.

7. Nu ta cng c tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số hoặc trừ cả tử số và
mẫu số đi cùng một số thì hiệu giữa tử số v mu s khụng thay i.

Bài 1: Cho phân số

7

3

. Cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với cùng một số tự

nhiên ta đợc phân số mới bằng phân số

9

7

. Tìm số tự nhiên đợc cộng thêm?

Lêi gi¶i:

Hiệu của mẫu số và tử số của phân số đã cho là : 7 – 3 = 4 (đơn vị).

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

số của phân số mới vẫn bằng 4.

Đối với phân số mới ta có sơ đồ sau :

4
Tư sè:

MÉu sè :

Sè phÇn b»ng nhau cđa mÉu sè míi nhiều hơn tử số là:
9 7 = 2 (phần)

Tử số của phân số mới là : 4 : 2

7 = 14
Số tự nhiên cộng thêm là : 14 3 = 11

Đáp số : 11.

Bài 2. Rút gọn các phân số sau:

999 ...

95

9 ...

199

(100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ sè 9 ë mÉu sè)

414141

373737

Lêi gi¶i:

a) Ta nhËn xÐt : 999...95 = 5



199...9
100 CS 100CS

VËy :

999 ...

95

9 ...

199

5

1

b) Ta cã :

414141

373737

41 10101

37

41

37

II. So sánh phân số:

Những kiến thøc cÇn nhí:

1.Muốn quy đồng mẫu số...
2. Khi so sánh hai phân số:

- Có cùng mẫu số : ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn
hơn.

- Khơng cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã
quy ng c.

3. Các phơng pháp khác :

- Nu hai phõn số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ
hơn.

- So sánh qua một phân số trung gian:

b

a

d

c

và

d

c

f

e

thì

b

a

f

e

.
- So sánh phần bù với 1 của mỗi phân số :

1 -

b

a

< 1-

d

c

th×

b

a

d

c

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b

a

- 1 <

d

c

- 1 thì

b

a

d

c

Bài 1: HÃy so sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất:

27

16

và

29

15

; b)

2008

2007

và

2009

2008

; c)

326

327

và

325

326

Lời giải: a) Ta cã :

27

16

29

16

vµ

29

16

29

15

vËy

27

16

29

15

b)Ta cã: 1-

2008

2007

2008

1

và 1-

2009

2008

2009

1

mà :

2008

1 2009

1

nên

2008

2007

2009

2008

c) Ta cã :

326

327

= 1 +

326

1

vµ

325

326

= 1 +

325

1

mà

326

1

325

1

nên

326

327

325

326

Bài 2: HÃy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:

5

2

và

5

3

Lời giải: Ta có.

5

2

5

6

2

30

12

vµ

5

3

5

6

3 

30

18

mµ:

5

2

30

12

30

13

30

14

30

15

30

16

30

17

30

18

5

3

VËy 5 phân số thoả mÃn điều kiện của đầu bài là:

30

13

;

30

14

;

30

15

;

30

16

;

30

17

Bài 3. HÃy so sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất:

1993

1992

vµ

1998

1997

; b)

60

13

vµ

100

27

; c)

15

47

vµ

21

65

Bµi 4. H·y viÕt 10 phân số khác nhau nằm giữa 2 phân số sau:

101

100

và

102

101

.
...

III. Thực hành 4 phép tính trên phân sè:

Mét sè kiÕn thøc cÇn lu ý:

1.PhÐp céng:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2. PhÐp trõ ¬ng tù phÐp cộng ).

3. Phép nhân ( Quy tắc SGK).

4. PhÐp chia ( Quy t¾c SGK).

5. Các tính chất của phép tính trên phân số.

- Tính chất giao hoán.
- Tính chất kết hợp.
- Tính chất phân phối.

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau b»ng c¸ch nhanh nhÊt:

5

3

11

6

13

7

5

2

11

16

13

19 1997

1995



1993

1990



1994

1997



1995

1993



995

997

Lêi gi¶i:

5

3

11

6

13

7

5

2

11

16

13

19

= (

5

3

5

2

) + (

11

6

11

16

) + (

13

7

13

19

)

5

11

22

13

26

= 1 + 2 + 2 = 5.

1997

1995



1993

1990



1994

1997



1995

1993



995

997

= (

1997

1995



1994

1997

)



(

1993

1990



1995

1993

)



995

997

= (

1994

1995



1995

1990

)



995

997 1994

1990



995

997

2

995

997

2

995 

= 1.

Bài 2. Phân tích các phân số dới đây thành tổng của các phân số có mẫu số khác nhau và
tử số đều bằng 1.

35

13

; b)

16

11

Lời giải:

a) 35 = 1

7 và 13 = 1+ 5 + 7

VËy:

35

13

35

1

7

1

5

1

b) 16 = 1



2 vµ 16 = 1 + 2 + 8

VËy :

16

11

16

1

2

1

8

1

Bµi 3: Trong phong trµo thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy 20 – 11, häc sinh trêng

tiểu học Kim Đồng đã đạt đợc số điểm 10 nh sau: Số điểm 10 của khối 1 bằng

3

1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

®iĨm 10 cđa 4 khèi còn lại; số điểm 10 của khối 2 bằng

4

1

tổng số điểm 10 của 4 khối

còn lại; số ®iĨm 10 cđa khèi 3 b»ng

5

1

tỉng sè ®iĨm 10 của 4 khối còn lại; số điểm 10

của khèi 4 b»ng

6

1

tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại và khối 5 đạt đợc 101 điểm 10.
Hỏi toàn trờng đã đạt đợc bao nhiêu điểm 10 và mỗi khối đạt đợc bao nhiêu điểm 10?

Lêi gi¶i:

Gọi số điểm 10 của khối 1 là 1 phần thì số điểm 10 của 4 khối còn lại là 3 phần nh thế

và số điểm 10 của cả trờng là: 3 + 1 = 4 phần nh thế. VËy sè ®iĨm 10 cđa khèi 1 b»ng

4

1

tỉng sè điểm 10 của toàn trờng.
Lập luận tơng tự ta có :

- Sè ®iĨm 10 cđa khèi 2 b»ng

5

1

tỉng số điểm 10 của toàn trờng.

- Số điểm 10 của khối 3 bằng

6

1

tổng số điểm 10 của toàn trêng.

- Sè ®iĨm 10 cđa khèi 4 b»ng

7

1

tỉng số điểm 10 của toàn trờng.
Phân số biểu diễn số điểm 10 của 4 khối trên là :

4

1

5

1

6

1

7

1

420

319

( tỉng sè ®iĨm 10 của toàn trờng )

Số điểm 10 của toàn trờng là : 101 :

420

319

= 420 (điểm)

Số điểm 10 của khối 1là : 420

4

1

= 105 (điểm)

Số điểm 10 của khối 2 là : 420

5

1

= 84 (điểm)

Số ®iĨm 10 cđa khèi 3 lµ : 420



6

1

= 70 (điểm)

Số điểm 10 của khối 4 là : 420

7

1

= 60 (điểm)

Đáp số : Toàn trờng: 420 điểm; khối 1: 105 ®iĨm; khèi 2: 84 ®iĨm; khèi 3: 70 ®iĨm; khèi
4: 60®iĨm.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

11

5

2

1

5

2

11

6

4

3

25

16

5 2121

1313

143143

165165

151515

424242

2

1

+ +

8

1

16

1

32

1

64

1

128

1

256

1

B i 5à : TÝnh b»ng c¸ch thn tiƯn nhÊt:

...

Chuyên Đề :Bài toán về Trung Bình Cộng

I) Những điều cần biết:

1.Công thức tìm số trung bình cộng của n số:
Số trung bình cộng = Tổng các số : n

a)Trong một dãy số cách đều :

Nếu số các số hạng trong dãy số là một số lẻ thì số trung bình cộng của dãy số đó
chính là số ở vị trí chính giữa của dãy số.

Nếu số các số hạng có trong dãy là một số chẵn số thì số trung bình cộng của dãy số
chính bằng số trung bình cộng của hai số đầu và cuối dãy số đó.

VÝ dơ: Cho d·y sè : 1;3 ;5; 7;………….;95;97;99. H·y t×m số trùng bình cộng
của dÃy số trên. Số các số hạng có trong dÃy số trên là:

Giải
Số các số hạng có trong dÃy số trên là:

( 99 1 ) : 2 + 1 = 50 (số)
Trung bình công của dÃy số trên chính là:

( 1 + 99 ): 2 =50

2. Một trong các số đã cho chính bằng trung bình cộng của các số cịn lại thì số
đó chính bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho.

3.Cho 3 số a,b,c và một số x cha biết .Nếu cho biết x lớn hơn số trung bình cộng
của 4 số a, b, c, x là n đơn vị thì ta tìm trung bình cộng của 4 số đó nh sau:

Sè trung b×nh céng cđa 4 sè a, b, c, x b»ng:

( a + b + c + n ) : 3

Ví dụ : Cho 3 số là 12, 13, 15. Số thứ t hơn trung bìng cộng của cả 4 số đó là 2 đơn
vị .

a) Tìm trung bình cộng của 4 số đó
b) Tìm số thứ t.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Số trung bình cộng của 4 số đó là:

(12 + 13 + 15 + 2 ): 3 = 14
Sè thø t lµ: 14 + 2 = 16

II . Hệ thống các bài tập :

Bài 1: Tìm 10 số lẻ liên tiếp ,biết rằng số trung bình cộng của chóng b»ng 130

Bài 2: Tìm dãy số gồm 6 số tự nhiên , biết trung bình cộng của chúng bằng 21 và mỗi
số đều bằng 1

2 sè liÒn sau nã.

Bài 3: Số trung bình cộng của 5 số bằng 96. Hãy tìm số thứ 5, biết rằng số này đúng
bằng trung bình cộng của 4 số kia.

Bài 4: Trong đợt thi đua diệt chuột phá lúa, học sinh Tờng tiểu học A diệt đợc 3540
con trong đợt một, đợt hai diệt nhiều hơn đợt một 1465 con, đợt ba diệt đợc kem đợt
hai 1160 con. Hỏi trung bình mỗi đợt diệt đợc bao nhiêu con chuột?

Bµi 5: Thïng dÇu thø nhÊt cã 32 lÝt dÇu ,thïng dÇu thø hai cã 38 lÝt dÇu ,thïng dÇu
thø ba chøa số dầu bằng trung bình cộng số dầu của hai thùng kia, còn thùng dầu thứ
t chứa số dầu ít hơn số trung bình cộng của tất cả 4 thùng dầu là 9 lít. Hỏi thùng dầu
thứ t có bao nhiªu lÝt ?

Bài 6: Một đội sản xuất gồm 6 công nhân và 1 đội trởng. Mỗi công nhân đợc thởng
200000 đồng, cịn đội trởng thì đợc thởng hơn mức trung bình của tồn đội là 90000
đồng. Hỏi ngời đội trởng đợc thởng bao nhiêu tiền?

Bµi 7: Ti trung bình của cô giáo chủ nhiệm và 30 học sinh là 12 tuổi. Nếu không
kể cô giáo chủ nhiệm thì tuổi trung bình của 30 học sinh là 11 tuổi. Hỏi cô giáo chủ
nhiệm bao nhiêu tuổi?

Bi 8: Tui trung bình của 6 cầu thủ trong đội tuyển bóng chuyền Việt Nam là 24
tuổi. Nếu khơng tính đội trởng thì tuổi trung bình của 5 cầu thủ là 23 tuổi.Tính tuổi
ngời đội trởng.

Bài 9: Trong giải vơ địch bóng đá thế giới “ Munđial ” có một đội bóng của một nớc
mà tuổi trung bình của 11 cầu thủ ra sân lớn hơn 1 tuổi so với tuổi trung bình của 10
cầu thủ (khơng tính đội trởng ). Tính xem tuổi của đội trởng nhiều hơn tuổi trung
bình của c i l bao nhiờu?

Bài 10: Việt có 18 viên bi, Nam có 16 hòn bi . Hoà có số bi bằng trung bình cộng số
bi của Việt và Nam. B×nh cã sè bi kÐm trung b×nh céng sè bi của 4 bạn là 6 viên. Hỏi
Bình có bao nhiêu viªn bi ?

Bài 11: Trung bình cộng của 3 số là 75. Nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải số thứ
hai ta đợc số thứ nhất. Nếu gấp 4 lần số thứ hai ta đợc số thứ ba. Tỡm cỏc s ú.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 1:

Tìm ra tổng cđa 10 sè lỴ :

10 x 130 = 1300
Vẽ sơ đồ tổng – hiệu của 10 số lẻ

Tìm ra các số lẻ đó là:121; 123; 125;…….;139
Bài 2:

Tỉng cđa 6 sè phải tìm là:

21 x 6 = 126

Nếu biểu thị số thứ nhất là một phần thì số thứ hai là 2 phần, số thứ ba là 4 phần, số
thứ t là 8 phần, số thứ năm là 16 phần số thứ 6 là 32 phần.

Tng ca cỏc phn ú l :

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 ( phần )
Số thứ nhất là:

126 : 63 = 2
Các số tiếp theo lần lợt là :4; 8; 16; 32; 64.

Bµi 3:

Tổng của 5 số đó là:

96 x 5 = 480

Vì số thứ năm bằng trung bình cộng của 4 số kia nên tổng của 4 số đó chính bằng 4
lần số thứ năm. Suy ra 5 lần số thứ năm cũng chính là tổng của năm s ú.

Vậy số thứ năm là:

480 : 5 = 96.
Bài 4: Tự giải.

Bài 5:

Số lít dầu của thùng dầu thứ ba lµ:

(32 + 38 ) : 2 = 35 ( lÝt )

Tỉng sè dÇu cđa thïng thø nhÊt ,thïng thø hai vµ thïng thø ba lµ:
32 + 38 + 35 = 105 ( lít )

Trung bình cộng của cả 4 thïng lµ:

( 105 – 9 ) : 3 = 32 ( lít )
Số lít dầu thùng thứ t là: 32 – 9 = 23 ( lÝt )

Bµi 6:

Trung bình mỗi ngời trong đội đợc thởng số tiền là:

200000 + 90000 : 6 = 215000 ( đồng )
Số tiền thởng của ngời đội trởng đợc thng l:

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Tổng số học sinh và cô giáo chủ nhiệm là:

30 + 1 = 31 ( ngi )
Tổng số tuổi của 31 ngời đó là:

12 x 31 372 ( ti )
Tỉng sè ti cđa 30 ngêi häc sinh:

11 x 30 = 330 ( tuæi )
Sè chØ tuæi của cô giáo là:

372 330 = 42 ( tuổi )
Bài 8: Tơng tự bài 7

Bài 9:
Cách 1:

Nu bt i 11 tuổi ở số tuổi của ngời đội trởng thì tổng số tuổi của 11 cầu thủ sẽ bị
bớt đi 11 tuổi. Suy ra số tuổi trung bình của cả đội bị bớt đi 11 : 11 = 1 ( tuổi ) vừa
bằng tuổi của 10 cầu thủ không kể tuổi đội trởng .

Vậy tuổi của đội trởng hơn tuổi trung bình của của tồn đội là:
11 – 1 = 10 ( tuổi )

C¸ch 2:

Ta có thể dùng các dấu x1 để biểu thị tuổi trung bình của tồn đội và dấu x biểu thị
tuổi trung bình của 10 cầu thủ không kể đội trởng.

Tổng số tuổi của 10 cầu thủ gồm: x x x x x x x x x x

Tổng số tuổi của 11 cầu thủ gồm: x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1
Suy ra: Tuổi của đội trởng hơn tuổi trung bình của 10 cầu thủ là:

11 – 1 = 10 ( tuæi )
Bài 10: Hớng dẫn:

Tìm ra số bi của Hoà là 17 viªn.

Tìm tổng số bi của Việt, Nam và Hồ là: 51 viên.
Vẽ sơ đồ minh hoạ

T×m ra sè bi của Bình là: 9 viên.
Bài 11:

- Tìm ra tổng của ba sè lµ 225

- Suy ra số thứ hai là 1 phần thì số thứ nhất là 10 phần và số thứ ba là 4 phần.
- Vẽ sơ đồ minh hoạ

</div>

CHUYEN DE BDHSG TOAN 45PHAN Idoc

<b>Các chuyên đề bồi dỡng </b>

<b>học sinh gii lp 5</b>

<i>ab</i>



<i>abc</i>





<i>ab</i>



<i>abcd</i>







<i>abc</i>



<i>ab</i>



<i>cd</i>









<i>ab</i>

9

<i>ab</i>

<i>ab</i>

9

<i>ab</i>



<i>ab</i>

<i>ab</i>



<i>ab</i>



<i>ab</i>

<i>ab</i>



<i>ab</i>



<i>ab</i>

<i>ab</i>

<i>abc</i>

<i>abc</i>

5

5

<i>abc</i>

<i>abc</i>



<i>abc</i>

<i>abc</i>

<i>abc</i>













































<i>ab</i>



<i>ab</i>





