Tài liệu phuong trinh bac nhat - bac hai

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
PT QUY VỀ BẬC NHẤT – BẬC HAI

A. Giải và biện luận phương trình ax = b
ax = b
a = 0
b = 0
Pt có nghiệm tùy ý x ∈ R
b ≠ 0
Pt vô nghiệm
a ≠ 0
Pt có nghiệm duy nhất x = b/a
Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải và biện luận pt m(x – 1) + 2m = x – 2 (1)
(1) ⇔ mx – m + 2m = x – 2 ⇔ mx – x = - m – 2 ⇔ (m – 1)x = - m - 2
* m – 1 = 0 ⇔ m = 1
m Phương trình Kết luận
m = 1 0x = - 3 Phương trình vô nghiệm
m ≠ 1
x =
m - 2
m - 1
−
Phương trình có nghiệm duy nhất : x =
m - 2
m - 1
−
Ví dụ 2 : Giải và biện luận pt m(x – 1) + 2m = x + 1 (2)
(2) ⇔ mx – m + 2m = x + 1 ⇔ mx – x = - m + 1 ⇔ (m – 1)x = - m + 1
* m – 1 = 0 ⇔ m = 1
m Phương trình Kết luận

m = 1 0x = 0
Phương trình có nghiệm tùy ý x ∈ R
m ≠ 1
x =
m 1
1
m - 1
− +
= −

Phương trình có nghiệm duy nhất :
x = - 1
Ví dụ 3 : Giải và biện luận pt m
2
(x – 1) + 2m = x + 1 (3)
(3) ⇔ m
2
x – m
2
+ 2m = x + 1 ⇔ m
2
x – x = m
2
– 2m + 1 ⇔ (m
2
– 1)x = (m – 1)
2
* m
2
– 1 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m= -1

m Phương trình Kết luận
m = 1 0x = 0
Phương trình có nghiệm tùy ý x ∈ R
m = - 1 0x = 4 Phương trình vô nghiệm
m 1
m 1
≠


≠ −

x =
2
(m 1) m 1
(m - 1)(m+1) m 1
− −
=
+
Phương trình có nghiệm duy nhất : x =
m 1
m 1
−
+
Ví dụ 4 : Định m để pt sau vô nghiệm : m
2
(x – 1) + 3m = x + 2 (4)
(4) ⇔ m
2
x – m
2

+ 3m = x + 2 ⇔ m
2
x – x = m
2
– 3m + 2 ⇔ (m
2
– 1)x = m
2
– 3m + 2
Pt vô nghiệm
2
2
m 1 0
m 3m 2 0

− =

⇔

− + ≠



m 1
m 1 và m 2
= ±

⇔

≠ ≠


⇔ m = - 1
Ví dụ 5 : Định m để pt sau có nghiệm tùy ý : m
2
(x – 1) + 3m = mx + 2 (5)
(5) ⇔ m
2
x – m
2
+ 3m = mx + 2 ⇔ m
2
x – mx = m
2
– 3m + 2 ⇔ (m
2
– m)x = m
2
– 3m + 2
Pt có nghiệm tùy ý
2
2
m m 0
m 3m 2 0

− =

⇔

− + =




m 1 m=0
m 1 hay m 2
= ∨

⇔

= =

⇔ m = 1
Ví dụ 6 : Định m để pt sau có nghiệm duy nhất : m
2
(x – 1) + 3m = mx + 2 (6)
(6) ⇔ m
2
x – m
2
+ 3m = mx + 2 ⇔ m
2
x – mx = m
2
– 3m + 2 ⇔ (m
2
– m)x = m
2
– 3m + 2
Pt có nghiệm duy nhất ⇔ m
2
– m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ 1

B. Phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 :
∆ = b
2
– 4ac ; ∆’ = b’
2
– ac (a ≠ 0 và b’ = b/a)
ax
2
+ bx + c = 0
a = 0
b = 0
c = 0
Pt có nghiệm tùy ý x ∈ R
c ≠ 0
Pt vô nghiệm
b ≠ 0
Pt có nghiệm duy nhất x = - c / b
a ≠ 0
∆ < 0
Pt vô nghiệm
∆ = 0
Pt có nghiệm kép x = - b / 2a (hoặc x = - b’/ a)
∆ > 0
Pt có 2 nghiệm phân biệt :
b
x
2a
− ± ∆

=
(hoặc
b' '
x
a
− ± ∆
=
)
1. Phương trình có một nghiệm x = 1 ⇔ a + b + c = 0 . Nghiệm x
1
= 1 ⇒ x
2
=
c
,(a 0)
a
≠

2. Pt có một nghiệm x = - 1 ⇔ a - b + c = 0 . Nghiệm x
1
= - 1 ⇒ x
2
= -
c
,(a 0)
a
≠
3. Phương trình có một nghiệm x = 0 ⇔ c = 0 .Nghiệm x
1
= 0 ⇒ x

2
=
b
,(a 0)
a
− ≠
4. Phương trình có một nghiệm x = k ⇔ ak
2
+ bk + c = 0.
Nghiệm x
1
= k thì nghiệm x
2
=
c
,(a 0)
ak
≠
(hoặc x
2
=
b
- k,(a 0)
a
− ≠
)
5. Phương trình có 2 nghiệm ⇔ a ≠ 0 và ∆ ≥ 0 (hoặc a ≠ 0 và ∆’ ≥ 0)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ a ≠ 0 và ∆ > 0(hoặc a ≠ 0 và ∆’ > 0)
6. Phương trình có nghiệm kép ⇔ a ≠ 0 và ∆ = 0(hoặc a ≠ 0 và ∆’ = 0)
Nghiệm kép :

1 2
b
x x
2a
= = −
(hoặc
1 2
b'
x x
a
= = −
)
7. Phương trình có một nghiệm
a = 0 và b 0
a 0 và = 0
≠

⇔

≠ ∆

8. Phương trình có nghiệm
a b c 0
a 0 và b 0
a 0 và 0
= = =


⇔ = ≠



≠ ∆ ≥

(Chú ý : ta có thể xét riêng từng trường hợp
: trường hợp a = 0 và trường hợp a ≠ 0)
9. Phương trình vô nghiệm
a b 0 và c 0
a 0 và 0
= = ≠

⇔

≠ ∆ <

(Chú ý : ta có thể xét riêng từng trường
hợp : trường hợp a = 0 và trường hợp a ≠ 0)
10. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình thì ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)(x – x
2
)
2 2 2
1 2
x + x = S - 2P

;
3 3 3
1 2
x + x = S - 3PS
;
4 4 2 2 2
1 2
x + x = (S - 2P) 2P−
C. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối và căn bậc hai :
Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Phương trình chứa căn bậc hai
b 0
| a | = b
a = b a = - b
≥

⇔

∨

a 0 a < 0
| a | = b
a = b - a = b
≥
 
⇔ ∨
 
 
| a | = | b | ⇔ a = b ∨ a = - b
2
b 0

a = b
a = b
≥

⇔


b 0 (hay a 0)
a = b
a = b
≥ ≥

⇔

