Đáp án HSG Toán học lớp 9 Bắc Ninh 2015-2016

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (643.43 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: Toán - Lớp 9

Câu Đáp án Điểm

1. (3.0 điểm)

Ta có

( ) ( ) (

)(

)

3 3

2 .

2 2 2 2 2

a - b = a - b = a - b a+ ab + b 0.75

Suy ra

(

)

(

)(

)

3 3

2( ) 2

2( )

2 2

2 2 2 2 2

a b a a b

a b a

a ab b

a b a b a ab b

+ -
-+
- =
+ +
- - + +

(

)(

)

2 2
.
2
2
1
2 2

a ab b

a b

a b a ab b

+ +
= =

-- + +
0.75

(

)(

)

(

)

(

)

3 3 2 2 2

2 2

2
.

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

a b a ab b

b b a

a b

a a

ab b

a ab b a ab b

a

b b b

+ - +
- =
-+ +

-= - = =
+
- + - +
0.75

Từ đó,

(

)

2
2

1 2

. .

2 2 2

a b

a b b b

P

-=

-= 0.75

2.1. (2.0 điểm)

Theo định lí Viét ta có x x1 2 = x x3 4 = 1,x1+ x2 = - 2015 0.5

Do đó

(

)

(

)

1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 4 4

M = ëéêx x + x + x x + x ûëùéúêx x - x + x x + x úùû 0.5

(

)(

)

(

)(

)

3 3 4 4 3 4

1 2015x x 1 2015x x 4031x x 4031

= - + + + = - - =

( Vì 2 2

3 1 2016 ;3 4 1 2016 4

x + = - x x + = - x ) 1.0

2.2. (2.0 điểm)

Ta có 3x + 5y = 68Û 3

(

x + 4

)

= 5 16

(

- y

)

Þ 3

(

x + 4

)

chia hết cho 5

(

)

(

)

4 5 5 4

x k k x k k

ị + = ẻ Â ị = - ẻ Â 0.5

Mặt khác điểm M x y

( )

; thuộc hình chữ nhật A BCD (không nằm trên cạnh ) nên ta có

(

)

6 42 58

3 68 5 58 19 Do

2 17 3

x

x y x x x

y

ìï < <

ù ị = - < ị < ị Ê ẻ

ớ

ù < <

ùợ Â

Do ú 6 5 4 19 2 23 3

4
5
k

k k
k
é =
ê
< - £ Û < < ị ờ

ờở ( Vỡ k ẻ Â )

1.0

Với k = Þ3

( ) (

x y; = 11; 7

)

( Thỏa mãn)
Với k = 4Þ

( ) (

x y; = 16; 4

)

( Thỏa mãn)
Vậy các điểm cần tìm là M

(

11; 7 ;

)

M

(

16; 4

)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3.1. (2.0 điểm)

Ta sẽ chứng minh 2 1 9 1

( )

a + b ³ a + b
Thật vậy

( )

(

)(

)

2 2

(

)

1 Û 2b+ a 2a+ b ³ 9abÛ 2a - 4ab+ 2b ³ 0 Û 2 a- b ³ 0, luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.

1.0

Ta lại có

(

2a2 + b2

)

(

2+ 1

) (

³ 2a+ b

) ( )

2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. 0.5

Do đó,

(

2 2

)

2 1 9 9 3

2 3 2

a + b ³ a+ b ³ a + b ³ c

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b= c.

0.5

3.2. (2.0 điểm)

(

)

(

)

2.5.

(

)

(

)

.
ab b

c a b b c a c a b b a c

c

ca = Û + = + Û - =

-Suy ra, 5 là ước của b a

(

- c

)

Do 5 nguyên tố và 1£ b£ 9; 8- £ a- c£ 8 nên hoặc b= 5 hoặc c- a = - 5 hoặc
5.

c- a =

0.5

Nếu b= 5 thì 2

(

)

2 2 2 1 9

2 9 2 9

a

c a a c c c

a a

- = - Û = Û = +

- -

Vì 2c 2ị 2a- 9> 0 nờn

(

2a- 9

) {

ẻ 1; 3; 9

}

Û a Ỵ

{

5; 6; 9

}

(a = 5 loại).
Với a = Þ6 c = Þ2

(

a b c; ;

) (

= 6; 5;2

)

Với a = Þ9 c = Þ1

(

a b c; ;

) (

= 9; 5;1

)

0.5

Nếu a = c+ 5 thì

(

)

2 10

2 5

2 1

c c

c c b b b

c

+ - = Û =

+
2

4 20 9

2 2 2 9

2 1 2 1

c c

b b c

c c

Û = Û = +

-+ +

Suy ra,

(

2c+ 1

) {

Ỵ 1; 3; 9

}

Û c Ỵ

{

0;1; 4

}

(c = 0 loại).
Với c = Þ1 a = 6;b= 4Þ

(

a b c; ;

) (

= 6; 4;1

)

Với c = 4Þ a = 9;b= 8Þ

(

a b c; ;

) (

= 9; 8; 4

)

0.5

Nếu c = a + 5 thì

(

)(

)

2 10

2 5

2 9

a a

a a b b b

a

+ - = - Û =

+
9

2 2 1

2 9

b a

a

Þ = +

-+
Do 2a+ 9> 9 nờn 9

2a+ 9 ẻ Â (khụng thỏa mãn).

Vậy các bộ số

(

a b c; ;

)

thỏa mãn là

(

6; 4;1 , 9; 8; 4 , 6; 5;2 , 9; 5;1 .

) (

)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4.1. (2.0 điểm)

F

E

Q P

O

N
M

C

B
A

Ta có

· · · · ·

(

)

1
2

BOP = BA O + A BO = BA C + A BC

· ·

(

)

· ·

0
90

180 1

2 2

PNC NCO

A CB

BA C A BC

BOP PNC

-= = +

Þ =

Do đó, tứ giác BOPN nội tiếp. 1.0

Tương tự tứ giác AOQM nội tiếp 0.5

Do tứ giác AOQM nội tiếp Þ A QO· = A MO· = 900
Tứ giác BOPN nội tiếp · · 0

BPO BNO

Þ = = · · 0

90
A QB A PB

Þ = = Þ Tứ giác AQPB

nội tiếp

0.5

4.2. (2.0 điểm)

Tam giác A QB vng tại Q có QE là trung tuyến nên QE = EB = EA.

· · 1µ ·

/ / .
2

EQB EBQ B QBC QE BC

Þ = = = Þ 1.0

Mà EF là đường trung bình của tam giác A BC nên EF / /BC.

Suy ra, Q E F, , thẳng hàng. 1.0

4.3. (2.0 điểm)
,

MOP COB

D D đồng dạng MP OM OP

a OC OB

Þ = = 0.5

NOQ

D và DCOA đồng dạng NQ ON OM

b OC OC

Þ = = 0.5

POQ

D vàDBOA đồng dạng PQ OP OM

c OB OC

Þ = = 0.5

OM MP NQ PQ MP NQ PQ

OC a b c a b c

+ +

Þ = = = =

+ + 0.5

5.1. (1.5 điểm)

Gọi A là 1 trong 4033 điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm A bán kính là 1. Kí hiệu

(

A, 1 .

)

+) Nếu tất cả 4032 điểm còn lại đều nằm trong đường trịn này thì bài tốn được giải quyết.

0.5
+) Giả sử B nằm ngồi đường trịn

(

A, 1 .

)

Khi đó, A B > 1, vẽ đường tròn tâm B bán kính

bằng 1, kí hiệu là

(

B, 1 .

)

Gọi C là điểm thứ 3trong 4031 điểm còn lại. Do A B C, , là ba

điểm bất kì và A B > 1 nên theo giả thiết hoặc AC < 1 hoặc BC < 1. Nên C nằm trong

(

A, 1

)

hoặc

(

B, 1

)

do đó, hai hình trịn

(

A, 1

)

và

(

B, 1

)

chứa tất cả 4033 điểm đã cho.
Mà 4033= 2.2016+ 1, nên theo ngun lí Dirichlet một trong hai đường trịn này chứa

2016 điểm.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

5.2. (1.5 điểm)

F

D E C

B

O A

M

Đường thẳng OA cắt

( )

O tại C D, với C
là trung điểm của OA. Gọi E là trung
điểm của OC.

Nếu M khơng trùng với C D, thì
OEM

D và DOMA đồng dạng

· · 1

OM OE

MOE A OM

OA OM

ổ ửữ

ỗ = = = ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

2 .
2

ME OM

MA EM

A M OA

Þ = = Þ =

0.5

Nếu M trùng với C thì MA = CA = 2EC = 2EM.
Nếu M trùng với D thì MA = DA = 2ED = 2EM.
Vậy ta ln có MA = 2EM.

0.5
Do đó, MA+ 2MB = 2EM + 2MB ³ 2EB là hằng số.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của B E với

( )

O .

Vậy MA+ 2MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của B E với

( )

O .

0.5

Chú ý:

1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.

2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. 
Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo 
trao đổi với tổ chấm để giải quyết.

3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.

</div>

Đáp án HSG Toán học lớp 9 Bắc Ninh 2015-2016

( ) ( ) (

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( ) (

)

( ) (

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)(

)

(

)

(

)

(

) (

) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) {