SKKN Gia tri tuyet doi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (167.65 KB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

A- Những kiến thức cơ bản về Giá trị tuyệt đối.
I- các định nghĩa:

1 Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là  a là:













0 a

nÕu

a

-0

a

nÕu

a

2- Nhận xét : Gía trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ
f: R R+















0 a

nÕu

0 a

nÕu

a



VÝ dô : | 1 | =1
|0| = 0

|-1| = -( -1) =1

Më réng : Víi biĨu thøc A(x) ta cịng cã:

VÝ dơ:

3- §Þnh nghÜa 2:

Khoảng cách từ điểm a đến điểm O trên trục số là giá trị tuyệt đối của a

| - a | | a|
VÝ dô 1: | - 3 | | 3 |

* Víi a = 3 th× | a| = |3| =3

Víi a= -3 th× |a| = |-3|

1
3
)
3
1
(
|
3
1

|     

1
2
|
1
2

|   













0 A(x)

A(x)nÕu

-0

A(x)

nÕu

|

A

(

x

|)

A

x

)(

































3

5 x

nÕu

3

5 x

nÕu

5 -3x

0

5 -

3x

nÕu

3x

-5

0

5 -3x

Õu

5 -3x

x

n

x

3

5

3














</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

* Ngợc lại: 







3
3

3 a

a

Tỉng qu¸t:























b

a

b

ba

0

R
b
a
b
b
a
b

a   









 ,

VÝ dô 2: | 5 |

Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của O là số O.

* Giá trị tuyệt đối của số ngun dơng là chính nó.

* Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó (và là một số dơng).
* Trong hai số âm, số nào có Giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.
* Hai số đối nhau có Giá trị tuyệt đối bằng nhau.

VÝ dơ 3:

Do đó bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng bởi tập các số của đoạn [- 3, 3] và trên trục
số thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [-3 ; 3]

-3 0 3
Tỉng qu¸t:

VÝ dơ 4:

Do bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng tập hợp các số của hai khoảng [- ∞; 3] và [3; +∞] và
trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai khoảng tơng ứng với các khoảng số đó.

0 ,

0 ||























b

R

b

a

b

a

b

a

03

30

3 































a

0a

nÕu3a

-0a

nÕu

a





































3 a

0a nÕu3 a

-0 a nÕu

0a nÕu3a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tỉng qu¸t:

II- Các tính chất về gí trị tuyệt đối:

1) | a | ≥ 0 ∀ a (Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối)
2) |a| = 0 < => a = 0

3) | a | = | -a | ; | a |2 = a2 ThËt vËy:

* | a | = | -a | (do a và -a là hai số đối nhau nên theo định nghĩa | a | = | -a |)
* | a |2 = | a | . | a |

- NÕu a> 0 th× |a |2 = a. a = a2

- nÕu a < 0 th× |a |a2| = (-a). (-a )= a2

VËy : | a |2 = a2

4) - |a |  a  |a|

Thật vậy : theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối ta có:













0 a

a nÕu

-0

a

nÕu

a

=> | a |  a => -| a |  -a
5) | a + b | ≤ | a | + | b |

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi ab  0
ThËt vËy: theo (4) -|a|  a  |a|

- |b| b  |b|

=> -( |a| + |b|  a+ b  |a| + |b | (®ccm)
6) |a|- | b |  |a| + | b |

DÊu "= " (|a| -|b| = |a b|) xảy ra khi và chØ khi









b

a

ab 0

ThËt vËy: |a| =| a-b+b|  |a- b | + | b| => |a| - | b|  |a-b| (1)
|a – b | =| a + ( -b)|  |a| + |- b | => |a| + | b|

=> |a – b|  | a| + | b| (2)
Tõ (1) vµ (2) => |a| - | b| ≤ | a-b | ≤ |a | + |b | (®ccm)

7) ||a| - | b| |≤ | a ∓ b|

Đẳng thức | | a| -| b| | = |a – b | khi ab ≥ 0
ThËt vËy :

Theo (6) |a| – |b |≤ | a - b| (1)
| b | - | a | ≤ | b- a | = | -(b – a ) | = | a – b |
=> -( |a – b |) ≤ | a - b| (2)

)3(

)

(













ba

Tõ ( 1) ; (2) ;(3) => | |a| – |b | | ≤ | a - b| (4)

Mặt khác: | |a| – |b | | = | |a| – |b | | ≤ | a + b| => | |a| – |b | | ≤ | a + b| (5)

| |

,

4

0 a b

R b

ac

b

a

b























</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tõ (4) vµ (5) => | |a| – |b | | ≤ | a ∓ b| (®ccm).
8) | a. b| = | a | |b|

Thật vậy xét các khả năng sau:

0b

0a

hoặchoặc

0 b

a

b

a

0

b
b
a
b
a

Đều suy ra | ab| = | a | |b| = 0 (1)
Từ (1);(2);(3);(4) và (5) => đ/c c/m.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

9) Thật vậy: xét các khả năng sau:

Từ (1);(2); (3) ;(4) và (5) suy ra điều cần chứng minh.

III- Bài tập áp dụng :
1- Bài tập áp dụng khái niệm :

a- Bài tập trắc nghiệm :

Hóy khoanh trũn vào các chữ a), b), c), d)
nếu đó là câu đúng (Các câu 1,2,3)

Câu 1: Giá trị tuyệt đối của a ký hiệu là | a|

a) | a | = a b) | a | = - a
c) | a | = 0 d) | a | ≥ 0

C©u 2 :

Cho a ∈ Z tìm kết luận đúng

a) | a | ∉ N b) | a | = a
c) | a | ∈ N d) | a | = - a

Câu 3 : Cho số nguyên a hãy điền vào chỗ trống các dấu ≤ ;≥ ; >; < = để các khẳng định

sau là đúng :

a) | a |….. a víi mäi a
b) | a | …0 víi mäi a

c) NÕu a> 0 th× a…..| a |
d) NÕu a = 0 th× a…..| a |

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

e) NÕu a < 0 th× a…..| a |

C©u 4 : BiÕt | a | = |b|

a) a= b b) a = -b

c) a = b = 0 d) a = b ; a = - b.

Câu 5: hãy nối một dòng ở cột bên phải với một dòng ở cột bên trái để đợc :

a) | x | < 2 1) x< -3; x >3
b) | 2x | = - 3 2) x∈ [-5 ; 5]
c) 5 ≥ |x| 3) – 2 < x < 2

d) | x | >3 4)

-2 2

Cho sè nguyªn a 5) x ∈ {- 5 ; - 3; -1 ; 1 ; 3; 5 }

b Các bài toán

Bi 1: Cỏc khng nh sau có đúng với mọi số nguyên a và b khơng? Cho ví dụ: Bổ xung

thêm điều kiện để các khẳng định đó đúng .
a) | a | = | b | => a = b

b) a > b =>| a | >| b |

Bài 2: Tìm a biết a Z và a thoả mÃn một trong các ®iỊu kiƯn sau:

a) | a – 1 | = 0
b) | a – 1 | = 1
c) | a – 1 | = - 1
d) | a | ≤ 1
e) | a | ≥ - 2
g) 0 < | a | 4

Biểu diễn các số a thoả mÃn điều kiện trên trên trục số.

Bài 3: a) Có bao nhiêu số nguyên x thoả mÃn | x | < 30

b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y |
( Các cặp số nguyên (1, 2 ) và (2, 1) khác nhau)

c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y | < 5

Bµi 4 : Cho | x | = 7 ; | y | = 20 víi x, y ∈ Z

TÝnh x – y

Bµi 5: Cho | x | ≤ 3; | y | ≤ 5 víi x, y ∈ Z

BiÕt x- y = 2 T×m x vµ y.

Bµi 6: Cho x < y < 0 vµ | x | - | y | = 100

Tính x y.

2 Bài tập áp dụng tính chất :

a- Bài tập trắc nghiệm :

Câu 1: Điền dấu , , = cho thích hỵp

a) | a + b | ………….| a | +|b|

b) | a - b | ………….| a | - |b| Víi | a | ≥ |b|
c) | a b | ………….| a| |b|

d) ba ... ba

Câu 2 Đánh dấu chéo vào câu (trong câu 2 và câu 3)

Ta có a + b = | a | - |b| víi
a) a, b tr¸i dÊu

b) a, b cïng dÊu
c) a>0, b < 0

d) a>0, b < 0 vµ | a | > |b|

C©u 3: Ta cã a + b = - |( a | - |b|)

a) a, b tr¸i dÊu
b) a, b cïng dÊu
c ) a, b cùng âm
d) a, b cùng dơng

b Các bài toán :

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

| a – b | < 5 BiÕt | a – c | < 3 ; | b – c | < 2

Bài 2: Có số nguyên x nào để

a) | 2x + 7 | + | x + 5 | = - 12
b) | x | + | x – 5 | = 0

c) | - x – 3 | + | - 49 | = 27

Bài 3: Một điểm x (điểm biểu diễn bởi số nguyên x ) di chuyển từ điểm – 2 đến điểm 1 rồi

từ điểm 1 đến các điểm về bên phải trục số. Dựa vào giá trị của x hãy rút gọn biểu thức sau:
a) | x - 1 | + | x + 2 |

b) | x - 1 | - | x + 2 |
c) | x + 2 | - | x - 1 |
d) - | x - 1 | - | x + 2 |

Bµi 4: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

a) | a | + a
b) | a | - a
c) | a | a
d)  

a
a

e) | x – 3 | + 5
f) | x + 2 | + | x – 5 |

g) 4x + 5 - | x + 3 | víi x 3

H

ớng dẫn - Đáp số

1- Bài tập áp dụng khái niệm 
Câu 1: (d)

Câu 2: (c)
C©u 3: (d)

C©u 4: a) | a | ≥ a

b) | a | ≥ 0

c) NÕu a > 0 th× a = |a|
d) NÕu a = 0 th× a = |a|
e) NÕu a < 0 th× a < |a|

C©u 5: Nèi a) víi 3 c) víi 2

d) víi 1 a) víi 4

Bµi 1: a) sai VD: a = 5 ; b = 5

Th× | a| = 5 = | b | nhng a ≠ b

điều kiện để khẳng định đúng là a.b >0 ; a = b = 0
b) sai VD: a = 3; b = - 5

điều kiện bổ xung để khẳng định đúng là: a > 0 ; b > 0.

Bµi 2:

a) a = 1

b) a = 2 ; a= 0

c) Không có giá trị nào của a
d) 1 a ≤ 1

e) a ≤ - 2 ; a ≥ 2

g) a ∈ {∓1; ∓2 ; ∓3; ∓4}

Bµi 3: a ) x ∈ {∓1; ∓2 ;……… ∓29}).
=> Cã 58 sè

b) Do | x | ≥ 0 ; | y | ≥ 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- Nếu | x | = 0 thì | y | = 3 khi đó có hai cặp
- Nếu | x | = 1 thì | y | = 2 = > có bốn cặp.
| x | = 2 thì | y | = 1 = > có bốn cặp.
| x | = 3 thì | y | = 0 = > có hai cặp.
Tất cả có 2 + 4 + 4 = 2 = 12 cặp

c) Gi¶i: Tơng tự câu b) có 20 cặp

Bài 4:

| x | = 7 => x = ∓ 7 ; | y | = 20 => y = ∓ 20
XÐt bốn trờng hợp

Đáp số 13; 27

Bài 5: |x | ≤ 3 < = > - 3 ≤ x ≤ 3

| y | ≤ 5 < => - 5 ≤ y ≤ 5
V× x – y = 2 ta cã b¶ng sau:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Bµi 6: Vì x < y < 0 nên |x - y| = |x| - |y| = 100

=> x – y = ∓ 100

Nhng do x < y => x – y < 0 => x – y = - 100

2- Bài tập áp dụng tính chất :

C©u 1: a) ≤ b) ≥ c) = d) =

Câu 2: d) 
Câu 3: c)

Bài 1: | a – b | = | (a – c ) + (c - b)| ≤ | a – c | + | c – b | = | a – c | + | b – c |

< 3 + 2 = 5 => | a – b | < 5

Bài 2: a) Khơng vì theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số là khơng âm, tổng của hai số

kh«ng âm không thể là số âm.

b) Không vì | x | ≥ 0 ; | x – 5 | ≥ 0
vµ | x | ≠ | x – 5 |

=> Tæng | x | + | x – 5 | không thể bằng 0.
c) Không vì 27 < | - 49|

Bµi 3: a) NÕu – 2 < x < 1 thì x 1 < 0 và x + 2 > 0

Nªn | x – 1 | + | x + 2 | = - (x – 1 ) + (x + 2 ) = 3
NÕu x > 1 th× | x – 1 | > 0 và x + 2 > 0

Nên | x – 1 | + | x + 2 | = x – 1 + x +2 = 2x + 1
b) §¸p sè – 2x + 3 ; -3

c) 2x + 1; 3
d) - 3; - 2x – 1

Bµi 4:

a) = 2a víi a ≥ 0
= 0 víi a< 0
b) = 0 víi a ≥ 0
= - 2a víi a< 0
c) = a 2 víi a ≥ 0

= - a2 víi a<0

d) = 1 víi a ≥ 0
= -1 víi a< 0
e) = x + 2 víi x ≥ 3
= 8 – x víi x < 3
f) = - 2x + 3 víi x < - 2
= 7 víi x – 2 ≤ x ≤ 5
= 2x –3 víi x > 5
g) 3x + 2 (víi x ≥ - 3)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1- D¹ng 1:

Ví dụ: Giải các phơng trình sau.

a) | 2x 1 | = 5 (1)

Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S = {- 2; 3}
b) | 2x – 1| = m – 1 víi m lµ tham sè

+) NÕu m – 1 < 0 = > m < 1 thì phơng trình vô nghiệm
+) Nếu m - 1 = 0 th× | 2x- 1 | = 0 => x = 1/2

+) NÕu m 1 > 0 thì

2

1

2 )1

(

1

2 m

x

m

x

m

x

m

x

2- Dạng 2:

)(

)

(

)

(

)

(

0 )

(

)(

x

B

x

A

x

B

x

A

x

B

x

B

x

A

Ví dụ: Giải phơng trình

| x 3 | = 2x – 1 (2)

Vậy tập nghiệm của phơng trình (2) là S= {4/3}

D¹ng 3: A

































0 )

(

0 )(

)

(

x

b

x

A

x

b

xA

b

x

VÝ dụ : Giải phơng trình | x| - 1 =5 (3)
+) NÕu x ≥ 0 (3)  x – 1= 5<= > x = 6























bx

A

b

xA

b

bx

A

)(

0 )(|





























3

2

5

1

2

5

1

2 )1(

x




















3

4
x
lo¹i)
nµy
(nghiƯm
3)
x
víi
3
x
víi
1)

-2x
(

-3

-x
3)
x

víi 2(

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

+) NÕu x < 0 (3)  - x- 1= 5<= > x =-6

Vậy tập nghiệm của phơng trình (3) là S = {- 6 ; 6}

Dạng 4: A

0 )(

)

(

0 )(

)

(

x

xB

x

A

x

xB

xA

xB

x

Ví dụ: Giải phơng trình | x | - 1 = 2x + 5 (4)

+) NÕu x ≥ 0 (4) <= > x – 1 = 2x + 5 <= > x = - 6 (loại) vì - 6 < 0
+) Nếu x < 0 (4) – x- 1 = 2x+ 5 <= > x = - 2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

D¹ng 5:

)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(

x
B
x
A

x
B
x

A
x
B
x
A

Ví dụ: Giải phơng trình | x + 3 | = | 2x – 1 | (5)
Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình (5) lµ

Dạng 6: Phơng trình có chứa một số biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối

|A1(x) | + | A2(x) | +……+ | An (x)| = B(x)

+) Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu ta phải b du giỏ tr tuyt i.

Ví dụ: Giải phơng trình.

a) | x + 1 | + | x – 2 | + | x – 3| = 5 (6)
+) LËp b¶ng xÐt dÊu

x -∞ -1 2 3 +∞

x+ 1 - + + +

x+ 2 - - 0 + +

x+ 3 - - - 0 +

+) Bảng tính giá trị tuyết đối

x -1 2 3

(6) <= > - 3x + 4 = 5 < => x = 1/3 (loại)
Nêú 1 x 2

(6) <= > 6 – x = 5 <= > x = 1
+) NÕu 2 < x ≤ 3

(6) <= > x + 2 = 5 < => x = 3
+) NÕu x > 3

(6) < => 3x – 4 = 5 <= > x = 3 (lo¹i)

VËy tập hợp nghiệm của phơng trình (6) là S = { 1; 3 }
b) | 2x + 1 | + 2x – 5 | = 4 (6')

Cách 1: Lập bảng xét dấu giải nh vÝ dơ a 
C¸ch 2: Ta nhËn thÊy

VT = | 2x – 1 | + | 2x – 5 | = | 2x – 1 | + | 5 – 2x |

≥ | ( 2x – 1) + ( 5 –2x ) | = 4 = VP
Nh vËy | 2x – 1 | + | 5 – 2x = | ( 2x – 1) + ( 5 –2x ) |

Điều này chỉ xảy ra khi ( 2x – 1) ( 5 –2x ) ≥ 0
Giải bất phơng trình này (xột du ) ta c

2
5
2

x

Đây chính là tập hợp các nghiệm của phơng trình (6')

Bi tp ngh

Bài 1: Giải các phơng tr×nh sau:

a) | x – 3 | + x = 7
b) | x + 3 | = | 5 – x |

e) | x – 3 | = x – 3



























4
3
2
1

2
3

)
1

2
(
3
)

5
(

x
x
x

x

x
x








 ; 4

3
2

S

1
2
3
)

1
2
1
2
)





x
d

x
x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bµi 2: Giải các phơng trình sau:

a) x - | x + 1 | + 2| x – 1| = 0
b) | x| + | 1 – x | = x + | x – 3 |

c) | | x| - 3 | = x +1

Bµi 3 : Giải các phơng trình

a) | x 4 | - x = 2a ( a lµ h»ng sè)
b) | x – 3 | + | 5 – x | = 2a ( a là hằng số)
Đáp sè :

Bµi 1: a) 5 b) 1 c) V« nghiƯm d) V« nghiƯm e) x 3≥

Bµi 2:

Bµi 3: a) NÕu a > -2 th× x = 2 –a

NÕu a = - 2 thì Vô số nghiệm x 4
Nếu a < - 2 thì Vô nghiệm

b) Nếu a = 1 th× 3 ≤ x ≤ 5

NÕu a > 1 th× x1 = 4 – a ; x2 = 4 + a

Nếu a < 1 thì phơng trình vô nghiệm.

II- Một số dạng bất ph ơng trình th ờng gặp :

Dạng 1:

I

b

A

x

b

x

A

)(

0 )(

Ví dụ: Giải các phơng trình sau:
a) | x – 1 | ≤ 5 (1)

C¸ch 1: (1) <= > - 5 ≤ x – 1 ≤ 5 < => - 4 ≤ x 6

Vậy nghiệm của bất phơng trình lµ : - 4 ≤ x ≤ 6

C¸ch 2: +) NÕu x ≥ 1 (1) <= > x – 1 ≤ 5 = x ≤ 6

+) Nếu x< 1 (1) < => 1- x ≤ 5 <=> x ≥ 4
Kết hợp lại ta đợc – 4 ≤ x ≤ 6

b) | x – 1 | ≤ 5 m + 5 (1' )

+) NÕu m + 5 ≤ 0 (1' ) V« nghiƯm
+) NÕu m + 5 > 0 < => m > - 5

(1') < => | x – 1 | ≤ m + 5 < => - m – 5 ≤ x – 1 ≤ m + 5
< => - 4 - m ≤ x ≤ m + 6

KÕt luËn : m ≤ - 5 bất phơng trình vô nghiệm

m > - 5 bất phơng trình có nghiÖm – m – 5 ≤ x – 1 ≤ m + 5

D¹ng 2: | A (x) | ≥ b (II)

Cách giải :

+) Nếu b < 0 => bất phơng trình (II) có nghiệm với x R
Ví dụ: Giải các bất phơng trình sau:

a) | x – 3 | ≥ 9 (2)

VËy (2) cã nghiƯm lµ x ≤ 6 ; x ≥ 12

1
)
1
)

3
;
2
1

) b c

a 













b
A(x)

b

-A(x)

(II)

0
b
Õu

N

)





















12
6
9

3
9
3
)

2
(

x
x
x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

-6 12
b) | x – 3 | ≥ 1 – m (2')

+) NÕu 1 – m < 0 < => (2') cã nghiƯm víi ∀ x ∈ R
KÕt luËn : * m > 1 (2' ) cã nghiƯm víi ∀ x ∈ R

* m ≤ 1 (2' ) cã nghiÖm x ≥ m + 2 ; x ≥ 4 - m

Dạng 3:

Ví dụ: Giải bất phơng trình
| 1 – 2x | ≤ x + 5 (3)

Vậy bất phơng trình có nghiƯm lµ x 









 ; 6

3
4
























m
x

4
2
)

m

-1
3
-
x

1

-m
3

-x

)
(2'
0
m

1
NÕu





























0)(

)()(

)(

0)(

)()(

xB

xBxA

xB

xBxA



































































5

6

3

4

3

4

6

05

21

5

21

05

5

21

5 )3(

x

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

D¹ng 4:

0)

(

)(

0)

(

)(

xB

xA

xB

xA

xB

xA

Ví dụ: Giải bất phơng trình : | x + 1 | ≥ 2x - 1 (4)

Vậy nghiệm của bất phơng trình (4) là

2
1
2

2
1

x
hay
x

Dạng 5:  2  2

)
(
)

(
)

(x B x A x B x

A

Ví dụ : Giải bất phơng tr×nh
| x + 1 | > | x - 2 | (5)

< => ( x + 1 ) 2 > ( x - 2 )2







































































































2

1

2

1

2

1

0

2

1

2

0

01

2

12

1

21

1 )4(

x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

<= > x2 + 2x + 1 > x2 - 4x + 4

<= > 2x > - 4x + 3

< => 6x > 3 < => x > 3 / 6 < => x > 1/2
VËy nghiÖm của bất phơng trình là x > 1/2

Dng 6: Bt phơng trình chứa nhiều biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

| A1(x)| + | A2(x)| +...+ | An(x)| = B(x)

Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu phá bỏ dấu giải trị tuyệt đối (Đặc biệt có thể dùng
tính chất | a | + | b | ≥ | a + b |)

VÝ dơ: Gi¶i bất phơng trình
| x - 1 | + | x - 2 | > x + 3
+) LËp b¶ng xÐt dÊu

x 1 2

x-1 - 0 + +
x-2 - - +
+ NÕu x < 1

(6) <= > 1 - x + 2 - x > x + 3
< => 3x < 0 => x < 0

Trong khoảng này x< 0 (*)
+ Nếu 1 x ≤ 2

(6) <= > x - 1 + 2 - x > x + 3
< => x < - 2 (lo¹i )

+ NÕu x > 2

(6) < => x - 1 + x - 2 > x + 3
< => x > 6 (**)

Kết hợp (*) và (**) nghiệm cuả bất phơng trình là x < 0 ; x > 6.

Bài tập đề nghị :

Bài 4: Giải các bất phơng trình sau:

a) | 2x + 3 | < 7
b) | 3 - 2x | < x + 1
c) | 3x - 1 | ≥ 5
d)

2
1

x

Bài 5: Giải các bất phơng trình sau:

a) | x 3 + 1 | ≥ x + 1

b) | x - 3 | < | x + 1 |
c) | x - 1| > | x + 2 | - 3
d) | x - 1 | + | x - 5 | > 8
e) | x - 3 | + | x + 1 | < 8

Bµi 6:

x
x

x
d

x
x

x
c

x
x
b

x
x
a






















|
5
7
3

|
)

5
3
3

1
)

1
1
2
3
)

2
3

1
)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Hớng dẫn đáp số :

* Trớc hết ta quan tâm đến khái niệm điểm đối xứng với một điểm qua một đờng thẳng.

Điểm A' đợc gọi là đối xứng với điểm A qua đờng thẳng a là đờng trung trực của đoạn thẳng
AA'

- Cách vẽ điểm đối xứng với điểm A qua đờng thẳng a
+ Vẽ đờng thẳng AM  a (M ∈ a)

+ Trên tia đơí của tia MA xác định điểm A' sao
cho A'M = MA

§iĨm A' là điểm cần tìm
1- Đồ thị hàm số y = f (|x|)
a) NhËn xÐt :

Nh vậy đồ thị của hàm số có trục đối xứng là trục oy

b) C¸ch vÏ :

+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (Chỉ lấy phần bên phải trục oy bỏ phàn bên trái )
+) Lấy đối xứng với phần bên phải trục oy qua trục oy.

c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | x | - 2 y

Vẽ đồ thị hàm số y = x -2

(LÊy phÇn n»m bên phải trục oy )

x 0 2
y -2 0

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

+) Lấy đối xứng với phần đờng thẳng trên ta đợc đồ thị hàm số y = | x | - 2 là hai tia chung

gốc có hình chữ V nh hỡnh v.

2- Đồ thị hàm số y = | f (x) |
a) NhËn xÐt.

b ) C¸ch vÏ :

+) Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) ( C )
Lấy phần đồ thị (C) trên trục ox)

+) Lấy đối xứng qua ox phần đồ thị (C) phia dới trục ox,sau đó bỏ phần phía dới trục ox.
c) Ví dụ: Vẽ đồ thi hàm số y = | x - 1 |

+) Vẽ đồ thị y = x - 1

(Lấy phần nằm phía trên ox )
x 0 1

y -1 0

+) Lấy đôi xứng qua ox phần nằm dới ox ta
đợc đồ thị y = | x - 1 | nh hỡnh v

3- Đồ thị hàm số y = | | f ( x)| |
a) NhËn xÐt :

b) C¸ch vÏ

+) Vẽ đồ thị (C) phía trên ox (C1)

+) Lấy đối xứng với (C1) qua oy (C2)

+)Lấy đối xứng qua ox phần bên dới trục hoành của (C1) v (C2) l (C3)

+) Đồ thị cần vẽ lµ (C1) ∪ (C2) ∪ (C3) y

c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | 3 - 2|x| |

- 3

0 x

+) Vẽ đồ thị y = 3 -2 x

x 0 3/2













0 (x)

f

nÕu

f(x)

-0

(x)

f

nÕu

)(

xf

y























0 )

(

0 )

(

0 )

(

)

(

x

(

f

nÕu

x

nÕu

x

(

f

,

0 x

nÕu

x

f

x

f

x

f

x

f

y






























2
3
;
2

0
2

3
2

x
x

x
x
x

2
3
x
nÕu

2
3
-
nÕu

2
3
x
0
nÕu

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

y 3 0

+) LÊy phần bên trên trục ox, bên phải trục oy (C1)

+) Lấy đối xứng với (C1) qua oy ta đợc (C2)

+) Lấy đối xứng với phần dới ox của (C1) và (C2) qua ox ta c (C3)

Đồ thị hàm số cần vẽ là (C1) (C2) (C3)nh hình vẽ.

4- Đồ thị hàm số | y| = f (x)

a) Khái niệm : Tập hợp các điểm M(x, y) trên mặt phẳng Oxy có toạ độ thoả mãn |y| =f(x)
là đồ thị hàm số |y| = f(x).

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là ox
c) Cách vẽ :

+) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
+) Lấy phía trên trục ox (C1)

+) Lấy đối xứng với (C1) qua ox ta đợc (C2) y

Đồ thị hàm số cần vẽ là (C) =(C1) ∪ (C2)nh h×nh vÏ.

d) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số |y| = x -1
+) Vẽ y = x -1

+) LÊy phÝa trªn trôc ox (C1) 1

+) Lấy i xng vi (C1) qua ox ta c (C2)

Đồ thị hàm số cần vẽ là (C) =(C1) (C2) nh h×nh vÏ.

5- Dùng đồ thị để giải phơng trình :

Ví dụ: Cho hàm số y = | x - 1 | + | x + 3 |
a) Vẽ đồ thị hàm số

b) BiƯn ln sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh
|x - 1 | + | x + | = m (*) theo m

Gi¶i :

b) Xét đồ thị hàm số y = | x - 1 | + | x + 3 | và đồ thị y = m

RT (*) có nghiệm khi hai đồ thị của hàm số này giao nhau do đó
* Căn cứ vào đồ thị ở cây a ta thấy

+ Nếu m < 4 thì phơng trình đã cho vơ nghiệm
+ Nếu m = 4 thì phơng trình có vơ số nghiệm

+ NÕu m > 4 th× phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

Bi tp ngh :

Bài 7: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2 | x | + 1
b) y = 2 | x | -x
c) y = 1/2 (x - | x | )
d) y = x2 + | x | - 1
















0
y
nÕu

0
y
nÕu
)
(

)
(
)

(
)

x
f

y

x
f
y
x
f
y
b























)

1

2 )

1

4 )

2 )

3
2

(C

x

víi

(C

x

3 víi

(C

3 -x

víi

x

y

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

e) y = 2 (x 0)

x
f) y = 

x
x

Bài 8: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = | x+ 1|
b) y = |x2 -4|

6
9

) y x x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 9: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) |y| = | x2 + 2 |x| |

Bài 10: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) |y| = 2x2 +3

b)|y+1| = x-2

Bµi 11: Biện luận số nghiệm của các phơng trình sau:

a) |x2 - 3x + 2| = m2

b) | x + 1 | + |x -2 | = m2 - m

IV- cực trị của biểu thức chứa dấu giỏ tr tuyt i

1- Các kiến thức cần lu ý :

10) | A(x) | ≥ 0 x. Đẳng thức sảy ra < => A(x) = 0

11) | A(x) +B(x) | ≤ | A(x) | +| B(x) | Đẳng thức sảy ra < => A(x). B(x) 0
12) | A(x) - B(x) | ≤ | A(x) + B(x) | Đẳng thøc s¶y ra < => A(x). B(x) ≤ 0
2- Các bài tập điển hình

Bài 1: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc

A = |2x - 1 | - 5

Giải : Ta thâý |2x - 1 | ≥ 0 ∀ x (Theo tÝnh chÊt 10)
=> |2x - 1 | - 5 ≥ -5

DÊu " =" x¶y ra <= > |2x - 1 | = 0< => 2x - 1 = 0 < => x = 1/2
VËy min A =- 5 <= > x = 1/2

Bài 2: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa B= | x - 2 |+ | x - 3 |

C¸ch 1:

+) LËp b¶ng xÐt dÊu

x 2 3

x-2 - 0 + +

x-3 - - 0 +

+) NÕu x< 2

Th× B = 2- x + 3 - x = 5 -2x

Do x < 2 => 2x < 4 => 5 - 2x > 1 (1)
+) NÕu 2 ≤ x ≤ 3

Th× B = x - 2 + 3 - x = 1 (2)
+) NÕu x > 3

Th× B = x - 2 + x - 3 = 2x - 5

Do x > 3 => 2x > 6 => B > 6 - 5 = 1 (3)

Tõ (1) ; (2) vµ (3) =>Min B = 1 < => 2 ≤ x ≤ 3

C¸ch 2: Ta cã B = | x -2 |+ | x - 3 | = | x - 2 | + | 3 - x | ≥ | x - 2 + 3 - x | = 1
DÊu " = " x¶y ra < => ( x - 2 ) ( 3 - x ) ≥ 0

< => 2 ≤ x ≤ 3

VËy Min B = 1 < => 2 ≤ x ≤ 3

x
y

b) 1 1

i)
giả
tự
dọc
ạn

B

(
2

)

1
1

)

)
1
(

) 2

x
y

e

x
y

d

x
y

c

0 )

15

0 )

14 )

13 (x)

B

(x).

A

ra

y

xả

thức

Đẳng

|

B(x)

-A(x)

|

B(x)

|

-|

A(x)

|

(x)

B

(x).

A

ra

y

xả

thức

Đẳng

|

B(x)

|

A(x)

|

B(x)

-A(x)

|

(x)

B

|

A(x)

|

0 B(x)

A(x).

ra

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài3: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc

* XÐt |x| > 2 => B> 0 víi ∀ |x| >2
* XÐt |x|<2 => B < 0

C' đạt giá trị nhỏ nhất < => | x | - 2 là số nguyên âm lớn nhất
< => |x| - 2 = - 1

< => | x | = 1 < => x = ∓ 1

Bµi 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 5 - | x + 1 |

NhËn thÊy | x + 1 | ≥ 0 x=> D ≤ 5 ∀ x

DÊu"=" x¶y ra <=> | x + 1 | = 0 < => x + 1 = 0 < => x = - 1
VËy max D = 5 < => x = - 1

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất cđa biĨu thøc

D = | |x- 2| - | x - 7 | |
Giải :

Cách 1: D= | |x- 2| - | x - 7 | | ≤ | ( x - 2 ) - ( x - 7) | = | x - 2 - x + 7 | = 5
DÊu " =" x¶y ra < => ( x - 2 ) ( x + 7 ) ≥ 0 < => x ≤ 2 ; x ≥ 7

C¸ch 2: D = | |x- 2| - | x - 7 | | = | |x- 2| - | 7- x | | ≤ | ( x - 2 ) + ( 7 + x )| = 5
DÊu " =" x¶y ra < => ( x - 2 ) ( 7- x ) ≤ 0 < => x ≤ 2 ; x ≥ 7

VËy max D = 5 < => x ≤ 2 ; x 7

Bi tp ngh

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc 
Bµi3: Cho M =3x2- 2x + 3x2 - 2x + 6 |x| + 1

Tính giá trị của M biết x, y là số thực thoả mãn xy = 1 và |x +y | đạt giá trị nhỏ nhất.

Bµi 4: Cho a

Tìm x để f(x) = |x - a |+ |x - b | + | x - c | + | x - d | đạt giá trị nhỏ nhất

Hãy tổng quát bài toán trên với n số thực

nhÊt
nhỏ
trị
gía
dạt
C'
nhất
nhỏ
trị
giá
dạt
x
C
thấy
Ta
2
x
;
Z
x
với
2
2
2
2
1
2
2

2

x
C
x
x
x
x
C
1
1
2

1   

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Hớng dẫn đáp số

Bµi 1: a) max A= 9 < => x = 1

b) max B= 1/2 < => x = 1
c)max C = 2 < => x = 1

Bµi 2: a) min A = - 2 < => x = 1/2

b) min B = - 3 < => x = 0 ; x = 3
c) min C = 9 < => - 4 ≤ x ≤ 5
d) min D = 1 < => 2004 ≤ x ≤ 2005
e) min E = 2 < => - 1 ≤ x ≤ 0

Bµi 3: ta cã ( x + y )2 ≥ 4xy = 4 => | x + y | ≥ 2

=> min | x + y | = 2 khi x = y
Khi đó xy = 1 và | x + y | = 2
=> x = y = 1 hoặc x = y = - 1
* x = y = 1 => M = 9

* x = y= - 1 => M = 17

Bµi 4: Ta cã f (x) = (| x - a | + | x - d |) + ( | x- b | + | x - c | )

Mµ | x - a | + | x - d | == | x - a | + | d - x | ≥ | x - a + d - x |
=> | x - a | + | x - d | ≥ d - a

DÊu " = " x¶y ra khi (x - a ) ( d - x ) ≥ 0 < => a ≤ x ≤ d
T¬ng tù | x - b | + | x - c | ≥ c - b

DÊu " = " x¶y ra khi (x - b ) ( c - x ) ≥ 0 < => b ≤ x ≤ c

VËy f(x) ≥ d + c - b - a.=> min f(x) = d + c - b - a< => b ≤ x ≤ c
Tæng qu¸t : Cho n sè thùc a1 < a2 <....< an XÐt hai trêng hỵp

* Trêng hỵp 1: n = 2k (k ∈ N*)

Ta cã | x - a 1| + | x - a2k | ≥ a2k - 1

| x - a 2| + | x - a2k- 1 | ≥ a2k - 1 - 1

| x - a k| + | x - ak+1 | ≥ ak+1 - a k

Do các bất đẳng thức trên có 2 vế đều dơng nên cộng từng vế của chúng lại ta đợc )
f(x) ≥ ( a2k + a2k+1 +...+ ak+1) - ( a1 + a2 +...+ ak)

=> min f(x)= ( a2k + a2k+1 +...+ ak+1) - ( a1 + a2 +...+ ak)

<=> ak≤ x ≤ ak+1

Trêng hỵp 2: n = 2k - 1( k ∈ N*)

| x - a 1 | + | x - a 2k-1| ≥ a 2k-1 - a 1

| x - ak- 1| + | x - ak+1| ≥ ak+1 - ak- 1

| x - ak| ≥ 0

=> f(x) ≥ ( a2k-1 + a2k-2 +...+ ak+1) - ( a1 + a2 +...+ ak-1)

</div>

SKKN Gia tri tuyet doi













0

a

nÕu

a

-0

a

nÕu

<i>a</i>

<i>a</i>















0

a

nÕu

0

a

nÕu

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>















0

A(x)

A(x)nÕu

-0

A(x)

nÕu

|

<i>A</i>

(

<i>x</i>

|)

<i>A</i>

<i>x</i>

)(



































3

5

x

nÕu

3

5

x

nÕu

5