Chuyên đề Tính chia hết với số nguyên

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYÊN </b>

<b>I. Mục tiêu </b>

Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:

1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư
và tìm điều kiện chia hết.

2. Hiểu các bước phân tích bài tốn, tìm hướng chứng minh
3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán.
<b>II. Các tài liệu hỗ trợ: </b>

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8
- Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8
- Bồi dưỡng toán 8

- Nâng cao và phát triển toán 8
- …

<b>III. Nội dung </b>

<i><b>1. Kiến thức cần nhớ </b></i>

<b>1. Chứng minh quan hệ chia hết </b>

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (nN hoặc n Z)

a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó có một thừa số
là m

+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi
chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó

+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k

b/. Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia m cho
n

* Ví dụ1:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Giải:

Ta có 5040 = 24_{. 3}2_.5.7

A= n3_(n2_{- 7)2 – 36n = n.[ n}2_(n2_-7)2_{– 36 ] = n. [n.(n}2_{-7 ) -6].[n.(n}2_{-7 ) +6]}
= n.(n3_{-7n – 6).(n}3_{-7n +6)}

Ta lại có n3_{-7n – 6 = n}3 _{+ n}2_–n2_{–n – 6n -6 = n}2_{.(n+1)- n (n+1) -6(n+1)}
=(n+1)(n2_{-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)}

Tương tự : n3_{-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d}

Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)

Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp:
- Tồn tại một bội số của 5 (nên A 5 )

- Tồn tại một bội của 7 (nên A 7 )
- Tồn tại hai bội của 3 (nên A 9 )

- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A 16)

Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau  A 5.7.9.16= 5040
Ví dụ 2: Chưng minh rằng với mọi số nguyên a thì :

a/ a3_{–a chia hết cho 3}
b/ a5_{-a chia hết cho 5}
Giải:

a/ a3_{-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3}
b/ A= a5_{-a = a(a}2_{-1) (a}2₊₁₎

 Cách 1:

Ta xết mọi trường hợp về số dư khi chia a cho 5
- Nếu a= 5 k (kZ) thì A 5 (1)

- Nếu a= 5k 1 thì a2_{-1 = (5k}2_₁₎2_{-1 = 25k}2__{10k 5}__{A 5 (2)}
- Nếu a= 5k 2 thì a2_{+1 = (5k}_₂₎2_{+ 1 = 25 k}2__{20k +5}__{A 5 (3)}
Từ (1),(2),(3) A 5, n  Z

Cách 2:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ta có : a5_{-a = a( a}2_{-1) (a}2_{+1) = a(a}2_-1)(a2_{-4 +5) = a(a}2_{-1) (a}2_{-4) + 5a(a}2_-1)
= a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2_-1)

Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp )
5a (a2_{-1) 5}

Do đó a5_{-a 5}

* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5_{-a và tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết}
cho 5.

Ta có:

a5_{-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a}5_{-a – (a}2_{- 4)a(a}2_{-1) = a}5_{-a - (a}3_{- 4a)(a}2_-1)
= a5_{-a - a}5_{+ a}3_+4a3 _{- 4a = 5a}3_{– 5a 5}

 a5_{-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5}

Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5  a5_{-a 5(Tính chất chia hết của một hiệu)}

c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta cịn sử dụng các hằng đẳng thức:
an_{– b}n_{= (a – b)( a}n-1_{+ a}n-2_{b+ a}n-3_b2_{+ …+ab}n-2_{+ b}n-1_{) (HĐT 8)}

an_{+ b}n_{= (a + b)( a}n-1_{- a}n-2_{b+ a}n-3_b2_{- …- ab}n-2_{+ b}n-1_{) (HĐT 9)}
 Sử dụng tam giác Paxcan:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…..

Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số
liền trên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a2n+1_{+ b}2n+1_{chia hết cho a + b( a}__-b)
(a+b)n_{= Bsa +b}n_{( BSa:Bội số của a)}
(a+1)n_{= Bsa +1}

(a-1)2n_{= Bsa +1}
(a-1)2n+1_{= Bsa -1}

* VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n_{– 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số}
chẵn.

Giải:

+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, kN thì:

A = 162k_{– 1 = (16}2₎k_{– 1 chia hết cho 16}2_{– 1( theo nhị thức Niu Tơn)}
Mà 162_{– 1 = 255 17. Vậy A 17}

- Nếu n lẻ thì : A = 16n_{– 1 = 16}n_{+ 1 – 2 mà n lẻ thì 16}n_{+ 1 16+1=17 (HĐT 9)}
A không chia hết cho 17

+Cách 2: A = 16n_{– 1 = ( 17 – 1)}n_{– 1 = BS17 +(-1)}n_{– 1 (theo công thức Niu Tơn)}
- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17

- Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17

Vậy biểu thức 16n_{– 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn,}__{n }_N

d/ Ngồi ra cịn dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ
chia hết.

 VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004….2004
Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004

a2 = 2004 2004
a3 = 2004 2004 2004
……….

a2004 = 2004 2004…2004
2004 nhóm 2004

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ta có: am - an = 2004 2004……2004 000…00

m-n nhóm 2004 4n
hay am - an = 2004 2004……2004 . 104n
m-n nhóm 2004

mà am - an 2003 và (104n , 2003) =1
nên 2004 2004……2004 2003

m-n nhóm 2004
<b>2. Tìm số dư </b>

* VD1:Tìm số dư khi chia 2100
a/ cho 9 b/ cho 25
Giải:

a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23_{= 8 = 9 – 1}

Ta có : 2100_{= 2. 2}99_{= 2. (2}3₎33_{= 2(9 – 1 )}33_{= 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn)}
= BS9 – 2 = BS9 + 7

Vậy 2100_{chia cho 9 dư 7}

b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10_{= 1024 =1025 – 1}
Ta có:

2100_{=( 2}10₎10_{= ( 1025 – 1 )}10_{= BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn)}
Vậy 2100_{chia cho 25 dư 1}

* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994_{khi viết trong hệ thập phân}
Giải:

- Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 2 và 54 _{= 625}

Ta thấy số tận cùng bằng 0625 khi nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng
bằng 0625

Do đó: 51994_{= 5}4k+2₌₍₅4₎k_{. 5}2_{= 25. (0625)}k_{= 25. (…0625)= …5625}
- Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994_{ch 10000 = 2}4_.54

Ta thấy 54k_{– 1 = (5}4₎k_{– 1}k_{chia hết cho 5}4_{– 1 = (5}2_{+ 1) (5}2_{- 1) 16}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

51994_{= BS10000 + 15625}_₅1994_{chia cho 10000 dư 15625}
Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994_{là 5625}

<b>3. Tìm điều kiện chia hết </b>

* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:
A = n3_{+ 2n}2_{- 3n + 2; B = n}2_{– n}

Giải:

n3_{+ 2n}2_{- 3n + 2 n}2_{– n}
n3_{– n}2_{n + 3}
3n2_{- 3n + 2}
3n2_{– 3n}
2

Ta có: n3_{+ 2n}2_{- 3n + 2 = (n}2_{– n)(n + 3) +}

2

2
<i>n</i> <i>n</i>

Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B  n2_{– n}_Ư(2)
2 chia hết cho n(n – 1)
2 chia hết cho n
Ta có bảng:

n 1 -1 2 -2

n – 1 0 -2 1 -3

n(n – 1) 0 2 2 6

Loại T/m T/m Loại

Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
 VD 2: Tìm số nguyên n dể n5_{+ 1 chia hết cho n}3_{+ 1}

Giải:

n5_{+ 1 n}3_{+ 1}__n5_{+ n}2_{– n}2_{+ 1 n}3_{+ 1}
n2_(n3_{+ 1)- ( n}2_{– 1)}_ _n3_{+ 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

n(n – 1) n2_{– n + 1}
Hay n2_{– n n}2_{– n + 1}

(n2_{– n + 1) – 1 n}2_{– n + 1}
 1 n2_{– n + 1}

Xét hai trường hợp:

+ n2_{– n + 1 = 1}__n2_{– n = 0}__{n(n – 1) = 0}__{n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài}
+ n2_{– n + 1 = - 1}__n2_{– n + 2 = 0 , khơng có giá trị của n thoả mãn}

 VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n _{- 1 chia hết cho 7}
Giải:

Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23_{= 8 = 7 + 1}

- Nếu n = 3k (k N) thì 2n _{- 1= 2}3k_{– 1 = (2}3₎k_{– 1 = 8} k _{- 1}k _{8 – 1 = 7}
Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n _{- 1 = 2}3k+1_{– 1 = 8}k_{. 2 – 1= 2(8}k_{– 1) + 1}
= 2. BS7 + 1

2n _{- 1 không chia hết cho 7}

- Nếu n = 3k +2(k N) thì 2n _{- 1 = 2}3k+2_{– 1= 4.2}3k_{– 1}
= 4( 8k_{– 1) + 3 = 4.BS7 + 3}

2n _{- 1 không chia hết cho 7}
Vậy 2n _{- 1 7}__{n = 3k (k N)}
<i><b>2. Bài tập </b></i>

<b>Bài 1:</b> Chứng minh rằng:

a/ n3_{+ 6n}2_{+ 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn}
b/ n4_{– 10n}2 _{+ 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ}
Giải

a/ n3_{+ 6n}2_{+ 8n = n(n}2_{+ 6n + 8) = n( n}2_{+ 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]}
= n(n+2)(n + 4)

Với n chẵn, n = 2k ta có:

n3_{+ 6n}2_{+ 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

= (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3)
Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:

n4_{– 10n}2 _{+ 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3)}
= 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16

<b>Bài 2:</b> Chứng minh rằng

a/ n6_{+ n}4_-2n2_{chia hết cho 72 với mọi số nguyên n}

b/ 32n_{– 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n}
Giải:

Ta có: A= n6_{+ n}4_-2n2_{= n}2_(n4_+n2_{-2)= n}2_(n4_{+ 2n}2_–n2_{– 2)= n}2_[(n2_{+2)- (n}2_+2)]
= n2_(n2_{+ 2)(n}2_{– 1).}

Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1
Xét các trường hợp:

+ Với n = 2kA = (2k)2_{(2k + 1) (2k -1)(4k}2_{+2) = 8k}2_{(2k + 1) (2k -1)(2k}2_{+1) 8}
+ Với n = 2k +1 A = (2k + 1)2_{(2k +1 – 1)}2_{= (4k}2_{+ 4k +1)4k}2₈

Tương tự xét các trường hợp n = 3a, n= 3a  1 để chứng minh A 9
Vậy A 8.9 hay A 72

<b>Bài 3:</b> Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a2_{– 1 chia hết cho 24}
Giải:

Vì a2_{là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻ}__a2 _{là số chính phương lẻ}
a2_{chia cho 8 dư 1}

 a2_{– 1 chia hết cho 8 (1)}

Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3
a2_{là số chính phương khơng chia hết cho 3}__a2_{chia cho 3 dư 1}
 a2_{– 1 chia hết cho 3 (2)}

Mà (3,8) = 1 (3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài 4:</b> Chứng minh rằng:

Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6_{-1 chia hết cho 7}
Giải:

Bài toán là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:

- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap_{– a chia hết cho p}

- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1_{-1 chia hết cho p}
Thật vậy, ta có a6_{-1 = (a}3_{+ 1) (a}3_{- 1)}

- Nếu a = 7k 1 (k N) thì a3_{= ( 7k}_₁₎3_{= BS7}_₁__a3_{- 1 7}

- Nếu a = 7k 2 (k N) thì a3_{= ( 7k}_₂₎3_{= BS7}_₂3_{= BS7}_₈__a3_{- 1 7}
- Nếu a = 7k 3 (k N) thì a3_{= ( 7k}_₃₎3_{= BS7}_₃3_{= BS7}_₂₇__a3_{+ 1 7}
Ta ln có a3_{+ 1 hoặc a}3_{– 1 chia hết cho 7. Vậy a}6_{– 1 chia hết cho 7}

<b>Bài 5:</b> Chứng minh rằng:

Nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504
Giải:

Ta có 504 = 32_{. 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đơi một}
Vì n là lập phương của một số tự nhiên nên đặt n = a3

Cần chứng minh A=(a3_-1)a3_(a3_{+ 1) chia hết cho 504}
Ta có: + Nếu a chẵn a3_{chia hết cho 8}

Nếu a lẻ a3_{-1và a}3_{+ 1 là hai số chẵn liên tiếp}__(a3_{-1) (a}3_{+ 1) chi hết cho 8}
Vậy A 8 , 19 9<i>a</i> nN (1)

+ Nếu a 7 a3 ₇__{A 7}

Nếu a không chia hết cho 7 thì a6_{– 1 7}__(a3_{-1) (a}3_{+ 1) 7(Định lí Phéc ma)}
Vậy A 7 ,  nN (2)

+ Nếu a 3 a3 ₉__{A 9}

Nếu a không chia hấe cho 3  a = 3k 1 a3_{= ( 3k}_₃₎3_{= BS9}_₁
a3_{– 1 = BS9+1 – 1 9}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Vậy A 9 ,  nN (3)

Từ (1), (2), (3) A 9 ,  nN

<b>Bài 6:</b> Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
a/ 12n2_{– 5n – 25}

b/ 8n2_{+ 10n +3}
c/ 3 3

4

<i>n</i>  <i>n</i>

Giải:

a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2_{– 5n – 25 = 12n}2_{+15n – 20n – 25}
= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)

Do 12n2_{– 5n – 25 là số nguyên tố và 4n +5 > 0 nên 3n – 5 > 0.}

Ta lại có: 3n – 5 < 4n +5(vì n  0) nên để 12n2_{– 5n – 25 là số ngưyên tố thì thừa số nhỏ}
phải bằng 1 hay 3n – 5 = 1  n = 2

Khi đó, 12n2_{– 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố.}

Vậy với n = 2 thì giá trị của biểu thức 12n2_{– 5n – 25 là số nguyên tố 13}
b/ 8n2_{+ 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)}

Biến đổi tương tự ta được n = 0. Khi đó, 8n2_{+ 10n +3 là số nguyên tố 3}
c/ A = 3 3

4

<i>n</i>  <i>n</i>

. Do A là số tự nhiên nên n(n + 3) 4.

Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn. Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4
- Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố

- Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố

-Nếu n = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số
- Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố

- Nếu n + 3 = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k - 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là
hợp số.

Vậy với n = 4 thì 3 3

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Bài 7:</b> Đố vui: Năm sinh của hai bạn

Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhườ khách đến thăm trường gặp hai
học sinh. Người khách hỏi:

- Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?
Bạn Mai trả lời:

- Không, em hơn bạn em một tuổi. Nhưng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng em đều
là số chẵn.

- Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng khơng?
Người khách đã suy luận thế nào?

Giải:

Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vì trong trường hợp ngựoc lại thì tổng
các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn.

Gọi năm sinh của Mai là 19 9<i>a</i> thì 1 +9+a+9 = 19 + a. Muốn tổng này là số chẵn thì a{1; 3; 5;
7; 9}. Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999. Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của
Mai sinh năm 1980.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Website <b>HOC247</b> cung cấp một môi trường <b>học trực tuyến</b>sinh động, nhiều <b>tiện ích thơng minh</b>,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh </b>

<b>nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạm</b>đến từcác trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng.

<b>I. </b>

<b>Luy</b>

<b>ệ</b>

<b>n Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b>Đội ngũ <b>GV Giỏi, Kinh nghiệm</b> từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa <b>luyện thi THPTQG </b>các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- <b>Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9</b> và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b> các

trường <i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường Chuyên
khác cùng <i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.</i>

<b>II.</b>

<b>Khoá H</b>

<b>ọ</b>

<b>c Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS

lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường và đạt điểm tốt
ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dưỡng HSG Tốn:</b> Bồi dưỡng 5 phân mơn Đạ<b>i Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học </b>và <b>Tổ Hợp</b> dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần </i>
<i>Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn</i>cùng đơi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III. </b>

<b>Kênh h</b>

<b>ọ</b>

<b>c t</b>

<b>ậ</b>

<b>p mi</b>

<b>ễ</b>

<b>n phí</b>

- <b>HOC247 NET:</b> Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV:</b> Kênh <b>Youtube</b> cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học và Tiếng Anh.

<i><b>V</b></i>

<i><b>ữ</b></i>

<i><b>ng vàng n</b></i>

<i><b>ề</b></i>

<i><b>n t</b></i>

<i><b>ảng, Khai sáng tương lai</b></i>

<i><b> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </b></i>

<i><b>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->