De thi va dap an thi HSG cum Ha Dong Hoai Duc nam2010

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (86.55 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM HÀ ĐƠNG – HỒI ĐỨC

K

Ỳ

THI OLYMPIC

Năm học 2009-2010

Mơn: Tốn 10

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) 
Đề thi có 01 trang gồm 05 câu

Câu 1 (2điểm)

Giải hệ phương trình
3

7 6
7 6

x y

y x

 = +




= +



Câu 2 (7điểm)

a)Cho 3 góc 0o <

α β γ

, , <180o và

α β γ

+ + =360o
Chứng minh rằng: sin

α

+sin

β

>sin

γ

b) Cho phương trình: 2x-4 = 3 x−m (m là tham số)

Xác định m để phương trình có hai nghiệm.
Câu 3 (4điểm)

Biết rằng các số a,b,c thoả mãn:

2 2

2 ( ) 6

a c

b b a c

 + =




+ + =



Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=b(c-a)
Câu 4 (4điểm) Cho x, y,z>0 thoả mãn hệ thức x+y+z=

3
yz

x

Chứng minh rằng

2 3 3(

)

6 x

≤

−

y

+

z

Câu 5 (3điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2;-5), B(-4;-2) và đường thẳng d có

phương trình x-2y+3=0.

a) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ B tới

∆ là lớn nhất.

b) Tìm M trên d sao cho MA + MB là nhỏ nhất.
…….HẾT……

Họ và tên thí sinh………..Số báo danh……….

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ HAI 
NĂM HỌC 2009-2010

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN LỚP 10

Câu ý Nội dung Điể

m 
1 2đ Hệ đã cho tương đương với





+
=
=
+
+
+
−
⇔




+
=

=
−
+
−
6
7
0
)
7
)(
(
6
7
0
)
(
7
3
2
2
3
3
3
y
x
y
xy
x
y
x

y
x
y
x
y
x

TH1 3 3

7 6 7 6 0

x y x y

x y x x

= =
 
⇔
 
= + − − =
 




=
+
−
+
=

⇔
0
)
2
)(
3
)(
1

(x x x
y
x






−
=
=
−
=
=
−
=
=
⇔
3
2

1
y
x
y
x
y
x
TH2




+
=
=
+
+
+
6
7
0
7
3
2
2
y
x
y
xy
x

hệ vơ nghiệm vì 2+ + 2+7

y
xy

x =(x+ 7 0

4
3
)
2

2
2 + y + >

y

y
x,

∀

Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm (x;y)=(-1;-1),(-2;-2),(3;3)

0.5

0.75

4đ

Đặt A=1800 −

α

;B=1800 −

β

;C =1800−

γ

Khi đó sin

α

=sin ;sinA

β

=sin ;sinB

γ

=sinC

Suy ra A+B+C=180 và 00 o , , 180o

α β γ

< <

⇒A,B,C là 3 góc trong một tam giác

Xét tam giác ABC có 3 góc tương ứng là A,B,C

Ta có a+b>c

⇔sinA+sinB>sinC

sin

α

sin

β

sin

γ

⇔ + >

1.5
1.0
1.5
2

7điểm

b)
3đ

+Phương trình đã cho tương đương với




=
+
+
−
≥
⇔



−
=
−
≥
−
(*)
0
16
9
25
4

2
)
(
9
)
4
2
(
0
2
2
2
m
x
x
x
m
x
x
x

+Đặt t=x-2 (t≥0), phương trình (*) trở thành

4 2 −9 +9 −18=0

m
t

t (**)

+Phương trình đã cho có 2 nghiệm khi và chỉ khi (**) có 2

nghiệm khơng âm

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

⇔









≥
−
≥

≥
−

0
18
9

0
8
9

144
369

m

⇔

16
41
2≤m≤

Vậy với

16
41

2≤m≤ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm

0.5

3 4đ

Từ giả thiết ta có ( )2 ( )2 4

2 2

b b

a+ + +c =

Xét ( ; ) | | 2

2 2

b b

x= a+ +c ⇒ x =

r r

;ury=( ;c −a)⇒| | 1ury =

Khi đó M= 2x yr ur, do đó M lớn nhất khi và chỉ khix yr urlớn nhất

Mặt khác x yr ur≤| || | 2x yr uur= hay M≤4

Dấu “=” xảy ra khi 2 2 ( ) 2( 2 2)

b b

a c

b a c a c

c c

+ +

= ⇔ + = − +

−

Kết hợp với giả thiết ta có (a;b;c)=( 3 ; 10; 1 )

10 10

± ± ±

Vậy max M=4 khi (a;b;c)=( 3 ; 10; 1 )

10 10

± ± ±

1.0
1.0

1.5
0.5

4 4đ

Ta có yz

( )

4
y+z
≤

Do x>0 suy ra

( )

3 12

yz y z

x x

+
≤

2 2

( )

12 12 ( ) ( ) 0
12

y z

x y z x x y z y z

x
+

⇒ + + ≤ ⇒ + + − + ≤ (*)

Đặt f(x)=12x2 +12 (x y+z) (− y+z)2
Ta có ' 48( )2

x y z

∆ = + >0⇒ ∆ ='x 4 3(y+z) (do y+z>0)
Tam thức f(x) có 2 nghiệm

1 2

3 2 2 3 2 2

( ); ( )

6 6

x = − − y+z x = − + y+z (x1< x2)
Do đó từ (*) suy ra x1≤ ≤x x2 (đpcm)

0.5

1.0

1.0
0.5
1.0
a)

1.0đ

Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên ∆, ta có BH≤BA
Do đó BH lớn nhất khi và chỉ khi H≡ A

Khi đó ∆ là đường thẳng đi qua A và có véc tơ pháp tuyến
)

3
;
6
(−

AB và có phương trình: -6(x-2)+3(y+5)=0⇔2x−3y−9=0

0.5
0.5
5

(3đ)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2.0 Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d ta có

MA+MB=MA'+MB≥ A'B

Do đó MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B

và đường thẳng d

Gọi I là hình chiếu của A trên đường thẳng d, phương trình
đường thẳng AI đi qua A và nhận véc tơ chỉ phương của d làm

véc tơ pháp tuyến có phương trình: 2x+y+1=0

I=AI∩d, I(-1;1)
suy ra A’(-4;7)

Đường thẳng A’B: x+4=0 do đó
M(-4;-2
1)

0.5
0.5

</div>

De thi va dap an thi HSG cum Ha Dong Hoai Duc nam2010

<b>K</b>

Ỳ

<b> THI OLYMPIC </b>

<b>Mơn: Tốn 10 </b>

α β γ

α β γ

α

β

γ

2 3 3(

)

6

<i>x</i>

≤

−

<i>y</i>

+

<i>z</i>

α

β

γ

α

β

γ

α β γ

α

β

γ

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về