Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (880.62 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | 1
Câu 1 Tìm các cận dưới đúng và cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập





* *

1 ( 1)

( , , )

n

n
n

X n N u n N

n

  

    

 

TL : Với mọi p thuộc
*

( N ) ,ta có

( , , ( , )

\ SupA  SupB  Max   \)

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 1 2

1 1 3

2 2 4

1 1 1 1 1 1 1 3

( ) ( ) ( ) 1 / 2, 3 / 4

2 2 1 3 2 1 2 8 2 4

1
2

p p p

p p p p n

u u u

p

u u N tac u u u InfX minX SupX maxX

p p

u

   

     

  

                

 




InfX=minX=-1/2,SupX=maxX=3/4

Câu 2: Cho A,B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên 
a: Chứng minh Sup A(( B)Max Sup A sup B( ( ), ( ))

b:Gọi A B   (x R, ( , )a b A B x. ,  a b) , chứng minh rằng Sup(A-B)=Sup(A)+Sup(B) 
TL : Kí hiêu ( SupA, SupB, Max( , ))  Vậy tập hợp các cận trên chính là

( { , , )

X  X  x x x

Câu 3: Hãy tìm tất cả các ánh xạ f: C--->C sao cho Với mọi z thuộc C,f(z)+zf(-z)=1+z 
TL Nếu tồn tại f(-z)-zf(z)=1-z đúng suy ra 2 2

((1 ) ( ) 1  z f z   z )
Chứng tỏ f z( )neu z( i)

Đặt f i( )( i C, ,  R f( ) 1   i i i  )
f:C--->C

Kiểm tra

1 ( 1)

z

i



 



 

   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | 2
Câu 4: Tính

3
.

.(1 )(1 3 )( 3 1)
i

a
i

b i i




  

TL : a ( .a z z z z z1 2 3, 1 1 i z, 2  1 3 , i z3  3i)
Ta đi tìm mooddun và acgumen của các số phức này

1 1 1 1

1
1 1 2, arg ,

( )

3,14
4

tg

r z z

tg




 


     





 

Tương tự nhận được : ( 2 2, 2 , 2 2, 2 )

3 6

r     r   

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi z thuộc C thì

1
1

1 1

z
z
  




 



TL : Giả sử tồn tại z=x+iy thuộc c sao cho

2 2 2 2 2

2 2

1 ( ) 2( ) 0

|1 |

2 3

2 0

|1 | 1 4

x y x y

z

x y x

z

    

   

 

    

 




 

Câu 6: Cho f,g : R-->R thỏa mãn mọi x,y thuộc R,(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))=0 
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hàm số là hằng số

TL : Giả sử a,b thuộc R,f(a) khác f(b),ta sẽ chỉ ra g(x) là hằng số.trước hết có
với mọi x thuộc

 







   



 







   



( f a f x g a g x )

R

f b f x g a g x

   




  



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | 3

Câu 7: Tìm hàm f(x) trên R sao cho 3

. ( ) (1 ) ( ) 1

x f x  f x  x  với mọi x thuộc R 
Giả sử tồn tại f(x),thay x bởi 1-x vào hệ thức đã cho:

2 3

(1x f). (1 x) f x( ) 2 3x(3 x  x )
Suy ra

2 2 2

( 1) ( ) ( 1)

( ) ( 1)

x x f x x x

f x x x

    

   

Kiểm tra 2

( ) ( 1)

f x  x  x
Câu 8: Cho *

\ 1}{

aR giải phương trình 2 4

log log log

4
a x a x a x

TL : Điều kiện :
*

1 1 1 3

ln ( )

ln 2 ln 4 ln 4
ln ln

x R

x

a a a

x a x a





  

   

Câu 9: Giả phương trình sau arcsin tgx

 

x

Tl: Điều kiện :

, ,

sinx 0

2 2 2

( ) ( ) . (1 (1 / )) 0 ,

cos 1

[ 1,1] ,

4 4

x k x

arcsin tgx arcsin sinx tgx sinx sinx cosx x k k Z

x

tgx x

   


 

     

 

  

             

    



      

  



Câu 10: Cho f thuộc R khả vi tại a thuộc X.hãy tìm 
2

( ) ( )

lim
x

f a h f a h

h


  

TL:

 

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f a h f a h

h

f a h f a f a h f a

h

h h

f a

  

   

 

  

Câu 11: Hãy tính đạo hàm tại 0 của các hàm số sau (nếu có) 
2

1
sin
( )

0
x

f x x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | 4
1

3
2

( )f x  x

TL:

1 1

1
sin
( ) (0)f h f h h

h h

 

Câu 12: Chứng tỏ rằng f thuộc R cho bởi biểu thức dưới đây không khả vi tại mọi x thuộc R 
1,

( )

3 , /

x x Q

f x

x x R Q

 



   



TL: Nhận thấy tập Q và R/Q đều trù mật lấy x thuộc R

0 0

lim ( ) 1, lim ( ) 3

x Q x Q

x x f x x x x f x x

 

     

Vậy hàm không khả vi tại x khác 1
Xét 1+h thuộc Q....

Xét 1+h thuộc R\ Q
vậy không tồn tại f'(1)

Câu 13: Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số 2
( ) sinx

f x x

TL: Áp dụng công thúc Leibnitz

 





100

(100 )

100 2 2

100
0

( ) k k sinx k 200 . 9900

k

f x C x  x sin x cosx sinx





  

Câu 14: Cho f: (-1,1)-->R





2 3

( )

1 ( 1)

x

f x

x x




 

Hãy tính fn( )x

TL: Phân tích f(x) thành các phân thức tối giản
2

5 1 1 1 1 1

( ) . . .

2 ( 1) 4 1 4 1
f x

x x x

  

  

( )

2 2

5 ( 1)! 1 ( )! 1 ( )!

( ) ( 1) . ( 1) . ( 1) .

2 ( 1) 4 ( 1) 4 ( 1)

n n n n

n n n

f x

x  x  x



     

  

Câu 15: Cho f,g thuộc C^2 trên R và





( ), ( ) 0

( )

( ) ( ) ( ) 0
f x g x

h x

f x g x g x




 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | 5
TL: Dễ dàng nhận được ( ) 0,3 0

, 0
t
t

t t
   





thuộc lớp C^2 trên R Thuộc 2

C tr nR  h f  thuộc C^2 trên R

Câu 16: Cho : [0,1]-->[o,1],f liên tục khác 0 và

1 1

0 0

( ) ( )

f x dx f x dx



Chứng minh f=1
TL: Xét

1 1 1

0 0 0

(1 ) 0

f  f dx fdx f dx



, theo giả thiết f(1-f)>=0 và f(1-f) liên tục [0,1]==>f(1-f)=0
với mọi x thuộc [0,1],vì f khác 0 suy ra

f=1 với mọi x thuộc [0,1]
Câu 17: Tính :

lim

(ln )

x
x

x
dt

t





TL: Vơi x dương khá lớn sẽ có 2 2 2
(ln )x (lnx )

2 2 2

lim

(lnt) (ln )

x
x

x

dt x x

x




  



lim

(lnt)

x
x

x
dt





 

Câu 18: Xét sự hội tụ và phân kì của các tích phân sau: 
3

2
2
0

2
1

1
x

dx
x
dx

z x








TL:
3
2

1
2

2
1

: 1

1
x

x
x

 

  

  

 

 

Tích phân suy rộng phân kì

2
2

1 1

: 1

1 x

z x

 



 



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | 6
Câu 19: Xét sự tồn tại của tích phân suy rộng sau :





2
1 1

,
b

a
dx

x
dx

R
x a  

 






TL: Hàm dưới dấu tích phân có cực điểm là 1

1 1

2 2 2

1 1 1 1 1

arcsin lim arcsin lim arcsin arcsin 3,14
a

a

x x

dx dx dx

x x x

a x x a

 

 

 

  

    



Câu 20: Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau 
1

2 2 2

0
1

, 1

(1 )(1 )

dx

k

x k x

dx
x



 



a. Hàm dưới dấu tích phân có một cực điểm x=1,là VCL cấp 1/2 so với VCL 1

1x tại x=1.Vậy tích
phân suy rộng hội tụ

b.
1

0
0

, lim 0

ln x ln
dx

x   x 



vậy hàm 1/lnx có cực điểm tại x=1 1 : 1 1
lnx x 1

  

  

  (với x=1),tích phân suy

rộng phân kì

Câu 21: Xét sự hội tụ của chuỗi cấp số nhân với công bội q 
0

, 0

k
k

a q a








TL: Tính tổng riêng tứ n

1
.

, 1

n
n

q
a

S q q

na q

 



  

 



Nếu |q|<1 thì lim
1
n
n

a
S

q

  

Nếu |q|>1 thì Sn khơng hội tụ

Vậy chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
Câu 22: Xét sự hội tụ của chuỗi

1
n

1
l
n

n
n



 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | 7

1 1 1

k k k
lim lim ln( 1)

n  nn  
Vậy chuỗi phân kì

Câu 23: Xét sự hội tụ của chuổi số 
1

1
( 1)
n n n



 



TL:

1 1

1 1 1

[ ] 1 1/ 2 1/ 2 1/ 3 ... 1/ 1/ ( 1) 1 1/ ( 1)

( 1) 1

n n

n

k k

S n n n

k k k k

 

             

 



lim lim 1 1

n

n S n n

 

   



 

Câu 24: Tính các tích phân sau 
2

, 0

(ln )p
n

p
n








Vì ,





0

(ln )p
n

n n N

n       

Để ó 1 1

(ln )

o p

n n c

n n

   mà chuỗi điều hịa phân kì,suy ra chuỗi đã ch phân kì

Câu 25: Xét sự hội tụ của chuối số

 

1 1 .n

n

n
n



 



TL: Chuỗi là đan dấu,tuy nhiên phân kì vì là tổng của chuỗi điều hòa
2

1
n n







và chuỗi đan dấu
1

2 2

( 1)

= >= 1
n

n
n







 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | 8
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh 
nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS

- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần 
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng
TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

- Hoc Toán Nâng Cao/Tốn Chun/Tốn Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,

Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học

- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…
- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình u thích, có thành tích, chun mơn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra độc

lập.

- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Online như Học ở lớp Offline

</div>

Câu hỏi ôn thi môn Toán cao cấp có đáp án





 

 







   



 

 







   



 

 

 





































































 





<b>I.</b>

<b>Luyện Thi Online</b>

<b>II.</b>

<b>Lớp Học Ảo VCLASS</b>

<b>III.</b>

<b>Uber Toán Học</b>

<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b></i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về