NGUYEN HAM TICH PHAN va UNG DUNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (332.53 KB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phan TiÕn DiƯn

NGUN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ

Ứ

NG D

Ụ

NG

A. NGUYÊN HÀM

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. ðịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên K. Hàm số F(x) ñược gọi là một nguyên hàm của f(x)
trên K nếu: F x'( )= f x( ) ∀ ∈x K .

GHI NHỚ: 1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C (C: hằng số) cũng là một nguyên
hàm của f(x).

2) Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là:

∫

f x dx( ) =F x( )+C.
2. Các tính chất của nguyên hàm:

• Tính chất 1:

∫

f '( )x dx= f x( )+C

• Tính chất 2:

∫

k f x dx. ( ) =k.

∫

f x dx( ) ( k: là hằng số)

• Tính chất 3:

∫

[

f x( )±g x dx( )

]

∫

f x dx( ) ±

∫

g x dx( )
3. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:

TT Nguyên hàm Nguyên hàm số hợp

( )
u=u x

∫

0.dx=C

∫

0.du=C

∫

dx= +x C

∫

du= +u C

1
x

x dx C

α
α

α

= +

∫

(

α

≠

−

1 )

1
u

u du C

α
α

α

= +

∫

(

α

≠

−

1 )

4 1dx ln x C

x = +

∫

1du lnu C

u = +

∫

5 ∫cos .x dx=sinx C+

∫

cos .u du=sinu+C

∫

sin .x dx= −cosx C+

∫

sin .u du= −cosu+C

∫

tanxdx=- ln cosx +C

∫

tanudu=- ln cosu +C

∫

cotxdx=ln sinx +C

∫

cotudu=ln sinu +C

9 2 tan

cos
dx

x C

x= +

∫

2 tan

cos
du

u C

u = +

∫

10 2 cot

sin
dx

x C

x = − +

∫

2 cot

sin
du

u C

u = − +

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

TT Nguyên hàm Nguyên hàm su=u x( )ố hợp

11 ln tan

cos 2 4

dx x

C
x

π

 

=  +  +

 

∫

ln tan

cos 2 4

du u

C
u

π

 

=  +  +

 

∫

12 ln tan

sin 2

dx x

C

x = +

∫

ln tan

sin 2

du u

C

u = +

∫

e dxx = +ex C

∫

e dxx = +ex C

x

x a

a dx C

a

= +

∫

( 0< ≠a 1)

x

x a

a dx C

a

= +

∫

( 0< ≠a 1)

15 2 2 1 ln

dx x a

C

x a a x a

−

= +

− +

∫

2 2

1
ln

du u a

C

u a a u a

−

= +

− +

∫

16 2dx 2 ln x x2 a2 C

x ±a = + ± +

∫

2 2

2 2 ln
du

u u a C

u ±a = + ± +

∫

2 2 2 2 2 2

2 2

x a

x ±a dx= x ±a ± x+ x ±a +C

∫

2 2 2 2 2 2 2

2 2

u a

u ±a du= u ±a ± u+ u ±a +C

∫

4. Bài tập tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng định nghĩa và tính chất của ngun hàm

Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1. f(x) = x2 – 3x +
x
1

ðS. F(x) = x − x +lnx+C

2
3
3

2
3

2. f(x) = 2

3
2

x
x +

ðS. F(x) = C

x
x −3+
3

2 3

. f(x) = 21

x
x−

ðS. F(x) = lnx +

x
1

+ C
4. f(x) = 2

2
2

)
1
(

x
x −

ðS. F(x) =

1
2
3
x

x C

x

− − +

5. f(x) = 3 4

x
x

x + + ðS. F(x) = x + x + x +C

5
4
4
3
3

2 4

5
3
4
2

6. f(x) =

2
1

x
x −

ðS. F(x) = 2 x−33 x2 +C

7. f(x) =
x
x 1)2

( −

ðS. F(x) = x−4 x+lnx+C

8. f(x) =

1
x
x−

ðS. F(x) = x − x3 +C

2
3

2
3
5

9. f(x) =

2
sin

2 2 x ðS. F(x) = x – sinx + C

10. f(x) = tan2x ðS. F(x) = tanx – x + C

11. f(x) = cos2x ðS. F(x) = x+ sin2x+C

4
1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)2 ðS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Phan TiÕn DiÖn
14. f(x) =

x
x

x

2
2

cos
.
sin

2
cos

ðS. F(x) = - cotx – tanx + C

15. f(x) = sin3x ðS. F(x) = − cos3x+C

3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ðS. F(x) = − cos5x−cosx+C

5
1

17. f(x) = ex(ex – 1) ðS. F(x) = e2x −ex +C
2

18. f(x) = ex(2 + )

cos2 x
e−x

ðS. F(x) = 2ex + tanx + C

19. f(x) = 2ax + 3x ðS. F(x) = C

a

ax + x +
3
ln

3
ln
2

20. f(x) = e3x+1 ðS. F(x) = e3x+1 +C

3
1
Bài 2: Tìm hàm số f(x) biết rằng

1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ðS. f(x) = x2 + x + 3

2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ðS. f(x) = 1
3
2

+
− x

x

3. f’(x) = 4 x−x và f(4) = 0 ðS. f(x) =

3
40
2
3

8x x − x2 −

4. f’(x) = x - 12 +2

x và f(1) = 2 ðS. f(x) = 2
3
2
1
2

−
+

+ x

x
x

5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ðS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3

6. f’(x) = ax + 2 , f'(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2
x

b

ðS. f(x) =

2
5
1
2

+
+

x
x

Bài 3: Chứng minh rằng hàm số: F(x) = ln 2

x+ x +k (k là hằng số khác 0) là một nguyên hàm
của hàm số f(x) =

1
x +k

trên các khoảng mà chúng cùng xác ñịnh. Áp dụng: tính

0 16

dx
x +

∫

Bài 4: Tính ñạo hàm hàm số u(x) = x + x2+1. Suy ra nguyên hàm các hàm số sau :

a) f(x) =

(

)

2
2

1
1

x x

x

+ +

+ b) h(x) = 2

1
1
x +

c) g(x) =

(

)

2 2

1 1

x + x+ x +

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I =

∫

f[u(x)].u'(x)dx

b

ằ

ng cách

ñặ

t t = u(x)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chú ý: Một số dấu hiệu và cách ñặt thường gặp

TT Dạng Cách biến ñổi

∫

f ax b dx( + ) ðặt t=ax b+ ⇒dt=adx

2 ( n 1). n

f x + x dx

∫

ðặt t=xn+1⇒dt= +(n 1).x dxn

3 f( x) dx

x

∫

ðặt

2
dx

t x dt

x

= ⇒ =

∫

f(sin ).cosx xdx ðặt t=sinx⇒dt=cosxdx
5

∫

f(cos ).sinx xdx ðặt t=cosx⇒dt= −sinxdx

6 (tan ). 2

cos
dx

f x

x

∫

ðặt tan 2

cos
dx

t x dt

x

= ⇒ =

7 (cot ). 2

sin
dx

f x

x

∫

ðặt cot 2

sin
dx

t x dt

x

= ⇒ = −

∫

f e( ).x e dxx ðặt t=ex⇒dt=e dxx

9 f(ln ).x dx

x

∫

ðặt t lnx dt dx

x

= ⇒ =

(

)

n n

x ax + +b dxα

∫

(

n∈ℕ,

α

∈ℝ

)

ðặt

1
n

t=ax + +b

Bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.

∫

(5x−1)dx 2.

∫

− 5

)

2
3

( x

dx

∫

5−2xdx 4.

∫

−1
2x

dx

∫

(2x2 +1)7xdx 6.

∫

(x3 +5)4x2dx 7.

∫

x2 +1.xdx 8.

∫

+ dx

x
x

∫

+ x dx

x

3
2

2
5

10.

∫

x.ex2+1dx 11. dx
x

x

∫

ln3 12.

∫

+ 2

)
1

( x

x
dx

13.

∫

dx

x
e x

14.

∫

−3

x
x

e
dx
e

15. cot xdx

∫

16. tan xdx

∫

17.

∫

x
dx

sin 18.

∫

x

dx

cos 19.

∫

x

tgxdx

cos 20.

∫

xdx

etgx

cos

21.

∫

dx

x
x

cos
sin

22.

∫

sin4 x cosxdx 23.

∫

cos3 xsin2 xdx 24.

∫

− 2

4 x
dx

25.

∫

x2 1−x2.dx 26.

∫

+ 2

1 x

dx

27.

∫

− 2

1 x

dx
x

28.

∫

x3 x2 +1.dx

29.

∫

1−x .2 dx 30.

∫

x x−1.dx 31.

∫

x

e
dx

32.

∫

+ 1

x
x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Phan TiÕn DiÖn

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

∫

u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)−

∫

v(x).u'(x)dx

Hay:

∫

udv=uv−

∫

vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
CHÚ Ý: Cách ñặt của một số dạng thường gặp

TT Dạng Cách biến ñổi

∫

P x( ).sin

(

ax b dx+

)

ðặt u = P(x) , dv=sin

(

ax b dx+

)

∫

P x( ).cos

(

ax b dx+

)

ðặt u = P(x) , dv=cos

(

ax b dx+

)

∫

P x e( ). ax b+ dx ðặt u = P(x) , dv=eax b+ dx

∫

P x( ).log (nm ax b dx+ ) ðặt u=log (m ax b+ ), dv=P x dx( )

∫

eax b+ .sin(mx+n dx) ðặt u=sin(mx+n), dv=eax b+ dx
6

∫

eax b+ .cos(mx+n dx) ðặt u=cos(mx+n), dv=eax b+ dx

Bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

∫

x sin. xdx 2.

∫

xsin2xdx 3.

∫

(x2 +5)sinxdx 4.

∫

x cosxdx
5.

∫

(x2 +2x+3)cosxdx 6.

∫

xcos2xdx 7.

∫

x2cos2xdx 8.

∫

lnxdx
9.

∫

x lnxdx 10.

∫

x lgxdx 11.

∫

x
xdx
ln

12.

∫

2xln(1+x)dx

13.

∫

+ dx

x
x

)
1
ln(

14.

∫

xln(1+x2)dx 15.

∫

ln(x2 +1)dx 16.

∫

ln2 xdx
17.

∫

x.exdx 18.

∫

2xxdx 19.

∫

x3ex2dx 20.

∫

ex.cosxdx

21.

∫

dx

x
x

cos 22.

. tan

x xdx

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

B. TÍCH PHÂN

I. TÓM T

Ắ

T LÝ THUY

Ế

T

1. ðịnh nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên

[ ]

a b; . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

Thì: ( )

[

( )

]

( ) ( )

b

b
a
a

f x dx= F x =F b −F a

∫

( Công thức NewTon - Leiptnitz)

2. Các tính chất của tích phân:

• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác ñịnh tại a thì :

∫

( ) =0

a

dx
x
f

• Tính chất 2: ( ) ( )

b a

a b

f x dx= − f x dx

∫

• Tính chất 3: Nếu f(x) = c khơng đổi trên

[ ]

a b; thì: ( )

b

a

cdx=c b a−

∫

• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên

[ ]

a b; và f x( ) 0≥ thì ( ) 0

b

a

f x dx≥

∫

• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên

[ ]

a b; và f x( )≥g x( ) x∀ ∈

[ ]

a;b thì

( ) ( )

b b

a a

f x dx≥ g x dx

∫

• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên

[ ]

a b; và m≤ f x( )≤M ( m,M là hai hằng số) thì

( ) ( ) ( )

b

a

m b a− ≤

∫

f x dx≤M b a−

• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên

[ ]

a b; thì

[

( ) ( )

]

( ) ( )

b b b

a a a

f x ±g x dx= f x dx± g x dx

∫

• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên

[ ]

a b; và k là một hằng số thì

. ( ) . ( )

b b

a a

k f x dx=k f x dx

∫

• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên

[ ]

a b; và c là một hằng số thì
( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx= f x dx+ f x dx

∫

• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên

[ ]

a b; cho trước không phụ thuộc vào biến số ,

nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ...

b b b

a a a

f x dx= f t dt= f u du=

∫

3. Bài tập tính tích phân bằng bằng cách sử dụng định nghĩa và tính chất của tích phân 
Bài 1: Tính các tích phân sau:

∫

−

+
+

1
2

)
1

( x x dx 2.

∫

− −

0
3

)
3
2
2

( x x dx 3.

∫

−

)
3

(x dx

x 4.

∫

−
−

3
2

)
4

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Phan TiÕn DiÖn

5. dx

x
x

∫






 +
2
1
3
2
1
1

∫

−

2
1
3
2
2
dx
x
x
x

∫

e
e
x
dx
1
1

∫

.dx
x

9. dx

x
x
x
e

∫

+ −
2
1
7
5
2

10. dx

x
x

∫








−
8
1
3 2
3

4 11.

∫

−
+
3
2 1
2
dx
x
x

12. dx

x
x

∫







−
+
−
1
0
3
1

2
2

13.

∫

−






+
−
−
−
0
1
1
2
1
2
2
dx
x
x
x

14. x dx

x

∫







−
−
+
−
2
0
1
2
1
3

15. dx

x
x
x

∫

1 ++ +

0
2
3
3

16. x dx

x
x
x

∫

− 




+
−
−
+
+
0
1
2
1
2
1
1

17. x dx

x

x
x

∫







+
−
+
−
+
1
0
2
1
1
2
2

18.

∫

+
+
1
0
2
3
4x

x
dx
19.

∫

−
2
2
3
cos
.
5
cos
π
π
xdx
x
20.

∫

−
2
2
2
sin
.
7
sin
π
π
xdx

x 21.

∫

4
0
cos
2
sin
π
xdx
x

22.

∫

0
2

sin
π

xdx 23.

∫

e x dx
−
+
0
1
3
2

24.

∫

−

0
dx
e x

Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1.
3
2
3
x 1dx
−
−

∫

4
2
1

x 3x 2dx

−

− +

∫

( x 2 x 2 )dx

−
+ − −

∫

4.
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −

∫

5.
3
x
0

2 −4dx

∫

1 cos 2xdx

∫

1 sin xdx

∫

8. 2∫ x −xdx

0
2

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số

a) ðổi biến số dạng 1: Tính I = 
b

f[u(x)].u (x)dx

∫

bằng cách đặt t = u(x)
Cơng thức ñổi biến số dạng 1: ∫

[ ]

= ∫

)
(
)
(
)
(
)
(
'
.
)
(
b
u
a
u
b
a
dt
t
f
dx
x

u
x
u
f
 Cách thực hiện:

Bước 1: ðặt t =u(x)⇒dt =u'(x)dx
Bước 2: ðổi cận :

)
(
)
(
a
u
t
b
u
t
a
x
b
x
=
=
⇒
=
=

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta ñược

=∫

[ ]

= ∫
)
(
)
(
)
(
)
(
'
.
)
(
b
u
a
u
b
a
dt
t
f
dx
x
u
x
u
f

I (tiếp tục tính tích phân mới)

CHÚ Ý: Cách đổi biến giống ngun hàm
Bài 1: Tính các tích phân sau:

1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)+

∫

x
dx
2x 1+

∫

x 1 xdx−

∫

1
2
0

4x 11
dx
x 5x 6

+
+ +

∫

5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4

−

− +

∫

3 3

2
0

dx
x +2x 1+

∫

6 6

(sin x cos x)dx

∫

3
2

4 sin x

dx
1 cos x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

4
2
0

1 sin 2x
dx
cos x

∫

10)

2
4
0

cos 2xdx

∫

11)

1 sin 2x cos 2x
dx
sin x cos x

+ +

∫

12)

1
x
0

1
dx
e +1

∫

13) (cos x sin x)dx
4
0
4
4
∫ −
π

14) ∫

01 2sin2

2
cos
π
dx
x
x

15) ∫

02cos3 1

3
sin
π
dx
x
x

16) ∫

−

05 2sin

cos
π

dx
x
x

17)

∫

− + −
+
0

2
2
3
2
2
2
dx
x
x
x

18) ∫

+
+

−
1

1 x2 2x 5

dx

Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1)

3 2

cos x sin xdx

∫

2)
2
5
0
cos xdx
π

∫

2
0

sin 4x
dx
1 cos x

π
+

∫

4)
1
3 2

x 1 x dx−

∫

2 3
0

sin 2x(1 sin x) dx

π
+

∫

6)
4
4
0
1
dx
cos x
π

∫

1 ln x
dx
x
+

∫

8)
4
0
1
dx
cos x
π

∫

9)
e 2
1

1 ln x
dx
x

∫

10)

5 3 6
0

x (1 x ) dx−

∫

11)
6
2
0
cos x
dx
6 5sin x sin x

− +

∫

12)

3 4
0
tg x
dx
cos 2x

∫

13)
4
0
cos sin
3 sin 2

x x
dx

x
π
+
+

∫

14) ∫

0 cos2 4sin2

2
sin
π
dx
x
x
x

15) ∫

−

+ −

5
ln

ln ex 2e x 3

dx

16) ∫

0(2 sin )2

2
sin
π
dx
x
x

17) ∫3
4
2
sin
)
ln(
π

π x dx

tgx

18) ∫4 −

0
8
)
1
(
π
dx
x

tg 19)∫

+
−
2
4
2
sin
1
cos
sin
π

π x dx

x
x

20) ∫

+
+

0 1 3cos

sin
2
sin
π
dx
x
x
x

21) ∫

0 1 cos

cos
2
sin
π
dx
x
x
x

22) ∫2 +

0
sin
cos
)
cos
(
π
xdx
x
e x

23) ∫

−
+

11 1

dx
x
x

24)∫ +
e
dx
x
x
x
1
ln
ln
3
1

25) ∫

+
−
4
0
2
2
sin
1
sin

2
1
π
dx
x
x

b) ðổi biến số dạng 2: Tính I = 
b

f(x)dx

∫

bằng cách đặt x = ϕ(t)

Cơng thức ñổi biến số dạng 2: =∫ =β∫

[ ]

α f ϕ t ϕ t dt
dx
x
f
I
b
a
)
(
'
)
(
)

(

Cách thực hiện:

Bước 1: ðặt x=

ϕ

(t)⇒dx=

ϕ

'(t)dt
Bước 2: ðổi cận :

α

β

=
=
⇒
=
=
t
t
a
x
b
x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

=∫ =β∫

[ ]

α f

ϕ

t

ϕ

t dt
dx
x
f
I

b
a
)
(
'
)
(
)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Phan TiÕn DiÖn

CHÚ Ý: Một số cách biến ñổi thường gặp

TT Dạng Cách biến ñổi

∫

f x( , x2+a dx2) ðặt tan 2

cos
a

x a t dx dt

t

= ⇒ =

2 2 2

( , )

f x x −a dx

∫

ðặt sin2

cos cos

a a t

x dx dt

t t

= ⇒ =

3 2 2

( , )

f x a −x dx

∫

ðặ⇒t dxx==aacos .sintt dt với −π/2≤t ≤π/2
4
x
a
x
a
−
+

hoặc

x
a
x
a
+
−

x = acos2t

5 (x−a)(b−x) x = a+(b-a)sin2t

Bài tập: Tính các tích phân sau:

2
0

1 x dx−

∫

1
2
0

dx
1 x+

∫

2
0

1
dx
4 x−

∫

4)
1
2
0
1
dx
x − +x 1

∫

5)
1
4 2
0
x
dx
x +x +1

∫

1 cosx sinxdx
π
+ +

∫

7)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−

∫

2 2

x 4 x dx−

∫

9)
2
3
2
2
1
dx
x x −1

∫

10)

3 2
2
1
9 3x
dx
x
+

∫

11)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x

−
+

∫

12)
2
2
2
3
1
1dx

x x −

∫

13)

cos
7 cos 2

x
dx
x
π

∫

14)

1 4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+

∫

15)
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+

∫

16) ∫

+
+

−
0

1x2 2x 2

dx

17) ∫

+
+

01 1 3x

dx

18) ∫

−
−
2
1 5
1
dx
x
x
x
19)
8
2
3

1
1dx

x x +

∫

20)

7 3
3 2
0 1
x
dx
x
+

∫

21)
3
5 2
0
1

x +x dx

∫

22)
ln 2
x
0
1
dx
e +2

∫

23)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+

∫

24)
2
2 3
0
1

x x + dx

∫

25) ∫

3
2

5 x x2 4

dx

2. Phương pháp tích phân từng phần

Cơng thức tích phân từng phần:

∫b =

[

]

−∫
a

b
a
b

a v x u x dx

x
v
x
u
dx
x
v
x

u( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )
Hay: ∫b =

[ ]

−∫

a
b
a
b
a vdu
v
u
udv .

Cách thực hiện:

Bước 1: ðặt

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng từng phần : b∫ =

[ ]

−∫
a

b
a
b

a vdu

v
u

udv .

Bước 3: Tính

[ ]

u.v ba và ∫
b

a

vdu

CHÚ Ý: Cách ñặt của một số dạng thường gặp giống nguyên hàm từng phần

Bài tập: Tính các tích phân sau

∫

0
3

.e dx

x x 2)

∫

−

cos
)
1
(
π

xdx

x 3)

∫

−

3
sin
)
2
(
π

xdx

x 4)

∫

2
sin
.
π

xdx

x

∫

e

xdx
x

ln 6)

∫

−

e

dx
x
x

1
2

.
ln
).
1

( 7)

∫

.
ln
.

4x xdx 8)

∫

).
3
ln(

. x dx

x

∫

1
2

).
1

(x ex dx 10)

∫

.
cos
. xdx

x 11)

∫

0
2

.
cos
.
π

dx
x

x 12)

∫

0
2

.
sin
).
2
(
π

dx
x
x
x

13)

2
5
1

ln x
dx
x

∫

14)

2
2

x cos xdx

∫

15)

1
x
0

e sin xdx

∫

16)

sin xdx

∫

17)

e
2
1

x ln xdx

∫

18)

3
2
0

x sin x
dx
cos x

∫

19) 2

x sin x cos xdx

∫

20)

x(2 cos x 1)dx

−

∫

21)

2
2
1

ln(1 x)
dx
x

∫

22)

2 2x
0

(x 1) e dx+

∫

23)

2
1

(x ln x) dx

∫

24)

cos x.ln(1 cos x)dx

∫

25) 2

( 1)

e

x
dx
x+

∫

26)

1
2
0

xtg xdx

∫

27) ∫1 −

)
2

(x e xdx 28) 1∫ +
0

)
1

ln( x dx

x

29) ∫e dx
x

x

30) ∫2 +

sin
)
cos
(

xdx
x

x 31) 2∫ + +

)
1
ln(
)
7
2

( x x dx 32) ∫3 −

2
2

)

ln(x x dx

III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1. Tính diện tích hình phẳng

a) Công thức tính:

••••

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh 
Tính diện tích hình phẳng ñược giới hạn bởi các
ñường sau: y= f x( ), y=0 (truc Ox), x=a và x=b

Ta có: ( )

b

a

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Phan TiÕn DiƯn

••••

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:

1( )

y= f x , y= f x2( ), x=a và x=b

Ta có: 1( ) 2( )

b

a

S =

∫

f x − f x dx

b) Bài tập

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) y=x4+3x2+1; x=1; x=0; b) y=0; y=2x-x2;
c) y=x+1; y=x3-3x2+x+1; d) y+x=0; x2-2x+y=0;

e) y=4-x2; y=0; x=±1; f) y=x3+3x; y=4x2;x=-1; x=2;
g) y=x2-2x+2; Oy và tt tại M(3;5); h) y=x2-2x; y=-x2+4x;

Bài 2: Tính diện tích của các hình phẳng sau:

1) (H1):

2
2
x
y 4
4
x
y
4 2

= −



 =


2) (H2) :

y x 4x 3
y x 3

 = − +




= +

 3) (H3):

3x 1
y
x 1
y 0
x 0
− −
 =
 −

=

 =


4) (H4):

2
2
y x
x y
 =


= −

 5) (H5): 2

y x
y 2 x

 =



= −

 6) (H6):

y x 5 0

x y 3 0

 + − =



+ − =



7) (H7):


= =


 = =

ln x
y , y 0

2 x
x e, x 1

8) (H8) :

2
2

y x 2x
y x 4x

 = −




= − +

 9) (H9):

2 3 3

y x x
2 2
y x
 = + −


 =


10) (H10):

y 2y x 0
x y 0

 − + =



+ =

 11) 

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bµi 3: TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: 
1) y= 2 −4 +3

x

x ;y=3 (ĐS: 8(đvdt)) 2) y= 2 1 ; = +5
x
y

x (ĐS: (

3
73

đvdt))
3) x= y ; x+y-2=0 ;y=0. (§S: (

6
5

®vdt)) 4) y=x2 ; y=

x
y

x 8

;
8

= (§S: 8ln3)
5) y=x2 ; y=

x
y

x 27

;
27

= (§S: 27ln3) 6) y=x2 ; x=y2. 7) y=ex ; y=e-x ;x=1.

2. Tính thể tích vật thể trịn xoay

a) Cơng thức tính

Tính thể tích vật thể trịn xoay được giới hạn bởi các đường:
( )

y= f x , x=a và x=b khi quay quanh trục Ox

Ta có: 2( )

b

a

V =

π

∫

f x dx

b) Bài tập: TÝnh thÓ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh ra khi quay miền (D) giới hạn bởi các đờg khi

quay quanh Ox:

1. y=4-x2 ; y=2+x2 (§S : 16

)

π 2. y=x2 ; x=y2

3. y=2x-x2 ; y=x2-2x (§S :

)
5
16π

. 4. y=-x2+4x (§S :

)
15
512π

5. y=(x-2)2 ;y=4 (§S :

)
5
256π

6. y=x2+1 ; Ox ; Oy ; x=2. §S :

)
15
206π

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai ñường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các ñường : y= x; y 2 x; y 0= − =

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai ñường : y (x 2)= − 2 và y = 4

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox

b) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai ñường : y= −4 x y2; =x2+2.

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các ñường :

2
2

1
;
1 2

x

y y

x

= =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Phan TiÕn DiÖn

Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các ñường y = 2x2 và y = 2x + 4

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các ñường y = y2 = 4x và y = x

Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các ñường y = 2 2
1

x

e

x ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các ñường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối trịn xoay ñược tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các ñường y = x ln(1+x3) ; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

BÀI TRONG CÁC

ðỀ

THI

TÍCH PHÂN TRONG CÁC

ðỀ

THI

1/.

∫

+

1 dx

x

- D

ự

b

ị

1 – 02.

ð

s:

(1 ln2)
2

−

2/.

∫

3
ln

)
1
(

dx
e

e

x
x

- D

ự

b

ị

2 – 02.

ð

s:

2−1

3/.

∫

−

+

3
2

)

1 (

e

x

dx

x

- D

ự

b

ị

3 – 02.

ð

s:

7
4

2 −

e

4/.

∫

−

6 3

.

1 Cos

x

Sinx

Cos

xdx

- D

ự

b

ị

4 – 02.

ð

s:

91
12

5/.

∫

+

3
2

5
2

4 x

dx

- K A – 03.

ð

s:

3
5
ln
4
1

6/.

∫

+

−

2 sin

1 sin

2

1 dx

x

- K B – 03.

ð

s:

ln2
2
1

7/.

∫

−

0
2

dx

x

- K D – 03.

ð

s:

1

8/.

∫

+

1 cos

2 dx

x

- D

ự

b

ị

1 – 03.

ð

s:

ln2
4
1
8 −

9/.

∫

−

1 .

x

dx

x

- D

ự

b

ị

2 – 03.

ð

s:

15
2

10/.

∫

−

5
ln

2
ln

1 dx

e

x
x

- D

ự

b

ị

3 – 03.

ð

s:

3
20

11/. Cho hàm s

ố

:

bx

e

x

a

x

f

.

)

1 (

)

(

3

+

=

; Tìm a. b bi

ế

t

f '(0)=−22,

và

∫

5
)
( dxx

f

,

ð

s: a=8, b=2

12/.

∫

3 2

dx

e

x

- D

ự

b

ị

5 – 03.

ð

s:

2
1

13/.

∫

+

e

xdx

x

1
2

ln

1 - D

ự

b

ị

6 – 03.

ð

s:

(

3 )

4

1 +

e

14/.

∫

−

+

1 dx

x

- K A – 04.

ð

s:

4ln2
3

−

15/.

∫

+

e

dx

x

ln

.

ln

3

1 - K B – 04.

ð

s:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

16/.

∫

−

2
2

)

ln(

x

dx

- K D – 04.

ð

s:

3ln3−2

17/.

∫

+

−

2
0
2
4

ln

4

1 xdx

x

- D

ự

b

ị

1 – 04.

ð

s:

8
17
2
ln
2
1

3
16 Π
+
−
−

18/.

∫

Π
2
0
cos

2 sin

.

xdx

e

x

- D

ự

b

ị

2 – 04.

ð

s:

2

19/.

∫

+

3
1
3

1 dx

x

- D

ự

b

ị

4 – 04.

ð

s:

2
3
ln
2

20/.

ln 8
2
ln 3

.

1

x x

e

+

dx

∫

- D

ự

b

ị

5 – 04.

ð

s:

15
1076

21/.

∫

−

1 .

x

dx

x

- D

ự

b

ị

6 – 04.

ð

s:

15
4

22/.

∫

+

1

3 cos

sin

2 sin

dx

x

- K A – 05.

ð

s:

27
34

23/.

∫

+

1 cos

.

2 sin

dx

x

- K B – 05.

ð

s:

1
2
ln

2 −

24/.

∫

+

2
0
sin

cos

)

cos

(

e

x

xdx

- K D – 05.

ð

s:

4
1+Π

−

e

25/.

∫

+

3
1
2

1 ln

e

dx

x

- D

ự

b

ị

1– 05.

ð

s:

15
76

27/.

∫

Π2

sin

.

x

dx

x

- D

ự

b

ị

3– 05.

ð

s:

8
2Π2−

26/.

∫

−

2
0
2

cos

)

1

2 (

x

xdx

- D

ự

b

ị

2– 05.

ð

s:

2
1
4

8
2
−
Π
−
Π

28/.

∫

+

4
0
sin

)

cos

.

(

Tanx

e

x

dx

- D

ự

b

ị

4– 05.

ð

s:

ln2 1
2

1 22

−
+e

29/.

∫

+
7
0
3 1
2
dx
x
x

- D

ự

b

ị

5– 05.

ð

s:

10
231

30/.

∫

Π
3
0
2

tan

.

sin

x

xdx

- D

ự

b

ị

6– 05.

ð

s:

ln2
8

+
−

31/.

∫

Π
+
2
0
2
2
sin
4
cos
2
sin
dx
x
x
x

- KA 06.

ð

s:

3
2

32/.

∫

− −
+

0 2 3

dx
e

ex x

- K B – 06.

ð

s:

33/.

∫

−

)
2

(x e xdx

- K D– 06.

ð

s:

4
3
5− e2

34/.

∫

+

2

1

4

1 dx

x

-

D.bị 1– 06. ðs

:

12
1
2
3

ln −

35.

∫

−

2

1 dx

x

-

D.bị 2-06.ðs: 2ln2+1

36/.

∫

+
−
e
dx
x
x
x

1 1 2ln

ln
2
3

- D.b

ị

4– 06.

ð

s:

3
11
2

10 −

37/.

∫

Π
+
2
0
2
sin
)
1

(x xdx

-

D.bị 5– 06. ðs

:

4
1+Π

38/.

∫

−

ln
)
2

(x xdx

- D

ự

b

ị

6– 06.

ð

s:

4
5
2
ln

2 +

−

39/.

∫

e
xdx
x
1
2
3

- K D– 07.

ð

s:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Phan TiÕn DiÖn

40/.

2x 1

I dx

1 2x 1

+
=

+ +

∫

-D.bị A1-07-ðs: 2+ln2 41/.

∫

(

)

−

−
=

2 4 dx

x
1
x
x

I - D.bị D1-07-ðs: 1+ln2- ln3
2
3

42/.

∫

2cosxdx

I - D.bị D2-07-ðs : 2

−

π

43/.

∫

Π
6

0
4

2
cos

tan
dx
x
x

-

K A– 08. ðs

:

27
3
10
)
3
2
ln(
2
1

−
+

44/.

∫

1
3

dx
x

x

- K D– 08.

ð

s:

16
3
2
ln
8

+
−

45/.

∫

+

Π

−

sin

2 (

1 sin

cos

)

4 sin(

dx

x

- K B – 08.

ð

s:

4
2
3
4−

46/.

∫

−

2
3

cos
)
1

(cos x xdx

- KA-09-

ð

s :

4
5
8−π

47/.

(

)

∫

3 ++

1
ln
3

dx
x

x

-

KB 2009- ðs

:

)
16
27
ln
3
(
4

1 +

48/.

∫

−

1 1

1
dx

ex - KD – 09 – ðs: ln(e

+e+1) – 2

TÍNH DIỆN TCH v TH TCH
1. (ĐH C.Đoàn 99- 00)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

2
2

;

8 x

y

=

x

y

=

và

y

8 x

=

2. (HV Ngân Hàng TP. HCM 1999 - 2000)

a. TÝnh diƯn tÝch cđa miỊn kÝn giíi hạn bởi đờng cong (C):

y

=

x

1 +

x

2 , trục Ox; đờng thẳng x =1
b. Cho (H) là miền kín giới hạn bởi đờng cong (L):

y

=

x

ln(1

+

x

)

, trục Ox và đờng thẳng x = 1.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho (H) quay quanh trơc Ox.

3. (§H H A, B, V CPB 99- 00)

TÝnh diÖn tÝch tam giác cong giới hạn bởi các đờng:

y

= +

(

x

1 ;

)

y

=

e

x

;

x

=

1

4. (§H HuÕ A, B, V CB 99- 00)

TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c cong giới hạn bởi các đờng:

1;

;

0;

ln

2 x

e y

y

x

=

5. (ĐH Nông Nghiệp I A99- 00)

a. (CPB) Cho D là miền phẳng bị giới hạn bởi các đờng cong:

1

2

1 y

x

=

+

và

2 x

y

=

- TÝnh diƯn tÝch miỊn D.

- TÝnh thĨ tÝch vật thể tròn xoay đợc tạo thành khi cho D quay quanh trơc Ox.
b. (CB) Cho miỊn ph¼ng D bị giới hạn bởi các đờng:

tan

;

0;

;

.

4 y

=

x y

=

x

= −

π

x

=

π

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- TÝnh thÓ tÝch vật thể tròn xoay đợc tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox.
6. (ĐH Nông Nghiệp I B99- 00)

(Phần chung) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

y

=

f x

( );

y

=

0;

x

=

0;

x

=

2.

(Phần dành cho chơng trình CPB) Cho hình D giới hạn bởi các đờng:

sin cos ; 0; 0;

2 2

x

y = x y= x= x=

π

H·y tÝnh thÓ tích của vật thể tròn xoay đợc tạo nên khi cho D quay quanh trục Ox.
7. (ĐH QG Hà Néi B99- 00)

TÝnh thÓ tÝch khối tròn xoay đợc tạo thµnh do quay quanh trơc Ox hình phẳng hữu hạn bëi c¸c
parabol:

y

=

x

−

4 x

+

6;

y

=

x

2 x

+

6

8. (ĐHSP Hà Nội II 99- 00)

a. (CPB khối A, B) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các
đ−ờng:

y

=

x y

;

=

x x

;

=

5

b. (Cð khèi A) Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau:

3
sin
( )

3sin 4 sin 6 3sin 2
x

f x

x x x

− −

9. (ĐH Thơng Mại 99- 00)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: x = -1; x = 2; y = 0 vµ y = x2 - 2x.

10. (ĐH Thuỷ Lợi 99- 00)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: 2

3

2 y

=

x

+

x

và
24. (ĐH Công Đoàn 00- 01)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng có phơng trình:

x

=

y x

;

+ − =

y

2 0;

y

=

0

25. (§H KiÕn Tróc Hµ Néi 00- 01)

TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C), trục hoành Ox và các ®−êng th¼ng

1,

1 x

= −

x

=

26. (ĐH Thuỷ Sản 00- 01)

a. (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

y

=

x

2 x

+

2;

y

=

x

+

4 x

+

5;

y

=

1

b. (CB) Cho hình phẳng (G) giới hạn bởi các đờng

y

=

4 x

;

y

= +

2 x

2. Quay hình phẳng (G)
quanh trục Ox ta đợc một vật thể. Tính thể tích vật thể này.

27. (CĐ A, B00- 01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng

y

=

1

x

;

y

=

0

. 
28. (CĐSP Nhà Trẻ- Mẫu giáo Trung Ương I - CPB 00- 01)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Phan TiÕn Diện

29. (ĐHDL Hùng Vơng D00- 01) Trong mặt phẳng xOy, hÃy tính diện tích của hình phẳng giới hạn 
bởi các đờng: trục Ox, x= -2, x= 2, y = x(x + 1)(x - 2).

30. (CĐ Kiểm Sát 00- 01) (CB) Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng:

(

)

1 ;

sin

y

=

x

+

x

=

π

y

vµ y = 0, víi

(

0 ≤ ≤

y

1 )

31. (ĐH BKHN-A2000) Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng cong có phơng trình

2 3

sin .cos

y= x x, trục Ox và hai đờng thẳng x=0 vµ
2
x=π

32. Cho hµm sè 
2

4
1
x
y

x

+ (C). TÝnh diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C), trục Ox và

các đờng thẳng x=1, x=-1

33. (ĐH QG TP. HCM A00- 01) Cho D là miền kín giới hạn bởi các đờng

y

=

x y

,

= −

2

x y

,

=

0.

a. TÝnh diƯn tÝch cđa miỊn D.

b. Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành khi ta quay (D) quanh trục Oy.

34. (ĐH Hàng Hải 00- 01) Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đờng

y

=

(

x

2

)

2 và y = 4. TÝnh thĨ 
tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh:

a. Trôc Ox. b. Trôc Oy.
35. (ĐH Thuỷ Sản 00- 01)

a. (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

y

=

x

2 x

+

2;

y

=

x

+

4 x

+

5;

y

=

1

b. (CB) Cho hình phẳng (G) giới hạn bởi các đờng

y

=

4 x

;

y

= +

2 x

Quay hình phẳng (G) quanh trục Ox ta đợc một vật thể. Tính thể tích vật thể này.
36. (ĐHDL Hải Phòng A00- 01)

a. (CPB) Tớnh th tớch khi tròn xoay do quay quanh trục Oy phần mạt phẳng hữu hạn đ−ợc giới hạn
bởi hai trục toạ độ, đ−ờng thẳng x=1 và đ−ờng cong

1

2

1 y

x

=

+

b. (CB) Tính thể tích khối trịn xoay do quay quanh trục Ox phần mạt phẳng hữu hạn đ−ợc giới hạn bởi
hai trục toạ độ, đ−ờng thẳng x=1 và đ−ờng cong y= 1 + x3 .

37. (§H BK Hà Nội A2001- 2002)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng có phơng trình:

y

=

4 −

x

2 vµ

x

+

3 y

=

0

38. (HV CN BC VT 2001- 2002)

Tính diện tích hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đờng:

y

=

xe

x

,

y

=

0,

x

=

1,

x

=

2

39. (§H KTQD 2001- 2002)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng Parabol

y

=

4 x

−

x

2 và các đ−ờng tiếp tuyến với
Parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua điểm

( )

5 ;6

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

40. (ĐH TCKT Hà Néi 01- 02)

TÝnh diƯn tÝch cđa hình phẳng giới hạn bởi các đờng

y

= +

2 sin

x

vµ

y

= +

1 cos

x

víi

[

0 ;

]

x

41. (ĐH Công Đoàn 2001- 2002)

Cho a > 0, tÝnh diƯn tÝch h×nh phẳng giới hạn bởi các đờng có phơng trình:

2 2

2 3

x ax a

y

a

+ +

+ vµ

2
4

1
a ax

y

a
−
=

Tìm giá trị của a để diện tích trên đạt giá trị lớn nhất.
42. (ĐH Y Hà Nội 2001- 2002)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

2
2

,

8 x

y

=

x

y

=

và

y

27 x

=

.
43. (ĐH Y Thái Bình 2002- 2002)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

y

=

5

x2

,

y

=

0,

x

=

0

và

y

=

3 x

44. (ĐH Y Dợc TP. HCM 01- 02)

Gọi (D) là miền đợc giới hạn bởi các đờng:

y

= +

3 x

10;

y

=

1;

y

=

x x

(

>

0)

Và (D) nằm ngoài parabol

y

=

x

2. Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo nên khi (D) quay xung
quanh trục Ox.

45. (§H An Giang A, B 01- 02)

TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ sinh ra bëi phÐp quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi các đờng:
2

;

0;

2.

x x

y

=

e

y

=

e

− +

x

=

x

=

46. (ĐH Đà Lạt A, B01- 02) Tính diện tích S(t) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm s

1 (

1)(

2)

y

x

=

+

trên đoạn [0;t] (t > 0) vµ trơc hoµnh. TÝnh t

lim ( )

S t

.
47. (ĐHDL Bình Dơng A01- 02)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

y

=

x

+

2 ;

x

y

= +

x

2

48. (§H C§-A2002)

Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng 2

| 4 3 |

y= x x+ và y= +x 3

49. (ĐH CĐ-A2007) Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng y= +(e 1)x, (1 x)

y= +e x

50. (ĐH CĐ-B2007) Cho hình H giới hạn bởi các đờng y=xln ,x y=0, x=e. TÝnh thĨ tÝch cđa 
khèi trßn xoay khi quay h×nh H quanh trơc Ox

</div>

NGUYEN HAM TICH PHAN va UNG DUNG

<b>NGUN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ </b>

<b>Ứ</b>

<b>NG D</b>

<b>Ụ</b>

<b>NG </b>

<b>A. NGUYÊN HÀM </b>

∫

∫

∫

∫

∫

[

]

∫

∫

∫

∫

∫

∫

α

∫

α

≠

−

1

)

α

∫

α

≠

−

1

)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

π

∫

π

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

(

)

Tính I =

∫

b

ằ

ng cách

ñặ

t t = u(x)

∫

∫

∫

∫

∫

∫