Chuyên đề nâng cao Vẽ hình phụ để giải toán Toán 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1

<b>Chuyên đề nâng cao </b>

<b>VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN </b>

<b>I. Kiến thức cần nhớ </b>

Khi giải bài tốn hình học, nhiều bài khơng thể giải trực tiếp được mà phải vẽ thêm hình phụ. Việc vẽ
thêm hình phụ để tạo "cầu nối" giữa giả thiết và kết luận là công việc phổ biến. Tùy thuộc vào mỗi bài
toán, dạng toán mà chúng ta chọn những cách vẽ hình phụ khác nhau. Có nhiều cách tạo ra yếu tố phụ,
song chúng ta có thể vẽ hình phụ dựa vào một số định hướng sau :

<b>1</b>. Nếu giả thiết có yếu tố trung điểm mà khơng vận dụng trực tiếp được, ta có thể tạo thêm trung điểm
của đoạn thẳng để sử dụng được các tính chất về đường trung bình của tam giác, hình thang hay tính chất
đường trung tuyến tam giác, tính chất đường chéo của hình bình hành.

<b>2.</b> Nếu giả thiết có số đo góc là 60 hoặc30, ta vẽ thêm tam giác đều hoặc kẻ đường vng góc để sử
dụng tính chất của tam giác đều hoặc tam giác nửa đều.

<b>3.</b> Nếu giả thiết có số đo góc là 45 hoặc135, ta vẽ thêm tam giác vng cân hoặc kẻ đường vng góc
hoặc hình vng để sử dụng tính chất của tam giác vng cân hoặc hình vng.

<b>4.</b> Nếu giả thiết có nhiều đường vng góc, ta có thể kẻ thêm đường vng góc từ những vị trí đặc biệt
của hình vẽ.

Ngồi ra nhiều bài có thể dựng thêm những đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho nhằm tạo ra những cặp
tam giác bằng nhau.

<b>II. Một số ví dụ </b>

<b>Ví dụ 1.</b> Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N tương ứng là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh

rẳng nếu MN =1

2 (AB + CD) thì ABCD là hình thang.

<b>Giải</b>

Gọi K là trung điểm của đường chéo BD. Ta có :
MK // AB và MK = 1

2AB ;

NK // CD và NK = 1

2CD

=> MK + NK = 1

2 (AB + CD)

=> MK + NK = MN

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2
Vậy ABCD là hình thang.

<b>Nhận xét </b>

Yếu tố lấy trung điểm của đường chéo là kết hợp khéo léo các yếu tố của giả thiết với nhau.

Với kĩ thuật trên, có thể giải được bài toán sau : Cho tứ giác lồi ABCD (AB < CD). Gọi P, Q tương ứng
là trung điểm các đường chéo BD và AC.

Chứng minh rằng nếu PQ = 1

2 (CD - AB) thì ABCD là hình thang.

<b>Ví dụ 2.</b> Cho ABC có góc A tù. Bên trong góc A vẽ đoạn AD vng góc bằng đoạn thẳng AB, vẽ
AE vng góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm DE. Chứng minh rằng AM ⊥ BC.

<b>Giải.</b>
Cách 1

Gọi H là giao điểm của AM và BC. Vẽ hình bình hành ADNE.

Khi đó M là trung điểm của DE nên A, M, N thẳng hàng. AE // DN suy ra DN⊥AC, mặt khác AB⊥
AD, suy ra ADN = BAC.

Mặt khác DN = AE = AC nên BAC = ADN (c.g.c) => DAN = ABC.
Ta lại có DAN + NAB = BAD = 90°

=> ABC + NAB = 90°

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3
Trên tia đối của tia AE lấy AI = AE ; ID cắt AC tại K. Ta có :

BXC + DAE = BAD + DAC + DAE = 180°
=>BAC = DAI, suy ra BAC = DAI (c.g.c)

=>I = C. Mà I + AKI = 90°, suy ra C + CKD = 90°hay ID⊥BC.

Mặt khác dễ có AM là đường trung bình của EDI nên AM // ID, vậy AM⊥BC.

<b>Nhận xét.</b> Bài tốn có yếu tố trung điểm M, song khơng thế trực tiếp giái được. Vì vậy phải vẽ thêm hình
hình bình hành hoặc tạo thêm trung điểm như hai cách trên.

<b>Ví dụ 3</b>. Tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC thoả mãn MAB = 15° , MAC = 30°.Tính số đo
góc C.

<b>Giải</b> (h.47)

Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A dựng tam giác ACE đều. Suy ra AM là đường phân giác góc
BAC, nên AM cũng là đường cao, suy ra AM⊥CE.

Gọi I là giao điểm của ÀM và BC.

BEC có MI là đường trung bình nên IM // BE mà IM⊥CE nên BE⊥EC, mặt khác

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4
Do đó ACB = ACE + ECB = 105° .

<b>Nhận xét.</b> Bài tốn có số đo góc 30 nên tất yếu định hướng tạo thêm tam giác đều.

<b>III. Bài tập tự luyện </b>

<b>1. </b>Cho hình vng ABCD. Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AB ; BC. Các đường thẳng DN và CM
cắt nhau tại I.

a) Chứng minh CIN vuông ;
b) Chứng minh AI = AD.

<b>2.</b> Trong hình vng ABCD lấy điểm O sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3. Tính số đo góc AOB.

<b>3. </b>Cho hình vng ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho BPC = 135°.Chứng minh rằng :

2 2 2

2.PB + PC = PA .

<b>4. </b>Cho hình thang ABCD có AB // CD, C + D = 900, CD > AB. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của

cạnh AB, CD. Chứng minh rằng : EF = CD - AB
2 .

<b>5. </b>Cho tứ giác ABCD. Gọi A , B , C , D₁ ₁ ₁ ₁lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC.
Chứng minh rằng các đường thẳng AA , BB , CC , DD₁ ₁ ₁ ₁đồng quy.

<b>6. </b>Về phía ngoài của ABC nhọn, dựng các tam giác ABD và ACE tương ứng vuông cân tại B và C. Gọi
I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng IBC vng cân tại I.

<b>7. </b>Cho tứ giác ABCD có C = 50°; D = 70° và AD = BC. Gọi E ; F lần lượt là trung điểm của cạnh AB ;
CD. Tính số đo góc EFD.

<b>8. </b>Cho hình vng ABCD có tâm O, Gọi K, E lần lượt là trung điểm của AB, OC. Chứng minh rằng KE

⊥DE.

<b>9. </b>Cho ABC vuông tại B. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D thoả mãn AD = 3.AB. Đường thẳng
vng góc với CD tại D cắt đường thẳng vng góc với AC tại A ở E. Chứng minh BDE cân.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.

<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b></i>

<i><b> H</b><b>ọ</b><b>c m</b><b>ọ</b><b>i lúc, m</b><b>ọi nơi, mọ</b><b>i thi</b><b>ế</b><b>t bi </b><b>–</b><b> Ti</b><b>ế</b><b>t ki</b><b>ệ</b><b>m 90% </b></i>

<i><b>H</b><b>ọ</b><b>c Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->