Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Lục Nam có đáp án

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM </b>

<b>ĐỀ THI CHÍNH THỨC </b>

<b>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN </b>
<b>NĂM HỌC 2016 - 2017 </b>

<b>MƠN THI: TỐN - LỚP 9 </b>
Ngày thi: 6/10/2016
Thời gian làm bài:150 phút

<b>Câu 1 </b>(4,0 <i>điểm</i>)

1) Rút gọn biểu thức _       _{ }     _

   

   

1 _{1 : 1} 1

1 1 1 1

<i>xy</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i>

<i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i> với

0;<i>y</i> 0; 1

<i>x</i>





<i>xy</i>

 .

2)Cho 









 

3

3 1 . 10 6 3
21 4 5 3

<i>x</i> , tính giá trị biểu thức <i>_P</i>



<i>_x</i>2₄<i>_x</i>₂



2017_.
<b>Câu 2 </b>(5,0<i> điểm</i>)

1) Cho  


2 1
2 1

<i>x</i> là một nghiệm của phương trình: <i>_ax</i>2_{1 0}<i>_bx</i>   _{. Với a, b là các số hữu}
tỉ. Tìm a và b.

2) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh <i>_P</i>20_{– 1}_{chia hết cho 100.}
3) Cho <i>a b c</i>, , là độ dài của 3 cạnh một tam giác, chứng minh rằng:

    

4 4 4 ₂ 2 2 ₂ 2 2 ₂ 2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>a c</i> <i>b c</i>

<b>Câu 3 </b>(4,0<i> điểm</i>)

1) Tìm các số nguyên x sao cho <i>_x</i>3_{– 3}<i>_x</i>2₂<i>_x</i>  _{là số chính phương.}
2) ia i phương tr nh: <i>_x</i>2₃<i>_x</i> ₂ <i>_x</i> _{2 2}<i>_x</i> <i>_x</i> 6 ₅

<i>x</i>
<b>Câu 4 </b>(6,0 <i>điểm</i>)

Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối của
tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. ọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M.
Tia BM cắt ND tại P.

1) Chứng minh IC.CN = IN.CM.

2) Chứng minh DM.BN = a2_{từ đó tính số đo góc BPD.}

3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất.

<b>Câu 5 </b>(1, 0<i> điểm</i>)

Cho <i>a b c</i>, , 0 và <i>a</i> 3 <i>b</i>  <i>c</i>  . Chứng minh rằng 5 5 5 1 1 1
6.
a b c
a  b  c    
<i>--- </i><b>HẾT </b>-<i>--- </i>

<i>Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Câu </b> <b>Hướng dẫn giải </b> <b>Điểm </b>
<b>Câu 1 </b>

<b>1.1 </b>

<b>(2.0 điểm) </b>

với

<i>x y</i>

;



0,

<i>xy</i>

1





_

_{ }

_

_{ }

_

_







       



 

1 1 1 1 1

1 1

<i>x</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i>

<i>A</i>
<i>xy</i> <i>xy</i>





 









_

_







       

 

1 1 1 1 1

1 1

<i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>xy</i>

<i>xy</i> <i>xy</i>
0.75





_

_{ }

_

_{ }

_

_









 

 



 









_



_


       

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

<i>x</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i>

<i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>xy</i> 0.5



 



1 <i>x</i> 1

<i>x y</i> <i>xy</i> <i>xy</i> 0.75

<b>1.2 </b>

<b>(2.0 điểm)</b>





3 3

2

3 1 . ( 3 1) _{( 3 1)( 3 1)}
20 4
( 20 1) 3

  _ _
 

 
<i>x</i> 0.75
2
5 2.
2( 5 2)

  

 0.5

2

4 1 0 1

<i>x</i>  <i>x</i>    <i>P</i> _0.5

0.25
<b>Câu 2 </b>

<b>2.1 </b>

<b>(2.0 điểm) </b>

Ta có 2    



2 1 _{3 2 2}
2 1

<i>x</i> _0.25

Vì x 2 1
2 1



 là một nghiệm của phương trình: ax2 + bx + 1 = 0
Nên17 12 2 3 2 2 1 0<i>a</i>  <i>a</i>  <i>b</i>  <i>b</i>  







 

 2 12 2 17 – 3 –<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> 1

0.5

Do a, b là các số hữu tỉ nên - 17a – 3b – 1 và 12a + 2b là các số hữu tỉ





 2 12 2<i>a</i>  <i>b</i> là một số hữu tỉ 0.5

<b>PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM </b> <b>HƯỚNG DẪN CHẤM </b>

<b>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN </b>
<b>NĂM HỌC 2016 - 2017 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

=> 12 2 0 1

17 3 1 0 6

  

 



 _ _{ }  _{ }

 

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i>

Kết luận…

0.25

<b>2.2 </b>

<b>(1.5 điểm) </b>

Ta có <i>_p</i>20 _{1 (}<i>_p</i>4 ₁₎₍<i>_p</i>16 <i>_p</i>12 <i>_p</i>8 <i>_p</i>4 ₁₎
Do P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số lẻ
=> p2_{+ 1 và p}2_{– 1 là các số chẵn}

=> p4_{-1 chia hết cho 4}

=> p20_{-1 chia hết cho 4}

0.5

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số không chia hết cho 5
Lập luận được p4_{-1 chia hết cho 5}

Lập luận được <i>_p</i>16 <i>_p</i>12 <i>_p</i>8 <i>_p</i>4 ₁ chia hết cho 5
=> p20_{-1 chia hết cho 25}

0.75

Mà (4 ; 25) = 1

=> p20_{-1 chia hết cho 100} 0.25

<b>2.3 </b>

<b>(2.0 điểm)</b>

4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2

<i>a</i>  <i>b</i> <i>c</i>  <i>a b</i>  <i>a c</i>  <i>b c</i>

 <i>_a</i>4  <i>_b</i>4 <i>_c</i>4 ₂<i>_{a b}</i>2 2₂<i>_{a c}</i>2 2₂<i>_{b c}</i>2 2 ₀




2 2 2

  

2 2

2 0

<i>a</i>  <i>b</i> <i>c</i>  <i>b c</i> 

0.75





2 2 2

 

2 2 2



2 2 0

<i>a</i>   <i>b</i> <i>c</i> <i>bc</i> <i>a</i>   <i>b</i> <i>c</i> <i>bc</i> 





<i>a</i>  <i>b</i> <i>c</i>)( <i>a b c</i> 



(<i>a</i>  <i>b</i> <i>c a b c</i>)(   ) 0

0.5
Vì <i>a b c</i>, , là độ dài ba cạnh một tam giác nên:

0; 0; 0; 0

<i>a</i>   <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>   <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>   <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>   <i>b</i> <i>c</i>




<i>a</i>  <i>b</i> <i>c</i>)( <i>a b c</i> 



(<i>a</i>  <i>b</i> <i>c a b c</i>)(   ) 0
Kết luận…

0.75

<b>Câu 3 </b>

<b>3.1 </b>

<b>(2.0 điểm)</b>

Ta có: x3_{- 3x}2_{+ x + 2 = (x-2)(x}2_{– x -1)}

* Xét x – 2 = 0  x = 2 thỏa mãn bài toán; x2_{– x -1 = 0 (loại)}

* Xét x - 2 = x2_{– x -1 Suy ra x = 1}

0.5
Xét x ≠ 2; x ≠ 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Nên x3_{- 3x}2_{+ x + 2 là số chính phương khi x – 2 và x}2_{– x -1 cùng là số}

chính phương.

Để x2_{– x -1 là số chính phương thì x}2_{– x -1 = y}2_{với y}__Z.

Tìm được x = 2 (không thỏa mãn x ≠ 2); x = -1 0.5
Thử lại x = - 1 ta có x3_{- 3x}2_{+ x + 2 có giá trị là -1 khơng phải là số chính}

phương => x = - 1 loại

Vây x = 2 hoặc x = 1 thì x3_{- 3x}2_{+ x + 2 là số chính phương.}

0.5

<b>3.2 </b>

<b>(2.0 điểm)</b>

ia i phương tr nh: <i>_x</i>2₃<i>_x</i> ₂ <i>_x</i> _{2 2}<i>_x</i> <i>_x</i> 6 _{5 (*)}

<i>x</i>

Đie u kie n: x 0.

0.25

2 ₅ ₆

3 2 2 2 <i>x</i> <i>x</i> 0

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>













 3 2 3    

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 2 <i>x</i> 2 2<i>x</i> 0

<i>x</i> <i>x</i>



 





 <i>x</i> 3 <i>x</i> <i>x</i>2 2 <i>x</i> <i>x</i>2 0

<i>x</i>





  

   _  _

 

3

2 <i>x</i> 2 0

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

1.0

  2 0

<i>x</i> <i>x</i> hoặc <i>x</i>3 2 0
<i>x</i>

Nếu <i>x</i> <i>x</i> 2 0 Tìm được x = 2 thỏa mãn
Nếu <i>x</i>3 2 0

<i>x</i> Tìm được x = 1 thỏa mãn

0.75

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

P
M

I

C

D
A

B

N

K

<b>4.1 </b>

<b>(2.0 điểm)</b>

+ Do ABCD là hình thoi => AB =BC = CD = AD = a

+ BI là đường phân giác của tam giác BNC =><i>IC</i>  <i>BC</i>  <i>a</i>

<i>IN</i> <i>BN</i> <i>BN</i>

0.75
+ AM // BC, Áp dụng định lý Ta lét trong tam giác NBC ta có:

 

<i>MC</i> <i>AB</i> <i>a</i>

<i>CN</i> <i>BN</i> <i>BN</i>

0.75

Nên  _ _ . . .

  <i>IC CN</i> 

<i>MC</i> <i>IC</i> <i>a</i>

<i>CN</i> <i>IN</i> <i>BN</i> <i>IN CM</i> 0.5

<b>4.2. </b>

<b>(2.5 điểm)</b>

+ Chứng minh được hai tam giác BNC và DCM đồng dạng (g.g)
 <i>BC</i>  <i>BN</i> 

<i>DM</i> <i>DC</i> DM.BN = a

2 1.5

Ta có AB = AD = a và BD = a => tam giác ABD đều 0
60
<i>ABD</i><i>BDM</i>  (1)
Lại có DM.BN = a2 _ <i>a</i> _ <i>BN</i> _

<i>DM</i> <i>a</i> 

<i>BD</i> <i>BN</i>

<i>DM</i> <i>BD</i>(2)

0.5
Từ (1) và (2) => Hai tam giác MDB và DBN đồng dạng (c.g.c)

<i>BND</i><i>DBM</i> 0.25

Xét hai tam giác DBP và DNB có góc D chung và <i>BND</i><i>DBM</i>

=> Hai tam giác DBP và DNB đồng dạng (g.g) 0
60

<i>NBD</i><i>BPD</i> 0.25

<b>4.3. </b>
<b>(2.0 điểm) </b>

Vì S(ABD) không đổi => S(ADKN) lớn nhất khi S(ADKN) + S(ABD) lớn nhất hay
S(NBK) lớn nhất

Thật vấy: S(NBK) = 1 0
. . 60

2<i>NB BK Sin</i> (HS phải chứng minh công thức này)
=> S(NBK) = 1 . . 3

4<i>NB BK</i>

0.5

Lại có NB.BK

2


 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

=> S(NBK) 2
3
<i>a</i>

Dấu “ =” xảy ra khi BN =BK = 2a, mà AN + DK = 2a, BA = BD = a. Vậy N, K cách A,

D một khoảng là a. 0.5

<b>Câu 5 </b>

<b>(1.0 điểm) </b>

Áp dụng bất đẳng thức cô si: a5₊1

<i>a</i> ≥ 2a² ; b
5₊1

<i>b</i> ≥ 2b² ; c
5₊1

<i>c</i>≥ 2c².

Suy ra a5_{+ b}5_{+ c}5₊1 1 1

a b c ≥ 2(a² + b² + c²)

0.5

Mặt khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2c

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Website <b>HOC247</b> cung cấp một mơi trường <b>học trực tuyến</b>sinh động, nhiều <b>tiện ích thơng minh</b>,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh </b>

<b>nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạm</b>đến từcác trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng.

<b>I.</b>

<b>Luy</b>

<b>ệ</b>

<b>n Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b>Đội ngũ <b>GV Giỏi, Kinh nghiệm</b> từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa <b>luyện thi THPTQG </b>các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9</b> và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b> các

trường <i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường Chuyên
khác cùng <i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.</i>

<b>II.</b>

<b>Khoá H</b>

<b>ọ</b>

<b>c Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Tốn Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS
lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dưỡng HSG Tốn:</b> Bồi dưỡng 5 phân mơn <b>Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học </b>và <b>Tổ Hợp</b> dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần </i>

<i>Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn</i>cùng đơi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III.</b>

<b>Kênh h</b>

<b>ọ</b>

<b>c t</b>

<b>ậ</b>

<b>p mi</b>

<b>ễ</b>

<b>n phí</b>

- <b>HOC247 NET:</b> Website hoc miễn phí các bài học theo <b>chương trình SGK</b> từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV:</b> Kênh <b>Youtube</b> cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học và Tiếng Anh.

<i><b>V</b></i>

<i><b>ữ</b></i>

<i><b>ng vàng n</b></i>

<i><b>ề</b></i>

<i><b>n t</b></i>

<i><b>ảng, Khai sáng tương lai</b></i>

<i><b> H</b><b>ọ</b><b>c m</b><b>ọ</b><b>i lúc, m</b><b>ọi nơi, mọ</b><b>i thi</b><b>ế</b><b>t bi </b><b>–</b><b> Ti</b><b>ế</b><b>t ki</b><b>ệ</b><b>m 90% </b></i>

<i><b>H</b><b>ọ</b><b>c Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

<i><b>HOC247 NET c</b><b>ộng đồ</b><b>ng h</b><b>ọ</b><b>c t</b><b>ậ</b><b>p mi</b><b>ễ</b><b>n phí </b></i>

</div>

<!--links-->