Bài giảng ppdientich

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC
Trong hình học ta thường gặp những bài toán phải dùng diện tích của các hình mới
giải quyết được . Những bài toán mà sử dụng diện tích thường là những bài toán
tương đối khó , phức tạp . Trong khi giải toán có nhiều bài sử dụng các phưpưng
pháp thông thường để giải thì gặp nhiều khó khăn , song nếu sử dụng diện tích của
các hình để giải thì đơn giản đi rất nhiều . Đối với khả năng của học sinh cấp 1 ,
cấp 2 thì việc sử dụng diện tích các hình để giải toán thì có lợi ích rõ rệt nhất là đối
với các học sinh giỏi . Bởi vì khi sử dụng phương pháp diện tích của các hình dễ
suy luận và rất sáng tạo .
Phương pháp suy luận để giải toán bằng diện tích các hình nó tuân theo một
số quy tắc nhất đònh , ở trong bài viết nay tôi chỉ tóm tắt một số quy tắc cơ bản hay
được sử dụng . Và khi dựa theo quy tắc này tôi đã áp dụng vào để giải toán để các
bạn tham khảo .
I ) MỘT SỐ KIẾN THƯC CƠ BẢN
Ta đã biết công thức tính diện tích của hình tam giác khi biết độ dài của cạnh
đáy là a và đường cao tương ứng là h thì diện tích của tam giác được tính theo công
thức : S = 1/2 ah
Căn cứ vào công thức trên tôi xin nêu ra một số tính chất sau
1- Hai tam giác có diện tích bằng nhau :
Nếu chung cạnh đáy thì đường cao tương ứng với cạnh đó bằng nhau
Nếu chung đường cao thì cạnh tương ứng với dường cao đó bằng nhau
2 - Hai tam giác có : Chung đường cao ( chung cạnh đáy ) và cạnh ứng với
đường cao (Đường cao ứng với cạnh đó ) bằng nhau thì diện tích của hai tam giác
đó bằng nhau .
3 - Hai tam giác có diện tích bằng nhau và chung một cạnh ( Hai đỉnh đối diện
với cạnh đó cùng nằm ở một nửa mặt phẳng ) thì hai đỉnh đó cách đều đường thẳng
chứa cạnh đó hay dường thẳng chứa đi qua hai đỉnh đó song song với đường thảng
chứa cạnh chung đó .
4 - Hai tam giác có tỉ số diện tích là k
Nếu chung một cạnh thì tỉ số hai đường cao ứng với cạnh đó cũng bằng
k

Nếu chung đường cao thì tỉ số hai cạnh ứng với đường cao đó cũng bằng
k
Từ các điều kiện trên cũng suy ra diện tích của hai tam giác cũng bằng k
5- Hai tam giác có tỉ số các cạnh tương ứng bằng k thì tỉ số diện tích của hai
tam giác bằng k
2
.
Thật vậy :
1
c
a
b
A
B
C
D
E
Giả sử hai tam giác ABC và ADE có AB = k AD , AC
= k AE
BC = k DE .
Ta có S(ABC) = k S(ADC) ( Chung đường cao hạ
từ C )
và S(ADC) = k S(ADE) ( chung đường cao hạ từ D)
Từ đó suy ra S(ABC) = k
2
S(ADE)
hay tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và ADE bằng
k
2
Chú ý : Trong phần này diện tích của tam giác ABC được kí hiệu là S(ABC)

hoặc diện tích của tứ giác ABCD được ký hiệu là S(ABCD)
II ) PHẦN BÀI TẬP VẬN DỤNG
A) Loại bài tập về tính toán diện tích của các hình
B
D
A
Q
M
C
N
P
Bài 1 :
Cho tứ giác ABCD , trên tia đối của tia
AB lấy diểm M sao cho AM = AB , Trên tia
đối của tia BC lấy điểm N sao cho BN = CB ;
trên tia đối của tia CD lấy điểm P sao cho
CP = CD ; trên tia đối của tia DA lấy điểm Q
sao cho DQ = AD . Tính diện tích của tứ giác
MNPQ , biết S(ABCD) = 1
Lời giải
Trong ∆AQM có MQ là đường trung tuyến nên dt(AMQ) = 2dt(AMD) vì
chung đường cao hạ từ M và AQ = 2.AD
mà AM = AB nên dt(AMD) = dt(ABD) vì chung đường cao hạ từ D .
Cho nên dt(AMQ) = 2.dt(ABD)
Chứngminh tương tự : dt(CPN) = 2.dt(BCD)
cho nên dt(MAQ) + dt(CPN) = 2( dt(ABD) + dt(BCD) ) = 2 . dt(ABCD)
Và dt(NBM) + dt(PQD) = 2. dt(ABCD)
Vậy dt(MNPQ) = 5.dt(ABCD) . Mà dt(ABCD) = 1 nên dt(MNPQ) = 5
2
B

D
A
Q
M
C
N
P
Bài 2
Cho tứ giác ABCD và điểm O nằm trong
tứ giác . Gọi M , N , P , Q là các diểm đối
xứng của O qua trung điểm các cạnh của tứ
giác . Hãy tính diện tích của tứ giác MNPQ .
Biết diện tích của tứ giác ABCD bằng 12 cm
2
Lời giải
Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD và AD . Nối các
điểm E , F , G H ta dễ chứng minh tứ giác E FGH là hình bình hành .
Nối BD ta có dt(CGF) = 1/4 dt(BCD) vì có tỉ số các cạnh là 1/2
dt(AEH) = 1/4 dt(ABD) vì có tỉ số các cạnh là 1/2
Cho nên dt(FGC) + dt(AEH) = 1/4dt(ABCD)
Lý luận tương tự dt(FEB) + dt(DHG) = 1/4 dt(ABCD)
nên suy ra dt(FCG) +dt(AEH) + dt(FEB) + dt(DHG) = 1/2 dt(ABCD)
Do vậy suy ra dt(E FGH) = 1/2dt(ABCD)
(1)
Mà dt(OMN) = 4.dt(OE F) vì có tỉ số các cạnh là 2
Tương tự dt(OMQ) = 4.dt(OEH) ; dt(OPQ) = 4.dt(OHG) ; dt(ONP) = 4.dt(O FG)
cho nên dt(MNPQ) = 4.dt(E FGH)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra dt(MNPQ) = 2.dt(ABCD) ; mà dt( ABCD) = 12 cm
2

Cho nên dt(MNPQ) = 24 cm
2
C
A
K
M
L
B D
Bài 3
Cho tam giác KML , trên KL lấy điểm A sao
cho LA = 3.AK ; trên ML lấy điểm B sao cho BL
= 4.MB . BK và MA cắt nhau tại C . Hãy tính
diện tích tam giác KML , biết rằng diện tích tam
giác KLC = 2
Lời giải
Trên ML lấy điểm D sao cho MB = BD = 1/5 ML
Ta có dt(KBL) = dt(KBD) vì chung đường cao hạ từ K và BL = 4,BD
dt(KBL) = 4.dt(KAB) vì chung đường cao hạ từ B và KL = 4.KA
cho nên dt(KBD) = dt(KAB) mà hai tam giác có chung cạnh KB cho nên AD // KB
ta có dt(KMB) = dt(KBD) vì có chung đường cao hạ từ K và MB = BD
3
dt(MBC) = dt(BCD) vì chung đường cao hạ từ C và MB = BD
Cho nên dt(KMC) = dt(KCD)
(1)
mà hai tam giác KCD và KAC có chung cạnh đáy KC và đường cao hạ từ A , D
xuống KC bằng nhau nên dt(KCD) = dt(KAC)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra dt(KMC) = dt(KAC) , mà hai tam giác chung đường cao
hạ từ K
cho nên MC = AC . Do vậy dt(MLC) = dt(ALC)

mà dt(KML) = dt(MKC) + dt(MCL) + dt(KLC) = 2.dt(KLC) = 4
O
N
A
B
C
M
Bài 4
Cho tam giác ABC trên cạnh AB lấy M
sao cho AM = 1/3 AB , trên AC lấy N sao cho
AN = 1/3 AC . Nối CM và N cắt nhau tại O .
Biết diện tích tam giác ABC = 24 cm
2
Hãy tính diện tích của tứ giác OMAN .
Lời giải
Cách 1 : dt(OBM) = 2.dt(AMO) vì chung đường cao hạ từ O và BM = 2.AM
dt(ONC) = 2.dt(ANO) vì chung đường cao hạ từ O và NC = 2.AN
mà dt(MBC) = dt(NBC) vì cùng bằng 2/3dt(ABC) ; hai tam giác có chung dt(OBC)
Do vâïy suy ra dt(BOM) = dt(NOC) và dt(AOM) = dt(AON)
Từ đó suy ra : dt(ABN) = 4.dt(AON) hay dt(ABN) = 2.dt(AMON)
Mà dt(ABN) = 1/3dt(ABC)
Cho nên dt(AMON) = 1/6dt(ABC) = 1/6 .24 = 4 ( cm
2
)
Cách 2:
Ta có dt(MBC) = 2/3dt(ABC) vì chung đường cao hạ từ C và MB = 2/3 AB
dt(BNC) = 2/3dt(ABC) vì chung đường cao hạ từ B và NC = 2/3 AC
nên dt(NBC) = dt(MBC) , mà hai tam giác có chung dt(OBC) cho nên dt(OBM) =
dt(OCN)
mà dt(OBM) = 2/3dt(AOB) ; dt(OCN) = 2/3dt(AOC)

vì vậy dt(AOB) = dt(AOC)
(1)
mà dt(AMO) = 1/3dt(AOB)
(2)
vì chung đường cao hạ từ O và AM = 1/3 AB
Từ (1) và (2) suy ra dt(AOM) = 1/3 dt(AOC) và dt(AOM) = 1/4dt(AMC) = 1/12
dt(ABC)
Lý luận tương tự dt(AON) = 1/12dt(ABC)
Mà dt(AMON) = dt(AOM) + dt(AON) = 1/6dt(ABC) = 4 ( cm
2
)
4
J
I
N
M
A
B
C
E
Bài 5
Cho tam giác ABC , gọi I là trung điểm của
BC , nối AM .Trên AM lây diểm N sao cho MN =
1/3 AN . Nối BN cắt AC tại E . Tính diện tích của
tam giác NEC
Biết diện tích tam giác ABC bằng 1
Lời giải
Kẻ AI và CJ vng góc với đường thẳng BE .
Ta có dt(ABM) = dt(AMC) và dt(BMN) = dt(MNC)
mà AN = 3.MN ⇒ dt(ABN) = 3.dt(BNM)

(1)
Vì hai tam giác có chung đường cao
hạ từ B
dt(BNC) = 2 . dt(BMN)
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ dt(ABN) = 3/2 dt(BNC) , mà hai tam giác chung cạnh đáy BN
cho nên đường cao hạ từ A bằng 3/2 đường cao hạ từ C hay AI = 3/2 CJ
Mà dt(ANE) = 1/2NE.AI ; dt(NEC) = 1/2 NE.CJ và AI = 3/2 CJ cho nên dt(ANE) =
3/2 dt(NEC)
Vì vậy dt(NEC) = 2/5dt(ANC)
(3)
Mà MN = 1/3AN ⇒ AN = 3/4 AM cho nên dt(ANC) = 3/4dt(AMC) vì chung đường
cao hạ từ C
mà dt(AMC) = 1/2dt(ABC) . Vì vậy dt(ANC) = 3/8dt(ABC)
(4)
Từ (3) và (4) suy ra dt(NEC) = 3/20dt(ABC) = 3/20
H
M
A
B
C
D
I
Bài 6
Cho tứ giác ABCD , vẽ hình bình hành
DBCM
Tính diện tích của tam giác ACM .Biết diện
tích của tứ giác ABCD là 20cm
2
Lời giải

Từ A kẻ đường caoAH của tam giác ACM cắt BD tại I ; kẻ đường cao CN
của hình bình hành DBCM ( N ∈ BD )
Dễõ thấy tứ giác CNIH là hình chữ nhật cho nên CN = IH
mà AH = AI + IH cho nên AH = AI + CN
mà dt(ABCD) = dt(ABD) + dt(BDC) và dt(ABD) = 1/2BD.AI , dt(BDC) =
1/2BD.CN
5
cho nên dt(ABCD) = 1/2BD(AI + CN) = 1/2.BD.AH
(1)
Mà dt(ACM) = 1/2.CM.AH và CM = BD
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra dt(ACM) = dt(ABCD) = 20 cm
2
II ) Loại vận dụng các đònh lý hình học để chứng minh diện tích các hình
Ở phần này khi giải các bài tập có liên quan đến việc chứng minh diện tích
của các hình mà sử dụng một số đònh lý hình học thì việc giải các bài tậïp trở lên
đơn giản và tiện lợi . Mục đích của phần này là thông qua một số tính chất của các
hình và các đònh lý hình học để tìm ra mối quan hệ về cạnh và đường cao tương
ứng của các hình mà ta đang cần xét .
E
B
F
G
K
T
N
M
B
C
D

A
Bài 1 : Cho tứ giác ABCD ,gọi M và N lần lượt là
trung điểm của BC và AD . K và T là giao điểm của
MD và NC ; MA và NB .
Chứng minh : Diện tích của tứ giác MTNK
bằng tổng diện tích của hai tam giác ABT và CDK
Lời giải : Từ B , C , M kẻ cac đường vuông góc BE , CF , MG xuống AD thì tứ giác
BE FC là hình thang .
Mà BM = MC và MG//BE cho nên MG là đường trung bình , do vậy BE + CF
= 2MG
Mặt khác S(MAD) = 1/2 AD.MG ; S(ABN) = 1/2 AN.BE ; S(NCD) = 1/2 ND.CF
do vậy suy ra S(MAD) = S(ABN) + S(NCD) mà các tam giác này có các phần
chung là S(ANT) và S(NDK)
Do đó suy ra S(MTNK) = S(ABT) + S(CDK)
O
H
B
C
A
D
E
F
Bài 2 :
Từ đỉnh B và C của tam giác cân ABC
( AB = AC) ta nối với trung điểm O của đường
cao AH . Các đường đó cắt AC , AB tại D , E .
Hãy tính diện tích của tứ giác AEOD . Biết
diện tích của tam giác ABC = 12 cm
2
Lời giải

Vì tam giác ABC là tam giác cân nên AH là đường cao vừa là đường trung tuyến ,
nên BH = HC
6
Từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AC tại F
Trong ∆BCD có HF//BD và BH = HC ⇒ FC = FD
Trong ∆AH F có OD//HF và OA = OH ⇒ AD = DF
do vậy suy ra AD = 1/3 AC , cho nên dt(AOD) = 1/3 dt(AOC)
(1)
vì chung đường cao
hạ từ O
dễ chứng minh dt(AOC) = 1/4dt(ABC)
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ dt(AOD) = 1/12 dt(ABC)
Lý luận tương tự dt(AOE) = 1/12 dt(ABC)
Mà dt(ADOE) = dt(AOD) + dt(AOE) = 1/6dt(ABC) = 1/6 . 12 = 2 cm
2
Chú ý : Bài này có thể vận dụng cách giải của bài 5 của phần trên thì sẽ đơn giản
hơn .
N
F
C
A
B
M
D
P
E
Bài 3
Trong tam giác ABC có diện tích bằng 1
. Dựng đoạn AD cắt trung tuyến CF tại M. sao

cho CF = 4FM
Tìm diện tích của tam giác ABD .
Lời giải
Gọi N là trung điểm của CF , từ F và N kẻ đường thẳng song song với AD cắt BC
tại P và E
Trong ∆ABD có FE // AD và FA = FC cho nên E là trung điểm của BD
(1)
Trong ∆ FCE có FN = NC và NP // FE cho nên P là trung điểm của CE
(2)
.
Trong hình thang FNPE có FM = 1/4 FC và FN = 1/2 FC cho nên FM =
1/2FN
hay M là trung điểm của FN , mà MD // FE cho nên D là trung điểm của PE
(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra PD = DE = EB = 1/2 PC và BD = 2/5 BC
Do vậy dt(ABD) = 2/5 dt(ABC) vì chung đường cao hạ từ A ; hay dt(ABD) =
2/5
7
O
M
N
G
F
E
H
A
B
C
D
Bài 4

Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N là trung
điểm của hai đường chéo AC và BD . Từ M kẻ
đường thẳng song song với BD , từ N kẻ
đường thẳng song song với AC . Hai đường
này cắt nhau tại O . Chứng minh đoạn thẳng
nối điểm O với trung điểm các cạnh chia tứ
giác thành bốn phần có diện tích bằng nhau .
Lời giải
Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm các canh BC , CD , DA và AB . Nối ME ,
MF ta có ∆ CFE có các cạnh tương ứng bằng 1/2 các cạnh của tam giác BDC cho
nên dt(CFE) = 1/4dt(BCD)
Chứng minh tương tự dt(MFE) = 1/4dt(ABD)
mà MO // BD và EF // BD ⇒ OM // FE cho nên dt(OE F) = dt(MFE) vì có chung
cạnh FE đương cao hạ từ O và M xuống FE bằng nhau .
Mà dt(OE CF) = dt(OE F) + dt(CFE) = 1/4[dt(ABD) + dt(BDC)] = 1/4
dt(ABCD)
Chứng minh tương tự : dt(O FDG ) = dt(OHAG) = dt(OEBH) = dt(OE FC) =
1/4dt(ABCD)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh .
QP
O
1
O
2
O
3
E
D
A
B

C
M
Bài 5
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC
. Gọi O
1
, O
2
; O
3
là trọng tâm của các tam
giác MBC , MBC và MAB . Chứng minh
dt(O
1
O
2
O
3
) = 1/9dt(ABC)
Lời giải
Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AO
3
, AO
2
thì PQ là đường trung bình của tam
giác AO
2
O
3
cho nên PQ = 1/2 O

2
O
3

(1)
và PQ // O
2
O
3
Mà O
2
,O
3
là trọng tâm của các tam giác MAC , MAB cho nên QO
2
= O
2
E ; PO
3
=
O
3
D
8