Bat dang thuc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.05 MB, 108 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>VÀ ÁP DỤNG</b>
<i><b>BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ</b></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Chương 1
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
Từ chương trình PTTHCS ta đã làm quên với BĐT cơ bản sau:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
<b>Tại Việt Nam và các nước Đơng Âu:</b>
-BĐT giữa các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân
<i>BĐT Cauchy</i>
-BĐT Cauchy
<i>Bunhiacovski,</i>
<i>Cauchy - Bunhiacovski</i>
<i>hoặc Cauchy - Schwarz</i>
<b>Theo các chun gia về BĐT và thơng lệ quốc tế:</b>
<b>-BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy mới có các tên trên. </b>
<b>DẪN CHƯƠNG</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
Xét hai số dương a, b
Nếu tổng a + b = const a.b đạt max khi a = b
Nếu tích a.b = const (a+b) đạt min khi a = b
Hai nhận xét trên tương đương với:
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
<b>DẪN CHƯƠNG</b>
Với mọi bộ số ta ln có bất đẳng thức sau
Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (đôi khi còn đ ợc
gọi là bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski hoặc
bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
Ta có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai trong trường hợp dấu đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc để có bất đẳng
thức tương tự như (1.8) bằng cách thay số 2 bởi số Thật vậy, ta cần thiết
lập bất đẳng thức dạng
Sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.
Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) chỉ được sử dụng trong các trường hợp
đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cho
trước, ta cần chuyển đổi số 1 về số đã cho bằng 2 cách:
-Tịnh tiến
- Đồng dạng (tốt nhất với Bernoulli)
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
Tiếp theo ta lại có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ
thừa 1 của ), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng một cách tự nhiên cho tam thức bậc
để có bất đẳng thức tương tự như (1.12) bằng cách
thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi Ta có:
</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở
rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số
phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một
số phức
Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng
<b>DẪN CHƯƠNG</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11></div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>
<b>Định lý 2. Với mọi bộ số phức ta ln có đẳng thức sau</b>
Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.
</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>
<b>Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta ln có bất đẳng thức sau</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>
Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì
hay
Từ đây suy ra
</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>
Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
Vậy nên
</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>
VD1: Xét 2 số nguyên dương x, y có tổng x + y = 9
Khi đó, tích (x.y) đạt max khi x = y = 9/2 (theo Cauchy).
Tuy nhiên x, y là nguyên dương điều này không xảy ra.
Khái niệm dấu “=“ xảy ra khi hai số bằng nhau trong một số bài toán sẽ không
thực hiện được Phương pháp BĐT Cauchy cho chúng ta các phương thức
đối mặt với một số bài toán thực tế.
<b>DẪN CHƯƠNG</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>
VD2: Xét bộ số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 1
Tìm min của x2 <sub>+ y</sub>2 <sub>+ z</sub>2<sub> hay x</sub>4 <sub>+ y</sub>4 <sub>+ z</sub>4
Ta chỉ cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z tường minh.
Tuy nhiên khi tìm min của x2 <sub>+ 2y</sub>2 <sub>+ 3z</sub>2<sub> kỹ thuật thông thường bị đổ vỡ vì </sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>
Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Từ bất đẳng thức
Ta suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích
đạt giá trị lớn nhất bằng khi
Tuy nhiên khi x, y biến đổi trong một miền và trong miền đó và x khác y thì
chúng chỉ đạt được vị thế ở vị trí x và y gần nhau nhất khái niệm độ gần đều
</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>
Xét các cặp số không âm .Ta gọi hiệu
là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số
Nếu ρ(x,y) = 0 x = y cặp đều
</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20></div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>
Khi ta có một cặp số a, b dương có tổng bằng 9.
Ta có một loạt các bộ số: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) có tổng bằng 9.
Tất cả có chung một đặc trưng:
(x.y) ≤ (9/2)2
Nếu xem xét kỹ ta thấy các tích:
1.8 < 2.7 < 3.6 < 4.5
</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>
<b>Định lý 1. Xét các cặp số không âm với tổng không đổi </b>
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
Khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>
<b>Định lý 2. Xét các cặp số không âm với tích khơng đổi </b>
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>
<b>Định lý 3. (H. W. Melaughlin, F. T. Metcalf). Với mọi cặp dãy số dương </b>
và sao cho hoặc
ta đều có
đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1].
</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>
Kỹ thuật tách và ghép bộ số
Thông thường chúng ta xem xét BĐT Cauchy là BĐT của 2 bộ số. Tuy
nhiên trong thực tế, đa số 2 bộ số đó xuất phát từ 1 bộ số (1 bộ số cố định và
một bộ số thu được từ các biến đổi của bộ số cố định này).
Đây là một bài tốn được dùng nhiều trong phân tích cấu trúc. Thực chất
của kỹ thuật tách ghép chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ số theo quá
trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm.
</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26></div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>
Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số
Cho bộ số gồm 3 số a,b, c thoả mãn a < b < c
Khi đó gọi:
a là min(x,y,z);
c là max(x,y,z); và
b là med(x,y,z), ta có:
</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>
Cho một Δ ABC bất kỳ. Dưới góc độ bất biến, khơng kể độ lớn ta có thể
khẳng định:
Ba góc A, B, C > 0 và A + B + C =
π
Trong tam giác đều ta có: A = B = C = π/3
Như vậy cho một Δ bất kỳ thì Δ này là xa đều hơn Δ đều vì hiệu giữa max và
min của tam giác này ln lớn hơn hoặc bằng khơng, cịn hiệu giưa max và min
của tam giác đều bao giờ cũng bằng khơng.
Do đó trong các bài tốn BĐT thường ta đi so sánh giữa các BĐT đã cho với các
BĐT của các tam giác đều.
</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>
Khơng mất tính tổng quát có thể coi A là góc lớn nhất, góc C là góc nhỏ
nhất, hiển nhiên ta có:
A ≥ π/3 vì max ≥ (A+B+C)/3
C≤ π/3
Thứ tự sắp được của bộ 3 số đó:
A ≥ π/3
A + B ≥ π/3 + π/3
A + B + C = π/3 + π/3 + π/3 = π
</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>
Xét một Δ ABC không nhọn (tù hoặc vuông), A > B > C, ta có:
A ≥ π/2
C ≤ π/4 vì B + C ≤ π/2
Ta có thể thấy ngay rằng:
Trong các tam giác khơng nhọn thì tam giác vng cân là tam giác gần đều nhất
Vì vậy nếu ta có 1 BĐT liên quan đến tam giác bất kỳ so sánh với tam giác đều
thì ta cũng có BĐT liên quan đến các tam giác khơng nhọn so sánh với tam giác
vuông cân.
</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>
Ứng dụng của BĐT Cauchy là rất nhiều.
Đặc biệt khi liên quan đến tam thức bậc hai, một ứng dụng lớn nhất là tìm max
và min của các dạng phân thức.
Dạng phân thức có cấu trúc trặt và gặp nhiều trong các bài toán thi Olympic
quốc gia và quốc tế là dạng phân thức mà tử số và mẫu số đều là các đa thức bậc
không quá hai.
</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>
<b>1.1. TAM THỨC BẬC HAI</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>1.1. 1 Tam thức bậc hai</b>
Ta cã bất đẳng thức cơ bản:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Gần với bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức dạng sau:
hay
</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>
Xét tam thức bậc hai:
Khi đó
</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>
<b>Định lý 1.1. Xét tam thức bậc hai:</b>
i) Nếu thì
ii) Nếu thì Dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
<b>1.1. TAM THỨC BẬC HAI</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>
iii) Nếu thì với
<i>Trong trường hợp này, khi </i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>
<b>1.1. TAM THỨC BẬC HAI</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>Định lý 2. (Định lý đảo). Điều kiện cần và đủ để tồn tại số sao </b>
cho
là:
và
</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37></div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>
<b>1.1. TAM THỨC BẬC HAI</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>
<b>1.1.2 Phươngưpháp:</b>
Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xem như tam thức bậc hai đối với )
Khi đó, nếu thì
Vậy khi và thì hiển nhiên
</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>
<b>1.1. TAM THỨC BẬC HAI</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>1.1.3 Áp dụng lý thuyết:</b>
<i><b>Ví dụ 1. Cho là các số thực sao cho Tìm giá trị </b></i>
nhỏ nhất của biểu thức
<b>Ví dụ 2. Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu </b>
thức
</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>
<b>1.1.4. Tam thức bậc và tam thức bậc </b>
Bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
Khi có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai.
Ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>
Bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng
có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ
thừa 1 của ), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Mở rộng cho tam thức bậc
bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi
Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng
sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
<b>1.1. TAM THỨC BẬC HAI</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>
Sử dụng phép đổi biến và ta có thể đưa (1.13) về dạng
So sánh với (1.8), ta thấy ngay cần chọn và Vậy nên
Hay
</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>
<b>Định lý 1. Giả sử cho trước và cặp số thỏa mãn điều kiện </b>
Khi đó
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
<b>1.1. TAM THỨC BẬC HAI</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>
<b>Định lý 2. Tam thức bậc dạng </b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>
<b>Hệ quả 3. Tam thức bậc dạng</b>
Trong đó và có tính chất sau
<b>1.1. TAM THỨC BẬC HAI</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47></div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>
<b>1.2.1.DạngưthuậnưcủaưbấtưđẳngưthứcưCauchy:</b>
<b> Tiếp theo thực hiện ý tưởng của Cauchy (Augustin-Louis Cauchy 1789 – </b>
1857) đối với tổng
Ta nhận được tam thức bậc hai dạng
nên
<b>1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>
Với mọi bộ số ta ln có bất đẳng thức sau
Dấu đẳng thức trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi bộ số và tỷ lệ với
nhau, tức tồn tại cặp số thực không đồng thời bằng 0, sao cho
</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>
<b>1.2.2 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy</b>
Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở
rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số
phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một
số phức
Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng
<b>1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51></div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>
<b>Định lý 2. Với mọi bộ số phức ta ln có đẳng thức sau</b>
Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.
<b>1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>
<b>1.2.3 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy</b>
<b>Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta ln có bất đẳng thức sau</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>
Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì
hay
Từ đây suy ra
<b>1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>
Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
Vậy nên
</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>
Bạn đã hoàn thành
Mục 1.2 Chương 1
<b>1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>
<b>Định lý 1.(H. W. Mclaughlin). Với mọi bộ số thực </b>
và ta đều có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>
ứng với mọi
Tương tự, ta có thể mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn bộ số
Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy đối với và
ta thu được
<b>1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>
<b>Định lý 2. (A. M. Ostrowski). Cho hai dãy không tỷ lệ </b>
và và dãy số thực thỏa mãn điều
kiện
</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
<b>1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>
<b>Định lý 3. (K. Fan and J. Todd). Với mọi dãy số thực </b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>
Bạn đã hoàn thành
Mục 1.3 Chương 1
<b>1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>
1.4.1. Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Từ bất đẳng thức
Ta suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích
đạt giá trị lớn nhất bằng khi Vậy
</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>Định nghĩa 1. (i) Xét các cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn </b>
giản, ta chọn ). Ta gọi hiệu
là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số
</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>
<b>Định nghĩa 2. (i) Xét các cặp số dương với tích khơng đổi (để đơn giản </b>
ta chọn ). Ta gọi hiệu
<i>là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số .</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>Định lý 1. Xét các cặp số không âm với tổng không đổi </b>
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>
<b>Định lý 2. Xét các cặp số khơng âm với tích không đổi </b>
(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó
</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>
<b>Định lý 3. (H. W. Melaughlin, F. T. Metcalf). Với mọi cặp dãy số dương </b>
và sao cho hoặc
ta đều có
đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1].
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>
1.4.2. Kỹ thuật tách và ghép bộ số
Trong những năm gần đây, khá nhiều dạng bất đẳng thức trong các đề kỳ
thi Olympic quốc tế, vô địch quốc gia của nhiều nước trên thế giới. Rất nhiều
bài toán về bất đẳng thức xuất phát từ các phép biến đổi biểu thức đối xứng
theo các kiểu (đặc thù) khác nhau.
Trong mục này chúng ta đưa ra một số dạng bất đẳng thức giải dựa chủ yếu
vào kỹ thuật tách, ghép và điều chỉnh bộ hệ số trong bất đẳng thức
</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
Để minh hoạ và để tính tốn đơn giản, ta chủ yếu xét các ví dụ với cặp bộ
ba biến. Thực chất của kỹ thuật này cũng chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh
bộ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm.
</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>
<b>Bài tốn 1.14. Cho Chứng minh rằng </b>
<b>Nhận xét 1.3. Bằng phương pháp tương tự, ta dễ dàng chứng minh bất đẳng </b>
thức sau:
Với mọi cặp số dương và bộ số dương với tổng ta
đều có
</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>Bài toán 1.16 (APMO 1991). Cho hai bộ số dương và </b>
có chung tổng
Chứng minh rằng
</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>
<b>Bài toán 1.18 (Japan MO – 2004). Cho Chứng </b>
minh rằng
<i><b>Bài toán 1.19 (MO Romanian 2004). Chứng minh rằng với mọi ta </b></i>
đều có
<i><b>Bài tốn 1. 20 (MO USA). Xét các số dương thỏa mãn các điều kiện </b></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>Bài toán 1. 21. Chứng minh rằng, với mọi bộ số dương thỏa mãn điều </b>
kiện ta đều có
<i><b>Bài tốn 1. 22. Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có</b></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>
<i><b>Bài tốn 1. 24. Cho hai bộ số dương và Chứng minh rằng</b></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
1.4.3. Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số
Kỹ thuật này để phù hợp với đặc thù của bài tốn đóng vai trị rất tích cực
trong việc định hướng sáng tác bài tập cũng như định hướng cách chứng minh
các bất đẳng thức.
Chú ý rằng, sau khi sắp lại thứ tự bộ số, chẳng hạn ta thấy
<i>ngay cặp số gần đều hơn cặp </i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>
hay
Một cách tổng quát với mỗi bộ số sắp được
</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
1.4.4. Điều chỉnh và lựa chọn tham số
Đối với một số bất đẳng thức đồng bậc dạng khơng đối xứng thì dấu đẳng
thức trong bất đẳng thức thường xảy ra khi giá trị của các biến tương ứng không
bằng nhau.
<b>Kỹ thuật cơ bản nhất giải các bài tốn cực trị dạng khơng đối xứng chính là xây </b>
<b>dựng thuật tốn sắp thứ tự gần đều. </b>
•Tham số tự do cần thiết thường là các giá trị trung gian được xác định sau
theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra.
</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>
<i><b>Bài toán 1.29. Cho số dương Xét bộ số dương thỏa mãn điều kiện</b></i>
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
<i><b>Bài toán 1.30. Cho là các số dương. Xét bộ số dương thỏa mãn </b></i>
điều kiện
</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>
<b>Nhận xét 1.5. Hai bài tốn trên hồn tồn có thể giải được theo phương pháp </b>
tam thức bậc hai thơng thường.
<b>Bài tốn 1.31 (Thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO – 1994). Xét bộ số thực </b>
thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>
<i><b>Bài toán 1.32. Xét bộ số thỏa mãn điều kiện</b></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>
Bạn đã hoàn thành
Mục 1.4 Chương 1
<b>1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83></div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
Ta có đồng nhất thức
Để ý rằng nên ta có
Vì vậy có thể coi bất đẳng thức Cauchy thực chất là bất đẳng thức suy ra
từ hằng đẳng thức đáng nhớ.
</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>
Xét với
<b>Đồng nhất thức Lagrange</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
Chứng minh rằng với mọi bộ số ta có
<b>Hệ quả: Từ đồng nhất thức trên ta thấy VP > 0 nên suy ra VT >0. Khi đó chia </b>
cả hai vế cho
</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>
Các bài tập
</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức</b>
<b>HD giải: Trường hợp thì</b>
có thể tìm được GTLN, GTNN bằng phương pháp tam thức bậc hai
Tìm giá trị của y để phương trình (1) có nghiệm
có nghiệm
</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>
*) phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
1) Với nên bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi của
tam thức bậc hai (2) >0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
2) Với thì ta khơng áp dụng được như trường hợp trên, bài tốn
tìm giá trị LN, NN trở thành tìm GTLN, NN trên một miền.
<b>Ví dụ: Xét các biểu thức đối xứng</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>
<b>Bài toán 2: Cho là các số thực sao cho</b>
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
<b>Giải: Đặt Khi đó xét</b>
1) Nếu
</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
Ta nhận thấy rằng nếu ký hiệu
Ta cần tìm
<i><b>Nhận xét:</b></i>
+)
+) Không mất tính tổng qt xem (1) ta có
Khi đó
</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93></div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
Dấu “=“ đạt được khi
Trong đó
</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>
<b>Bài toán 3: Giả sử các số thực thoả mãn điều kiện </b>
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
<b>Giải: Ta có</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
Ta có thể xét biểu thức trên là tam thức bậc 2 đối với u nghĩa là:
Theo (1)
khi đó ta có
</div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>
<b>Bài tốn 4. Cho tam thức bậc hai thỏa mãn điều </b>
kiện
Tìm giá trị lớn nhất của với
<b>HD giải: Ta có:</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
Ta lại có
</div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>
Vì nên Do đó
</div>
<span class='text_page_counter'>(100)</span><div class='page_container' data-page=100>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(101)</span><div class='page_container' data-page=101>
Xét trường hợp đặc biệt: Với thì
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi
Bất đẳng thức đang xét là bất đẳng thức chuyển đổi giữa điểm 0 và điểm 2
về điểm giữa trên đoạn này.
</div>
<span class='text_page_counter'>(102)</span><div class='page_container' data-page=102>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
thì bất đẳng thức (1) có dạng
Hỏi có xảy ra bất đẳng thức sau hay không?
Nếu (2) xảy ra thì ta thay 0; 1 bằng bất đẳng thức mới thì cho ta quy trình
chuyển từ bậc 2 sang bậc bất kỳ gọi là tam thức bậc
</div>
<span class='text_page_counter'>(103)</span><div class='page_container' data-page=103>
<b>Bài toán 1: Cho</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(104)</span><div class='page_container' data-page=104>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>HD giải: </b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(105)</span><div class='page_container' data-page=105>
<b>Bài tốn 2: Cho</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(106)</span><div class='page_container' data-page=106>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
<b>HD giải:</b>
Chia cả hai vế cho ta được
Đặt
Ta có
Khơng mất tính tổng quát ta xét
Xét hàm số
</div>
<span class='text_page_counter'>(107)</span><div class='page_container' data-page=107>
Ta có
Đặt
</div>
<span class='text_page_counter'>(108)</span><div class='page_container' data-page=108>
<b>• BÀI GIẢNG</b>
Thật vậy
vì và
</div>
<!--links-->
