Phương pháp viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

<b>PHƢƠNG PHÁP VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG PHÂN GIÁC CỦA </b>

<b>GÓC TẠO BỞI HAI ĐƢỜNG THẲNG CẮT NHAU </b>

<b>1. Đƣờng phân giác của góc tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt nhau </b>

Cho <i>d</i>₁:<i>A x</i>₁ <i>B y C</i>₁  ₁0 và <i>d</i>₂:<i>A x</i>₂ <i>B y C</i>₂  ₂ 0

Điểm <i>M x y</i>

 

; nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau d1 và d2

 1  2

1 1 1 2 2 2

; ;

2 2 2 2

1 1 2 2

<i>M d</i> <i>M d</i>

<i>A x</i> <i>B y C</i> <i>A x</i> <i>B y C</i>

<i>d</i> <i>d</i>

<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>

   

   

  (9)

 Phương trình (9) gọi là phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau d1 và
d2.

<b>Ví dụ:</b> Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường phân giác góc nhọn của góc tạo bởi
2 đường thẳng ₁: 3<i>x</i>4<i>y</i> 3 0 và ₂: 4<i>x</i>3<i>y</i> 1 0 là:

<b>A. </b> <i>x</i>  <i>y</i> 2 0. <b>B.</b> 7<i>x</i>7<i>y</i> 4 0.
<b>C.</b><i>x</i>  <i>y</i> 2 0. <b> D.</b> 7<i>x</i>7<i>y</i> 4 0.
<b>Lời giải: </b>

Phương trình đường phân giác cần tìm là:

2 2 2 2

2 0

3 4 3 4 3 1

7 7 4 0

3 4 3 4

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

  

    

 _{ }

  



 

+ Gọi phân giác 1 là <i>d</i>₁:<i>x</i>  <i>y</i> 2 0
Phân gíac 2 là <i>d</i>₂: 7<i>x</i>7<i>y</i> 4 0
+ Chọn <i>M</i>

 

1;0 ₁

Tính _ _ _ _

1 2

; ; ₂ ₂

1 2 3 7 2 3 3

;

2 2 ₇ ₇ 7 2 2

<i>M d</i> <i>M d</i>

<i>d</i>    <i>d</i>    



2: 7 7 4 0

<i>d</i> <i>x</i> <i>y</i>

    là đường phân giác góc nhọn

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2

<b>2. Bài tập </b>

<b>Bài 1:</b> Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1;2); B(-3;5); C(-5;-6). Phương trình đường phân
giác trong hạ từ A của <i>ABC</i> là:

<b>A. </b> <i>x</i>7<i>y</i>130. <b>B. </b>7<i>x</i>  <i>y</i> 9 0.
<b>C.</b><i>x</i>7<i>y</i>130. <b>D.</b> 7<i>x</i>  <i>y</i> 9 0.
<b>Lời giải </b>

<b>Chọn B. </b>

+ Đường thẳng AB: 3x + 4y – 11 =0
Đường thẳng AC: 4x – 3y + 2= 0

 

;

<i>M x y</i>

 thuộc đường phân giác tạo bởi AB, AC

   

 

; ; ₂ ₂ ₂

2

3 4 11 4 3 2

3 4 4 3

<i>M AB</i> <i>M AC</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>d</i> <i>d</i>    

   

  

7 13 0

7 9 0

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

  



  _{  }



+ Xét đường thẳng ₁:<i>x</i>7<i>y</i>130 với hai điểm B(-3;5) , C(-5;-6)

Có



 3 7.5 13





   5 7

 

6 13



 0 B và C nằm về hai phía của đường thẳng ₁
 Đường phân giác trong hạ từ A của <i>ABC</i> là ₁:<i>x</i>7<i>y</i>130.

<b>Bài 2:</b> Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i>, cho tam giác <i>ABC</i>_có<i>C</i>



1; 2



, đường cao <i>BH</i>: <i>x</i>  <i>y</i> 2 0,
đường phân giác trong <i>AN</i>: 2<i>x</i>  <i>y</i> 5 0. Tọa độ điểm <i>A</i>_là.

<b>A. </b> 4 7;
3 3

<i>A</i>_ _

 . <b>B. </b>

4 7
;
3 3

<i>A</i>_ _

 . <b>C. </b>

4 7
;
3 3

<i>A</i>_  _

 . <b>D. </b>

4 7
;
3 3

<i>A</i>_  _
 .

<b>Lời giải</b>

<b>Chọn B. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3
Khi đó tọa độ điểm <i>A</i> là nghiệm của hệ 1 0

2 5 0

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

  


   


4
3
7
3

<i>x</i>

<i>y</i>

  

 

 


. Vậy 4 7;
3 3

<i>A</i>_ _
 .\

<b>Bài 3:</b> Cho đường thẳng <i>d</i>: 4<i>x</i>3<i>y</i>130. Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi <i>d</i> và
trục <i>Ox</i> là

<b>A. </b>4<i>x</i>3<i>y</i>130 và 4<i>x</i> <i>y</i> 130. <b>B. </b>4<i>x</i>8<i>y</i>130 và 4<i>x</i>2<i>y</i>130.
<b>C. </b><i>x</i>3<i>y</i>130 và <i>x</i>3<i>y</i>130. <b>D. </b><i>x</i>3<i>y</i>130 và 3<i>x</i> <i>y</i> 130.

<b>Lời giải</b>

<b>Chọn B. </b>

Ta có: <i>d</i>: 4<i>x</i>3<i>y</i>130, <i>Ox y</i>: 0

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi <i>d</i> và trục <i>Ox</i> là

 

2
2

4 3 13

4 3

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i>

 

 

  4<i>x</i>3<i>y</i>13 5<i>y</i>

4 8 13 0
4 2 13 0

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

  



  _ _ _


<b>Bài 4:</b> Cho tam giác <i>ABC</i> có 4 7;

5 5

<i>A</i>_ _

  và hai trong ba đường phân giác trong có phương trình lần lượt
là <i>x</i>2<i>y</i> 1 0, <i>x</i>3<i>y</i> 1 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh <i>BC</i>.

<b>A. </b><i>y</i> 1 0. <b>B. </b><i>y</i> 1 0. <b>C. </b>4<i>x</i>3<i>y</i> 1 0. <b>D. </b>3<i>x</i>4<i>y</i> 8 0.

<b>Lời giải</b>
<b>Chọn A. </b>

2 1 0

<i>x</i> <i>y</i> 

3 1 0

<i>x</i> <i>y</i> 

4 7
;
5 5

<i>A</i>_ _

 

<i>B</i>

<i>C</i>
<i>E</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
Dễ thấy điểm 4 7;

5 5

<i>A</i>_ _

  không thuộc hai đường phân giác <i>x</i>2<i>y</i> 1 0 và <i>x</i>3<i>y</i> 1 0. Suy gọi
: 2 1 0

<i>CF x</i> <i>y</i>  , <i>BE x</i>: 3<i>y</i> 1 0 lần lượt là phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh <i>C</i>, <i>B</i>

(như hình vẽ trên).

Gọi <i>d</i> là đường thẳng qua 4 7;
5 5

<i>A</i>_ _

  và vng góc với <i>BE</i> thì <i>d</i> có VTPT là <i>nd</i> 



3; 1



nên có phương
trình 3 4 7 0

5 5

<i>x</i> <i>y</i>

 _  _ _ _{ }

   

    3<i>x</i>  <i>y</i> 1 0. Tọa độ điểm <i>M</i>  <i>d</i> <i>BE</i> thỏa mãn hệ

2

3 1 0 ₅

3 1 0 1

5

<i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i>
 

  

 _ _

 _ _{ } 

 _{ }



2 1
;
5 5

<i>M</i>_ _
 .

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với 4 7;
5 5

<i>A</i>_ _

  qua

2 1
;
5 5

<i>M</i>_ _

  là <i>A</i>



0; 1



thì <i>A</i><i>BC</i>

 

1 .
Gọi <i>d</i> là đường thẳng qua 4 7;

5 5

<i>A</i>_ _

  và vng góc với <i>CF</i> thì <i>d</i> có VTPT là <i>nd</i> 

 

2;1 nên có
phương trình 2 4 7 0

5 5

<i>x</i> <i>y</i>

 _  _ _ _{ }

   

    2<i>x</i>  <i>y</i> 3 0. Tọa độ điểm <i>N</i> <i>d</i> <i>CF</i> thỏa mãn hệ

7

2 3 0 ₅

2 1 0 1

5

<i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i>
 

  

 _ _

 _ _{ } 

 _{ }



7 1
;
5 5

<i>N</i>_ _

 .

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với 4 7;
5 5

<i>A</i>_ _
  qua

7 1
;
5 5

<i>N</i>_ _

  là <i>A</i>



2; 1



thì <i>A</i><i>BC</i>

 

2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
Website <b>HOC247</b> cung cấp một mơi trường <b>học trực tuyến</b> sinh động, nhiều <b>tiện ích thông minh</b>, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, </b>
<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm</b> đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

<b>I.</b> <b>Luyện Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b> Đội ngũ <b>GV Giỏi, Kinh nghiệm</b> từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

xây dựng các khóa <b>luyện thi THPTQG </b>các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9</b> và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b> các

trường <i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường
Chuyên khác cùng <i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn </i>
<i>Đức Tấn.</i>

<b>II. </b> <b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dƣỡng HSG Toán:</b> Bồi dưỡng 5 phân mơn <b>Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học </b>và <b>Tổ Hợp</b>

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh </i>
<i>Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc </i>
<i>Bá Cẩn</i> cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III.</b> <b>Kênh học tập miễn phí</b>

- <b>HOC247 NET:</b> Website hoc miễn phí các bài học theo <b>chƣơng trình SGK</b> từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV:</b> Kênh <b>Youtube</b> cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

<i> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </i>

<i>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </i>

</div>

<!--links-->