De va DA HSG Bac Ninh 2009

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (108.95 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND tØnh B¾c Ninh

Sở giáo dục và đào tạo
==========

đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh

Năm học 2008 2009
Môn thi: Toán THPT

Thi gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 7 thỏng 4 nm 2009

==============

Bài 1 (6 điểm)

1/ So s¸nh hai sè: 20092010 vµ 20102009 
2/TÝnh giíi h¹n sau:

0 3 3

1 1

lim

3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1)

x x x x x x

 



 

 

 

Bài 2 (4 điểm)

1/ Cho ba số thực không âm x, y, z tho¶ m·n: x2009 + y2009 + z2009 = 3
Tìm giá trị lớn nhất cđa biĨu thøc: F=x2 y2 z2

 

2/ Cho sè nguyên dơng n. Chứng minh rằng:
1 2 1

2009 2010 2009+n

1 1 1 1

+ +...+ <

C C Cn 2007

Bµi 3 (4 ®iĨm)

Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở đỉnh) của tam diện đỉnh S bằng 180 và
các cạnh bên SA=SB=SC=1. Chứng minh rằng diện tích tồn phần của hình chúp ny
khụng ln hn 3.

Bài 4 (4 điểm)

1/ Gäi m, n, p là 3 nghiệm thực của phơng trình: ax +bx +cx-a=03 2 (a0)
Chøng minh r»ng:

1 2 2 3 2 2 2

p
n
m
p

n

m   




 . Dấu

"

''

xảy ra khi nào?

2/ Giải hệ phơng trình:

3 3 2

( ) 14

( ) 21

( ) 7

x y x y z xyz

y z y z x xyz

z x z x y xyz

     


    


     


Bµi 5(2 ®iÓm)

1/ Chứng minh rằng bốn hình trịn có các đờng kính là bốn cạnh của một tứ giác
lồi thì phủ kín miền tứ giác đó.

2/ Cho 3 5 2 1
0 1 2 ... n n ...

y a x a x a x a x 

      víi x ( 1;1) tháa m·n:
(1- ) -x y xy2  1

 víi x ( 1;1). Tìm các hệ số: a ; a ; a ; ...; a .0 1 2 n

---Hết---(Đề gồm 01 trang)

Họ và tên thí sinh..SBD..

Hớng dẫn chấm toán thpt

Bài Cách giải Điểm

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

(6đ) 1(3điểm)

Xét hµm sè f x( ) lnx

x

 , Tập xác định:  x 0

f x( ) 1 ln2 x

x



  , f x( ) 0  1 lnx 0 x e . Ta cã :

x 0 e 

f (x) + 0

-f(x) 1

e

0
Do đó hàm số nghịch biến trên ( ;e )

1, 2
x x

 tháa m·n:

2 1

1 2

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

1 2

ln ln

( ) ( ) x x ln ln x x

e x x f x f x x x x x x x

x x

          Tõ

đó đợc: 20092010 20102009


 2 (3®iĨm)

ViÕt l¹i giíi h¹n vỊ d¹ng:

0 3 3

1 1 1 1 1 1

L= lim - -

-3x 1+4x +1 2 2x (1+6x) + 1+6x +1 3

x

    

    

 

    

 

XÐt

0 0

1 1

1 1 1 1 1 4 1 2 1 1

lim lim f

(0)=-3 1 4 1 2 3 3 6

x x

x

x x x

 



   



  

 

 

 

Víi
1

f(x)=

1 4 x1

0 3 3 0

1 1 1 1 ( ) (0) 1 2

lim lim (0)

2 (1 6 ) 1 6 1 3 2 2 6

x x

g x g

g

x x x x

 

  



    

     

 

Víi ( ) 3 2 13

(1 6 ) 1 6 1

g x

x x



   

Do đó L=1
6

0,5
0,5

0,5
1,0
0,5

1,0
1,0

0,5

(4đ) 1 (2 điểm) áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2009 số gồm 2007 số 1 và 2 số x2009

ta đợc:

2009 2009

2009 2.2009 2
1 1 ... 1

2009

x x

    

 

T¬ng tù : 1 1 ... 1 2009 2009 2009 2.2009 2
2009

y y

    

 

0,5

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1 1 ... 1 2009 2009 2009 2.2009 2
2009

z z

    

 

Cộng vế vế các bất đẳng thức trên ta đợc:

2009 2009 2009

2 2 2 3.2007 2( ) 3

2009

x y z

x y z     

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1. Do đó giá trị lớn nhất của F là 3.
2 (2 điểm)

Ta cã: 1
2009

1 2008!( 1)! 2008!( 1)!

(2009 ( 2))
(2009 )! (2009 )!2007

k
k

k k

C  k k



 

    

 

2008 2007!( 1)! 2007!( 2)!
2007 (2008 )! (2009 )!

k k

   

   

 

 

1 2

2008 2009

2008 1 1

2007 k k

k k

C  C 

 

 

   

 

LÊy tæng: 1 1 2 1

0 2009 2008 2009 2008

1 2008 1 1 2008 1 1

2007 2007 2007

n

k n

k C k C C n C

 

  

 

    

 



0,5

1,0
1,0

(4đ) Ký hiệu độ lớn các mặt của góc tam diện đỉnh S nh sau: BSC,CSA ,ASB  và 180. Ta có thể coi   , , là 3
góc một tam giác nào đó. Tổng diện tích 3 mặt bên của hình chóp là:
1(sin sin sin )

2   

Chøng minh: sin sin sin 3 3
2

    DÊu b»ng x¶y ra khi

    .

Do đó 1(sin sin sin ) 3 3
2     4

Gọi BC=a, CA=b, AB=c. áp dụng định lý Cosin trong tam giác BSC
ta đợc:

2 2(1 cos ) 4sin2 2sin

2 2

a       a  .

T¬ng tù ta cã: 2sin , 2sin

2 2

b  c 

3 2
( ) ( ) ( )

( )( )( )

3 3 3

ABC

p a p b p c p

S  p p a p b p c    p       

 

Hay

2
(sin sin sin )

2 2 2

3 3

ABC
S

  



 


Chøng minh: sin sin sin 3

2 2 2 2

  

   ta đợc: 3

ABC

S

Diện tích toàn phần của hình chóp không lớn h¬n: 3 3 3 3

4  4  .

0,75
0,5
0,25

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Dấu bằng xảy ra khi:     60 tức là tứ diện đều.

4
(4®)

1 (2 ®iĨm)

Theo Vi-et ta cã: mnp=1.

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

2 2 2

2 2 3

2 cos 2 cos 2 cos

np mp mn m n p

np  mp  mn  m n p

     

     

(p mcos ncos )2 ( sinm nsin )2 0

   

      (ln đúng)

(Víi  60 ,  45 , 15)

DÊu b»ng x¶y ra khi: sin sin

cos cos sin sin sin

m n n m p

p m n

 

  

Đặt

sin

m
k

ta đợc: 3 1 4(3 3)

sin sin sin 3

k

  

 

  nªn

3 4(3 3)
3

k   

n=sin( 45 )3 4(3 3)
3

 

  , m=sin(60 )3 4(3 3)
3

 

 , p=

3 4(3 3)
sin(15 )

 



2 (2 ®iĨm)

Chøng minh: x3 y3 z3 3xyz (x y z x)( 2 y2 z2 xy yz zx)

           (1)

Cộng từng vế của 3 phơng trình và sử dụng (1) ta đợc:
(x y z)(2x2 2y2 2z2 xy yz zx) 0

       

TH1: x+y+z=0 hƯ trë thµnh
3

14(2)
21(3)
7(4)

y xyz

z xyz

x xyz

  


 


  


Do z=-x-y nên từ (2) và (4) ta đợc:

3 2 2

( ) 14 ( ) 14

( ) 7 ( ) 7

y xy x y y x y xy

x xy x y x x y xy

       


 

     

 

Từ đó ta đợc: y=2x và z=-3x. Thay vào (2) ta đợc: x3 1 x 1

  

HÖ cã nghiÖm: (1;2;-3)

TH2: 2x2 2y2 2z2 xy yz zx 0

     

(x y)2 (y z)2 (z x)2 2x2 2y2 2z2 0

         

Ta đợc x=y=z=0 không thỏa mãn hệ đã cho.
Tóm lại hệ có nghiệm duy nhất: (1;2;-3)

0,5
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,5
0,25

0,5

0,5
0,25

5
(2®)

1 (1 ®iĨm)

Gọi M là một điểm bất kỳ trong tứ giác. Ta cã:

    360

AMB BMC CMD DMA    

Do đó tồn tại ít nhất một góc có số đo lớn hơn hoặc bằng 90

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

.Giả sử AMB90 khi đó M thuộc vào hình trịn đờng kính AB. Từ
đó ta đợc điều phải chứng minh.

2 (1 ®iĨm)

Ta cã: (1 x y2)  xy 1

  





2 4 2

0 (3 1 2 )0 (5 2 4 )1 ... (2 1) 2 1 ... 1

n

n n

a a a x a a x n a na  x

          

Do đó ta đợc:
0

0 1 2

1 2 2.4 2.4...2

1; ; ; ...;

(2 1) n 2 n 3 3.5 n 3.5...(2 1)

a n

a a a a

n a na  n




    



  



0,5

0,5
0,5

</div>

De va DA HSG Bac Ninh 2009

"

''

<b>Hớng dẫn chấm toán thpt</b>







Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về