Tài liệu BT ôn hình kèm Đ/A

Câu 1: (4 điểm). Cho ∆ABC có Â = 90
0
, phân giác BD, trung tuyến AM và trọng tâm là G. Cho biết
GD ⊥ AC tại D. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AG.
a. Chứng minh: DE // BC
b. Tính số đo
·
ACB
.
Giải:

D

E

G

A

B

M

C

a)*∆ADG vuông tại D có DE là trung tuyến nên DE =
2
1
AG = AE = EG ⇒ ∆ADE cân tại E
⇒
DA

ˆ
EAD
ˆ
E =
.
* AM là trung tuyến của ∆ABC vuông nên MA = MB = MC
⇒ ∆AMC cân ⇒
ˆ ˆ
C MAC=
.
*Vậy
C
ˆ
=
AD
ˆ
E
, chúng ở vị trí đồng vị nên ED // MC (đpcm)
b) *Áp dụng định lý Talét vào ∆AMC cân ta có:
AD AE
DC EM
=
.
*BD là phân giác của ∆ABC nên
AD BA
DC BC
=
.
Suy ra
BA AE

BC EM
=
mà
AE 1
EM 2
=
nên
BA 1
BC 2
=
⇒ BC = 2BA ⇒ ∆ABM đều
B
ˆ
= 60
0
và
C
ˆ
= 30
0
(đpcm)
Câu 2: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn
AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng
vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) CM.CN = 2R
2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Giải:
C
a)
A B
N
E P D F
* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP.
* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP.
M
O
K
D
H
C
G
E
F
I
J
B
O
A
M
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.
b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)
·
·
NMP NCD=
(hai góc đồng vị)

·
·
ONC OCN
=
(hai góc đáy của tam giác cân ONC)

·
·
NMP NOP
=
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
Suy ra
·
·
MNO NOP=
; do đó, OP//MC.
Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.
c)
( . )CND COM g g
∆ ∆
:
Nên
OC CM
CN CD
=
hay CM.CN = OC.CD = 2R
2

d) Vì MP = OC = R không đổi.

Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên
EF thuộc đường thẳng song nói trên.
Câu 3: Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn (O, R). Trên tia đối
của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D
chuyển động trên đường nào?
Giải:
*
·
90
o
ACB
=
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> AC vuông góc với BD
CD = CB (gt)
 Tam giác ABC cân tại A
 AD = AB = 2R (không đổi)
AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định. Do đó D chuyển động trên đường tròn (A;
2R).
Câu 4:. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối
xứng nhau qua O. M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự
cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt
tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG.
a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được.
b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải:
a) Ta có:
OI OJ=

DF DK=Þ

//DH GKÞ
·
·
HDE GME=Þ
mà
·
·
GME GFE=
·
·
HDE GFE=Þ

DHEFÞ
nội tiếp được.
b) Từ câu a suy ra
· ·
DEH DFH=

A B
D
C
O
m
ã ã
DFH OCH=
OHECị
ni tip c

ã

ã
0
90OEC OHC= =ị
. Vy CE l tip tuyn ca (O).
Cõu 5 :
Cho õổồỡng troỡn (O , R) vaỡ õióứm A vồùi OA = 2R. Tổỡ A veợ 2 tióỳp tuyóỳn
AE vaỡ AF õóỳn (O). (E, F laỡ 2 tióỳp õióứm). ổồỡng thúng OA cừt (O) taỷi C vaỡ D
(O nũm giổợa A vaỡ C)
a) Tờnh dióỷn tờch tổù giaùc AECF theo R.
b) Tổỡ O veợ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi OE cừt AF taỷi M. Tờnh tyớ sọỳ
dióỷn tờch hai tam giaùc OAM vaỡ OFM.
c) ổồỡng thúng keớ tổỡ D vuọng goùc vồùi OE cừt EC taỷi Q. Chổùng minh caùc
õổồỡng thúng AC, EF vaỡ QM õọửng qui.
Gii

I
M
Q
O
C
D
G
E
F

a) Ta coù AE = AF (t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ OE = OF = R nón OA laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa
õoaỷn thúng EF. Goỹi I laỡ giao õióứm cuớa AC vaỡ EF taỷi I thỗ OA EF vaỡ IE = IF
OEA coù
ã
OEA

= 90
0
(t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ EI OA
nón OE
2
= OI . OA

2 2
OE R R
ịOI = = =
OA 2R 2
OIE (
ã
OIE
= 90
0
) nón EI
2
= OE
2
- OI
2
= R
2
-

2 2
R 3R 3.R
= ị EI =
4 4 2

EF = 2EI =
3
.R vaỡ AC = AO + OC = 2R + R = 3R
S
AECF
=
1
2
. AC . EF =
1
2
. 3R .
3
. R =
2
3 3
R
2
b) Ta coù OM // AE ( OE) nón
ã
ã
MOA = OAE
maỡ
ã
ã
OAE = OAM
Do õoù
ã
ã
MOA = OAM

Suy ra OMA cỏn taỷi M

MO = MA
OAM
OFM
S
AM OM
= =
S FM FM
=
ã
1
cos OMF
maỡ
ã
ã
ã
OMF = EAF = 2EAO
sin
ã
EAO
=
ã
EAO
0
OE R 1
= = ị = 30
OA 2R 2
Do õoù
ã

OMF
= 60
0
nón
OAM
OFM
S
S
=
0
1
cos60
=
1
2
1
2
=
c) - Chổùng minh DEQ = OFM
Suy ra: QD = OM
.
N
E
F
K
M
D
I
C
B

A
- Chổùng minh QDMO laỡ hỗnh bỗnh haỡnh
Suy ra QM vaỡ DO giao nhau taỷi trung õióứm cuớa mọựi õổồỡng
Maỡ I laỡ trung õióứm cuớa OD (OI = ID =
R
2
)
nón I laỡ trung õióứm cuớa QM
Vỏỷy AC, EF vaỡ QM õọửng quy taỷi I.
Cõu 6: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Gi I l trung im ca cnh BC v D l mt im bt
k trờn cnh BC. ng trung trc ca AD ct cỏc ng trung trc ca AB v AC theo th
t ti E v F.
Chng minh rng nm im A, E, I, D, F cựng thuc mt ng trũn.
Gii:
-Gi M, N, K l trung im ca AC ; AB ; AI.
ABC vuụng ti A nờn ng trung trc ca AB ; AC phi i qua trung im I ca BC.
ABC vuụng ti A cú IA l trung tuyn nờn
IA=IC =>
ã
ã
IAC ICA=
; NI // AM (cựng vuụng gúc vi AC)
Suy ra
ã
ã
EIA IAC=
.
Ta li cú KM l ng trung bỡnh
ca AIC => KM // IC =>
=>

ã
ã
IAC KMA=
.
T giỏc AKMF ni tip c nờn
ã
ã
KMA KFA=
.
T nhng iu kin trờn, suy ra:
ã
ã
AFK EIA=
m chỳng cựng nhỡn nhỡn
on AE.
Vy t giỏc AEIF ni tip vỡ
ã
1AIF v
=
(AMIN l hỡnh ch nht) nờn EF l ng kớnh ca ng trũn ngoi tip m EF l trung
trc ca AD nờn D nm trờn ng trũn ngoi tip t giỏc AEIF.
Hay nm im A, D, E, I, F nm trờn ng trũn.
Cõu 7: Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB, v mt si dõy AC bt kỡ.
Trờn tia AC ly im D sao cho: AD = 2AC.
a) Xỏc nh v trớ ca im C BD l tip tuyn ca ng trũn tõm O.
b) Tỡm tp hp tt c cỏc im D khi C di chuyn trờn ng trũn tõm O.
Cõu 8: Gi H l chõn ng vuụng gúc h t nh A lờn ng chộo BD ca hỡnh ch nht
ABCD. Gi P v Q ln lt l trung im ca cỏc on BH v CD. Chng minh rng 4 im
A, P, Q v D cựng nm trờn mt ng trũn.
Gii:

Gi ý gii:
Gi I l trung im ca AH. Chng minh IP

AD t ú suy ra I l trc tõm ca tam
giỏc APD. Suy ra DI

AP (1).
Chng t c t giỏc DIPQ l hỡnh bỡnh hnh, suy ra DI // PQ (2).
T (1) v (2) suy ra AP

PQ suy ra .p.c.m.