Luận văn thạc sĩ biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm lie reductive

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THỊ PHƯƠNG QUỲNH

BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ
PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY
CỦA MỘT SỐ LỚP NHĨM LIE REDUCTIVE
THỰC THẤP CHIỀU

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số : 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. ĐỖ NGỌC DIỆP
2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp,
luận án tiến sĩ chuyên ngành tốn giải tích với tên đề tài "Biểu diễn tự
đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm
Lie reductive thực thấp chiều" là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các
kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan
và chưa từng để bảo vệ ở bất cứ học vị nào.
Tôi xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được
chỉ rõ nguồn gốc và tuân thủ đúng quy tắc.
Tác giả

Đỗ Thị Phương Quỳnh

i


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài “Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích
phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie reductive thực thấp
chiều”. Tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều kiện của tập thể
lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Khoa Sau Đại học, Khoa
Toán, giảng viên, cán bộ các phòng, ban chức năng Trường Đại học Sư
phạm Thái Ngun. Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành về sự giúp đỡ
đó.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp người
thầy đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tơi hồn thành luận
án này.
Tơi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp của tôi và gia đình đã
động viên, khích lệ, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực
hiện và hoàn thành luận án này.

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 02 năm 2017
Nghiên cứu sinh

Đỗ Thị Phương Quỳnh

ii


Mục lục

Trang bìa phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết
Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Công thức tổng Poisson cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-Laplace . . . . .

11

1.3. Công thức vết Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1. Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2. Công thức vết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2. Nhóm hạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1. Nhóm nội soi của SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2. Biểu diễn tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Tương ứng Langlands hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18
20

2.2.2. Lượng tử hóa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Công thức vết Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.1. Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Công thức vết ổn định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
28

2.4. Nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

iii


2.5. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Vế hình học của cơng thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
32

2.5.2. Vế phổ của công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
33

Chương 3. Nhóm hạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.1. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SL(3, R) . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.1.1. Biểu diễn unita bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Cảm sinh chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
40

3.1.3. Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4. Nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
42

3.1.5. Tích phân quỹ đạo ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47
49

3.2. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SU(2, 1) . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1. Biểu diễn unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
49

3.2.2. Cảm sinh chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52
54

3.2.4. Trường hợp chỉnh hình hoặc khơng chỉnh hình . . . . . . . . . . .
3.2.5. Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
55

3.2.6. Nội soi và tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.3. Công thức tổng Poisson và nội soi cho Sp(4, R) . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.3.1. Biểu diễn cảm sinh chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Cảm sinh đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67
69

3.3.3. Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. Nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72
73

3.3.5. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Danh mục các cơng trình cơng bố của tác giả . . . . . . . . . . . . .

81

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

iv


Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
C
N

Tập số phức
Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

Z
R∗+

Tập số nguyên
Tập số thực dương

C∗

là tập số phức khác khơng
Tích nửa trực tiếp phải
Tích nửa trực tiếp trái
Tổng trực tiếp

⊕
∼
=
K\G/K

Đẳng cấu
G chia thương trái và phải cho K

diag(λ1 , λ2 , ..., λn )
L2

Ma trận đường chéo
Khơng gian các hàm bình phương khả tích

o

L2

Phần rời rạc của khơng gian các hàm

L2cont

bình phương khả tích
Phần liên tục của khơng gian các hàm

tr A

bình phương khả tích
Vết của ma trận A

det A
Dk

Định thức của ma trận A
Biểu diễn chuỗi rời rạc

π1 (
Θ⊥

)

Nhóm cơ bản của khơng gian tôpô
Phần bù trực giao của Θ trong L2 (G)

H(SL(2, R))

Đại số Hecke trên SL(2, R) gồm các hàm lớp C0∞
và K- bất biến 2 phía

||f | |
ˆ
G

Chuẩn của hàm f

S1
C0∞ (R)

Đường trịn đơn vị
Lớp hàm trơn có giá compact

Nhóm đối ngẫu của G, gồm các lớp tương đương
của các biểu diễn unita bất khả quy của G

v


⊕
R

IndG
Bχ

Tích phân trực tiếp của các biểu diễn
Biểu diễn cảm sinh từ B lên G

{Γ}
V ol

Tập các phần tử đại diện của các lớp liên hợp
Thể tích

O(f )
Gal(C/R)

Tích phân quỹ đạo của hàm f
Nhóm Galois của mở rộng C/R

G

Phủ phổ dụng của nhóm G

Sk (Γ)

Khơng gian các dạng modular trọng k
của nhóm con rời rạc Γ

vi

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích điều hịa là một ngành toán nghiên cứu biểu diễn của các hàm
hay phân tích, tổng hợp các sóng cơ bản và nghiên cứu tổng quát các khái
niệm của lý thuyết chuỗi Fourier và biến đổi Fourier. Trong thế kỷ qua,
giải tích điều hòa đã trở thành một lĩnh vực lớn với các ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực đa dạng như xử lý tín hiệu, cơ học lượng tử, phân tích thủy
triều và thần kinh học.
Biến đổi Fourier cổ điển trên Rn vẫn là lĩnh vực đang được nhiều nhà
nghiên cứu "khai thác" đặc biệt là những vấn đề có liên quan đến biến đổi
Fourier trên đối tượng tổng quát hơn như hàm suy rộng điều hịa.
Giải tích điều hịa trừu tượng (xem [18]) bao gồm cả lý thuyết biểu diễn
(xem [14], [25]), được sử dụng như một cơ sở thay thế vai trị của các hàm
mũ trong phân tích Fourier cổ điển. Nói cách khác giải tích điều hịa trừu
tượng là sự mở rộng của phân tích Fourier cổ điển lên một nhóm G tùy ý.
Trong vấn đề này, có sự khác biệt lớn giữa trường hợp nhóm Aben và nhóm
khơng Aben. Phân tích Fourier trên nhóm Aben G được xác định trong
các số hạng của các đặc trưng nhóm tương ứng. Tuy nhiên đặc trưng bội
là không phù hợp để mở rộng phân tích Fourier trên nhóm khơng Aben.
Do đó trong trường hợp này biểu diễn nhóm (xem [24]) cho câu trả lời phù
hợp (chú ý rằng đối với nhóm Aben các biểu diễn bất khả quy đều là một
chiều).
Trong giải tích điều hịa cổ điển trên R, cơng thức Poisson cho các hàm
suy rộng là:
+∞

+∞

e−inx ,

δ(x − n) = 2π
n=−∞

n=−∞

1


trong đó δ là hàm Dirac. Cơng thức trên đóng vai trò rất quan trọng với
một hàm f ∈ C0∞ (R) được viết ở dạng
+∞

+∞

fˆ(m),

f (m) = 2π
m=−∞

m=−∞

trong đó
1
fˆ(m) =
2π

π

f (x)e−imx dx
−π

là biến đổi Fourier của f . Vế trái của cơng thức trên được xem là phân
tích của biểu diễn chính quy thành tổng các thành phần bất khả quy và
vế phải được xem là tổng các giá trị biến đổi Fourier. Chính cơng thức này
có thể cho một phân tích trên khơng gian các hàm bình phương khả tích
như sau:
⊕

2

L (R/πZ) =

Cn ,
n∈Z

với Cn = C. Mặt khác, công thức này dễ dàng được phát triển trên ngôn
ngữ nhóm cho các nhóm sau: R, R∗+ , C∗ .
Nếu ta xét G = S1 là một nhóm Lie compact giao hoán, lý thuyết chuỗi
Fourier cho một câu trả lời thỏa đáng cho nhiều vấn đề của giải tích Fourier
như biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược, công thức Plancherel ....
Nếu chúng ta có một hàm trên R thì chúng ta có thể lấy trung bình trên
các điểm ngun để chuyển đến một hàm trên S1 . Công thức tổng Poisson
cho ta mối quan hệ giữa tổng trên các điểm nguyên của các giá trị của
hàm trên R với giá compact và tổng của các ảnh Fourier tương ứng của
nó. Cơng thức này là một cơng cụ quan trọng cho giải tích phổ của khơng
1
gian các hàm bình phương khả tích trên đường trịn đơn vị L2C (S1 ; 2π
dθ).
Chính xác hơn, khơng gian L2 (S1 ; C) được phân tích thành tổng trực tiếp

trực giao rời rạc của vô hạn lần của C :
⊕

C1n ; C1n ∼
= C.

2

L (R/2πZ) =
n∈Z

Cịn trong trường hợp G là nhóm cộng R cũng có kết quả tương tự như
lý thuyết biến đổi Fourier.
2


Nhóm nhân R∗+ là vi phơi với R và tích phân Fourier tương ứng được gọi
là biến đổi Mellin. Công thức nghịch đảo Mellin và cơng thức Plancherel
có dạng phân tích khơng gian L2 (R∗+ ; dx
x ) thành một tích phân trực tiếp
C1λ dλ, C1λ ∼
= C.

L2 (R∗+ ) =
R

Nhóm nhân C∗ của các số phức khác khơng là đồng phơi với tích trực
tiếp của nhóm con compact S1 và nhóm con khơng compact R∗+ và vì thế
1 dr
có phân tích phổ của L2 (C∗ ;

dθ), theo I.M. Gelfand, thành tổng trực
2π r
tiếp rời rạc và tích phân trực tiếp liên tục.
⊕
2

∗

L (C /2πZ × {1}) =

⊕

C1λ .

Cn ⊕
n∈Z

R

Bài tốn được đặt ra là nghiên cứu để tìm ra cơng thức tổng Poisson
tương tự như cơng thức Poisson nói trên trong khn khổ giải tích điều
hịa trừu tượng trên các nhóm nửa đơn hoặc reductive. Cơng thức Poisson
trừu tượng tổng quát chưa tồn tại nên chúng tôi tiếp cận đến bài tốn
này trên lớp các nhóm Lie có hạng 1 là nhóm SL(2, R) hoặc phủ phổ dụng
SU(1, 1) cho nên chỉ cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) là đủ. Các nhóm
hạng 2 là SL(3, R), SU(2, 1) và Sp(4, R), trong các trường hợp này chúng
tơi tính tốn các tích phân quỹ đạo cụ thể.
Khi nhóm G là nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, R), tác động trên nửa
mặt phẳng Poincaré H = SL(2, R)/ SO(2, R) bởi các biến đổi phân tuyến
tính, chúng ta có thể chọn nhóm con Fuchsian kiểu I, Γ ⊆ SL(2, Z) sao

cho thể tích hữu hạn V ol(Γ\G) < +∞ tương ứng với độ đo Haar tự
nhiên trên SL(2, R). Khi đó nhóm tuyến tính đặc biệt này tồn tại duy
nhất, chính xác đến liên hợp, một nhóm con Cartan H [27] là xuyến
T (C) = GL1 (C) = C ∗ . Mặt khác L2 (Γ\ SL(2, R)) được phân tích phổ
thành tổng trực giao hai phần đó là phần liên tục L2cont (Γ\ SL(2, R)) và
phần rời rạc o L2 (Γ\ SL(2, R)). Phần rời rạc được phân tích thành tổng trực
tiếp trực giao của các biểu diễn tự đẳng cấu, tức là các biểu diễn thu được
từ biểu diễn chuỗi rời rạc của G, sau đó tính vết cho một biểu diễn chuỗi
rời rạc này thì ta nhận được vế giải tích (hay vế phổ) của cơng thức tổng
3


Poisson. Còn lại phần liên tục L2cont (Γ\ SL(2, R)) chỉ cần biết rằng được
phân tích thành tích phân trực tiếp của chuỗi cơ bản và chuỗi bù (xem
[27]). Ta cũng đã biết rằng các biểu diễn tự đẳng cấu được xác định bởi
đặc trưng (và đặc trưng vô cùng bé) của nó [12], và thu được ở dạng biểu
diễn cảm sinh trên quỹ đạo liên hợp trong SL(2, R), sử dụng cơng thức
tích phân quỹ đạo (xem [29],[22]) để tính vết cho một biểu diễn trên nhóm
con nội soi ta sẽ thu được vế hình học của cơng thức tổng Poisson trên
SL(2, R). Vì vậy cơng thức tổng Poisson là phương trình với một vế giải
tích là tổng các phép chuyển của công thức chuyển quỹ đạo vết và vế hình
học là tổng các phép chuyển của các biến đổi Fourier của cơng thức vết
(theo các biến đổi hình học của Harish Chandra) [15]. Hoàn toàn tương tự
chúng ta cũng có câu trả lời thỏa đáng cho các nhóm reductive có hạng 0
và hạng 1.
Các nhóm Lie reductive hạng 2 sẽ phức tạp hơn rất nhiều, ví dụ như:
SL(3, R), GL(3, R), SU(2, 1) .... Trong các trường hợp này và các trường
hợp tổng quát, nhóm con Cartan được phân tích thành tích của xuyến
cực đại và một xuyến xịe hạng r. Vẫn có cơng thức tổng Poisson cho các
nhóm con Cartan này, nhưng chúng ta có thể chuyển cơng thức quỹ đạo

vết lên một nhóm lớn hơn nhóm Cartan, và được gọi là nhóm con nội soi
(là thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong tâm hóa của phần tử
nửa đơn chính quy của nhóm con Cartan). Bổ đề cơ bản khẳng định rằng
vế hình học của công thức tổng Poisson cũng đúng khi chuyển lên từ nhóm
con nội soi. Đây là một cách dễ để hiểu được bổ đề cơ bản, như một sự
xuất hiện tự nhiên trong sự thu nhỏ của công thức vết của phần o L2 (Γ\G)
của biểu diễn chính quy R trong L2 (Γ\G).
Trong luận án, chúng tơi sẽ trình bày trong 3 chương với kết cấu như
sau:
Chương 1: Trong chương này chúng tôi dẫn dắt từ công thức Poisson
cổ điển đến cơng thức vết Arthur-Selberg.
Chương 2: Chúng tơi trình bày các kết quả kể trên cho SL(2, R).
Chương 3: Chúng tơi trình bày các kết quả kể trên cho SL(3, R), SU(2, 1)
và Sp(4, R).

4


2. Tổng quan
Nghiên cứu các biểu diễn tự đẳng cấu là một bài tốn thú vị liên quan
đến giải tích điều hòa trừu tượng và lý thuyết biểu diễn (xem [25]), hình
học, đại số, số học.
Trong số học việc dùng lý thuyết biểu diễn dẫn đến các kết quả quan
trọng trong lý thuyết trường-lớp, lý thuyết số đại số. Một ví dụ quan trọng
và tiêu biểu là luật thuận-nghịch trong lý thuyết số đại số (xem [16], [27]).
Các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm Lie thấp chiều xuất hiện trong
các cơng trình của I.M.Gelfand, Y.Piateski-Shapiro, R. Langlands .... Việc
nghiên cứu các dạng tự đẳng cấu và các hệ quả có nhiều ứng dụng trong
số học, hình học, đại số và vật lý (xem [20], [27]).
Một số nhà toán học trong nước cũng đã tiếp cận đến bài toán này.

Trong cơng trình [5] của Đỗ Ngọc Diệp đã đưa ra việc thể hiện các biểu
diễn tự đẳng cấu thông qua lượng tử hóa hình học. Việc phân tích phổ của
toán tử Laplace và của phổ rời rạc của biểu diễn chính quy của các nhóm
Lie có thể thực hiện thơng qua việc xét các cơng thức tính tổng Poisson.
Từ đó có thể cho ta một cách tiếp cận hồn tồn mới đến bài tốn. Đó
cũng chính là cách tiếp cận mà đề tài nghiên cứu được đặt ra.
3. Mục tiêu
Mục tiêu của luận án là thể hiện tường minh các biểu diễn tự đẳng cấu
thơng qua lượng tử hóa và áp dụng chúng vào việc phân tích phổ tốn tử
Laplace và phần rời rạc của biểu diễn chính quy của các nhóm reductive
thực thấp chiều. Từ đó dùng nội soi để viết cơng thức Poisson cho các
nhóm thấp chiều.
4. Đối tượng
Các đối tượng được nghiên cứu là các biểu diễn tự đẳng cấu và việc tìm
ra các thể hiện cụ thể trong khơng gian các hàm có tính chất thích hợp. Sau
đó chúng sẽ được dùng vào việc phân tích biểu diễn chính quy trên khơng
gian L2 (Γ/G), đặc biệt là phần phổ rời rạc o L2 (Γ/G). Chúng tơi chỉ tập
trung nghiên cứu trong trường hợp các nhóm Lie reductive thực thấp chiều.

5


5. Phạm vi nghiên cứu
Trong luận án nghiên cứu các nội dung chính như sau:
• Biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie thực thấp chiều cụ thể các nhóm
hạng 1: SL(2, R), nhóm hạng 2: SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R).
• Nhóm con nội soi cho các nhóm reductive thấp chiều kể trên.
• Phân tích phổ rời rạc của biểu diễn chính quy, cơng thức vết của biểu
diễn và tổng Poisson.
6. Ý nghĩa thực tiễn của đề tài

Trong luận án thực hiện các tính tốn cụ thể cho các nhóm Lie thực
thấp chiều hạng 1 và hạng 2. Vì vậy, kết quả thu được của đề tài cho một
nhập mơn dễ hiểu về chương trình Langlands trên các lớp nhóm đó.
7. Phương pháp nghiên cứu
Do đặc thù của việc nghiên cứu ví dụ cụ thể là phải vận dụng các lý
thuyết trừu tượng để tính tốn ra kết quả cụ thể nên các phương pháp
nghiên cứu chính trong luận án bao gồm:
• Biểu diễn cảm sinh (xem [17]).
• Lượng tử hóa hình học (xem [16]).
• Phân tích phổ tốn tử Laplace suy rộng trên diện Riemann.
8. Các kết quả chính của luận án
• Các Định lý 2.1, ??, 2.3, 3.1.1, 3.2.1, 3.3.1 mô tả các biểu diễn tự
đẳng cấu của các nhóm reductive thực thấp chiều.
• Các Định lý 2.5, 2.6, 3.2, 3.8, 3.2.6 (a) mơ tả các nhóm con nội soi,
tích phân quỹ đạo, cơng thức vết. Trong 3.1.4, 3.2.6, 3.3.4 cho các
tính tốn tích phân quỹ đạo chi tiết lần đầu thu được.
• Các Định lý 2.8, 2.9, 3.3, 3.5, 3.9, và 3.3.4 xác định công thức Poisson
trên các nhóm hạng 1 và hạng 2 mà luận án xét đến.
Các tính tốn biểu diễn hình học, tích phân quỹ đạo được thực hiện chi
tiết trong 3.1.4, 3.2.6, 3.3.4 là hoàn toàn mới.

6


9. Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:
• Seminar thường kỳ của Bộ mơn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại
học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên các năm 2013, 2014, 2015 và
2016.
• Seminar "Giải tích tốn học" của phịng Giải tích tốn học, Viện
Tốn học, Viện Hàn Lâm Khoa Học và Cơng Nghệ Việt Nam, 2014.

• Đại hội Tốn học Tồn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013.
• The Tohoku Forum for Creativity Thematic Program 2016 "Modern
Interactions between Algebra, Geometry and Physics", Japan, 1015/04/2016.

7


Chương 1
Từ công thức Poisson cổ điển đến
công thức vết Arthur-Selberg
Chương này mang tính chất chuẩn bị, chúng tơi dẫn giải từ công thức
Poisson cổ điển đến hiện đại bằng cách dùng cơng thức vết Arthur-Selberg
và tích phân quỹ đạo do đó các định lý được phát biểu mà khơng chứng
minh.

1.1. Công thức tổng Poisson cổ điển
Cho một hàm số f khả tích tuyệt đối trên [−π; π]; khi đó hệ số của biến
đổi Fourier được xác định như sau:
1
cn (f ) = fˆ(n) =
2π

2π

1

e

−inx

e−2πinx f (2πx)dx.

f (x)dx =

0

0

Một hàm thỏa mãn điều kiện Dini tại một điểm x ∈ [−π; π] nếu tồn tại
một lân cận U = U (x) sao cho
1) f (x± ) := lim f (x ± t) tồn tại;
t→+0

2) Tích phân

U

(f (x − t) − f (x− )) − (f (x + t) − f (x+ ))
dt
t

hội tụ tuyệt đối.
Với Sn (f ) =

+n
k=−n

1
2π

π
−π

f (t)e−ikt dteikx , xét hàm khả tích tuyệt đối f
8


trên khoảng [−π; π] thỏa mãn điều kiện Dini tại một điểm x, khi đó chúng
ta có
+n

Sn (f ) =
k=−n

1
2π
1
=
2π

1
2π

π
−ikt

f (t)e

dte

−π
i(n+ 12 )(x−t)

π

=

ikx

f (t)

e

−e

1
=
2π

+n

π

f (t)(
−π

eik(x−t) )dt

k=−n

−i(n+ 12 )(x−t)

i 21 (x−t)

1

e
− e−i 2 (x−t)
sin(n + 12 )(x − t)
f (t)
dt
sin( 12 (x − t))
−π
π
sin(n + 12 )t
1
=
f (x − t)
dt.
2π −π
sin( 12 t)
−π
π

Vì vậy chúng ta có
f (x+ ) + f (x− )
2
(f (x − t) − f (x− )) − (f (x + t) − f (x+ ))
1
sin(n

+
)tdt → 0.
2
2 sin 12 t
Sn (f ) −

1
=
π

π
0

Tích phân này là hội tụ tuyệt đối và đều.
Định lý 1.1 Giả sử hàm f là khả tích tuyệt đối trên [−π; π] và thỏa mãn
điều kiện Dini. Khi đó chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối đến nửa tổng của hai
giá trị giới hạn
+∞

f (x+ ) + f (x− )
.
2

cn (f )einx =
−∞

Đặc biệt nếu hàm là liên tục thì chúng ta có cơng thức nghịch đảo như khai
triển Fourier

+∞

cn (f )einx .

f (x) =
n=−∞

Xét ϕ là hàm thuộc lớp Schwartz S(R). Ảnh Fourier của nó cũng thuộc
lớp hàm Schwartz ϕˆ ∈ S(R). Khi đó tổng
+∞

f (x) =

ϕ(x + 2πk)
k=−∞

9


hội tụ và tổng là hàm liên tục. Chúng ta có cơng thức hệ số Fourier của
nó như sau:
π

1
ck (f ) =
2π

f (x)e−ikx dx
−π

+∞

=
k=−∞

1
2π

2π

ϕ(x + 2πk)e−ikn dx
0

+∞
1
=
ϕ(x)e−ikx dx
2π −∞
= ϕ(k).
ˆ

Khi đó ta có cơng thức tổng Poisson trên R là:
+∞

f (x) =

+∞

+∞

ϕ(x + 2πk) =

n=−∞

cn (f )e

inx

inx
ϕ(n)e
ˆ
.

=

n=−∞

n=−∞

Định lý 1.2 (Tổng Poisson [1]) Với mọi hàm ϕ ∈ C0∞ (R) trơn có giá
compact ta có
+∞

+∞

ϕ(n) =
n=−∞

ϕ(m).
ˆ
m=−∞

Cơng thức này tương đương với dạng phân bố như sau:
+∞

+∞

e−inx .

δ(x − n) =
n=−∞

n=−∞

Trong đó δ là hàm Dirac và ϕ(m)
ˆ
là một biến đổi Fourier.
Công thức được hiểu rằng tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy là
biểu diễn chính quy của nhóm phủ R = S1 → S1 .
Định lý 1.3 (xem [31]) Ta có phân tích sau:
1
L (R/2πZ, dθ) =
2π

⊕

2

Cn ,
n∈Z

trong đó Cn là khơng gian một chiều với tác động của x ∈ R bằng phép

nhân lên e2πinx .

10


Định lý 1.4 (xem [31])
⊕
2

C1ξ dξ,

L (R) =
R

trong đó Cξ là không gian một chiều C1 với tác động của x ∈ R lên e2πiξx .

1.2. Nhóm nhân của các số phức và biến đổi FourierLaplace
Nhóm nhân C∗ = R∗+ × S1 là vi phôi với mặt phẳng thực 2 chiều R2 \{0}
bởi ánh xạ
C → C∗ , z −→ ez .
Chúng ta nhắc lại cơng thức tích phân Laplace Fourier cổ điển
1
fˆ(n, λ) =
2π

+∞

2π

|z|−iλ e−2πni arg(z) f (z)

0

0

d|z|
d arg(z).
|z|

Nó cũng chính là cơng thức tích phân Laplace Fourier
1
cn (f ) = fˆ(n, 0) =
2π
với

2π

e−2πni arg(z) f (z)d arg(z)
0
+∞

1
fˆ(λ) = fˆ(0, λ) =
2π

|z|−iλ f (z)
0

d|z|
|z|

trong đó cơng thức nghịch đảo là
+∞

f (z) =

cn (f )e

2πin arg(z)

−∞

1
+√
2π

+∞

|z|−iλ fˆ(λ)dλ.

−∞

Không gian Hilbert L2 (C∗ ) được phân tích thành một tổng của các
chuỗi rời rạc và tích phân liên tục.
Định lý 1.5 Ta có phân tích sau:
1 d|z|
L (C /2πZ × {1},
d arg(z)) =
2π |z|
2

⊕

∗

⊕

C1λ dλ,

Cn ⊕
n∈Z

R

trong đó Cn là khơng gian một chiều C1 với tác động của z ∈ C∗ như
phép nhân với e−2πin arg z , Cλ là không gian một chiều C1 với tác động của
z ∈ C∗ như phép nhân với |z|−iλ−1 .
11


1.3. Cơng thức vết Arthur-Selberg
Trong phần này chúng tơi trình bày về cơng thức vết Arthur-Selberg
trên một nhóm G tổng qt. Đây là mục quan trọng vì từ cơng thức vết
này đã giúp chúng tơi nghĩ đến cách tính được cơng thức vết của biểu diễn
chính quy trên các nhóm Lie reductive ở 2 chương sau.
1.3.1. Cơng thức vết
Lấy nhóm con hữu hạn sinh kiểu Langlands Γ của G (xem [6], [21]) với
số hữu hạn các nhọn. Lấy f ∈ C0∞ (G) và ϕ thuộc không gian biểu diễn
cảm sinh [16], trong đó tác động của biểu diễn cảm sinh IndG
B χ chuỗi rời
rạc được xem như một biểu diễn con của biểu diễn chính quy phải R bởi

các phép tịnh tiến phải trên biến. Toán tử R(f ) được xác định một cách
tự nhiên như tích phân:
R(f )ϕ =

f (y)R(y)ϕ(x)dy =
G

=

f (y)ϕ(xy)dy
G

f (x−1 y)ϕ(y)dy (bất biến phải của độ đo Haar dy)
G 


=

f (x−1 γy) ϕ(y)dy.


Γ\G

γ∈Γ

Vì vậy, tác động này có thể được biểu diễn bởi một tốn tử với hạch
Kf (x, y) dạng
[R(f )ϕ](x) =

Kf (x, y)ϕ(y)dy,

Γ\G

trong đó
f (x−1 γy).

Kf (x, y) =
γ∈Γ

Vì hàm f là hàm có giá compact nên tổng này là hội tụ, và theo đó nó là
hữu hạn. Cho x bất kỳ, cố định và Kf thuộc lớp L2 (Γ\G × Γ\G) thì vết
của một toán tử được xác định như sau:
tr R(f ) =

Kf (x, x)dx.
Γ\G

12


Theo giả thiết, nhóm con rời rạc Γ là hữu hạn sinh. Ký hiệu {Γ} là tập
các phần tử đại diện của các lớp liên hợp. Cho bất kỳ γ ∈ Γ ký hiệu nhóm
con tâm của γ ∈ Ω ⊂ G là Ωγ , trong trường hợp đặc biệt, Gγ ⊂ G. Theo
định lý Fubini cho tích phân kép, chúng ta có thể đổi thứ tự của tích phân
để có
tr R(f ) =

Kf (x, x)dx
Γ\G

f (x−1 γx)dx

=
Γ\G γ∈Γ

f (x−1 δ −1 γδx)dx

=
Γ\G γ∈{Γ} δ∈Γ \Γ
γ

f (x−1 γx)dx

=
γ∈{Γ}

Γγ \G

f (x−1 u−1 γux)dudx

=
γ∈{Γ}

Gγ \G

Γγ \Gγ

Vol(Γγ \Gγ )f (x−1 γx)dx.

=
γ∈{Γ}

Gγ \G

Vì vậy để tính được cơng thức vết chúng ta sẽ tính theo thứ tự sau:
• Xác định lớp liên hợp của các γ trong Γ: chúng ta nói γ là kiểu elliptic
(các giá trị riêng khác nhau cùng dấu), kiểu hyperbolic (không suy
biến, với các giá trị riêng khác dấu), kiểu parabolic (suy biến).
• Tính thể tích Vol(Γγ \Gγ ) của khơng gian thương của nhóm con dừng
Gγ theo nhóm con dừng rời rạc trong nó Γγ .
• Tính tốn cơng thức tích phân quỹ đạo (xem [22]), theo định nghĩa
là
f (x−1 γx)dx.
˙

O(f ) =
Gγ \G

Ý tưởng chính trong luận án là sẽ tính tốn cơng thức tích phân quỹ
đạo trên nhóm con nội soi khi ấy tích phân trở thành các tích phân
thơng thường.
13


1.3.2. Cơng thức vết ổn định
Nhóm Galois (xem [22]) Gal(C/R) = Z2 của trường phức C là tác động
trên biểu diễn chuỗi rời rạc bởi đặc trưng κ(σ) = ±1. Vì vậy tổng của các
đặc trưng có thể được viết lại như tổng trên lớp ổn định của các đặc trưng
[22]
∞

ε(σ)Θεn (f ),

tr R(f ) =
n=1 σ∈Z2


1
nếu σ
trong đó ε(σ) =
−1 nếu σ

là phần tử đơn vị
là liên hợp phức.

Kết luận chương I
Chương này là chương kiến thức chuẩn bị, chúng tôi đã dẫn dắt vấn
đề từ công thức Poisson cổ điển đến công thức Poisson tổng quát, công
thức vết Arthur-Selberg và trình bày được ý tưởng chính trong luận án là
sẽ tính tốn cơng thức tích phân quỹ đạo trên nhóm nội khi đó tích phân
quỹ đạo sẽ trở thành các tích phân thơng thường.

14


Chương 2
Nhóm hạng 1
Lý thuyết Lie cho phân loại các nhóm Lie và nhóm đại số liên thơng
theo đại số Lie. Theo phân loại đó chỉ có một đại số Lie nửa đơn hạng
1(chính xác đến đẳng cấu) là sl(2, R) và tương ứng với nó là nhóm Lie liên
thơng SL(2, R), phủ phổ dụng tương ứng là SL(2, R) là mở rộng tâm của

SL(2, R) bởi Z/2Z. Toàn bộ lý thuyết biểu diễn (xem [25]) và công thức
tổng Poisson cho phủ phổ dụng của SL(2, R) hoàn toàn tương tự như cho
SL(2, R). Vì vậy đối với nhóm hạng 1 chúng ta chỉ cần nghiên cứu trường
hợp SL(2, R) là đủ.
Trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ giữa
các biểu diễn tự đẳng cấu và lượng tử hóa cũng như cơng thức Poisson của
SL(2, R). Chúng ta biết rằng biểu diễn chuỗi rời rạc có liên quan đến tổng
của các khơng gian riêng của toán tử Laplace và Hecke, tức là các biểu
diễn tự đẳng cấu dưới dạng biểu diễn cảm sinh với phân thớ cảm sinh trên
diện Riemann.
Nhóm hạng 1 mà chúng ta nghiên cứu ở đây là nhóm SL(2, R), trong lý
thuyết biểu diễn của nhóm này [20] chúng ta đã biết: mọi biểu diễn unita
(hoặc không unita) bất khả quy tương đương unita (hoặc không unita) với
một trong các chuỗi sau (xem [7], [27]):
(1) Biểu diễn chuỗi liên tục cơ bản (πs , Ps );
(2) Biểu diễn chuỗi rời rạc (πk± , Dn ), n ∈ N, n = 0;
(3) Giới hạn của biểu diễn chuỗi rời rạc (π0± , D± );
(4) Biểu diễn chuỗi bổ sung (πs , Cs ), 0 < s < 1;
15


(5) Biểu diễn một chiều tầm thường 1;
(6) Biểu diễn hữu hạn chiều khơng unita Vk .
Có nhiều nghiên cứu về dạng tự đẳng cấu và các biểu diễn tự đẳng cấu,
hầu hết mối quan hệ giữa chúng là mối quan hệ cảm sinh. Trong chương
này chúng tôi sử dụng ý tưởng của lượng tử hóa hình học(xem [5]) để nói
rõ hơn về biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie.

2.1. Nhóm nội soi của SL(2, R)
Trước tiên chúng tơi có những tóm tắt cơ bản giới thiệu về cấu trúc

nhóm mà chúng ta xét đến trong chương này đó là nhóm G = SL(2, R)
xác định như sau (xem [27]):
SL(2, R) =

g=

a b

a, b, c, d ∈ R, det g = 1 .

c d

Nhóm G = SL(2, R) có tâm hữu hạn đẳng cấu với Z/2Z, và có duy
nhất nhóm con compact cực đại K (với độ chính xác đến liên hợp) là
k(θ) = ±

K=

cos θ

sin θ

− sin θ cos θ

θ ∈ [0, 2π) ,

nhóm con Borel
B=

a b

a, b, d ∈ R, ad = 1 .

0 d

Nhóm con Borel này được phân tích duy nhất thành tích nửa trực tiếp
của căn lũy đơn N và một xuyến chẻ ra cực đại T ∼
= R∗+ và một nhóm
con compact M = {±1}. Phân tích này chính là phân tích Cartan G =
BK, B = M A N . Dựa vào phân tích Cartan đó thì một phần tử bất kỳ
của G sẽ được phân tích như sau:
a b
c d
=

=

1 x
0 1

y 1/2 y −1/2 x
0

y −1/2

y 1/2
0
0 y −1/2
16

± cos θ ± sin θ
∓ sin θ ± cos θ
± cos θ ± sin θ
,
∓ sin θ ± cos θ


trong đó
y =

1
c2 + d2

cos θ = ±y 1/2 d, hay θ = arccos √
±y 1/2 sin θ ± y −1/2 x cos θ = b hay x = ±

d
c2 + d2

(b + cy)
.
d

Mặt khác ta cần biết rằng phân tích Langlands của nhóm con Borel là (xem
[27]): B = M AN với A = {at = etX1 |t ∈ R} và N = {nξ = eξX2 |ξ ∈ R},
0 1
1 0 1
1 1 0
X0 =
, X1 =

, X2 =
.
2 −1 0
2 0 −1
0 0
Đại số Lie của G = SL(2, R) là g = sl(2, R) = H, X, Y R trong đó
H=

1

0

0 −1

0 1

,X =

0 0

,Y =

0 0
1 0

,

thỏa mãn hệ thức giao hoán tử Cartan:
[H, X] = 2X; [H, Y ] = −2Y ; [X, Y ] = H.
Đại số Lie của A là a = H

R,

đại số Lie của N là n = X

R.

Đại số Lie

của B là
b = a ⊕ n = H, X

R.

Đại số con Cartan phức hóa của g là một đại số con phức
h= H

C

⊂ gC = g ⊗R C,

trùng với đại số Lie của nhóm con chuẩn hóa trong gC . Nhóm con Cartan
là nhóm con của G sao cho đại số Lie của nó chính là đại số con Cartan
nói trên. Hệ nghiệm của (g, h) là
Σ = {±α}, α = (1, −1) ∈ Z(1, −1) ⊂ R(1, −1).
Có thể chọn nghiệm dương α = (1, −1). Có một nhóm compact Cartan
T = K = O(2), vectơ đối nghiệm là Hα = (1, −1) và nhóm con Cartan
của B là H = Z/2Z × R∗ ∼
= R∗ .
+

17


Định nghĩa 2.1 ([22]) Một nhóm con nội soi của G = SL(2, R) là thành
phần liên thông của phần tử đơn vị trong tâm hóa của một phần tử chính
quy nửa đơn trong G.
Mệnh đề 2.1 Nhóm con nội soi của G = SL(2, R) là chính nó hoặc
SO(2).
Chứng minh: Các phần tử nửa đơn chính quy của SL(2, R) có dạng sau
g = diag(λ1 , λ2 ), λ1 λ2 = 1. Nếu λ1 = λ2 , tâm hóa của g là tâm
C(G) = {±1} của nhóm SL(2, R).
Nếu λ1 = λ2 và chúng thuộc tập số thực, tâm hóa của g chính là nhóm
SL(2, R). Nếu λ1 = λ2 là các số phức và có phần argument đối nhau, chúng
ta có g = ± diag(eiθ , e−iθ ). Trong trường hợp này thành phần liên thông
của phần tử đồng nhất của tâm hóa là SO(2).
✷
Nhận xét: Nhóm nội soi SL(2, R) hay tâm {±1} là nhóm tầm thường
và chỉ có nhóm nội soi khơng tầm thường là SO(2).

2.2. Biểu diễn tự đẳng cấu
Trong mục này chúng tơi tính toán phép dựng biểu diễn tự đẳng cấu
dựa vào bổ đề sau:
Bổ đề 2.1 (xem [7]) Tồn tại tương ứng một - một giữa các biểu diễn 2n−1
chiều bất khả quy của SO(3) và các biểu diễn n chiều của SO(2).
Chứng minh: Tồn tại một dãy khớp ngắn
1 −−−→ {±I} −−−→ SU(2) −−−→ SO(3) −−−→ 1.
Cho nên các biểu diễn của SO(3) thu được từ các biểu diễn của SU(2), các
biểu diễn unita bất khả quy [14] của SU(2) là các biểu diễn có trọng trội.
Các đặc trưng của biểu diễn trọng 2n − 1, n = 1, 2, . . . là chiều của biểu

diễn tiêu chuẩn của SO(3) [27]
χ2n−1 (k(θ)) =

18

sin(2n − 1)θ
sin θ