SKKN GIUP HS HOC HINH HOC 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (213.13 KB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Toán học

Phần thứ nhất

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Đối với học sinh THCS, mơn hình học là phân mơn mang tính trừu tượng và mới lạ.
Hầu hết với học sinh đại trà, các em nắm kiến thức hình học trên cơ sở hết sức rời rạc, chưa
đủ khả năng khái quát hoá kiến thức đã học do đó các em chưa định hình được kiến thức bộ
mơn. Hơn nữa học mơn hình học địi hỏi không những nắm chắc kiến thức cơ bản ngay sau
mỗi bài học cụ thể, vận dụng lý thuyết vào bài tập mà còn đòi hỏi hệ thống kiến thức trước
đó một cách hệ thống, liên tục và đặc biệt là tư duy lơgíc. Vì vậy việc vận dụng lý thuyết
vào bài tập gặp rất nhiều khó khăn. Hơn nữa trong ba phân mơn tốn ở bậc THCS, mơn
hình học có tính trừu tượng cao. Để giải quyết bài tốn hình thực sự dựa trên phương diện lý
luận sử dụng trực quan trên hình vẽ. Để hiểu thấu đáo mơn hình học phải dựa trên phương
diện quĩ tích. Nghĩa là với mỗi trường hợp của bài toán cho ta một kết luận và nhận xét
riêng hoặc có những trường hợp đặc biệt học sinh thường hay ngộ nhận. Đặc biệt hơn khi
hình vẽ suy biến hoặc kẻ thêm đường phụ nó đã trở thành bài tốn khác hẳn và khó khăn
hơn trong việc tìm tịi và giải bài tốn.

Có một lí do thường gặp là học sinh chỉ giải xong bài tốn - tức là đóng trịn vai (như
thế đã là tốt với học sinh học mơn hình học) coi như đã hồn thành mà rất ít em tư duy khai
thác bài tốn, nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau để phát triển nó thành bài
tốn khác.

Trong đề tài này, với khả năng và kinh nghiệm của bản thân tơi muốn rằng: Từ một
bài tốn quen thuộc trong chương trình học ở bậc THCS qua một số thao tác thay đổi một
vài yếu tố hoặc đưa nó thành bài toán tổng quát hoá; hoặc đặc biệt hoá nhằm phát triển tư
duy hình học của học sinh. Ta sẽ cung cấp được nhiều điều lí thú cho học sinh trong quá
trình giảng dạy.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trong đề tài này trước hết nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp cho học
sinh có kĩ năng cơ bản để giải bài tốn hình học, từ đó phát triển thành bài toán lên ở mức
độ cao hơn.

Thứ hai thơng qua khai thác bài tốn giúp các em biết nghiên cứu sâu bài toán bằng
cách cho các em tập dượt dùng một số thao tác tư duy: Khái qt hố, đặc biệt hố, tương
tự,… để tự mình đặt , thay đổi bài toán từ bài toán ban đầu.

3. Khách thể, đối tượng, phương pháp nghiên cứu và đối tượng khảo sát:

Khách thể: Trong đề tài này tôi thực hiện việc giảng dạy mơn tốn hình thơng qua
học sinh lớp 9.

Đối tượng: Bài tập trong SGK, sách bài tập và sách nâng cao.

Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp cơ bản để thực hiện đề tài này là sử dụng
phương pháp phân tích đi lên để khai thác bài tốn, phương pháp tổng hợp để rèn kĩ năng
trình bày cho học sinh. Sau đó sử dụng phương pháp khái quát hoá, tương tự, đặc biệt hoá,
… để khai thác và phát triển bài toán ở mức độ cao hơn. Phương pháp nghiên cứu tài liệu
nhằm thông qua thực tiễn áp dụng phương pháp giảng dạy bài tập rút ra kinh nghiệm,
Phương pháp đánh giá kết quả.

Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 9B, 9C,9D trường THCS Nguyễn Thò Minh Khai
thành phố Buôn Ma Thuột.

Đối tượng khảo sát là học sinh lớp 9 với mức độ tư duy ở mức trung bình ở lớp trực
tiếp đang dạy và lớp khác trong trường.

4. Nhiệm vụ, phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:

Vấn đề này đặt ra tưởng như đơn giản nhưng lại hết sức phức tạp mà tôi và các đồng
nghiệp đã từng tranh luận và bàn bạc nhiều. Để được nó địi hỏi phải tư duy nghiêm túc,
phải lao động thực sự. Do vậy trong đề tài này tôi mong đạt được 2 nội dung sau:

1. Củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh;

2. Giúp cho học sinh có phương pháp suy luận lơgíc để tìm hiểu mối liên hệ, liên
quan giữa các bài toán.

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học

Từ đó tạo cho học sinh có phương pháp học tập đúng đắn, biến cái đã học (kiến thức
của thày) thành cái của bản thân, nắm bắt nó, vận dụng nó, phát triển nó đúng hướng. Qua
đó giúp các em tạo niềm tin, hưng phấn, hứng thú và say mê học mơn hình học.

Phạm vi của đề tài tác giả chỉ mong muốn trong mỗi giờ lên lớp tiết hình học, thơng
qua các bài tập trong SGK, sách bài tập, sách nâng cao.

Thời gian thực hiện của đề tài: Sau khi kết thúc năm học 2009-2010 tôi rút kinh
nghiệm và nêu ý tưởng thực hiện đề tài.

Tháng 11 năm 2010 viết đề cương

Tháng 2 năm 2011 viết hoàn thiện đề tài.
5. Đóng góp mới về mặt khoa học của đề tài:

Đề tài đưa ra được sự đổi mới về phương pháp giảng dạy loại bài luyện tập trong tiết
luyện tập một cách nhẹ nhàng, giúp học sinh cảm thấy một giờ luyện tập không nặng nề,

nhàm chán, khô khan, khuôn mẫu mà đã làm cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ động
sáng tạo trong giờ học trên lớp.

Phần thứ hai

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Chương I: Cơ sở khoa học, cơ sở thực tiễn của đề tài

Cơ sở khoa học:

Như chúng ta đều biết, khi mới xuất hiện, hình học là một khoa học về đo đạc, qua
một số các đối tượng, vật cụ thể trong thực tiễn đã dần dần được khái quát thành những khái
niệm trừu tượng: Với 3 khái niệm cơ bản không được định nghĩa: Điểm, đường thẳng, mặt
phẳng. Từ đó mơn hình học dần dần trở thành một môn khoa học suy diễn, tức là môn khoa
học mà những kết luận đúng đắn đều được chứng minh bằng lập luận chặt chẽ chứ không
bằng cách qua thực nghiệm như những môn khoa học thực nghiệm khác.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

vẽ, vật cụ thể,… để học sinh nắm bắt và hiểu bản chất của vấn đề. Điều đó rất đúng bởi q
trình tư duy của con người bao giờ cũng tuân theo quy luật đó. Như Lê Nin đã khẳng định

"Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là
con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí của sự nhận thức khách quan".

Trong q trình dạy học mơn Tốn người thày cần thấm nhuần ngun lí giáo dục:
"Học đi đơi vời hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã
hội".

Thơng qua mơn tốn, học sinh tiếp cận và tiếp thu các môn học tự nhiên khác. Bởi
dạy mơn Tốn cho học sinh khơng những truyền thụ kiến thức cho các em mà quan trọng
hơn là dạy tư duy.

Cơ sở thực tiễn

:

Hình học là mơn học rất khó, trừu tượng cao đối vời học sinh bậc THCS. Trong hình
học phẳng nói chung học sinh đều cảm thấy có ít nhiều khó khăn.

Chương II:

Thực trạng vấn đề mà nội dung của đề tài đề cập đến

Trong q trình giảng dạy mơn tốn bậc THCS, với nhiều năm trong nghề tơi thấy
tình trạng chung là học sinh khơng thích thậm chí là sợ mơn hình. Vì lí do khó hiểu, mắc
trong q trình tìm tịi lời giải bài tốn, mất phương hướng và khơng biết để chứng minh bài
tốn thì bắt đầu từ đâu, làm như thế nào.

Trong quá trình giảng dạy mơn hình ngay trong mỗi tiết học người thày khơng
thường xun tạo thói quen, rèn thói quen cho học dùng phương pháp phân tích đi lên để
tìm lờp giải bài tốn thì học sinh dần dần học sinh sẽ khó tiếp thu, khơng tự giải được bài
tốn hình.

Nghiên cứu ngun nhân, tơi thấy có mấy điểm dưới đây:
1. Học sinh chưa nắm chắc những khái niệm cơ bản.

2. Sách giáo khoa biên soạn tuần tự theo hệ thống kiến thức đường thẳng, không tổng
hợp từng loại, từng dạng làm cho học sinh khó nắm bắt cách giải các bài toán.

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Toán học

3. Trong SGK các bài toán mẫu thường là ít, hướng dẫn gợi ý chưa thật đầy đủ nên

khó tiếp thu và nghiên cứu.

4. Học sinh thường chỉ học "Vẹt" các định lí và quy tắc.

Trong các trường THCS hiện nay, tình hình phổ biến là đại đa số học sinh khơng
thích học mơn hình học. Điều này theo tơi nghĩ có thể là do nhiều ngun nhân. Nhưng theo
tôi là giáo viên chưa chuẩn bị một cách chu đáo một giờ luyện tập, thơng qua đó củng cố
kiến thức cơ bản cho học sinh, rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào bài tập, kĩ năng trình
bày, hơn thế nữa rèn tính sáng tạo, phát triển tư duy tốn học cho học sinh.

Như vậy muốn có một giờ luyện tập tốt, theo tôi phải lưu ý mấy vấn đề sau:
- Chọn hệ thống bài tập như thế nào cho một giờ luyện tập;

- Phải sắp xếp hệ thống các câu hỏi từ dễ đến khó (có gợi mở);
- Phải tổ chức tốt và thể hiện vai trò chủ đạo của người thày;

- Sau mỗi bài cần tập dượt cho học sinh nghiên cứu sâu lời giải (nếu có).

Tơi xin được đề cập đến vấn đề: "Khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy toán
học của học sinh"

Nội dung chính của bài viết tơi bắt đầu từ một số bài tốn đơn giản trong chương
trình lớp 9 bậc THCS rồi phát triển nó rộng ra ở mức độ tương đương, phức tạp hơn rồi cao
hơn nhưng vẫn phù hợp với tư duy lơgíc của các em để tạo cho các em niềm say mê học tập
mơn tốn đặc biệt là mơn hình học.

Chương III:

Những biện pháp, giải pháp đặt ra của đề tài

Từ bài tập số 7 trang 134 (SGK hình học lớp 9-NXB Giáo dục 2009), sau khi học
sinh được làm, tôi đã thay đổi thành bài tốn có nội dung như sau:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) Chứng minh
4
.
2
a
CN

BM  ;

b) Gọi I là giao điểm của BN và OM. Chứng minh BM.IN = BI.MN;
c) Chứng minh MN ln tiếp xúc với một đường trịn cố định.

Phân tích bài tốn:

4
.
2
a
CN
BM 
 

2
.
2

.CN a a

BM 



BM.CN BO.CO



BMBO CNCO



∆BMO đồng dạng ∆CON


0
60
ˆ
ˆ C 
B

gócBMO = gócCON

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

6

a) Ở phần a là một dạng toán chứng minh

hệ thức, chính vì vậy việc hướng dẫn học
sinh tìm lời giải bài tốn hết sức quan
trọng nhằm phát triển tư duy hình học ở
học sinh.

Chúng ta có thể dùng phương pháp phân
tích đi lên để tìm lời giải bài toán. Với sơ
đồ như sau:

C
O
B
N
I
M
A

Căn cứ vào sơ đồ ta có lời giải sau:
Ta có ∆BMO: gócB+gócM+gócO = 1800

gócBMO+gócMON+gócNOC = 1800 (gócBOC = 1800) 
 gócBMO = gócCON; lại có ˆ ˆ 600


C

B (vì∆ABCđều)

 ∆BMO đồng dạng ∆CON (g.g), từ đó suy ra

CN
CO
BO
BM



hay BM.CN BO.CO; mà

2
2

a
BC
CO

BO   do đó

4
.

a
CN

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học


gócB+gócBMO+gócBOM = gócBMO+gócMON+gócNOC (= 1800).

b) Cũng tương tự như vậy ở phần b) thày giáo cũng giúp học sinh phát triển tư duy
lơgic, thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, đặc biệt là tư duy phân tích đi lên- một thao tác tư
duy đặc trưng của mơn hình học. Với sự phân tích như vậy học sinh sẽ thấy đó chính là sử
dụng tính chất đường phân giác của tam giác BMN. Nghĩa là học sinh cần chỉ ra MI là tia
phân giác của gócBMN. Từ đó ta có lời giải sau:

Theo phần a) ∆BMO đồng dạng ∆CON suy ra hayBMBO ONMO
ON

MO
CO

BM



 lại có gócB =

gócMON (=600)  ∆BMO đồng dạng ∆OMN (c.g.c). Từ đó suy ra gócBMO = gócOMN do

đó MO là tia phân giác của góc BMN hay MI là tia phân giác gócBMN.

Xét ∆BMN có MI là tia phân giác của gócBMN, áp dụng tính chất đường phân giác trong
tam giác ta có

IN
IB
MN
MB

 hay BM.IN BI.MN (đpcm).

c) Đây là một dạng tốn liên quan giữa tính bất biến (cố định) và tính thay đổi: Ứng
với mỗi điểm M, N thì ta có vị trí của đoạn thẳng MN thay đổi theo (chuyển động) nhưng
lại luôn tiếp xúc với một đường trịn cố định (bất biến). Vậy trước khi tìm lời giải của bài
toán giáo viên cần cho học sinh chỉ ra yếu tố cố định, yếu tố nào thay đổi.

C
O

I
M

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ta có lời giải sau: Từ O kẻ OH, OK theo tứ tự vng góc với AB và MN. Do O, AB cố định
nên OH cố định Vậy đường trịn (O;OH) là đường trịn cố định.

Vì MO là tia phân giác của góc BMN nên OK = OH (t/c đường phân giác)
→ K



(O;OH) (1) lại có OKMN ( cách dựng) (2)

từ (1) và (2) suy ra MN là tiếp tuyến của đường trịn (O;OH). Vậy MN ln tiếp xúc với
một đường trịn (O;OH) cố định.

Khai thác bài tốn:

Ở phần a) của bài tốn ta thấy tích BM.CN khơng đổi, nếu sử dụng BĐT Cơsi ta có
thêm câu hỏi sau:

1.1: Tìm vị trí của M, N trên AB, AC để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm là BM, CN ta có BM CN 2 BM.CN

dấu "=" xảy ra  BM = CN. Theo phần a)

4
.
2
a
CN
BM 

do đó BM CN  a a

4
2

(khơng đổi).

Vậy GTNN của BM+CN = a  BM = CN =
2

a

 M, N theo thứ tự là trung điểm của AB

và AC.

1.2: Ta thử suy nghĩ nếu tam giác ABC là tam giác cân thì bài tốn cịn đúng khơng?
và giả thiết như thế nào? từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC cân ở A, O là trung điểm BC. Trên cạnh AB, AC
theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho gócBMO = gócCON.

Chứng minh rằng:

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

8 
a)
4
.
2
BC
CN

BM  ;

b) BN



MO =  I , Chứng minh
BI.MN = IN.BM;

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Toán học

Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC cân ở A, O thuộc cạnh BC đường tròn tâm O tiếp
xúc với các cạnh AB, AC của tam giác. Trên AB, AC theo thứ tự lấy hai điểm M, N.

Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đ ường tròn (O) 

4
.
2
BC
CN
BM 

góc MON = gócB; gócBOM = gócONC; gócNOC = gócBMO; từ đó suy ra ∆BMO đồng
dạng ∆CON (g.g)

4
.
2
BC
CN
BM
CN
BO
CO
BM




 (đpcm).

( ) Giả sử có

4
.

BC
CN

BM  cần phải chứng minh MN là tiếp tuyến của (O).

Cách 1: Chứng minh tương tự bài toán 1;

Cách 2: Từ M dựng tiếp tuyến với (O) cắt AC ở N'. Ta chứng minh N'



N.
Theo phần thuận ta có

4
'

.CN BC2

BM  kết hợp với giả thiết ta suy ra BM.CN' = BM.CN 

CN' = CN. Mà N', N cùng thuộc cạnh AC do đó N'



N (đpcm).
Chú ý: - Nếu M nằm trong đoạn AB thì N nằm trong đoạn AC.

- Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì N cũng nằm ngồi đoạn AC.

Bài tốn 1.4: Cho tam giác ABC cân ở B có gócB = 400, O là trung điểm cạch AC,

K là chân đường vng góc kẻ từ O xuống AB, (O) là đường trịn tâm O bán kính OK.
1) Chứng minh (O) tiếp xúc với BC;

Giải: Vì (O) tiếp xúc với các cạnh AB, AC 
nên O cách đều AB, AC do đó O thuộc tia
phân giác của góc A. Lại có ABC cân nên
phân giác góc A đồng thời là trung tuyến mà
OBC nên O là trung điểm cạnh BC.

(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O).
Nối OM, ON.

Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của
(O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau
của (O), sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt
nhau ta suy ra được

P
C
N
A
M
B O

Giải: Vì (O) tiếp xúc với các cạnh AB,

AC nên O cách đều AB, AC do đó O
thuộc tia phân giác của góc A. Lại có
ABC cân nên phân giác góc A đồng thời
là trung tuyến mà OBC nên O là trung
điểm cạnh BC.

(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O).
Nối OM, ON.

Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau
của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến
cắt nhau của (O), sử dụng tính chất hai
tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2) Giả sử E là một điểm thay đổi trên cạnh AC sao cho
góc AOE = (200 900)




 , kẻ tiếp tuyến EF với đường tròn (O) tiếp súc với (O) tại P.

a) Tính theo  các góc của tứ giác AEFC;
b) AEO đồng dạng với COF;

c) Tính  để AE + CF nhỏ nhất. (Đề thi chuyên toán ĐHSP H N năm 2005)

Bài toán 1.5: Cho đường tròn (I) tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy tại A và B. Từ C
trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn (I) cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Xác định
vị trí của C trên cung nhỏ AB để MN có độ dài nhỏ nhất.

Ta có MN = AM + BN = MP + NQ - AP - BQ = MP + NQ - 2AP.

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

10

A B

Ta hãy đưa bài toán về bài toán quen
thuộc bằng cách qua I kẻ đường thẳng
song song với AB cắt Ox, Oy thứ tự ở P
và Q. Ta có AOB cân nên POQ cân ở O,
IPQ mà MN là tiếp tuyến của (I). Áp
dụng bài toán trên . Lại do cân chung
đỉnh O AP = BQ (không đổi)

C N

O
M

P I

Giải: Vì (O) tiếp xúc với các cạnh AB, 
AC nên O cách đều AB, AC do đó O
thuộc tia phân giác của góc A. Lại có
ABC cân nên phân giác góc A đồng thời

là trung tuyến mà OBC nên O là trung
điểm cạnh BC.

(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O).
Nối OM, ON.

Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau
của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến
cắt nhau của (O), sử dụng tính chất hai
tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được

Giải: Vì (O) tiếp xúc với các cạnh AB, 
AC nên O cách đều AB, AC do đó O
thuộc tia phân giác của góc A. Lại có
ABC cân nên phân giác góc A đồng thời
là trung tuyến mà OBC nên O là trung
điểm cạnh BC.

(): Giả sử MN là tiếp tuyến (O).
Nối OM, ON.

Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau
của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến
cắt nhau của (O), sử dụng tính chất hai
tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được

C
F
B
E
A O
HD Giải:

1) Kẻ OH vng góc với BC. do tam giác
ABC cân ở B nên OH = OK do đó H nằm
trên (O), lại có OH BC tại H nên BC là

tiếp tuyến của (O).
2) a) Ta có 0

70
ˆ
ˆC

A , tương tự bài tốn

trên ta suy ra góc AEF = 2(1100- ),

góc CFE = 2 .

b) AEO đồng dạng với COF

(c.g.c)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học

Do đó MN nhỏ nhất  MP + NQ nhỏ nhất (Áp dụng kết quả bài tốn 1.1) ta có được C là

điểm chính giữa cung nhỏ AB.

Nếu vẫn tiếp tục khai thác bài toán ban đầu ta có thể đưa ra một số bài toán cho học sinh tự
làm, coi như bài tập về nhà để học sinh tự giải quyết.

Bài toán 1.6: Cho ABC cân ở A. Lấy M, N trên cạnh AB, AC sao cho

4
.

BC
CN

BM  . Tìm vị trí của M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.

Bài toán 1.7: Cho M, M' trên tia AB và tia đối của tia BA; N, N' thuộc tia CA và tia
đối của tia CA. Chứng minh rằng:

1) Nếu MB.NC = M'B.N'C =

BC

thì tứ giác MM'N'N ngoại tiếp được một đường
tròn;

2)Phân giác tạo bởi MN và MM' đi qua một điểm cố định.
Bài toán 1.8:

1) Cho ABC. Dựng hai điểm P, Q thứ tự trên AB và AC sao cho AP = AQ và

BP.CQ =

PQ

;

2) Cho hình vng ABCD, lấy điểm F thuộc CD, G thuộc BC sao cho EG//AF (với E
là trung điểm của AB). Chứng minh rằng FG là tiếp tuyến của đường trịn nội tiếp
hình vng.

Bài tốn 1.9: Cho tam giác ABC cân ở A. Đường trịn có tâm O là trung điểm của
BC tiếp xúc với AB, AC thứ tự ở H và K. Lấy P thuộc đoạn AB, Q thuộc đoạn AC sao cho
PQ là tiếp tuyến của (O). Tìm quĩ tích tâm O' của đường trịn ngoại tiếp tam giác OPQ.

Với cách làm tương tự trên, bằng phương pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự
và thao tác tư duy thuận đảo ta cũng hình thành cho học sinh tư duy lơgíc, tư duy sáng tạo,
tính độc đáo trong tốn học. Chẳng hạn ta có bài tốn sau:

Bài tốn 2: Cho đường trịn (O) đường kính CD. Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy với
đường tròn. Từ một điểm E nằm trên đường trịn, kẻ tiếp tuyến với đường trịn đó cắt Cx tại
A và Dy tại B. Chứng minh góc AOB = 900.

Phân tích bài tốn: K J

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Để chứng minh góc AOB = 900, ta có thể làm bằng nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn:

- Ta chứng minh OA, OB là hai tia phân giác của cặp góc kề bù;
- Ta chứng minh góc AOB = góc CED, mà góc CED = 900

nên gócAOB = 900.

Do +) AOB đồng dạng với CED (g.g) nên góc AOB = góc CED,

mà góc CED = 900 vậy góc AOB = 900.

+) Tứ giác OKEJ là hình chữ nhật ( có ba góc vng) nên góc AOB = 900.

Tiếp tục tư duy chúng ta còn tìm được thêm một vài cách giải khác nữa. Sau đây ta
xét một trong các cách giải đó:

Ta có góc ACO = gócAEO = 900 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

suy ra gócACO + góc AEO = 1800 suy ra tứ giác ACOE nội tiếp

Do đó ta có gócEAO = gócECO (hai góc cùng chắn một cung OE)

Tương tự ta cũng có gócEBO = gócEDO, mà gócECO + gócEDO = 900 (vì gócCEO = 900

-góc nội tiếp chắn nửa đường trịn). Nên -gócEAO + -gócEBO = 900. Từ đó suy ra gócAOB =

900. (Đpcm).

Khai thác bài tốn:

- Nếu ta thay đổi một vài điều kiện của bài toán, chẳng hạn vị trí của điểm O thay
bằng điểm M bất kì trên CD. Khi đó đường thẳng vng góc với ME tại E khơng cịn là tiếp
tuyến nữa mà trở thành cát tuyến với (O). Thế thì yêu cầu của bài toán chứng minh
gócAMB = 900 cịn đúng nữa hay khơng?. Điều này vẫn cịn đúng, từ đó ta có bài tốn khác

như sau:

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Toán học

Bài toán 2.1: Cho đường trịn (O) đường kính CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy.
Một điểm E bất kỳ nằm trên đường tròn, điểm M bất kỳ nằm trên CD (M không trùng với
C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vng góc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự tại A và B.
Chứng minh rằng gócAMB = 900.

-)Tại sao ta lại đặt vấn đề M khác
C, D, O.

- Vì nếu M



O thì trở lại bài tốn trên.
- Cịn nếu M



C thì đường thẳng ME

cắt Cx tại A, cắt Dy tại B



D. Khi đó
ta có góc AMB = 900.

Nếu M



D thì tương tự trên.

Ta trở lại bài toán: Như vậy tương tự bài toán trên ta cũng có:
gócMAB = gócECM (do tứ giác ACME nội tiếp)

gócEBM = gócEDM (do tứ giác BDME nội tiếp)

mà gócECM + góc EDM = 900 (do gócCED = 900). Nên gócAMB = 900.

-) Ta tiếp tục khai thác và mở rộng bài tốn, chẳng hạn điểm M khơng nằm trong
đoạn CD mà nằm trên đường thẳng CD và giữ ngun các điều kiện của bài tốn 2.1 thì
sao? từ đó ta có bài tốn sau:

y
E



B
M



M O D

B
A

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài tốn 2.2: Cho đường trịn (O) đường kính CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy.
Một điểm E bất kỳ nằm trên đường tròn, điểm M bất kỳ nằm trên đường thẳng CD (M
không trùng với C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vng góc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự
tại A và B. Chứng minh rằng gócAMB = 900.

- Muốn chứng minh góc AMB = 900 ta dựa vào cách chứng minh bài tốn trên. Ta

chứng minh gócMAB + gócMBA = 900.

Muống chứng minh gócMAB + góc MBA = 900 ta chứng minh

gócMAB + gócMBA = gócCDE + gócDCE = 900

Để chứng minh điều này ta cần chứng minh gócMAB = gócECD,

gócMBA = gócMDE. Như vậy ta cần phải chứng minh các tứ giác AMCE, MEDB
nội tiếp.

Từ đó ta có lời giải sau:

Chứng minh: Ta có gócACM = gócAEM = 900, do đó tứ giác AMCE nội tiếp 
 gócMAB = góc ECD (cùng bù gócMCE)

Tương tự tứ giác MEDB nội tiếp  gócMAB = gócMDE (cùng chắn một cung).

Mà gócECD + gócEDC = 900. Do đó gócMBA + gócMAB = 900.

Suy ra gócAMB = 900.

Như vậy nhìn lại bài tốn trên ta có thể đưa thành bài toán tổng quát hơn như sau:
Bài toán 2.3: (Bài toán tổng quát)

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

14

M O

D
C

B
A

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học

Cho đường trịn (O) đường kính CD. Một điểm E thuộc đường trịn (O). M là điểm
bất kì thuộc đường thẳng CD. Kẻ đường thẳng vng góc với ME tại E cắt các tiếp tuyến
Cx, Dy của đường tròn tại A và B. Chứng minh góc AMB = 900.

Vẫn tiếp tục bài tốn 2 ta khai thác theo khía cạnh khác, ta có bài tốn sau:

Bài tốn 2.4: Cho đường trịn (O; AB2 ), qua A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của
đường tròn. Một điểm M thuộc đường tròn, qua M kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By theo thứ tự ở C
và D.

1) Chứng minh CD = AC + BD;

2) Đường trịn ngoại tiếp tam giác COD ln tiếp xúc với một đường thẳng cố định
khi M thay đổi trên đường tròn.

3) AD cắt BC ở H chứng minh MH // AC.

Phân tích bài tốn:

1) Với phần này rất phù hợp với học sinh trung bình khi học xong bài tính chất hai
tiếp tuyến cắt nhau, Ta thấy ngay CM = CA; DM = DB

từ đó suy ra CM + DM = CA + DB mà M nằm giữa C và D nên CD = CA + DB.

2) Cũng tương tự bài tốn trên ta có COD vng ở O. Mặt khác gọi I là trung điểm

của CD thì O 








2
;CD

I (1).

Lại có tứ giác ABDC là hình thang, OI là đường trung bình nên OI // CA, mà CA 

AB do đó IO  AB (2)

K
H

O B

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD. Mà
AB là đường thẳng cố định nên đường trịn ngoại tiếp tam giác COD ln tiếp xúc với
đường thẳng AB cố định khi M thay đổi trên đường trịn.

3) Với phần này là một bài tốn rất hay vì nó địi hỏi học sinh phải dùng phương pháp
phân tích đi lên để tìm lời giải của bài tốn. Hơn nữa để tìm ra lời giải học sinh cịn phải
huy động kiến thức về định lí Talét đảo.

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải của bài tốn bằng sơ đồ phân tích đi lên,
như sau:

MH //AC


DMMC DHHA



HA
DH
AC

DB

 (vì DM=DB;
MC=CA)



AC // DB (AB)

Từ đó yêu cầu học sinh lên bảng căn cứ vào sơ đồ trình
bày lời giải của bài tốn:

Ta có AC, BD là hai tiếp tuyến của (O) đường kính AB
nên ACAB, BDAB do đó AC // BD.

Xét ACH có AC // BD áp dụng hệ quả định lí Talét, ta

có

HA
DH
AC

DB

 mà DB = DM; AC = MC nên ta có

HA
DH
MC

DM

 áp dụng định lí Talét đảo trong tam giác DAC

suy ra MH // AC.
Khai thác bài toán:

-) Giáo viên đặt vấn đề cho học sinh suy nghĩ. Gọi giao điểm của MH và AB là K, có
nhận xét gì về vị trí của H đối với MK? Từ đó ta có bài tốn:

Bài tốn 2..5: Với giả thiết của bài toán trên. Chứng minh H là trung điểm của MK.
-) Nếu gọi P là giao điểm của BM và Ax. Thì ta cũng có kết quả C là trung điểm của
AP.

-) Nếu giáo viên cho thêm điều kiện AC = R 3 (AB = 2R) thì chúng ta lại có bài

tốn liên quan đến tính tốn. Từ đó ta có bài tốn sau:

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Toán học
Bài toán 2.6: Cho 








2
;AB

O , từ A, B kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. Một

điểm C trên tia Ax sao cho AC = R 3. Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường trịn cắt By ở D.

AD cắt BC ở H.

1) Tính số đo gócAOM;

2) Chứng minh trực tâm của tam giác ACM nằm trên (O);
3) Tính MH theo R.

-) Bây chúng ta lại xét bài tốn khơng tĩnh như trên nữa, mà cho điểm C thay đổi trên
tia Ax sao cho AC R 3 thì khi đó trực tâm của ACM cũng thay đổi theo. Từ đó ta có

bài tốn sau:

Bài toán 2.7: Cho 







2
;AB

O , từ A, B kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. Một

điểm C trên tia Ax sao cho AC  R 3. Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường tròn cắt By ở

D.Gọi H là trực tâm của tam giác ACM. Tìm quĩ tích điểm H.

-) Lại nhìn bài tốn dưới góc độ bài tốn cực trị hình học, ta có bài toán sau:
Bài toán 2.8: Cho 









2
; AB

O từ A, B kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. Một

điểm M trên đường tròn, từ M kẻ tiếp tuyến của (O) cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Tìm vị trí
của điểm M để:

1) CD có độ dài nhỏ nhất;

2) Diện tích tam giác COD nhỏ nhất.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

lên-một phương pháp tư duy rất đặc trưng và cực kì hiệu quả khi học mơn hình học. Thơng
qua đó học sinh được phát triển năng lực sáng tạo toán học, nhất là những học sinh khá giỏi.
Qua mỗi giờ dạy người thày cần giúp học sinh làm quen và sau đó tạo cơ hội cho học sinh
luyện tập, thể hiện một cách thường xuyên thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở, hệ thống bài
tập từ dễ đến khó.

Trên đây là một vài ý tưởng của tơi đã đưa ra trong q trình lên lớp trong giờ luyện
tập hình học. Theo tơi nó có tác dụng:

- Giúp các em củng cố kiến thức đã học;

- Giúp các em biết vận dụng kiến thức đã học vào bài tập;

- Rèn kĩ năng trình bày cho học sinh;

- Phát triển tư duy tốn học thơng qua các thao tác tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá,
tương tự hố, tư duy thuận đảo,…

- Dần dần hình thành phương pháp tìm lời giải bài tốn hình học, tư duy linh hoạt,
phương pháp học toán, học sáng tạo toán học.

Kết quả là:

- Giúp các em nắm được kiến thức cần thiết, vận dụng linh hoạt, mềm dẻo vào tình
huống cụ thể;

- Khi thực hiện bài giảng này trong giờ luyện tập, thấy các em hứng thú tiếp thu và
hứng thú học tập, dần dần hình thành cho học sinh nhìn thấy bài tốn gốc, qui lạ về quen.

- Giúp cho học sinh khá giỏi khơng những hình thành kỹ năng giải tốn mà cịn giúp
các em rèn luyện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái quát hố, đặc biệt hố, …

- Bước đầu hình thành ở các em cách học sáng tạo, tạo cho các em có thói quen sau
khi giải quyết xong bài tốn trong sách giáo khoa tự mình nghiên cứu, khai thác, tự đặt cho
mình những bài tốn mới,…Qua đó giúp các em có phương pháp tự học, tự nghiên cứu.

- Thơng qua tiết dạy giờ luyện tập, ơn tập cịn cho học sinh thấy được những bài toán
trong SGK tưởng như hết sức đơn điệu, khơng có gì đáng để bàn thêm, học sinh chỉ cần
hồn thành u cầu của bài tốn là xong. Như thế trong tiết luyện tập nếu trước đó giáo viên
giao bài về nhà để học sinh làm, tiết sau chữa thì chỉ tìm thấy cái đúng, sai của học sinh, rèn

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Khai thác bài toán hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học

kĩ năng trình bày cho học sinh. Cịn đối với học sinh khá giỏi thì một tiết học đó khơng
mang lại kết quả nhiều như mong muốn. Nếu giáo viên thực hiện khai thác, phát triển bài
toán như tác giả đã thể hiện trong đề tài thì tiết học đó sơi nổi, cuốn hút mọi đối tượng học
sinh, phát huy hết khả năng sáng tạo của trò. Một tiết học như vậy sẽ để lại nhiều ấn tượng.
Từ đó học sinh sẽ tự mình làm những việc mà trước đó người thày phải làm hoặc thiết kế
cho học sinh.

Khi giảng dạy ở ba lớp 9B, 9C và 9D trước khi thực hiện đề tài tôi đã khảo sát bằng
bài kiểm tra dưới hình thức cho 02 bài trong đó 01 bài trong SGK, 01 bài là từ bài đó tơi
thay đổi một chút. Với kết quả như sau:

Bảng số liệu trước khi thực hiện đề tài:

Lớp Tổng số 0 đến 2 3 đến 4 5 đến 6 7 đến 8 9 đến 10

9B 37 4 15 12 4 2

9C 37 3 14 15 3 2

9D 41 2 13 14 14 4

Sau khi thực hiện đề tài ngoài việc thu được những kết quả nêu trên, kết quả thu được
còn thể hiện qua bảng số liệu sau:

Bảng số liệu sau khi thực hiện đề tài:

Lớp Tổng số 0 đến 2 3 đến 4 5 đến 6 7 đến 8 9 đến 10

9B 37 0 9 17 8 3

9C 37 0 7 17 8 5

9D 41 0 4 20 10 7

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Trong mỗi tiết lên lớp, đứng trước mỗi bài tốn nói chung, bài tốn hình học nói riêng
người thày cần tn thủ q trình ba bước:

- Tìm tịi lời giải bài tốn; 
- Trình bày lời giải;

- Nghiên cứu sâu lời giải.

Để giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, có kĩ năng trình bày và có phương pháp
tư duy đúng đắn người thày cần phải mẫu mực trong hai bước đầu., Để phát huy tính sáng
tạo, phát triển tư duy hình học của học sinh nhất là những học sinh khá giỏi thì người thày
đặc biệt coi trọng bước thứ ba. Vì theo như Pơlya: "Một người thày giáo giỏi phải hiểu và
làm cho học sinh hiểu rằng khơng có một bài tốn nào là hồn tồn kết thúc. Bao giờ cũng
cịn một cài gì đó để suy nghĩ. Có đầy đủ kiên nhẫn và chịu khó suy nghĩ sâu sắc, ta có thể
hồn thiện cách giải và trong mọi trường hợp bao giờ cũng hiểu được cách giải sâu sắc
hơn".

Hơn nữa tư duy toán học thể hiện nhiều ở quá trình tìm cách giải và nghiên cứu sâu
lời giải thơng qua các hoạt động trí tuệ chủ yếu: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự,…
Cũng theo như Pơlya khẳng định: "Đặc biệt hố, khái qt hố, tương tự là nguồn gốc vĩ đại
của phát minh".

2. Hiệu quả kinh tế-xã hội của đề tài

Với việc làm, công việc chuẩn bị một giờ lên lớp của giáo viên địi hỏi phải có một
thái độ lao động nghiêm túc, sự say mê khoa học, lịng u nghề thì tiết dạy mới thành cơng,
tạo sự say mê học tập, tính tò mò ham học hỏi của học sinh.

Cái đơn giản là chỉ cần xuất phát từ những bài tốn có ngay trong SGK, như vậy tính
hiệu quả là rất cao. Các em sẽ thấy SGK là một tài liệu cung cấp kiến thức

cơ bản, là tài liệu mà mình có thể nghiên cứu, tự mở rộng kiến thức,…

Cái quan trọng hơn là hình thành cho học sinh tư duy tốn học, tư duy nghiên cứu
khoa học, tính độc lập sáng tạo, những thao tác này sẽ theo các em trong cả cuộc đời.

3. Những khuyến nghị quan trọng nhất từ kết quả của đề tài

Người thực hiện: NGUYỄN XUÂN CHUYÊN -THCS Nguyễn Thị Minh Khai

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Khai thác bài tốn hình học nhằm phát triển tư duy Tốn học

Trên đây là một đề tài thực hiện mở rộng các vấn đề từ những bài toán đơn giản trong
SGK. Qua đây độc giả có thể cịn có những ý tưởng hay hơn nữa. Xong tôi chỉ dừng lại ở
mức độ này để phù hợp với năng lực và trình độ của học sinh bậc THCS, phù hợp với
chương trình SGK phổ thơng.

Tóm lại, với phương pháp nghiên cứu này ít nhất người thày cũng nâng cao được tay
nghề cho bản thân mình, xây dựng được hệ thống kiến thức cần có để định hướng cho học
sinh trong q trình học.Song quan trọng hơn là gây hứng thú học tập bộ mơn cho học sinh
giúp các em có phương pháp học tập mơn hình một cách hiệu quả.

Để một giờ lên lớp hiệu quả, có chất lượng cao địi hỏi người thày phải có thời gian
tự nghiên cứu chính vì vậy giáo viên cần thêm thời gian tự nghiên cứu, tự học để bài giảng

đạt kết quả cao.