Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 trường THPT Nguyễn Duy Thì, Vĩnh Phúc năm học 2016 - 2017 (Lần 1)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (163.23 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trường THPT Nguyễn Duy Thì

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 
ĐỀ THI MƠN TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1(3 điểm): Cho hàm số: (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị của hàm số (1).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của
, biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại sao cho ,
với .

Câu 2 (2 điểm):

1. Giải hệ

phương trình:
2.

Giải phương trình:
Câu 3(1 điểm):

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa
độ , cho hình chữ nhật có, điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: . Đường thẳng
đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ của và , biết điểm có
hồnh độ dương.

Câu 4 (2 điểm): Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong

mặt phẳng vng góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng .

1. Tính thể tích khối chóp theo .

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .

Câu 5(1 điểm) : Cho là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trường THPT Nguyễn Duy Thì

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2016-2017

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN

Câu Ý Lời giải Điểm

1 Cho hàm số: . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

1,5
2 3

2
x
y

x



 ( )C

( )C,
A B2
ABI(2,2) IB







 



2 1 2 1

( , ).
2

2 3 2 4

x y

x y

x y

x y x y x y

 

   






     





sin 2 3tan 2 sin 4
2.
tan 2 sin 2

x x x

x x

 




Oxy
ABCDC4 0
x y ABD 
3x 4yCBB 23 0

S ABCDABCD

2 3

2
x
y

x




</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
TXĐ:

 phương trình
đường TCN: y = 2

 phương trình đường
TCĐ: x = 2

0,5

 Hàm số nghịch biến
trên từng khoảng xác
định.

Hàm số khơng có cực trị.

0,25

Bảng biến thiên: 0,25

Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)
Giao điểm với trục hồnh: B(3/2;0)
Đồ thị:

0,5

2 Viết phương trình tiếp

tuyến của (C), biết tiếp 1,5

 

\ 2
D R

lim 2

x

y

 


2 2

lim ;lim

x x

y y

 

 

  





1
0
2

y x D

x



   



x
y’
y

-∞ 2 +∞

--∞
+∞
2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, 
B sao cho , với I(2;2).

Gọi

PTTT của (C) tại M:

0,55
Do và tam giác AIB vuông

tại I  IA = IB nên hệ số
góc của tiếp tuyến k = 1

hoặc k = -1. vì nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1.

0,5

0,25

 có hai phương trình tiếp tuyến:
;

0,25
2 1 Giải hệ

phương
trình:

1,0

Đk: 0,25

Pt(2) 0,25

Pt(1)

0,25

Hệ đã cho tương
đương:

Vậy hệ phương
trình có 2 nghiệm:

0,25

2 Giải phương trình: 1

Đk: (*) 0,25

Pt tương đương:

0,25

0,25
Nghiệm thỏa mãn (*)

Phương trình có 2 họ
nghiệm:

0,25

3 Trong mặt phẳng với hệ
trục tọa độ , cho hình chữ

nhật có , điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: . Đường 
thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ 
của và , biết điểm có hồnh độ dương.

1,0

Gọi , M là trung điểm AB, I
là giao điểm của AC và d2:
3x – 4y – 23 = 0.

Ta có đồng

0,25
0
0
0
2 3
; ( )
2
x

M x C

x
  

 

 









2
0 0
2 2
0 0

2 6 6

1
2 2
x x
y x
x x
 
 

AB 2IB 





/
2
1
0
2
y
x

 






0
2
0
0
1
1

1
3
1
x
x
x



   

 
6
yx







 



2 1 2 1 (1)

,
2

2 3 2 4 (2)

x y

x y

x y

x y x y x y

 
   



     


2
yx

1
2
1
2
x
y





 








2 2 1 0

3 3 2 2 4 0

2 4 0 ( )
x y

x y x y y

x y loai

  


        

  







2 4

2 1 2 1

x y xy

x y  

    















 











2
2
2
4

2 2 2 4 2 1

8 4 3 4 3 4 5

4 3 0

4 5 4 3 8 ( ) ( 1 4 4 5 0)

x y xy

x y xy x y

xy xy xy

xy

xy xy loai do x y xy xy

   
        
 
 
    
 

 
        

1 3
1
2 2
3
3 1

4 2 2

x y x x

xy y y

 
   
  
  
 
  


    
  
 

1 3 3 1

; , ;

2 2 2 2

   

 

   

   

sin 2 3tan 2 sin 4
2
tan 2 sin 2

x x x

x x

 





cos 2 0

tan 2 sin 2 0
x
x x



 


3sin 2xtan 2xsin 4x0



 



3sin 2 cos 2 sin 2 sin 4 cos 2 0
cos 2 1 sin 2 sin 4 0

x x x x x

x x x

   

2
cos 2 1

cos 2 1 0

sin 2 0

sin 4 sin 2 0 2

1
cos 2
2 3
x k
x
x

x x k

x x

x x k







 
 
  
 

  
      

 
 


   


3

x  k

3
x  k

Oxy
ABCD(5, 7)
A C4 0
x y ABD 
3x 4yCBB 23 0



; 4



C c c d
AIM

CID 10 10

2 2 ;

3 3

c c

CI AI CI IA I   

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

dạng

Mà nên ta có:

Vậy C(1;5). 0,25

Ta có: 0,25

Do 0,25

4 1 Cho hình chóp có đáy là

hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng
vng góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng .

1. Tính thể tích khối

chóp theo .

1,0

H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD
Ta có:

0,25
Góc giữa (SCD) và mặt đáy

là 0,25

Ta có 0,25

0,25
2 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . 1,0

Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ
đường thẳng  đi qua H ,   d và  cắt d tại J,  cắt BD tại I. trong
(SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K.

Khi đó:

0,25

Ta có đồng

dạng 0,25

Xét vng tại H,
ta có:

Vậy

0,5

5 Cho là ba số duơng. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1,0
2

I d

10 10

3 4 23 0 1

3 3

c c

c

 

    

3 23 3 9

; 2 5;

4 2

t t

M d  M t   B t   
3 5   3 19

2 10; , 2 6;

2 2

t t

AB t   CB t  

   

 



 





 



1
1

. 0 4 5 3 3 5 3 19 0 29

5
t

AB CB t t t t

t





        

 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

( 3; 3) ( )

33 21
;
33 21

; 5 5

5 5

B loai

B
B

 


 



     

    

  



a
0
60

S ABCD
(ABCD.SCDSABa )

S ABCD













SH AB

SH ABCD

SAB ABCD

 

 



  3

2
a
SH 

0
60
SMH

 

0
tan 60 2

SH a

HM  2  3

1 3 3

. .

3 2 2 12

S ABCD

a a a

V

  DBSAa 

BD SA,  I S d,( , ) 2 H S d,( , ) 2 H SBD,( ) 2

d d  d  d  HK

BIH
BAD

 . 5

IH BH BH AD a

IH

AD BD BD

    

SHI


2 2 2

1 1 1 3

8
a
HK

HK HS  HI  

 , 

3
4

BD SA

a

d 

, ,
a b c



 



2 2 2

1 2

1 1 1

1
P

a b c

 

  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

0,25

0,25
Vậy

=
với

0,25

Vậy giá trị lớn nhất
của khi

0,25





















2 2

2 2 2

2 2 2 1 1 1

1 1 1

2 2 2 4

a b c

a b c        a b  c   a b c  

 



 



3 3

1 1 1 3

1 1 1

3 3

a b c a b c

a b c            

   





2 54

1 3

P

a b c a b c

 

     





2 54

( )
2 f t
t  t 

1 ( 1)

t a b c    t 





/ /

4
2

4
2 162

( ) ; ( ) 0

1( )
2

t

f t f t

t loai

t t




    



 

f’(t)

f(t)

t 1 4 +(

-1/4

0 0

1
1

a b c

a b c a b c

c

  




     


 


</div>