sở gdđt hà nội sở gdđt hà nội trường thpt quốc oai đề thi học sinh giỏi cụm môn toán lớp 11 thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề đề bài câu i 4đ giải phương trình tanx sin2 x eq f

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

<b>TRƯỜNG THPT QUỐC OAI</b> <b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỤM_{MƠN TỐN - LỚP 11}</b>

<i>Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)</i>

ĐỀ BÀI:

<b>Câu I (4 đ ) : Giải phương trình:</b>

tanx = sin2_{(x + ) + cos}2_{(2x + ) + sinx. sin (3x + )}
<b>Câu II (4 đ ): </b>

Cho dãy số: (Un) xác định như sau:
() Un = ; n = 1, 2, 3…

Chứng minh rằng: U1 + U2 + U3 + … + U2010 <
<b>Câu III (3 đ ): </b>

Người ta sử dụng ba loại sách gồm: 8 cuốn sách về Toán học, 6 cuốn sách về
Vật lý và 5 cuốn sách về Hoá học. Mỗi loại đều gồm các cuốn sách đơi một khác
loại nhau. Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giải
thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn?

<b>Câu IV (5 đ ) </b>

Cho lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác vng tại B. Cho AB=a,
BC = b; AA1= c (a2 _{+ b}2_{< c}2_{). Một mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với CA1.}

- Xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với lăng trụ ABC.A1B1C1
- Tính diện tích thiết diện đó theo a; b; c.

<b>Câu V (4 đ ) </b>

Với x; y; z > 0 thoả mãn: x4_{+ y}4_{+ z}4_{= 3}
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = x + y + 2z

Họ tên thí sinh:……….

<i>L</i>

<i> ư u ý : Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.</i>

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

I

Áp dụng đẳng thức:

sin(a +b) sin(a - b) = sin2_acos2_{b - cos}2_asin2_b
= (1 - cos2_{a) (1 - sin}2_{b) - cos}2_asin2_b

1đ

 cos2a + sin2b + sin (a+b) sin(a-b) = 1 1đ

Chọn a = (2x + ); b = (x + ) ta được:

cos2_{(2x + ) + sin}2_{(x + ) + sinx.sin(3x + ) = 1} 1đ
PT đã cho tương đương: tanx = 1  x = + k; kZ 1đ

II

Ta có: Uk = = 0,5

 Uk < , do < = 0,5

 Uk < - 0,5

Do đó:

U1 + U2 + … + Uk < (1 - ) + ( - ) + … + - 0,5

 U1 + U2 + … + Uk < 1- 0,5

Vì 1- = 1 - < 1 - = 1- = 0,5

Vậy: U1 + U2 + U3 + … + Uk < 0,5

Khi k = 2010 thì : U1 + U2 + … + U2010 < = 0,5

III

Sử dụng cách tính gián tiếp:Số cách chọn 7 trong số 19 cuốn sách
một cách bất kỳ là 7

19

<i>C</i>

Số cách chọn không đủ cả ba loại sách là:

. Số cách chọn 7 trong số 11 cuốn sách Lý và Hố là <i>C</i>₁₁7 (khơng
có sách Tốn)

0,5

. Số cách chọn 7 trong số 13 cuốn sách Hoá và Toán là <i>C</i>137 (khơng

có sách Lý) 0,5

. Số cách chọn 7 trong số 14 cuốn sách Toán và Lý là <i>C</i>147 (khơng

có sách Hố) 0,5

. Số cách chọn 7 trong số 8 cuốn sách Tốn là <i>C</i>87 (khơng có sách

Lý và Hố) 0,5

. Vì mỗi cách chọn khơng có sách Lý và Hố thuộc cả hai phép
chọn: Khơng có sách Lý và khơng có sách Hố. Nên số cách phải
tìm là : <i>C</i>₁₉7  <i>C</i>₁₁7  <i>C</i>₁₃7  <i>C</i>₁₄7 <i>C</i>₈7 44918 cách

1đ
IV * Từ giả thiết: AA1 = c; AB = a; BC = b

Và có: c2_{> a}2_{+ b}2

 AA1 > AC

Trong hình chữ nhật ACC1A1 hạ AH  A1C

0,5

A

1 C1

A N C

K
H

O
B₁

B

a _b

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
 H OC (O là trung điểm A1C)

Suy ra AH kéo dài cắt CC1 tại M

 AM  (P)

1,0

* Ta có: AA1 > AC > AB. Nên trong hình chữ nhật ABB1A1 hạ

AK  A1B => AK cắt BB1 tại N.

Chứng minh được: BC  (AA1B) => CB  AK => AK  (A1BC)

=> AK  (P)

1,0

* Vậy thiết diện là: AMN 0,5

* Hình đối xứng của lăng trụ ABC.A1B1C1 qua mặt phẳng ACC1A1
là hình lăng trụ đứng: ACB'.A1C1B'1. Do đó mp (P) cắt lăng trụ tứ
giác ABCB'.A1B1C1B'1 theo thiết diện là tứ giác ANMN' nhận AM
làm trục đối xứng => NN'  AM.

0,5

Do NB = N'B' => NN'// BB'; NN' = BB' => đường cao của  AMN

bằng đường cao của  ABC hạ từ B đến AC.

Dễ dàng tính được đường cao đó bằng: 0,5

* Trong tam giác MCA có : AM = 2 2
1
os MAC os AA

<i>AC</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>c</i> <i>c</i> <i>C</i>




 

2 2 2 2 2 2 2

1
1

.
AA

A

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>c</i>

<i>C</i>

   

 

0,5

* SAMN =

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

1 .

.

2 2

<i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>c</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i>

  

  

 0,5

V Ta có: với a > 0. Áp dụng BĐT Bunhiakopsky

P2₌

_

_

2

2 2 2

1 1 2

. 2 1 ax 4

a

<i>ax</i> <i>a y</i> <i>z</i> <i>ay</i> <i>z</i>

<i>a</i> <i>a</i>
   
  _  _  
 
 
 
0,5

=>

_

_{ }

_

2

4 2 2 4 4 4

1 2 16

<i>P</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>a</i>
 
_  _   
 





2
2
43 2 1 2 16

<i>P</i> <i>a</i>
<i>a</i>
 
  _  _ 
 
0,75

Dấu "=" xảy ra  2 2 2

2 2 2 2

ax=2z 4

x 4

4

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

=> a3_x2_z2_{= 16x}2_z2

 a = 3₁₆ _0,5

Vậy dấu "=" xảy ra khi 4 3 4

4 4 4

16
3
<i>x</i> <i>y</i>

<i>z</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>









  



0,5
=> x = y = ₄ 3 ₄

3 3

3 3

; 2.

2 16 <i>z</i> 2 16 0,75

Do đó Pmax =

_

_

2
3
4

3
2

3 1 8 4 16

16

 

 

 

 

</div>

<!--links-->