hs chua gia tri tuyet doi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (196.39 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1. Giải phương trình và hệ phương trình.

Dạng 1. Sử dụng tính đơn điệu.

Phương pháp:

Nếu y=f x

( )

là hàm số đơn điệu ( ln tăng hoặc ln giảm) thì: f u

( )

=f v

( )

Û u=v

Bài Tập.

Bài 1. Giải phương trình:

a) cos2 cos 2 2

3 x- 3- x+ = - cos x- cosx+2
b)

2
2 2

log 3 2

2 3 3

x x x

x x

+ = + +

+ +

Bài 2. Cho phương trình: 2 2 2 22 4 2 2

5x+mx+ - 5x+mx+ +m =x +2mx+m
Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc

( )

0;1
Bài 3. Giải hệ phương trình

3 3

2 2

7 7

x x y y

x y x y

ìï + = +

ïïí

ï + = + +

ïïỵ (CĐSP Trà Vinh Khối A – 2005 )

Bài 4. Giải hệ phương trình

3 3

6 6

3 3

x x y y

x y

ìï - =

-ïïí

ï + =

ïïỵ (ĐH Ngoại Thương Khối A – 2001 )

Dạng 2.

Sử dụng GTLN VÀ GTNN
Phương pháp:Giải phương trình f x

( )

=a

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Vấn đề 2.

SỬ DỤNG GTLN VÀ GTNN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương Pháp:

( )

0 min

( )

x D

f x x D f x m

Ỵ

³ " Ỵ Û = ³

( )

0 max

( )

x D

f x x D f x M

Ỵ

£ " Ỵ Û = £

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

a) sinx x- <0, " >x 0
b) cos 1 2, 0

x

x> - " >x
Giải.

a) Cách 1. Dùng bảng biến thiên
Đặt f x

( )

=sinx x- với x>0
Ta có f x'

( )

=cosx- 1 0,£ "x

Dựa vào bảng biến thiên ta có f x

( )

<0, " > Û sinx 0 x x- <0, " >x 0
Cách 2. không dùng bảng biến thiên

Đặt f x

( )

=sinx x- với x>0
Ta có f x'

( )

=cosx- 1 0,£ "x
Suy ra hàm số nghịch biến " >x 0

Với x> Þ0 f x

( )

<f

( )

0 Û sinx x- <0
b) Đặt

( )

cos 1 2

x

f x = x- + với x>0

Ta có f x'

( )

= - sinx+ >x 0, " >x 0 theo câu a)

Dựa vào bảng biến thiên ta có f x

( )

>0, " > Ûx 0 cos 1 2, 0
2

x

x> - " >x
x

y’
y

0 + 

– 

x
y’
y

0 + 

+ 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 2. CMR: 3a3+7b3>9ab2 "a b, >0 (CĐSP Trà Vinh Khối B – 2005)

Giải.

Đặt f x

( )

=3x3- 9b x2 +7b3vi xẻ

(

0;+Ơ

)

ị f x'

( )

=9x2- 9b2, f x'

( )

= Û0 x=b

Từ bảng biến thiên ta có: f x

( )

³ b3> " ẻ0 x

(

0;+Ơ

)

M aẻ

(

0;+Ơ ị

)

f a

( )

> Û0 3a3+7b3- 9ab2>0

Vậy: 3a3+7b3>9ab2 "a b, >0

Ví dụ 3.Cho 256b3³ 27a4, CMR: x4+ax b+ ³ 0 " Ỵ ¡x

Giải.

Đặt f x

( )

=x4+ax b+ ³ 0

Þ f x'

( )

=4x3+a, '

( )

0 3

a
f x = Û x=

-Từ bảng biến thiên ta có:

( )

4 4

a a

f x ³ b- "x
Theo giả thuyết: 256b3³ 27a4Þ 3

4 4

a a

b³ 3 0

4 4

a a
b

Û - ³

Vậy: f x

( )

³ 0, " Ỵ ¡x Û x4+ax b+ ³ 0," Ỵ ¡x

x
y’
y

0 b + 

b

+
_

x
y’
y

–  + 

4 a



+  + 

4 4

a a

b



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ 4.CMR: sin200 1

3
>

Giải.

Ta có sin600= - 4sin 203 0+3sin200 Û 4sin 203 0 3sin200 3

- + =

Đặt f x

( )

= - 4x3+3x xẻ

(

0;+Ơ ị

)

(

sin200

)

f =

ị f x'

( )

= - 12x2+3, f x'

( )

=0 Û 1

x=

Ta có: sin200 sin300 1

< = Þ 1,sin200 0;1

3 2

ỉ ửữ

ỗ ữ

ẻ ỗỗ ữữ

ỗố ứ

(

sin200

)

2
1 23
3 27
f
f
ỹ
ùù
ù
= ùù
ý
ổửữ ù
ỗ ữ = ù
ỗ ữ ù
ỗ ữ ù
ỗố ứ ùỵ

ị

(

sin200

)

f > ỗ ữổửỗ ữỗ ữữ

ỗố ứ (1)

T bng bin thiêng ta có hàm số f đồng biến trên khoảng 0;1

2
ổ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứ (2)

T (1) v (2) suy ra sin200 1

3
>

BÀI TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng

a) ex ³ 1+x, " ³x 0 b) 1 2, 0
2

x x

e ³ + +x " ³x
Bài 2. Chứng minh rằng

a) x>ln

(

x+1 ,

)

" >x 0 b) ln 2

(

)

, 0
1

x

x x

x

-> " >
+

Bài 3. Chứng minh rẳng: lnx< x, " >x 0
Bài 4. Chứng minh rằng: x4- x+ >1 0, " ẻ Ăx

Bi 4. Chng minh rng: 1+xlnỗỗỗốổx+ 1+x2ữữữứửữ 1+x2, " ẻx Ă

Bi 5. Tỡm tt c cỏc giá trị a để ln(1x) x ax2, x 0 Đáp số: 0< £a 1

Bài 6. a) Chứng minh rằng nếu a > 0 là số sao cho ax 1 x với mọi x0 thì a e

b) Tìm tất cả các giá trị của a để : ax 1 x x

   (HSG 12 Nam Định 2006)

Bài 7. Cho x³ y³ z³ 0. Chứng minh rằng: x z y x y z
z + + ³y x y+ +z x
x

y’

1

+ 

2

0 -

0
1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VẤN ĐỀ 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Nhắc lại một số kiến thức

a) Định nghĩa giá trị tuyệt đối: A = íìïïï -AA khi Akhi A³<00

ïỵ

b) Định lý cơ bản: A =B Û íìï ³ïïBA = ±0B

ïỵ

c) Một số tính chất về đồ thị:

+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

2. Ba dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Từ đồ thị( ) :C y=f x( )®( ) :C1 y= f x( )

Cách giải

B1. Ta có : ( ) :1 ( ) ( ) khi f(x) 0 (1)
( ) khi f(x) 0 (2)

f x

C y f x

f x

ìï ³

= = íï - <

ïỵ

B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) )
 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1)

Minh họa: ( ) :C y=x3- 3x+ ®2 ( ) :C1 y= x3- 3x+2

-1
-2

2
1
4
3

2
1

x
y

O
-1
-2

2
1
4
3

2
1

x
y

( )

y

=

f x

( )

y

=

f

-

x

( )

y

= -

f x

( )

y

= -

f x

-y

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Dạng 2:Từ đồ thị ( ) :C y=f x( )®( ) :C2 y=f x( ) ( đây là hàm số chẵn)

Cách giải

B1. Ta có : ( ) :C2 y=f x

( )

= íìïï -ïf xf x( ) khi x( ) khi x³<0 (1)0 (2)

ïỵ

B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau.

Do đồ thị của hàm số chẳn nên ta chỉ cần vẽ phần nằm bên phải trục oy, và lấy đối xứng qua
oy ta sẽ được (C2).

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) )

 Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do tính chất hàm chẳn )
 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đượ (C2)

Minh họa: 3 3

( ) :C y=x - 3x+ ®2 ( ) :C y= x - 3x +2

O
-1
-2

2
1
4
3

2
1

x
y

O
-1
-2

2
1
4
3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Dạng 3:Từ đồ thị( ) :C y=f x( )®( ) :C3 y =f x( )

Cách giải
B1. Ta có : 3

( ) 0

( ) (1)

( ) : ( )

( ) (2)

f x

y f x

C y f x

y f x

ìï ³
ïï
ï é =
= Û í ê

ïï ê
=-ï ê
ï ë
ỵ

B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau:

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do f x

( )

³ 0)

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )
 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) )

Minh họa: ( ) :C y=x3- 3x+ ®2 ( ) :C3 y =x3- 3x+2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số : y= - x3+3x (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

) 3

a y= - x + x b) y= - x3+3x c) y = - x3+3x

Bài 2: Cho hàm số : 1

1
x

y
x
+
=

- (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

1
)
1
x
a y
x
+
=

- b)

1
1
x
y
x
+
=

- c)

1
1
x
y
x
+
=

- d)

1
1
x
y
x
+
=

- e)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3. Dùng đồ thị biện luận phương trình.

Nhắc lại lý thuyết: Xét phương trình f(x) = g(x) (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị
(C1): y = f(x) và (C2): y = g(x).

(nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm).

Bài toán: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: f x

( )

=m (*)

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị

( )

C :y=f x

( )

và đường thẳng y=m

Ví dụ: (ĐH 2006 khối A)

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=2x3- 9x2+12x- 4

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x3- 9x2+12x- 4- m=0

3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2x3- 9x2+12x =m

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Đại học – khối D – 2009.

Cho hàm số y=2x4- 4x2 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1)

b) Với giá trị nào của m thì phương trình x x2 2- 2=m có 6 nghiệm phân biệt.

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: - x3+3x2- 2- log2m=0

Bài 3. Tìm m để ptrình sau có hai nghiệm phân biệt: 2x2- 4x- 3 2+ m x- 1=0

Bài 4. Biện luận theo m số nghiệm của các pt : a) 2

x

m

x- = b)

x m

x- =

y

x

)
(C1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vấn đề 4. Chứng minh phương trình có nghiệm, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Dạng 1. Chứng minh phương trình có k nghiệm.

Bài tốn: Chứng minh phương trình f x

( )

=m (*) có k nghiệm.

Phương pháp:

Phương trình (*) có k nghiệm khi đồ thị

( )

C :y=f x

( )

cắt đường thẳng y=mtại k điểm.
Nói riêng:

Phương trình f x

( )

=0 có k nghiệm Û đồ thị hàm số

( )

C :y=f x

( )

cắt trục hoành tại k điểm.

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình sau đây có ba nghiệm: x33x2 2 0

Bài 2. Chứng minh rằng phương trình 2x x2 - 2=11 có nghiệm duy nhất.

Bài 3. Đại Học – Khối D – 2004.

Chứng minh phương trình sau đây có đúng một nghiệm: x5- x2- 2x- 1 0=

Bài 4. THTT.

Phương trình x2=100sinx có mấy nghiệm thuộc đoạn éê2 ;3p pùú

ë û

Dạng 2. Xác định m để phương trình có nghiệm.

Phương trình f x

( )

=m có nghiệm Û minf x

( )

£ m£ maxf x

( )

Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình x2+2x- m=2x 1- (1)

1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI

(1)

2 2 2

1 1

x x

2 2

x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1.

ì ì

ï ï

ï ³ ï ³

ï ï

Û íï Û íï

ï + - = - ï = - +

-ï ï

ỵ ỵ

Đặt y= - 3x2+6x 1- , với x 1

2
³ ta có:
Bảng biến thiên

x - ¥ 1

2 1 +¥

y 2
5

4 - ¥

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

1) m£ 2, 2) m 5 m 2
4

< Ú = , 3) 5 m 2

4£ < .

Bài 2. Tìm điều kiện của m để x+ -1 m x 1 2 x- + 4 2- 1= 0 (5) có nghiệm thực.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện: x³ 1.

+ x = 1: (5) vô nghiệm.

+ x > 1: (5) 4 x 1 m4 x 1 2 0

x 1 x 1

-Û - + =

- + .

Đặt t 4 x 1 41 2 t (1; )

x 1 x 1

= = + ị ẻ +Ơ

- - ,

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bi 4 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:

(

2 2

)

4 2 2

m 1 x+ - 1 x- +2 =2 1 x- + 1 x+ - 1 x- (18) có nghiệm thực.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = 1 x+ 2- 1 x , - 2 - 1£ x£ 1

(

2 2

)

2 2

x 1 x 1 x

t' 0 x 0

1 x . 1 x

+ +

-Þ = = Û =

-t( 1) = 2, t(0) = ị0 tẻ ộờở0; 2 , xùúû" Ỵ -éë 1; 1 .ùû
(18) trở thành m(t 2) 2 t2 t m t2 t 2

t 2

- + +

+ = - + Û =

+ .

Xét hàm số

2 2

t t 2 t 4t

y y' 0, t 0; 2

t 2 (t 2)

- + + - - é ù

= Þ = £ " Ỵ êë úû

+ + .

Bảng biến thiên

x - ¥ 0 2 +¥
y’ 0 –
y 1

2 1

-Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực Û 2 1- £ m£ 1.

Bài tập:

Bài 1. Tìm m để phương trình x3- 3x2- m=0 có nghiệm xỴ ê úé ù1;3

ë û
Đáp số:

-

4 £

m

£

0

Bài 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 3 2 2 3

x

x x

e - e + e =m
Đáp số:

Bài 3. Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: - x3+3x2+k3- 3k2=0

Đáp số:

- < <

1 k

3,

k

¹

0,

k

¹

2

Bài 4. Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 1 1 2 1 1 2

9+ -x - (a+2).3+ -x +2a+ =1 0
Đáp số:

a

³

4

Bài 5. Cho phương trình

(

2+ 3

) (

x+ -2 3

)

x =m
a) Giải phương trình khi m = 4

b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm.
Đáp số:

Bài 6. Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm 7- x+ 2+ -x

(

7- x

)(

2+x

)

=m

Đáp số:

Bài 7. Cho phương trình x2+ 1- x+ 1+ =x m

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Xác định m để phương trình có nghiệm.

Đáp số: a) b)

1

2

5

2 m

+

£

Bài 8. Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm x+ 9- x- - x2+9x+m=0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Đặt t = - x2+9x, 0 9

t

£ £

(1) Û m = - t2+2t+9 Đáp số: 9 10

4 m

- £ £ )

Bài 9. (ĐH 2006 Khối B)

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x2+mx+ =2 2x+1

Đáp số:

Bài 10. (ĐH 2007 Khối A)

Tìm m đề phương trình sau có nghiệm 3 x- 1+m x+ =1 24x2- 1

Đáp số:

Bài 11. (ĐH 2007 Khối B)

Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực
phân biệt: x2+2x- 8= m x

(

- 2

)

Đáp số:

Bài 12. (ĐH 2008 khối A)

Tìm tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm

42x+ 2x+2 64 - x+2 6- x=m

Đáp số:

Bài 13. (ĐH 2007 khối D)

Tìm các giá trị của tham số m để hệ ptrình có nghiệm

3 3

1 1 5

1 1 15 10

x y

x y m

x y

ìïï + + + =
ïïï

íï

ï + + + =

-ïï
ïỵ

Đáp số:

Mệnh đề 3:

a) Bất phương trình f x

( )

³ m có nghiệm Û maxf x

( )

³ m

b) Bất phương trình f x

( )

³ m nghiệm đúng với "x Û minf x

( )

³ m
Mệnh đề 4:

a) Bất phương trình f x

( )

£ m có nghiệm Û minf x

( )

£ m

b) Bất phương trình f x

( )

£ m nghiệm đúng với "x Û maxf x

( )

£ m

Bài 4. Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn: cos2A+2 2cosB +2 2cosC =3
Tìm A, B, C. ( ĐH 2004 Khối A)

Bài 5. Tính các góc của tam giác ABC nếu cos 3 cos

(

cos

)

5
2

A+ B + C =

Bài 6. Tam giác ABC vuông hoặc tù, tìm các góc của tam giác ABC biết
cosA+cosB +cosC = 2

Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn có A =Max A B C

(

, ,

)

, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

sin2 sin2

sin

P B C

A

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

cos2A+2 2cosB +2 2cosC =3Û - sin2A+2 2sin cosA2 B C-2 - 1 0=
Do tam giác ABC không tù nên sin sin cos

2 2 2

A ³ A B C

-Suy ra: sin2 2 2sin 1 sin2 2 2sin cos 1

2 2 2

A A B C

A A

-- + - ³ - +

-Þ sin2 2 2sin 1 0

A
A

</div>

hs chua gia tri tuyet doi

<b>CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ</b>

<b>Vấn đề 1. Giải phương trình và hệ phương trình.</b>

<b>Dạng 1. Sử dụng tính đơn điệu.</b>

( )

( )

( )

( )

<b>Dạng 2. </b>

( )

<b>Vấn đề 2.</b>

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

<i>b</i>

4

<i>a</i>



4 4

<i>a a</i>

<i>b</i>



( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

( )

<i>y</i>

=

<i>f x</i>

( )

<i>y</i>

=

<i>f</i>

-

<i>x</i>

( )

<i>y</i>

= -

<i>f x</i>