Bài giảng de thi hsg toan cuc hay

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI LÝ THYẾT CHỌN GVDG HUYỆN.
CHU KỲ 2010-2012. MÔN THI: TOÁN
Thời gian:150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. a. Anh (chị) hãy cho biết trình tự dạy học định lý toán học.
b. Vận dụng trình tự đó vào việc dạy định lý “ Tổng ba góc trong của một tam giác”
Câu 2. a. Chứng minh rằng:
1005
4 1 3− M
b. So sánh phân số:
34568
45683
A =
và
34569
45684
B =
c. Tìm các số nguyên dương n để phân số:
2 11
2
n
n
+
−
là phân số tối giản.
Câu 3. Tìm
, ,x y z
biết: a.
2 ;3 4x y x z= =
và
3 5 15x y z− + =
;

b.
2
9 2 5 30 0x x x− − + =
c.
2 1 1
2 1
2
x
x x
− −
− − =
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
3S x
x
= +
với
2x ≥
Một học sinh đã giải như sau: Vì
2x ≥
nên áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số:
3x
và
1
x
Ta có:
1 1
3 2 3 .S x x
x x
= + ≥

hay
2 3S ≥
. Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
1 3
3
3
x x
x
= ⇔ =
. Vậy
giá trị nhỏ nhất của
S
là
2 3
, đạt được khi
3
3
x =
. Hãy chỉ ra sai lầm trong lời giải trên và giải lại
cho đúng.
Câu 5. Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M thuộc đường chéo AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng
song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại Q và K. P là hình chiếu của M trên DC.
a. Chứng minh:
∆
QMP =
∆
BKM từ đó suy ra BM vuông góc với PQ tại H.
b. Cho
1
3

MC
MA
=
. Tính tỷ số:
MH
QH
.
Câu 6. Cho 3 điểm A, B, C cố định sao cho AB + BC = AC. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và
C (BC không phải là đường kính của (O)). Từ A vẽ các tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M,
N là hai tiếp điểm). Lấy I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Gọi giao điểm MN với AC là H. Chứng
minh:
a. Năm điểm A, M, O, I, N cùng thuộc một đường tròn.
b. Khi (O) thay đổi thì độ dài AH không đổi.
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)
Hết./
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI LÝ THYẾT CHỌN GVDG HUYỆN. CHU
KỲ 2010-2012. MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm
1 a Trình tự dạy học định lí bao gồm các hoạt động sau:
-HĐ1: Tạo động cơ học tập định lí.
-HĐ2: Phát hiện định lí.
-HĐ3: Phát biểu định lí.
-HĐ4: Chứng minh định lí.
-HĐ5: Củng cố định lí.
-HĐ6: Bước đầu vận dụng định lí trong giải bài tập đơn giản.
-HĐ7: Vận dụng định lí trong bài tập tổng hợp.
0,2
0,2

0,2
0,2
0,2
2,0
b Vận dụng vào dạy học định lí “Tổng ba góc của một tam giác”:
-HĐ1: Cho 2 tam giác có hình dạng khác nhau, yêu cầu HS đo các góc
trong mỗi tam giác và tính tổng ba góc trong mỗi tam giác đó.
-HĐ2: Từ kết quả của phép đo, các em phát hiện định lí.
-HĐ3: Yêu cầu HS phát biểu đầy đủ định lí.
-HĐ4: Hướng dẫn chứng minh định lí.
-HĐ5: Vận dụng và củng cố.
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
2 a Ta có:
1005
4 1−
=
2010
2 1−
=
2009 2008 2007 2009 2008
(2 1).(2 2 2 ... 1) 3.(2 2 ... 1) 3+ − + − − = − + − M
0.25
0.25
1,5
b
Đặt

34568
45683
a
A
b
= =
1
1
a
B
b
+
⇒ =
+
.
Vì
1
a
b
<
,
0b >
1
1
a a
b b
+
⇒ >
+
hay A<B.

0.25
0.25
c
Ta có:
2 11 2 4 15 15
2
2 2 2
n n
n n n
+ − +
= = +
− − −
.
Để
2 11
2
n
n
+
−
tối giản thì
15
2n −
tối giản.
⇒
15 và n-2 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Mà 15 có các ước dương là: 1; 3; 5; 15 nên:
2 3
2 5
n k

n k
− ≠


− ≠

⇒
3 2
5 2
n k
n k
≠ +


≠ +


0.25
0.25
3 a
2 ;3 4
2 4 3
x x z
x y y x z= ⇒ = = ⇒ =
4 2 3
x y z
⇒ = =
0.25 2,0
3 5 3 5 15
3

12 10 3 12 10 3 5
x y z x y z− +
⇒ = = = = =
− +
(Vì
3 5 15x y z− + =
)
12
3 6
4 2 3
9
x
x y z
y
z
=


⇒ = = = ⇒ =


=

0.25
0.25
b ĐKXĐ:
0x
≥
2 2
2 2

9 2 5 30 0 ( 10 25) ( 2. . 5 5) 0
( 5) ( 5) 0
5 0
5 0 5
5 0
x x x x x x x
x x
x
x x
x
− − + = ⇔ − + + − + =
⇔ − + − =
− =


⇔ ⇔ − = ⇔ =

− =


Vậy nghiệm của PT là x=5 (TMĐKXĐ)
0.25
0.25
0.25
c
ĐKXĐ:
1
2
x ≥
( )

2
2 1 1
2 1 2. 2 1 2 1 1
2
2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1
2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
2 1 1 0 2 1 1 2 1 1 2 2 1
x
x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
− −
− − = ⇔ − − = − −
⇔ − − = − − ⇔ − − − + = − −
⇔ − − = − − ⇔ − − = − −
⇔ − − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Kết hợp với ĐKXĐ ta có nghiệm của PT là
1x ≥
0.25
0.25
4 a Sai lầm của HS:
Khi kết luận giá trị nhỏ nhất của S là
2 3
đạt được khi
3
3
x =
là chưa
đúng do không đối chiếu “điểm rơi”

3
3
x =
với điều kiện bài toán cho là
2x
≥
.Nhận thấy
3
2
3
<
nên kết luận trên chưa đúng.
0.5
1,0
b
Lời giải đúng: Ta có: S=
1 12 11
3 3x x
x x x
+ = + −
Vì
2x ≥
nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số
3x
và
12
x
ta có:
12 12
3 2. 3 .x x

x x
+ ≥
hay
12
3 12x
x
+ ≥
(1) Dấu “=” xẩy ra khi
12
3 2x x
x
= ⇔ =

(do
2x
≥
)
0.25
H
P
Q
K
D
C
A B
M
Vì
2x
≥
11 11 11 11

2 2x x
⇒ ≤ ⇒ − ≥ −
. (2) Dấu “=” xẩy ra khi
2x
=
Từ (1) và (2) ta có:
S=
12 11 11
3 12
2 2
x
x
+ − ≥ −
hay
13
2
S ≥
.Dấu “=” xẩy ra khi
2x
=
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là
13
2
đạt được khi
2x =
0.25
5 Hình
vẽ
0,25
1,5

a MKCP hình vuông (MKCP hình chữ nhật có đường chéo MC là phân
giác)
⇒
KC= MP = MK
ABCD hình vuông, QK // AB nên QK = AB = BC
⇒
MQ = BK
Từ lập luận trên suy ra được
∆
QMP =
∆
BKM (Hai cạnh góc vuông)
⇒

ˆ
ˆ
MQP MBK=
Mặt khác:
ˆ ˆ
QMH BMK=
(Đối đỉnh)
⇒
0
ˆ
ˆ ˆ ˆ
90QMH MQH BMK MBK+ = + =
Hay
BM PQ⊥
tại H
0,5

0,25
b
1
3
MC PC MP
AM PD MQ
= = =
(Vì MP//AD, áp dụng định lý talet)
C/m được
∆
MPH đồng dạng với
∆
QMH
1
3
MH MP
QH MQ
⇒ = =
0,25
H
E
I
N
M
C
B
O
A
6 Hình
vẽ

0,25
2,0
a Chứng minh được hai tứ giác AMON
và AMOI nội tiếp
Suy ra 5 điểm A, M, O, I, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
0,5
0,5
0,25
b C/m được EOIH nội tiếp để suy ra AE . AO = AH.AI
Xét
∆
AOM có ME đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông có: AM
2
= AE.AO
Mà AM
2
= AB.AC (Tính chất đường tròn)
⇒
AH.AI = AB.AC
.AB AC
AH
AI
⇒ =
Vì A, B, C cố định nên I cố định suy ra AH không đổi
0,25
0,25
Giải các cách khác nhau đúng với yêu cầu đề ra thì vẫn chấm điểm tối đa