De thi HSG toan 7 hay

đề thi khảo sát học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 7
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1.( 4 điểm )
a,Cho biểu thức N =
4
1

+
a
a
. Tìm số nguyên a để N đạt giá trị nguyên.
b, Với mọi số n

N*, các phân số sau đây là số thập phân hữu hạn hay vô hạn
tuần hoàn?
A =
n
nn
12
93
2
+
; B =
70
200635
+
n
Câu 2.( 3 điểm )
Tìm số tự nhiên bé nhất có 3 chữ số M thoả mãn điều kiện sau:
M = a + b = c + d = e + f

Biết a; b; c; d; e; f

N* và
b
a
=
14
10
;
d
c
=
22
14
;
f
e
=
13
11
Câu 3.( 5 điểm )
a. Cho hàm số y = f(x) = x - 2 + x + 1
+ Vẽ đồ thị của hàm số trên
+ Tính f(x
2
+ 2) = ?
b. Tìm công thức của hàm số g(x) biết rằng g (1+
x
1
) =

2
12
x
x
+
Câu 4 ( 3 điểm )
Cho x = by + cz
y = ax + cz
z = ax + by
CMR : P =
1
1
+
a
+
1
1
+
b
+
1
1
+
c
= 2
Câu 5.( 5 điểm )
Cho góc xOy = 90
o
, tia phân giác Oz. Trên tia Oz lấy điểm A. Từ A kẻ AB Ox;
AC Oy.( B Ox; C Oy). D là điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB. Nối AD. Tia phân

giác góc CAD cắt Oy tại E. Chứng minh rằng AD = CE + BD.
Đáp án - Biểu điểm
Câu 1 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Ta có: N =
4
1

+
a
a
=
4
54

+
a
a
= 1 +
4
5

a
( 0,5đ)
Để N là số nguyên
4
5

a
là số nguyên

a
- 4 Ư(5)

a
- 4 -5; -1; 1; 5 ( 0,5 đ)
Ta có bảng sau:
a
- 4 -5 -1 1 5
a
-1 3 5 9
a
Không có giá trị
9 25 81
( 0,5 điểm)
Vậy với a 9; 25; 81 thì N nguyên ( 0,5 đ)
b, ( 2 điểm )
A =
n
nn
12
93
2
+
; B =
70
200635
+
n
Ta có A =
n

nn
12
93
2
+
=
n
nn
12
)3(3
+
=
4
)3(
+
n
A là số thập phân hữu hạn (1 đ)
Ta thấy 35n + 2006 = 7.5n + 7.286 + 4 = 7(5n + 286) + 4 không chia hết cho 7
mặt khác 70 = 7.10 chia hết cho 7. Vì vậy ở dạng tối giản, số B có chứa thừa số
7 ở mẫu số. Số B là số thập phân vô hạn không tuần hoàn ( 1 đ)
Câu 2 (3 điểm )
Từ giả thiết suy ra
b
a
=
7
5
;
d
c

=
11
7
;
f
e
=
13
11
( 0,5đ)

5
a
=
7
b
=
75
+
+
ba
=
12
M
(1)
Tơng tự ta có :
7
c
=
11

d
=
117
+
+
dc
=
18
M
(2)
11
e
=
13
f
=
1311
+
+
fe
=
24
M
(3) ( 1 đ)
Mặt khác do 5; 7; 11; 13 là số nguyên tố và a; b; c; d; e; f

N* nên từ các
tỉ lệ thức
b
a

=
7
5
;
d
c
=
11
7
;
f
e
=
13
11
suy ra a chia hết cho 5; c chia hết
cho 7; e chia hết cho 11 hay giá trị các dãy tỉ số (1); (2); (3) là các số tự nhiên
M BC (12; 18; 24) ( 1 đ)
Lại do M là số có 3 chữ số M 144; 216; 288; ...; 936
Vì M là số bé nhất có 3 chữ số nên M = 144
Đáp số M = 144 ( 0,5 đ)
Câu 3 (5 điểm )
a, (3 điểm )
+ Với x 2 hàm số có dạng f(x) = 2x - 1
Cho x=2 y = 3
x = 3 y = 5
+ với x < 2 hàm số có dạng f(x) = 3
Đồ thị là đờng thẳng song song trục
hoành cắt trục tung tại y = 3
Ta có đồ thị hàm số:

( 2 đ)
Ta có f(x
2
+ 2) = {(x
2
+ 2) - 2 { + (x
2
+ 2) + 1 = {x
2
{ + x
2
+ 3 = 2x
2
+ 3
Vậy f(x
2
+ 2) = 2x
2
+ 3 ( 1 đ)
b.(2 điểm)
Cách 1: Đặt 1 +
x
1
=
x
x 1
+
= y ( 0,5đ)
Khi đó g (1+
x

1
) = g (y) =
2
12
x
x
+
=
2
12
x
x
+
+1 - 1 =
2
2
12
x
xx
++
-1 =
= (
x
x 1
+
)
2
- 1 = y
2
- 1 ( 1đ)

Hay g(y ) = y
2
- 1
g(x) = x
2
- 1 ( 0,5đ)
Cách 2: Đặt 1 +
x
1
= y Thế thì x =
1
1

y
Thay vào công thức hàm số ta có :
g(y) =
2
1
1
1
1
1
2

+

y
y
= y
2

- 1 g(x) = x
2
- 1
câu 4. ( 3 điểm )
Từ giả thiết ta suy ra : x + y + z = 2 ( ax + by + cz ) ( 1 ) ( 0,5đ)
Từ biểu thức x = by + cz ax + x = ax + by + cz
x ( a + 1) = ax + by + cz
a + 1 =
x
czbyax
++

1
1
+
a
=
czbyax
x
++
(1đ)
Hoàn toàn tơng tự:
Từ biểu thức y = ax + cz
b + 1 =
y
czbyax
++

1
1

+
b
=
czbyax
y
++
Từ biểu thức z = ax + by
c + 1 =
z
czbyax
++

1
1
+
c
=
czbyax
z
++
(0,5đ)
Suy ra P =
1
1
+
a
+
1
1
+

b
+
1
1
+
c
=
czbyax
x
++
+
czbyax
y
++
+
czbyax
z
++
=
=
czbyax
zyx
++
++
(2) ( 0,5đ)
từ (1) và (2) ta suy ra P =
czbyax
czbyax
++
++

)(2
= 2 ( Đccm) (0,5đ)
Bài 5 ( 5 điểm ) y z

C A

E
O D B F x
Trên Ox lấy điểm F sao cho BF = CE CE + DB = BF + DB = DF ( 1 đ)
dễ chứng minh đợc vuông ACE = vuông ABF ( c.g.c)
CEA = BFA.(1) ( 1 đ)
Mặt khác CEA = EAB (2)( Hai góc so le trong)
Lại có CAE = EAD ( do AE là tia phân giác )
CAE = BAF ( Do vuông ACE = vuông ABF )
EAD = BAF EAB = DAF (3)( cùng cộng với DAB) ( 1 đ)
Từ (1); (2); (3) ta có DAF = BFA DAF cân tại D (1đ)
AD = DF = CE + DB ( đccm) ( 1đ)