SKKN dat giai A cap tinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>A - đặt vấn đề:</b>
<b>i. lời mở đầu:</b>

Qua các năm giảng dạy mơn tốn 9 cùng với kết quả cụ thể trong năm học
2007 - 2008. Tôi thấy rằng các em còn lúng túng trong các dạng bài tập về tìm
nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn, phơng trình đa thức có một
hoặc nhiều ẩn, phơng trình dạng phân thức, cũng nh một số phơng trình khác,
mà mấu chốt của đặc trng để giải phơng trình đó là tìm ra nghiệm ngun của
phơng trình thì việc tiếp cận với các dạng tốn tìm nghiệm ngun là một vấn đề
hết sức khó khăn trong q trình tốn học.

Mặt khác trong việc gỉang dạy toán cần rèn luyện cho các em các phẩm chất trí
tuệ, đặc biệt là tính độc lập, tính sáng tạo và các phơng pháp giải tốn tìm nghiệm
nguyên thông qua các bài tập từ dễ đến khó. Để các em nắm chắc đợc kiến thức
nhằm nâng cao chất lợng trong trong học tập. Vì vậy tơi lựa chọn đề tài một số
phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên .

<b>ii. thực trạng của vấn đề nghiên cứu.</b>
<b>1. Thực trạng.</b>

Trong giải tốn tìm nghiệm nguyên của phơng trình việc giúp các em nắm
bắt đợc cách giải phơng trình tìm nghiệm nguyên là hết sức cần thiết. song qua
một bài toán bằng sự gợi mở cũng nh tung ra các phơng pháp một cách khéo léo
để từ đó giúp các em củng cố đợc nhiều hơn đơn vị kiến thức, đồng thời nắm
đợc các phơng pháp giải ở một số phơng t rình khác nhau.

<b>2. KÕt qu¶ hiệu quả của thực trạng trên</b>.

Trong quá trình giảng dạy và điều tra, khảo sát chất lợng giảng dạy mơn
tốn ở trờng THCS Nga Điền nói chung, mơn tốn khối 9 nói riêng, cụ thể là bài
tốn tìm nghiệm nguyên, tôi thấy sự lúng túng của học sinh khi gập bài tốn

tìm nghiệm ngun ở các bài tốn dễ. Vì vậy trong q trình giảng dạy tơi đã tìm
tịi các bài tốn cơ bản dễ hiểu để từ đó học sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ
dàng hơn. Khi cha áp dụng phơng pháp này thì kết quả thấp, và sau khi áp
dụng kết quả có khả quan hơn.

<b> Cơ thĨ là:</b>
Lớp Sĩ

số Phơng pháp

Điểm dới
5

Điểm
5 - 6

Điểm
7 - 8

Điểm
9-10

SL % SL % Sl % SL %

9C 34 Khi cha ¸p dông 16 47 12 35,3 4 11,8 2 5,9

9D 34 Khi cha ¸p dơng 17 50 13 38,2 3 8,8 1 3,0

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Chính vì thực tiễn trên là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn tốn tơi đã nghiên
cứu tìm ra ngun nhân của thực trạng tên, để từ đó tìm ra phơng pháp dễ hiểu
để học sinh tiếp cận một cách dễ dàng hơn, và trong chuyên đề này tôi mạnh dạn đề
cập một số phơng pháp giải phơng trình với nghiệm nguyên cho các phơng
trình nh là phơng trình bậc nhất hai ẩn, phơng trình đa thức một hoặc nhiều ẩn,
phơng trình dạng phân thức.

<b>B. giải quyết vấn đề.</b>

<b>i. C¸c giải pháp thực hiện.</b>

<b> Một số dạng toán và phơng pháp giải : </b>

Dạng toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhÊt hai Èn.
Ph¬ng pháp giải:

+ Phơng pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn.
+ Phơng pháp tách ra các giá trị nguyên.

+ Phơng pháp tìm một nghiệm riêng.

Dạng toán 2. Phơng trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn.
Phơng pháp giải:

+ Phơng pháp đa về phơng phơng trình ớc số.
+ Phơng pháp xét các số d từng vế.

Dạng toán 3. Phơng trình dạng phân thức.
Phơng pháp giải:

+ Phng phỏp dựng bt ng thc.

+ Phơng pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn.
+ Phơng pháp tách các giá trị nguyên.

+ Phơng pháp tìm một nghiệm riêng.
+ Phơng pháp xét số d từng vế.
và một số phơng pháp khác

<b>II. cáC BIệN PHáP Để Tổ CHứC THùC HIƯN</b>
<b> C¸c vÝ dụ vận dụng cho từng dạng toán:</b>

<b>Dạng toán1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn</b>.
C¬ së lý thuyÕt:

Xét phơng trình: ax + by = c trong đó a, b, c <i>Z</i> ; <i>a</i> 0hoặc <i>b</i> 0.

Ta có định lý sau:Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi c

)
,
(<i>a</i> <i>b</i>

và khi biết phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên ta sẽ tìm các phơng

phỏp gii phng trỡnh ú.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Ví dụ</i>. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.

7x + 4y = 120 (1)

Giải: Vì (7 , 4) = 1 ; 120 1 nên phơng trình (1) có nghiệm nguyên.

Ta thấy 4y và 120 đều chia hết cho 4 nên 7x  4 mà (7 , 4) = 1 nên x  4.

Đặt x = 4t với t <i>Z</i>thì phơng trình (1) trở thành
7(4t) + 4y = 120  7t + y = 30  y = 30 - 7t

Do đó













<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

7

30

4

víi t <i>Z</i>

Thư l . Thay

<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

7

30

4

vào phơng trinh (1) thấy thoả mÃn VT = VP.

VËy nghiƯm nguyªn cđa phơng trình (1) là :

<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

7

30

4

với t <i>Z</i>.

<i><b>1.2/ Sử dụng phơng pháp tách ra các giá trị nguyên:</b></i>
<i><b>Ví dụ</b></i><b>.</b> Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.

14x + 8y = 46 (1)
Giải: Thu gọn phơng trình (1) ta đợc: 7x + 4y = 23

Biểu thi y theo x ta đợc: y =

4
7
23 <i>x</i>

(2)
Tách riêng giá trị nguyên của y ở biểu thức (2) ta đợc.

y =
4
1
2
6
4
1
8
24 





 <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

§Ĩ y nguyên thì

4
1

<i>x</i>
phải nguyên;
Đặt
4
1

<i>x</i>

= t víi t <i>Z</i>  x = 4t + 1

do đó y = 6 - 2(4t +1) + t = 6 - 8t - 2 + t = 4 - 7t

Thay x = 4t + 1, y = 4 - 7t vào phơng trình (1) ta đợc nghiệm đúng.

VËy nghiƯm nguyªn cđa phơng trình là:

<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

7

4

1

4

t <i>Z</i>

<i><b>1.3/ Sử dụng phơng tìm một nghiệm riêng.</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

C¬ së lý thuyÕt:

Ta có định lí: Cho phơng trình ax + by = c (1)
Trong đó a, b, c <i>Z</i> ; <i>a</i> 0hoặc <i>b</i> 0 và (a,b) = 1. Nếu ( x0 , y0) là một

nghiệm nguyên của phơng trình (1) thì phơng trình (1) có vơ số nghiệm nguyên
và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dới dạng:















<i>at</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>bt</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

0
0

víi t <i>Z</i>.

Ta gọi (x0 , y0) là một nghiệm riêng. Nh vậy, để tìm tất cả các nghiệm nguyên

của phơng trình (1) ta chỉ cần tìm ra một nghiệm riêng của phơng trình. trong
tr-ờng hợp đơn giản ta có thể tính nhẩm nghiệm riêng này bằng cách thử chọn.

<i><b>VÝ dụ.</b></i>. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 6x - 4y = 2.

Gi¶i: DƠ thÊy x0 = 1, y0 = 1 lµ mét nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên

ca phng trỡnh ú l:

<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

6

1

4

1

<b>Dạng toán2. Phơng trình đa thøc cã mét hc nhiỊu Èn.</b>
C¬ së lý thuyÕt:

Phơng trình có dạng f(x , y...) = 0 trong đó f(x , y...) là đa thức của các biến x
, y,... gọi là phng trỡnh a thc.

<i><b>2.1/ Sử dụng phơng pháp đa về phơng trình ớc số.</b></i>

<i>Ví dụ</i>. Tìm nghiệm nguyên của phơng tr×nh: y + x - 4 = -xy (1)
Gi¶i: y + x - 4 = - xy

x + xy + y = 4

x(y +1) + (y +1) = 5
(x + 1)(y + 1) = 5

Ta gọi phơng trình này là phơng tr×nh íc sè.

Vì x, y <i>Z</i> nên x + 1 <i>Z</i> , y +1 <i>Z</i> và x+ 1 , y +1 là ớc của 5 do đó:

x +1 5 -1 1 -5

Suy ra

x 4 -2 0 -6

y + 1 1 -5 5 -1 y 0 -6 4 -2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>Ví dụ</b></i>: Cho phơng trình 4x2_{- 8y}3_{+ 2z}2 _{= 4(1 - x) (1)}

Chøng minh rằng phơng trình (1) không có nghiệm nguyên.
Giải: 4x2_{- 8y}3_{+ 2z}2 _{= 4(1 - x)}

 4x2_{+ 4x = 8y}3_{- 2z}2_{+ 4}

 4x2_{+ 4x + 1 = 8y}3_{- 2z}2_{+ 5}

 (2x +1)2_{= 8y}3_{- 2z}2_{+ 5 (2)}

Vế trái của (2) là một số chính phơng lẻ nên chia cho 8 d 1. (3)
XÐt vÕ ph¶i cña (2).

8y3 _₈

2z2_{chia hÕt cho 8 nÕu z ch½n.}

chia cho 8 d 2 nÕu z lỴ .

Vậy vế phải chia cho 8 d 5 hoặc d 7 (4)
Từ (3) và (4) suy ra phơng trình (2) khơng có nghiệm ngun, do đó phơng
trình (1) khơng có nghiệm nguyờn.

<b>Dạng toán3. Phơng trình dạng phân thức. </b>

<b> </b>Sử dụng phơng pháp dùng bất đẳng thức, sắp thứ tự của các ẩn, và xét từng
khoảng giá trị của biến.

<i><b>VÝ dô. </b></i>

Cho phơng trình: 2 2 1
<i>y</i>

<i>x</i> (1)

Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình.

Giải. Từ phơng trình (1) ta nhân vào hai vế của phơng trình với

2
1

khi ú phng
trỡnh (1) tr thành.

11 ₂1

<i>y</i>

<i>x</i> (2)

Do vai trò của x và y là nh nhau, ta giả sử x  y. Ta xác định khoảng giới hạn

cđa y (lµ sè nhỏ trong hai số). Vì x > 0 nên
2

2
1
1




 <i>y</i>

<i>y</i>

Mặt khác x y > 0 nªn 1<i>_x</i> 1<i>_y</i>

Suy ra 1<i>_x</i> 1<i>_y</i> 1<i>_y</i> 1<i>_y</i>

Hay 2 4
2

1




 <i>y</i>

<i>y</i> (3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Tõ (1) vµ (2) suy ra 2<i>y</i>4.

Víi y = 3 th× 6
6

1
3
1
2
1
1






 <i>x</i>

<i>x</i> ,

Víi y = 4 th× 4
4

1
4
1
2
1
1






 <i>x</i>

<i>x</i> ,

Các nghiệm nguyên dơng của phơng trình là (6;3) và (4;4).
<b>III.kết luận:</b>

Sau mét thêi gian đa vào áp dụng giảng dạy cho häc sinh ë mét sè líp 9 t«i
tù nhËn thÊy vµ rót ra mét sè kÕt ln nh sau:

1 - Mức độ u thích mơn học đại số, bài tốn tìm nghiệm ngun đợc nâng lên,
các em không cảm thấy ngại khi gặp bài tốn tìm nghiệm ngun của phơng trình.
2 - Thơng qua đó đa số các em đã nắm đợc một số phơng pháp giải tìm nghiệm
ngun và có kỹ năng sử dụng các phơng pháp vào các bài tập cụ thể.

3 - Học sinh có kỹ năng khai thác bài toán đã cho thành bài tốn khó hơn nhằm
mở rộng kiến thức.

Kết quả đạt đợc khi vận dng cỏc phng phỏp trờn.
Lp S

số Phơng pháp

Điểm dới
5

Điểm
5 - 6

§iĨm
7 - 8

§iĨm
9-10

SL % SL % Sl % SL %

9C 34 Khi ¸p dơng 5 14,7 14 41,1 11 32,4 4 11,8

9D 34 Khi ¸p dơng 7 20,6 16 47,1 8 23,5 3 8,8

Để vận dụng và làm tốt các bài tập cần cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyết
kỹ năng và phơng pháp để từ đó học sinh khơng cịn lúng túng khi giải bài tốn
tìm nghiệm nguyên.

<i>Nga Điền, ngày 25 tháng 04 năm 2009</i>

Ngời thực hiện

Đỗ Văn Nghĩa.
6

</div>

<!--links-->