Luận văn thạc sĩ các bất đẳng thức đặc trưng của không gian banach lồi đều và trơn đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ TÌNH

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG
CỦA KHÔNG GIAN BANACH
LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ TÌNH

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG
GIAN BANACH LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:
60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TS. NGUYỄN BƯỜNG

Thái Nguyên - 2015

Mục lục
Mục lục

i

Lời cam đoan

ii

Lời nói đầu

iii

Lời cảm ơn

iv

Danh sách ký hiệu

1

Mở đầu

1

1

3

2

Các khái niệm cơ bản
1.1

Không gian Hilbert

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và
trơn đều

10
L p , Wmp

2.1

Một số bất đẳng thức trong không gian

. . . . . . . .

10

2.2

Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach lồi đều

12

2.3

Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach trơn đều

19

Kết luận

26

Tài liệu tham khảo

27

Phụ lục

28

i


Lời cam đoan

Tác giả luận văn xin cam đoan về tính trung thực, tính đúng đắn và hợp pháp
của luận văn. Đây không phải là sự sao chép bất cứ luận văn nào đã có trước đó,
mà là sự tham khảo, tổng hợp và trình bày theo suy nghĩ chủ quan của tác giả
luận văn về những kết quả khoa học đã có liên quan tới chủ đề đặt ra cho luận
văn.

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Học viên

Lê Thị Tình

ii


LỜI NĨI ĐẦU

Luận văn trình bày các kết quả chủ yếu về các bất đẳng thức của không gian
Banach lồi đều và trơn đều.
Dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này nhưng do thời gian
và trình độ hạn chế chắc chắn khơng tránh khỏi thiếu sót nhất định. Kính mong
sự góp ý của các thầy cơ và các bạn để luận văn hồn chỉnh và nhiều ý nghĩa
hơn.
Lê Thị Tình
Học viên Cao học Tốn Khóa 7: 2013-2015
Chuyên ngành Toán ứng dụng
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

iii

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo đã tận
tình giảng dạy, bồi dưỡng kiến thức trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và
rèn luyện tại trường.
Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường đã tận tình
hướng dẫn trong suốt quá trình viết luận văn.
Xin chân thành cảm ơn.
Lê Thị Tình

Thái Ngun, 2015

Học viên Cao học Tốn Khóa 7: 2013-2015
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

iv


Danh sách ký hiệu
.

Khơng gian định chuẩn

B(X)

Hình cầu đóng tâm 0, bán kính 1

S(X)

Mặt cầu đóng tâm 0, bán kính 1

., .

Tích vơ hướng

C[a,b]

Khơng gian các hàm liên tục

Kn

Khơng gian Euclid n-chiều

1


Mở đầu
Như chúng ta đã biết trong không gian Hilbert có đẳng thức hình bình hành
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

(1)

và là khơng gian có cấu trúc đẹp đẽ. Lý do nói như vậy là vì vấn đề đặt ra trong
khơng gian này có thể được phân tích một cách dễ dàng và hoàn chỉnh. Tuy
nhiên trong nhiều ứng dụng cần phải xét trên khơng gian Banach, liệu khơng
gian Banach có tính chất gần và đẹp đẽ như khơng gian Hilbert khơng?
Mục đích của luận văn này trình bày các đặc trưng dạng tương tự (1) trong
không gian Banach lồi đều và trơn đều, không phải là không gian Hilbert.
Bố cục luận văn gồm 2 chương:
Chương I. Một số khái niệm cơ bản.
Chương II. Các bất đẳng thức đặc trưng của không gian Banach lồi đều và trơn
đều.

2


Chương 1
Các khái niệm cơ bản
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản thuộc không gian Hilbert và
không gian Banach. Trong đó nêu lên các tính chất, ví dụ cụ thể của từng loại
không gian.

1.1

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1. Cho X là một khơng gian tuyến tính trên R. Một tích vơ hướng
trong X là một ánh xạ ., . thỏa mãn các điều kiện sau:
i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇐⇒ x = 0;
ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X;
iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, α ∈ R;
iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X.
Khơng gian tuyến tính X cùng với tích vơ hướng ., . được gọi là không gian
tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Tính chất 1.1. Nếu X là khơng gian tiền Hilbert thì tích vơ hướng của nó liên
tục trên X × X .
Tính chất 1.2. (Đẳng thức Pythagore). Nếu x⊥y thì
x+y

2

= x

2

+ y 2.

Một cách tổng quát nếu x1 , ....., xn ∈ X với xi .x j = 0 với mọi i = j thì
n

∑ xi

i=o

với x =

x, x , y =

2

n

= ∑ xi 2 ,
i=1

y, y .
3


Tính chất 1.3. (Đẳng thức hình bình hành).
x+y
với x =

2

+ x−y

x, x , y =

2

=2

x

2

+ y

2

, ∀x, y ∈ X,

y, y .

Ví dụ 1.1. (Khơng gian Euclide n-chiều). Xét khơng gian vectơ
Cn = {x = (x1 , ....., xn ) : x1 , ....., xn ∈ C}.
Khi đó dễ có công thức
n

x, y =

∑ x j y j , x = (x1, ....., xn), y = (y1,...., yn) ∈ C

j=1

xác định một tích vơ hướng trên C. Bởi vì C là đầy do đó Cn là đầy với mọi
chuẩn, đặc biệt với chuẩn Euclide
1
2

n

x =

∑

2

xj

=

x, x

j=1

nên Cn là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.2. (Khơng gian l2 ). Xét khơng gian các dãy số bình phương khả tổng
1
2

l2 = {x = {xn }n≥1 : x

2

=

∑ |xn|2

< ∞}.

n≥1

Vì

∞

∑ |xnyn| ≤

n=1

1
2

∞

∞

n=1

n=1

∑ |xn|2 + ∑ |yn|2

nên dễ thấy, công thức
∞

x, y =

∑ xn yn ,

x, y ∈ l2 ,

n=1

xác định một tích vơ hướng trên l2 . Mặt khác, do
x

2

=

x, x , x ∈ l2

nên l2 là đầy với chuẩn này và do đó l2 là một khơng gian Hilbert.

4


1.2

Không gian Banach

Định nghĩa 1.2. Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số
thực R hay các số phức C. Hàm ρ xác định trên X gọi là một chuẩn trên X nếu
ρ thỏa mãn các điều kiện sau:
(N1 )ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0,
(N2 )ρ(λ x) = |λ | ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X,
(N3 )ρ (x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) , với mọi x, y ∈ X.
khi ρ thõa mãn N2 và N3 còn N1 thay bởi điều kiện:
(N 1 )ρ(x) ≥ 0
với mọi x ∈ X, thì ρ được gọi là nửa chuẩn trên X. Khi ρ thỏa mãn N3 còn N2
thay bởi điều kiện:
(N 1 )ρ(λ x) = λ ρ(x), ∀0 ≤ λ ∈ R, ∀x ∈ X,
thì ρ gọi là một sơ chuẩn trên X.

Định nghĩa 1.3. Không gian vectơ X cùng với một chuẩn ρ trên nó gọi là khơng
gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn X là một không gian mêtric với khoảng cách sinh bởi
chuẩn
d(x, y) := ρ(x − y), (x, y ∈ X).
Nếu khơng gian mêtric này đầy thì X gọi là không gian Banach.
Chú ý: sau này ta viết x thay cho ρ(x) đối với x ∈ X và gọi chuẩn của vectơ
x.
Tính chất 1.4. Nếu X là khơng gian định chuẩn thì hàm chuẩn x → x là liên
tục đều trên X.
Tính chất 1.5. Nếu X là khơng gian định chuẩn thì các phép tốn
+ : X × X → X, (x, y) → x + y
× : K × X → X, (λ , x) → λ x
là liên tục.

5


Ví dụ 1.3. (Khơng gian Euclide n-chiều).
Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn là tích n lần trường vô hướng K,
Kn := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ K}.
Ta xác định chuẩn .

2

trên K bởi
1
2

n

x

2

∑ |xi|2

=

, x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn .

i=1

Hiển nhiên hàm x → x

2

thỏa mãn các điều kiện tiên đề (N1 ) và (N2 ) trong

định nghĩa chuẩn. Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakowski
1
2

n

n

i=1

i=1

∑ |aibi| ≤ ∑ |ai|2

suy ra hàm .

2

1
2

n

∑ |bi|2

,

i−1

thỏa mãn (N3 ).

Với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Kn ta có
n

n

i=1

i=1
n

n

i=1

i=1

≤ ∑ |xi |2 + 2 ∑ |xi |2
n

=

2
∑ |xi |

1
2

i=1
n

2
∑ |yi |

n

2
∑ |yi |

+

i=1

n

i=1

i=1

= ∑ |xi |2 + 2 ∑ |xi | |yi | + ∑ |yi |2

i=1

1
2

n

n

2

2
2
2
∑ |xi + yi | ≤ ∑ |xi | + |yi |

1
2

n

+ ∑ |yi |2
i=1

1
2

.

i=1

Hay
x+y
Nghĩa là hàm .

2

2

≤ x

2+

y 2 , ∀x, y ∈ Kn .

thỏa mãn (N3 ). Vậy Kn là một không gian định chuẩn với

chuẩn . 2 . Không gian này gọi là khơng gian Euclide n-chiều.
Vì
max |xi | ≤ x

2

1≤i≤n

≤ n max |xi |
1≤i≤n

nên sự hội tụ trong Kn là sự hội tụ theo tọa độ. Do K là không gian metric đầy,
từ đó suy ra Kn là khơng gian đầy. Vậy Kn là khơng gian Banach.
Ví dụ 1.4. (Khơng gian các hàm liên tục).
Ký hiệu C [a, b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b]. Bởi
vì mọi hàm liên tục trên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định
f = sup{| f (x)| : x ∈ [a, b] }, f ∈ C [a, b] .
6


Dễ thấy rằng hàm f → f xác định như trên là một chuẩn trên không gian
C [a, b]. Như vậy C [a, b] là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong C [a, b]
đối với chuẩn này chính là sự hội tụ đều. Ta sẽ kiểm lại C [a, b] là một không
gian Banach. Cho { fn } là một dãy Cauchy trong C [a, b]. Khi đó
∀ε> 0,∃n0 , ∀n, m ≥ n0 , ∀x ∈ [a, b] , | fn (x) − fm (x)| ≤ ε.

(1.1)

Như vậy với mỗi x ∈ C [a, b] cố định, dãy số { fn (x)}∞
n=1 là một dãy Cauchy trong
K. Do K đầy nên tồn tại
f (x) = lim fn (x) , ∀x ∈ C [a, b] .
n→∞

Ta sẽ chỉ ra f ∈ C [a, b] và fn → f trong C [a, b]. Trong (1.1) bằng cách cố định
x ∈ C [a, b] và n ≥ n0 , cho m → ∞ ta được
| fn (x) − f (x0 )| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b] , ∀n ≥ n0 .

(1.2)

Vì fn0 liên tục tại x0 nên tồn tại δ > 0 sao cho
fn0 (x) − fn0 (x0 ) ≤ ε, ∀ |x − x0 | < δ , ∀x ∈ [a, b] .
Từ (1.2) suy ra
| f (x) − f (x0 ) ≤ | f (x) − fn0 (x0 ) + fn0 (x) − fn0 (x0 )
+ fn0 (x0 ) − f (x0 ) ≤ 3ε, với mọi x ∈ [a, b] , |x − x0 | < δ .
Tính liên tục của f được chứng minh. Cũng từ (1.2) suy ra { fn (x)}∞
n=1 hội tụ
đến f trong C [a, b].
Ví dụ 1.5. (Khơng gian các hàm bị chặn).
Giả sử S là tập tùy ý. Ký hiệu B(S) là không gian tất cả các hàm bị chặn trên
S và
f := sup{| f (s)| : x ∈ S} < +∞.

(1.3)

Có thể thấy B(S) là khơng gian Banach với chuẩn xác định như trên.
Ví dụ 1.6. (Khơng gian các dãy khả tổng bậc p).
Với mỗi số thực p ≥ 1 tùy ý, ta ký hiệu tập tất cả các dãy số (thực hoặc phức)
khả tổng bậc p bởi:
lp =

∗

x = (xn ) ⊂ N :

∞

∑ |xn| p < +∞

n=1

7


l p là không gian Banach với chuẩn cho bởi
1
p

∞

x

p

∑ |xn| p

=

.

n=1

Định nghĩa 1.4. Cho không gian vectơ X

- Đoạn thẳng [a, b] là tập hợp [a, b] = {λ a + (1 − λ )b ∈ X : 0 ≤ λ ≤ 1}.
- Đoạn thẳng không tầm thường là [a, b] mà a = b. Đoạn thẳng tầm thường là
[a, b] mà a=b.
- Tập con A của một không gian vectơ X được gọi là lồi nếu nó có tính chất:
nếu hai vectơ a, b ∈ A thì đoạn [a, b] nằm trọn trong A.
Cho X là không gian định chuẩn, trong suốt luận văn này chúng tôi sử dụng
các ký hiệu sau:
- S(x)là mặt cầu tâm 0, bán kính 1 trong X, S(x) = {x ∈ X : x = 1},
- B(x) là hình cầu đóng tâm 0, bán kính 1 trong X, B(x) = {x ∈ X : x ≤ 1}.
Định nghĩa 1.5. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0
đều tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ S(X) mà x − y ≥ ε ta có
1−

x+y
≥ δ.
2

Ta gọi mođun lồi của không gian Banach X là hàm số
δX : [0; 2] → R
δX (ε) = inf {1 −

x+y
2

: x, y ∈ S(X), x − y = ε}.

Ta gọi đặc trưng lồi của không gian Banach X là số được xác định bởi
ε0 (X) = sup{ε ∈ [0; 2] : δX (ε) = 0}.
Ví dụ 1.7. Khơng gian Hilbert có số chiều bằng 1 không là không gian lồi đều.
Mọi không gian Hilbert có số chiều lớn hơn hoặc bằng 2 là không gian lồi đều.

Thật vậy, khi không gian Hilbert X có dimX=1 trên S(X) chỉ có hai điểm e1 và
x+y
≥δ
e2 = −e1 . Với x = e1 , y = −e2 không tồn tại δ > 0 sao cho 1 −
2
x+y
vì 1 −
= 0, mặc dù khi đó x − y = 2 > ε = 1. Vậy X không phải là
2
không gian lồi đều.
Giả sử X là không gian Hilbert có dimX ≥ 2. Giả sử ε ∈ (0; 2], với mọi
x, y ∈ S(X) và x − y ≥ ε. Từ đẳng thức hình bình hành
x+y

2

+ x−y

2

8

=2 x

2

+2 y

2

ta có

x+y 2 = 2 x 2+2 y
x+y 2
ε2
⇔
≤ 1−
2
4
ε2
x+y
⇔
≤ 1−
2
4
x+y
⇔
≤ 1− 1−
2

2

− x−y

2

ε2
1−
4

,

≤ 4 − ε2

từ đó, suy ra rằng với mọi ε ∈ (0; 2] khi đặt
δ = 1−

1−

ε2
> 0,
4

thì với mọi x, y ∈ S(X) mà x − y > ε ta có 1 −

x+y
> δ . Vậy X là không
2

gian Hilbert lồi đều.
Định nghĩa 1.6. Không gian Banach X được gọi là trơn nếu mọi điểm x ∈ S(X)
đều tồn tại duy nhất hàm f ∈ X ∗ (X ∗ là không gian đối ngẫu) sao cho f = 1
và f (x) = 1.
Chúng ta xét một khái niệm mạnh hơn tính trơn đó là tính trơn đều.
Định nghĩa 1.7. Một không gian Banach X gọi là trơn đều nếu
ρX (t)
= 0,
t
t→0+

lim

trong đó ρX (t) là mođun trơn được xác định bởi
ρX (t) = sup{

x + ty + x − ty
− 1 : x ≤ 1, y ≤ 1}.
2

Tóm lại trong chương này tơi đã trình bày lại các khái niệm cơ bản của không
gian Hilbert, không gian Banach đặc biệt là không gian Banach trơn, trơn đều,
lồi, lồi đều. Chương tiếp theo dành cho việc xét các bất đẳng thức đặc trưng
trong không gian Banach là mở rộng các đẳng thức trong không gian Hilbert.

9


Chương 2
Các bất đẳng thức đặc trưng của không
gian Banach lồi đều và trơn đều
Chương 2 sẽ trình bày các bất đẳng thức đặc trưng trong không gian Banach
lồi đều và trơn đều. Các kết quả trình bày trong chương này được lấy từ bài báo
[5].

2.1

Một số bất đẳng thức trong không gian L p, Wmp

Cho X là không gian Banach và X ∗ được gọi là không gian đối ngẫu. Gọi
B(x) và S(x) tương ứng mặt cầu đơn vị đóng và hình cầu đơn vị trong X. Từ bất

kỳ cặp x ∈ X và x∗ ∈ X ∗ , x∗ (x) biểu thị bởi x∗ , x .
Cho
δx (ε) = inf 1 −

1
(x + y) : x, y ∈ S(X), x − y ≥ ε ,
2

và

1
sup { x + y + x − y − 2 : x ∈ S(x), y ≤ τ} .
2
Được nêu trong [5] rằng tất cả không gian Hilbert và không gian Banach l p , L p ,Wmp ,(1
ρx (τ) =

< p < ∞) có các bất đẳng thức đặc trưng sau:
1 − (1/4)ε 2 ;

δH (ε) = 1 −

10

(2.1)




p−1 2
2) > p − 1 ε 2, 1 < p < 2


ε
+
o(ε

 8
8
1
δl p (ε) = δL p (ε) = δWmp (ε) =

ε
1 ε


1 − 1 − ( ) p p > ( ) p , p ≥ 2;
2
p 2
ρH (τ) = 1 + τ 2

1/2

− 1;


1
1

(1 + τ p ) p − 1 < τ p , 1 < p < 2
p
ρl p (τ) = ρL p (τ) = ρWmp (τ) =

p
−
1
p−1 2


τ 2 + o(τ 2 ) <
τ , p ≥ 2.
2
2

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Chúng ta xét các tính chất cơ bản sau đây của hàm δx (ε) và ρx (τ):
(δ 1) δx (0) = 0, δx (ε) ≤ 1 (<1 nếu lồi đều);
(δ 2) δx (ε) là liên tục và không giảm, δx (ε) là tăng chặt nếu và chỉ nếu X là
lồi đều;
(δ 3) δx (ε) ≤ δH (ε);
(δ 4) nếu X là lồi đều, thì δx (ε) = δx (ε)/ε là không giảm.
(ρ1) ρx (0) = 0, ρx (τ) ≤ τ;
(ρ2) ρx (τ) là lồi, liên tục, không giảm;
(ρ3) ρx (τ)/τ là không giảm;
(ρ4) ρx (τ) > ρH (τ);
(ρ5) ρx∗ (τ) = sup{τε/2 − δx (ε) : 0 ≤ ε ≤ 2};
(ρ6) ρx (τ) là tương đương với các hàm giảm, cụ thể là, tồn tại một hằng số
c sao cho ρx (η)/η 2 ≤ cρx (τ)/τ 2 tuy nhiên η ≥ τ > 0.

cho ϕ : R+ → R+ , ϕ(0) = 0, là liên tục, hàm tăng chặt. Ánh xạ Jϕ : X → 2X

∗

định nghĩa bởi
Jϕ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x ∗

x , x ∗ = ϕ( x )},

được gọi là ánh xạ đối ngẫu với biến ϕ. Trong trường hợp riêng hàm ϕ(t) = t
ký hiệu bởi J được gọi là các ánh xạ đối ngẫu. Chúng ta sẽ sử dụng tính chất cơ
bản của ánh xạ đối ngẫu được thành lập trong [5], tương ứng:
(J1) J = I nếu và chỉ nếu X là không gian Hilbert;
(J2) X là trơn đều nếu và chỉ nếu J và (Jϕ ) là giá trị đều duy nhất liên tục
trên tập co bị chặn của X;
(J3) J là toàn ánh nếu và chỉ nếu X là phản xạ;
11


(J4) Jϕ (λ x) = sign(λ )(ϕ |λ | x )/ x )Jx, λ ∈ R1 ;
(J5) Jϕ (x) ⊂ ∂ φ ( x ), ở đây ∂ φ ( x ) là vi phân của φ ( . ) với x và φ được
cho bởi

t

φ (t) =

ϕ(s)ds.
0

Mặt khác, nếu X là phản xạ, thì Jϕ (x) = ∂ φ ( x ).
Trong các mục sau, các ký hiệu J p là ánh xạ đối ngẫu với hàm φ (t) = t p−1 , j p
là một ký hiệu tùy ý lựa chọn từ J p (nếu j p x ∈ J p x với mọi x ∈ X). Cho số thực
tùy ý a và b ta ln có
a ∨ b = max(a, b), a ∧ b = min(a, b)
và khi λ , µ ∈ [0; 1] , p, q ∈ (1, ∞) giả sử rằng
1 1
λ + µ = 1, + = 1.
p q
∗

Cũng như vậy, cho một đa giá trị ánh xạ F : X → 2X , D(F), R(F), G(F),
F −1 và sẽ ký hiệu là miền, biểu đồ, đồ thị, ánh xạ ngược, ở đây được định nghĩa
bởi
D(F) = {x ∈ X : Fx = φ };
R(F) = {x∗ ∈ X ∗ , x∗ ∈ Fx, x ∈ D(F)};
G(F) = { x, x∗ ∈ X × X ∗ : x ∈ D(F), x∗ ∈ Fx};
F −1 x∗ = {x ∈ D(F) : x∗ ∈ Fx}.

2.2

Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach
lồi đều

Cho X là không gian Banach với mođun lồi δX (ε), số thực p > 1 tùy ý,
và A = {φ : R+ → R+ : φ (0) = 0, φ (t) là tăng chặt và có hằng số K sao cho
φ (t) ≥ KδX (t/2)}.
Bây giờ chúng ta thiết lập các kết quả chính của phần này:
12

Định lý 2.1. Các tính chất sau là tương đương:
(i) X là lồi đều;
(ii) Tồn tại một hàm φ p ∈ A như sau
j p x − j p y, x − y ≥ ( x ∨ y ) p φ p (

x−y
);
x ∨ y

(2.5)

(iii) Tồn tại một số thực a của φ p ∈ A như sau
p

x+y

≥ x

p

+ p j p x, j + σ p (x, y),

sao cho x, y ∈ X, ở đây
1

σ p (x, y) = p

t y
( x + ty ∨ x ) p

φ p(
)dt;
t
x + ty ∨ y

(2.6)

0

Để chứng minh định lý này chúng ta cần có các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Cho x, y ∈ S(X)và t ∈ (0, 1) cho ε = x − y = 0 thì
λ x + µty ≤ λ + µt − 2(λ ∧ µ)tδX (ε).
Chứng minh. Giả sử rằng x và y là độc lập tuyến tính và ký hiệu E là khơng
gian con sinh bởi các phần tử x, y và phần tử 0, thì phần tử λ x + µty thuộc E.
Cho z là giao điểm của vectơ x − y và tia τ(λ x + µty), τ ≥ 0, trong khơng gian
con E, thì tồn tại một số thực α và β như sau
z = α(λ x + µty), α ≥ 0;

(2.7)

z = β x + (1 − β )(λ x + µy), 0 ≤ β ≤ 1,

(2.8)

từ x và y độc lập tuyến tính, ta có
αλ = β + (1 − β )λ
α µt = µ(1 − β ).
Giải phương trình và tìm được
α = (λ + µt)−1 ; β = (λ + µt)−1 λ (1 − t).
Do đó từ (2.7) và (2.8), được kết quả

13


λ x + µty = α −1 z = (λ + µt) β x + (1 − β )(λ x + µy)
≤ (λ + µt)[β x + (1 − β ) λ x + µy ].

(2.9)

Tiếp theo, xét hàm f (s, w) = s−1 ( x + sw − x ), s > 0 là không giảm theo s
và mỗi s và w cố định trong X. Do đó theo định nghĩa mođun lồi suy ra
λ x + µy = 1 + µ[ x + µ(y − x) − x ]/µ
1
= 1 + µ f (µ, y − x) ≤ 1 + µ f ( , y − x)
2
1
= 1 − 2µ[1 − x + y ] ≤ 1 − 2µδx (ε),
2
ở đây µ ≤

1
2

và tương tự, ta thu được
1
λ x + µy = 1 − 2λ δx (ε), λ ≤ .
2

Kết hợp với (2.9), ta có
λ x + µty ≤ (1 − t)λ + t[1 − 2(µ ∧ λ )δx (ε)

= λ + µt − 2(µ ∧ λ )tδx (ε),
suy ra bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.2. X là lồi đều khi và chỉ khi, với mỗi p ∈ (1, ∞) luôn tồn tại một hàm
tăng chặt
λ x + µy

p

+ ( x ∨ y) p δ p (λ , µ,

x−y
)≤λ x
x ∨ y

p

+ µ y p,

(2.10)

với mọi x, y ∈ X.
Chứng minh. Ở đây (2.10) nói rằng, với mọi x, y ∈ S(X), x − y ≥ ε ta đặt
λ =µ=

1
2

ta được
x+y

2

p

1 1
+ δ p ( , , ε) ≤ 1.
2 2

khi đó suy ra
1 1
δx (ε) ≥ 1 − [1 − δ p ( , , ε)]i/p > 0,
2 2
do đó, X là lồi đều. Ngược lại, giả sử rằng X là lồi đều. Chúng ta xét hàm
δ p (λ , µ, .) như trong (2.10). Để chứng minh chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ p :
[0, 1] × [0, 1] × R+ bởi
(1)

(2)

δ p (λ , µ, ε) = min{ f p (λ , µ, ε), f p (λ , µ, ε)},
14

(2.11)


ở đây
(1)

f p (λ , µ, ε) = λ + µ(1 − ε2 ) p − (1 − µ ε2 ) p ;
(2)

f p (λ , µ, ε) = λ [1 − µλ p−1 /{µ 1/p−1 − [µ − 2(µ ∧ λ )δX (ε/2)] p(p−1) } p−1 ].
Với hàm ϕ p thì ta xác định bất đẳng thức
λ x + µy

p

+ ϕ p (λ , µ, ε) ≤ λ x

p

+ µ y p,

(2.12)

với mỗi x ∈ S(X) và y ∈ B(X). Thật vậy, cho t0 = y , y = t0−1 y, ε = x − y và
ε = x − y . Ta xét hàm g định nghĩa bởi
g(t) = λ + µt p − [λ + µt − 2(µ ∧ λ )tδX (ε)] p , 0 ≤ t ≤ 1.

Theo Bổ đề 1, ta có
g(t0 ) = λ + µt0p − λ x + µt0 y
=λ x

p

+µ y

p

p

= λ + µt0p − λ x + µy

p

(2.13)

− λ x + µy p .

Bây giờ chúng ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1. t0 ≤ 1 − ε/2. Khi đó các đơn điệu giảm chặt của hàm (λ + µt p ) −
(λ + µt) p suy ra
(1)

g(t0 ) ≥ λ + µt0p − (λ + µt0 ) p ≥ f p (λ , µ, ε).
Do đó, từ (2.13) suy ra (2.12).
Trường hợp 2. t0 ≥ 1 − ε/2, thì ε = x − y ≥ x − y − y − y = ε − (1 −t0 ) ≥
ε/2. Theo tính chất (δ 2), ta có
ε
g(t0 ) ≥ λ + µt0p − [λ + µt0 − 2(µ ∧ λ )t0 δX ( )] p =: h(t0 ).
2
Chúng ta thu được hàm h(t0 ), 0 ≤ t0 ≤ 1, đạt giá trị nhỏ nhất tại
t∗ = λ µ − 2 (µ ∧ λ ) δX

ε
2

(p−1)−1

- µ − 2 (µ ∧ λ ) δX

Đó là nghiệm duy nhất của phương trình

−1

/ µ (p−1)

ε
2

p/(p−1)

ε
h (t0 ) = p µt0p−1 − λ + µt0 − 2(µ ∧ λ )t0 δX ( )
2
15

}.
p−1



ì à 2(à )X ( ) }= 0,
2

với

p−1
ε p µt0 [λ + µt0 − 2(µ ∧ λ )t0 δX ( ε2 )]
[λ + µt0 − 2(µ ∧ λ )t0 δX ( )] =
,

2
µ − 2(µ ∧ λ )δX ( ε2 )

khi đó
inf h(t0 ) = h(t∗ ) = λ

0≤t0 ≤1

+ µt∗p −

µt∗p−1 [λ + µt∗ − 2(µ ∧ λ )t∗ δX ( ε2 )]
µ − 2(µ ∧ λ )δX ( ε2 )
(2)

= λ − λ µt∗p−1 [µ − 2(µ ∧ λ )δX ( ε2 )]−1 = f p (λ , µ, ε).
Do đó, (2.12) được chứng minh. Dễ dàng thấy hàm δ p (λ , µ, ε) là tăng chặt
trong ε. Vì thế, từ (2.12) suy ra (2.10) với
δ p (λ , µ, ε) = min φ p (λ , µ, ε) , φ p (µ, λ , ε) .

(2.14)

Do đó bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.3. Cho δ p (λ , µ, ε) được cho trong (2.14). Khi đó
ε
lim sup δ p (λ , µ, ε)/µ + lim sup δ p (λ , µ, ε)/λ ≥ K p ( ),
µ→0
2
λ →0
với K p là hằng số được định nghĩa bởi
√

1
1
K p = 4(2 + 3) min
p(p − 1) ∧ 1
p ∧ 1 (p − 1),
2
2
√
(p - 1) 1 − 3 − 1

p(p−1)−1

,1− 1+

√
1−p
(2− 3)p
}.(2.15)
p−1

Chứng minh. Từ δ p (λ , µ, ε) là đối xứng ứng với λ và µ, ta có
lim sup δ p (λ , µ, ε)/µ + lim sup δ p (λ , µ, ε)/λ

µ→0

≥ 2 min{ lim

λ →0
(i)
f p (λ , µ, ε)/µ +

µ→0

(i)

lim f p (λ , µ, ε)/λ , i = 1, 2}.

λ →0

Ta có
p

p
− 1 − ε =: g1 (ε);
µ→0
2
p−1
ε p−1
(1)
lim f p (λ , µ, ε)/λ = 1 − 1 +
ε 1−
=: g2 (ε);
2
2
λ →0
−1
ε p(p−1)
(2)
lim f p (λ , µ, ε)/µ = (p − 1) 1 − 1 − 2δX
= h1 (δ );

µ→0
2
(1)

lim f p (λ , µ, ε)/µ = 1 −

lim

λ →0

(2)
f p (λ , µ, ε)/λ

ε
2

2p
ε
= 1− 1+
δX
p−1
2
16

1−p

=: h2 (δ ),


khi δ = δX ( ε2 ). Áp dụng tính chất (δ 3) ta có

δ = δX

ε
ε
1 ε
≤ δH
= 1− 1−
2
2
4 2

2 1/2

,

trong đó
√
√
ε
1
( )2 ≥ 4δ (2 − δ ) ≥ (4 + 2 3) và δ ≤ (2 − 3) với ε ∈ (0, 2] , chúng ta thu
2
2
được
√
√
ε
p
g1 (ε)/δ = (4 + 2 3) inf g1 (ε)/( )2 = (4 + 2 3)(p − 1)( ∧ 1);
0≤ε≤2

2
2
√
√ p(p − 1)
ε 2
g2 (ε)/δ = (4 + 2 3) inf g2 (ε)/( ) = (4 + 2 3)(
∧ 1);
0≤ε≤2
2
2
h1 (δ )/δ ≥
inf
h1 (δ )/δ
1 √
0≤δ ≤ (2− 3)
2√
√
−1
= (4 + 2 3)(p − 1)[1 − ( 3 − 1) p(p−1) ];
√
1−p
√
(2− 3)p
h2 (δ )/δ ≥
inf √ h2 (δ )/δ = (4 + 2 3) 1 − 1 + p−1
.
0≤δ ≤(2− 3)

Do đó bổ đề được chứng minh.
Chứng minh định lý 2.1. (i) ⇒ (ii).

Từ ánh xạ đối ngẫu J p và tính chất (J4) khơng mất tính tổng qt, ta giả sử
x ∨ y = 1. Thật vậy, áp dụng Bổ đề 2.2, ta có
λ x + µy

p

+ δ p (λ , µ, x − y ) ≤ λ x

p

+ µ y p , ∀x, y ∈ X,

ở đây đặc biệt chú ý
x + µ(y − x)

p

− x

p

≤ µ( y

p

− x p ) − δ p (λ , µ, x − y );

(2.16)

y + λ (x − y)

p

− y

p

≤ λ( x

p

− y p ) − δ p (λ , µ, x − y ).

(2.17)

Vì X là lồi đều, X cũng là phản xạ. Từ đó áp dụng (J5) ta có J p x = ∂ ((1/p) x p )
cho mỗi x ∈ X.
Dựa vào đẳng thức (2.16) và (2.17) suy ra
p j p x, y − x ≤ y

p

p j p x, y − x ≤ x

p

− x

p

− y

p

− lim sup δ p (λ , µ, x − y )/µ
µ→0

− lim sup δ p (λ , µ, x − y )/λ .
λ →0

Kết hợp hai đẳng thức thì ta được

17


1
p j p x − j p y, x − y ≥ [ lim sup δ p (λ , µ, x − y )/µ
p µ→0
+ lim sup δ p (λ , µ, x − y )/λ ].
λ →0

Theo Bổ đề 3, ta có
j p x − j p y, x − y ≥ K p δX (λ , µ, x − y )/λ ,
từ đó, cho φ p (t) = K p δX (t/2) thì suy ra (ii).
p

(ii) ⇒ (iii). Cho Φ(t) = (1/p) x + ty

và 0=t0 < t1 < .... < tN = 1

là một phân hoạch của [0, 1]. Dựa vào (J5), ta có
1
p

x+y

p

− 1p x

p

N−1

= Φ(t) − Φ(0) = ∑ (Φ(tk+1 ) − Φ(t))
n=o

N−1

≥ ∑

j p (x + tk y), y (tk+1 − tk ).

k=0

Từ (ii) ta có
x+y

p

− x
N−1

≥p ∑

k=0
N−1 (

≥p ∑

k=0

p

− p j p, y

j p (x + tk y) − j p x, y (tk+1 − tk )
x + tk y ∨ x p )
tk y
φ p(
)(tk+1 − tk ).
tk
x + tk y ∨ x

Từ φ p là tăng chặt và x + ty ∨ x là liên tục trong t, hàm
x + ty ∨ x
S(t) =
t

p

φ p(

t y
),
x + ty ∨ x

là khả tích (trong Bổ đề Riemann). Ta có
x+y

p

− x

p

N−1

− p j p x, y ≥ lim p
N→∞

∑ S(tk )(tk+1 − tk )
k=o

1

= p S(t)dt,
0

suy ra (iii).

18


(iii) ⇒ (i). Với mỗi x, y ∈ S(x), dựa vào (iii) ta có
0 = x + (y − x)

2

− x

2

x + t(y − x) ∨ x )2
t
t y−x
×φ2 (
)dt
x + t(y − x) ∨ x

1

≥ 2 jx, y − x + 2
0

1

≥ 2 jx, y − x + 2 t −1 φ2 (t y − x )dt
0
x−y

= 2 jx, y − x + 2

φ2 (η)/ηdη.
0

Khi đó từ đơn điệu tăng của φ2 , ta được
ε

1 − jx, y ≥ φ2 (η)/ηdη khi x − y ≥ ε.
0

Từ đây, kết hợp với kết quả (ii) và φ p (η) ∈ A ta có tồn tại một hàm tăng
ε

chặt Y (ε) = K2 δX (η/2)/ηdη. Như vậy jx, y ≥ 1 − Y (ε) với mọi x, y ∈
0

S(x), x − y ≥ ε. Do đó, ta có X là lồi đều. Định lý được chứng minh.

2.3

Đặc trưng của bất đẳng thức trong không gian Banach
trơn đều

Cho X là không gian Banach với mođun trơn ρX (τ) và ℑ = {ϕ:R+ → R+ :
ϕ(0) = 0, ϕ lồi, không giảm và tồn tại một hằng số K>0 sao cho ϕ(τ) ≤
K pX (τ)}.
Trong phần này chúng tơi chứng minh tính hai mặt của Định lý 2.1:
Định lý 2.2. Với mỗi 1 < p < ∞, các kết quả sau là tương đương:

(i) X là trơn đều;
(ii) J p là duy nhất và có giá trị là ϕ p ∈ ℑ như sau:
x−y
), ∀x, y ∈ X,
x ∨ y

(2.18)

+ p J p x, y + σ p (x, y), ∀x, y ∈ X,

(2.19)

J p x − J p y ≤ ( x ∨ y ) p−1 ϕ p (
khi ϕ p (t) = ϕ p (t)/t;
(iii) Tồn tại một ϕ p ∈ ℑ như sau
x+y

p

≤ x

p

19