DE 01 TONG ON VAN DUNG CAO th LE BA BAO (TP hue) suu tam
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.05 MB, 36 trang )
Page: CLB GIO VIấN TR TP HU
ÔN THI THPT QuốC GIA 2020
Môn: Toán 12
Vận dụng cao từ thi thử trên
toàn qc
ĐỀ TỔNG ƠN TẬP SỐ 01_TrNg 2020
Trong q trình sưu tầm, biên soạn lời giải, có sai sót gì kính mong q thầy cơ và các em học sinh góp
ý để đề kiểm tra được hoàn chỉnh hơn! Xin chân thành cảm ơn!
NỘI DUNG ĐỀ BÀI
Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một
số từ S . Tính xác suất để được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ.
(Các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).
A.
Câu 2:
5
.
648
B.
C.
5
.
54
D.
Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có bảng biến thiên như hình vẽ:
Bất phương trình e
A. m f 4 e 2 .
Câu 3:
5
.
27
x
20
.
189
m f x nghiệm đúng với mọi x 4;16 khi và chỉ khi:
B. m f 4 e 2 .
C. m f 16 e 2 .
D. m f 16 e 2 .
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1; 2; 3 và tiếp xúc với mặt phẳng P có
phương trình 2 x 9 y 9 z 123 0 . Số điểm có tọa độ nguyên thuộc mặt cầu S là
A. 124 .
Câu 4:
B. 120 .
C. 144 .
D. 96 .
x 2 t
2
2
2
Cho mặt cầu S : x y z 2 x 4 z 1 0 và đường thẳng d : y t
. Tổng các giá trị của
z m t
m để d cắt S tại hai điểm phân biệt A , B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của S tại A và
B vng góc với nhau bằng
A. 4 .
B. 5 .
Câu 5:
D. 1 .
C. 3 .
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1; 2 thỏa mãn
2
1
x 1 f x dx 3 , f 2 0
2
và
1
2
2
f x dx 7 . Tính tích phân I f x dx .
2
1
1
7
.
20
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với
7
A. I .
5
Câu 6:
2
x 1
7
B. I .
5
C. I
D. I
m 10 ) để phương trình
log 4 x 2 m m có nghiệm?
A. 9 .
B. 10 .
C. 5 .
7
.
20
D. 4 .
Câu 7:
Cho hàm số f x . Hàm số y f x có bảng xét dấu như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số y f x 2 3x là
Câu 8:
A. 5 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ dưới đây đường đậm
hơn là đồ thị hàm số y f x . Biết rằng hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại điểm có hồnh độ là
3 và cắt nhau tại hai điểm nữa có hồnh độ lần lượt là 1 và 3 . Tìm tập hợp tất các giá trị
thực của tham số m để bất phương trình f x g x m nghiệm đúng với mọi x 3; 3 .
Câu 9:
12 10 3
12 8 3
12 10 3
12 8 3
; . D. ;
; .
A. ;
.
B.
C.
.
9
9
9
9
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N , P , Q lần lượt là
trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA và O là giao điểm của AC với BD . Thể tích khối
chóp O.MNPQ bằng
a3 2
a3 2
2a3 2
2a3
.
B.
.
C.
.
D.
.
81
54
81
81
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 x m 1 .2 x 2 m 3 0 có hai nghiệm trái
A.
Câu 10:
dấu là
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .
Câu 11: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC . Mặt phẳng
chứa AK cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại M và N . Gọi V1 , V theo thứ tự là thể tích khối
chóp S.AMKN và khối chóp S. ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số
A.
3
.
8
B.
1
.
2
C.
1
.
3
V1
bằng
V2
D.
2
.
3
Câu 12: Anh Việt vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng mua nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng
bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng và chịu lãi suất là 0,9% / tháng cho số tiền
chưa trả. Với hình thức hồn nợ như vậy thì ít nhất sau bao lâu anh Việt sẽ trả hết số nợ ngân
hàng?
A. 65 tháng.
B. 66 tháng.
C. 67 tháng.
D. 68 tháng.
Câu 13: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa SE và BC
bằng
A.
a 3
.
3
B.
a
.
2
C.
a 2
.
3
D.
a 3
.
2
3
Câu 14: Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a , b , c sao cho
4x 2 ln xdx a b ln 2 c ln 3 . Giá
2
trị của a b c bằng
A. 19 .
B. 5 .
C. 19 .
D. 5 .
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;1; 3 , B 6; 5; 5 . Gọi S là mặt cầu
đường kính AB . Mặt phẳng P vng góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là
hình tròn tâm H (giao của mặt cầu S và mặt phẳng P ) có thể tích lớn nhất, biết rằng
P : 2 x by cz d 0 với b, c , d
. Tính S b c d .
A. S 24 .
B. S 18 .
C. S 12 .
D. S 18 .
Câu 16: Trong khơng gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua M 4; 2;1 , song song với mặt
phẳng : 3 x 4 y z 12 0 và cách A 2; 5; 0 một khoảng lớn nhất là
x 4 t
A. y 2 t .
z 1 t
Câu 17:
x 4 t
x 4 t
x 1 4t
B. y 2 t .
C. y 2 t .
D. y 1 2t .
z 1 t
z 1 t
z 1 t
Cho số phức z thỏa mãn z 4 i z 4 3i 10 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z 3 7 i . Khi đó M 2 m 2 bằng
A. 90 .
B.
405
.
4
C.
645
.
4
D. 100 .
Câu 18: Cho hình chóp S. ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , AB a , AC a 2 , BAC 45 .
Gọi B1 , C1 lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB , SC . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình
chóp ABCC1 B1 bằng
A.
a3
2
B. a 3 2 .
.
C.
a3 2
3
.
D.
4 3
a .
3
Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 1 i 8 z 1 là
hình trịn có tâm và bán kính lần lượt là
A. I 1; 8 , R 2 .
Câu 20: Cho hàm số
f x
2
B. I 0; 8 , R 6 .
C. I 0; 8 , R 6 .
f x có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
4 6 x 2 1 . f x 40 x 6 44 x 4 32 x 2 4, x 0;1 . Tích phân
thỏa mãn
1
5
B.
.
12
13
C. .
15
f 1 1
xf x dx bằng
0
5
A. .
12
D. I 0; 8 , R 3 .
D.
13
.
15
Câu 21: Cho hàm số y f x là một hàm đa thức có bảng xét dấu f x như sau:
và
Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2 x là
A. 5 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 7 .
5
3
Câu 22: Cho hàm số f x x 3x 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f
3
f x m x 3 m có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 ?
A. 18 .
B. 17 .
C. 15 .
D. 16 .
Câu 23: Đường thẳng y kx 4 cắt parabol y x 2 tại hai điểm phân biệt và diện tích các hình
2
phẳng S1 , S2 bằng nhau như hình vẽ sau:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
1
1
C. k 1; .
D. k ; 0 .
2
2
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : mx ( m 1) y z 2 m 1 0 , với m là
A. k 6; 4 .
B. k 2; 1 .
tham số. Gọi (T) là tập hợp các điểm H m là hình chiếu vng góc của điểm H (3; 3; 0) trên (P).
Gọi a , b lần lượt là khoảng cách lớn nhất, khoảng cách nhỏ nhất từ O đến một điểm thuộc (T).
Khi đó a b bằng
A. 5 2 .
B. 3 3 .
C. 4 2 .
Câu 25: Cho F x 4 x là một nguyên hàm của hàm số 2 x. f x . Tích phân
1
0
A.
2
.
ln 2
B.
4
.
ln 2
C.
2
.
ln 2
D. 8 2 .
f ' x
dx bằng
ln 2 2
D.
4
.
ln 2
Câu 26: Cho hàm số y x 4 2mx 2 2m2 m4 có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa
mãn ABCD là hình thoi với D 0; 3 . Số giá trị m thỏa mãn là
A. 2.
B. 4.
C. 0.
D. Vô số.
Câu 27: Cho số phức z được biểu diễn bởi điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy , M không thuộc
đường thẳng Ox . Gọi M ' là điểm biểu diễn cho số phức ( z) và N là điểm biểu diễn cho số
phức 1 3i . Giả sử z x yi với x , y
và tam giác MNM ' vuông tại N , MM ' N 30 0 . Tính
S 2x y2 .
A. S 1 .
Câu 28:
B. S 1 .
C. S 4 .
D. S 2 .
x 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y t và điểm A(0; 4; 0) . Điểm M
z 1
thay đổi nhưng luôn cách đều đường thẳng d và đường thẳng Ox . Tìm giá trị nhỏ nhất của
độ dài đoạn thẳng AM .
A.
65
.
2
B.
1
.
2
C.
6.
D. 3 2 .
Câu 29: Cho hình lập phương cạnh 1 cm . Gọi H là hình đa diện lồi có đỉnh là trung điểm các cạnh
của hình lập phương đó. Gọi S là diện tích tồn phần của hình đa diện H . Hỏi S gần với kết
quả nào nhất trong các kết quả sau?
A. 4,8 cm 2 .
B. 3,7 cm 2 .
C. 6,4 cm 2 .
D. 5,5 cm 2 .
Câu 30: Gọi H là phần giao của hai khối
1
hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với
4
nhau như hình vẽ sau. Tính thể tích của khối H .
a3
3a 3
A. V H .
B. V H
.
2
4
Câu 31: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên
2a3
a3
C. V H
.
D. V H
.
3
4
và có đồ thị C1 . Biết tiếp tuyến với C1 tại điểm có
hồnh độ bằng 3 là y 2 x 1 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C2 của hàm số
y f x 4 2 tại điểm có hồnh độ bằng 1.
A. y 2 x 7 .
B. y 2 x 5 .
C. y 8 x 1.
Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy
D. y 8 x 15 .
là tam giác cân với AB AC a và góc
BAC 120 và cạnh bên BB ' a . Gọi I là trung điểm của CC ' . Tính cosin góc giữa hai mặt
phẳng ABC và AB ' I .
o
3
30
30
10
.
B.
.
C.
.
D.
.
10
10
30
30
Cho f ( x) là hàm đa thức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số y f ( x) như hình vẽ sau:
A.
Câu 33:
Tìm số điểm cực trị của hàm số y g( x) f x 2 4 x 5 .
A. 2 .
Câu 34:
Câu 35:
B. 5 .
C. 3 .
D. 1 .
2x2 7 x 6
khi x 2
x2
Cho hàm số f ( x)
. Biết a là giá trị để hàm số liên tục tại x0 2 .
1 x
a 2 x khi x 2
7
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình x 2 ax 0 .
4
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 3 .
Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường trịn tâm O . Gọi X là tập hợp tất cả
các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho. Lấy ngẫu nhiên một tam giác từ tập X .
Tính xác suất để chọn được tam giác cân nhưng không đều?
21
14
23
.
C.
.
D.
.
136
136
136
1
1
1
Phương trình e x
2020 có bao nhiêu nghiệm thực?
x 1 x 2
x 2020
A. 1 .
B. 2021 .
C. 0 .
D. 2020 .
S
Tính
tổng
các
nghiệm
nguyên
dương
của
bất
phương
A.
Câu 36:
Câu 37:
3
.
17
B.
2x 6x 8
x 3 9 x 2 8 x 2 0.
x2 4x 6
A. S 36 .
B. S 55 .
trình
2
log 2
Câu 38: Cho hàm số f x liên tục trên
C. S 45 .
và thỏa mãn f
3
D. S 44 .
x f x x , x
2
. Tính
f x dx.
0
5
A. .
4
3
B. .
4
C. 2 .
D. 1 .
Câu 39: Cho hàm số y f x , hàm số y f x liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất
phương trình f x x 2 x m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x 1; 2 khi và chỉ
2
khi
A. m f (2) 2 .
B. m f (1) 1 .
D. m f (2) .
C. m f (1) 1 .
Câu 40: Cho f x và g x là hai hàm số liên tục và có một nguyên hàm lần lượt là F x x 2019,
G x x 2 2020. Tìm một nguyên hàm H x của hàm số h x f x .g x , biết H 1 3.
A. H x x 3 3 .
B. H x x 2 5 .
C. H x x 3 1 .
D. H x x 2 2 .
Câu 41: Đầu năm 2019 , ông A mở một công ty và dự kiến tiền lương trả cho nhân viên là 600 triệu
đồng cho năm này. Ông A dự tính số tiền lương sẽ tăng 15% mỗi năm. Hỏi năm đầu tiên số
tiền lương ông A phải trả cho năm đó vượt quá 1 tỉ đồng là năm nào ?
A. 2024 .
B. 2026 .
C. 2025 .
D. 2023 .
Câu 42: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn
10
0
f x dx 7,
10
f x dx 1 .
Tính
2
1
P f 2 x dx .
0
A. P 6 .
B. P 6 .
C. P 3 .
D. P 12 .
S
.
ABCD
ABCD
a
Câu 43: Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh . Tam giác ABC là tam giác đều,
hình chiếu vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm của tam giác
ABC . Góc giữa đường thẳng SD và ( ABCD ) bằng 30 o (tham khảo hình vẽ bên dưới).
S
A
D
O
H
B
C
Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD ) theo a .
a 21
2 a 21
.
B. a 3 .
C. a .
D.
.
7
3
Giải bóng chuyền VTV Cup có 12 đội tham gia trong đó có 9 đội nước ngồi và 3 đội của Việt
Nam. Ban tổ chức cho bốc tham ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng đấu A, B, C mỗi bảng 4 đội.
Xác suất để 3 đội Việt Nam nằm ở 3 bảng gần nhất với số nào trong các số sau đây?
11
3
39
29
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
25
20
100
100
1
1
Cho các số thực a , b thỏa mãn a b 1 và
2020 . Giá trị của biểu thức
log b a log a b
A.
Câu 44:
Câu 45:
P
1
1
bằng
log ab b log ab a
A. 2014 .
B. 2016 .
C. 2018 .
D. 2020 .
Câu 46: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , bảng biến thiên của hàm số f x như sau:
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là
A. 4 .
B. 5 .
C. 1 .
Câu 47: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
D. 7 .
Số nghiệm thực của phương trình f x 3 3x 1 là
A. 10 .
B. 8 .
C. 9 .
D. 7 .
Câu 48: Xét các số thực dương a , b , c lớn hơn 1 (với a b ) thoả mãn 4 log a c log b c 25log ab c . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P log b a log a c log c b bằng
17
.
D. 8 .
4
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh
BC , C D, DD (tham khảo hình vẽ).
A. 5 .
Câu 49:
B. 3 .
C.
Biết thể tích khối hộp bằng 144 , thể tích khối tứ diện AMNP bằng
A. 15 .
B. 24 .
C. 20 .
D. 18 .
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn 10;10 sao cho phương trình
e x a e x ln 1 x a ln 1 x có nghiệm duy nhất?
A. 21 .
B. 10 .
C. 1 .
D. 20 .
___________ HẾT ___________Huế, ngày 26 tháng 5 năm 2020
Page: CLB GIO VIấN TR TP HU
ÔN THI THPT QuốC GIA 2020
Môn: Toán 12
Vận dụng cao từ thi thử trên
toàn quèc
ĐỀ TỔNG ÔN TẬP SỐ 01_TrNg 2020
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một
số từ S . Tính xác suất để được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ.
(Các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).
5
5
5
20
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
648
27
54
189
Lời giải:
Xem nhóm 3 chữ số gồm số 0 ở giữa 2 chữ số lẻ là một.
Chọn 2 chữ số lẻ và sắp xếp có A52 cách.
Chọn thêm 2 chữ số lẻ có C32 cách.
Chọn 4 chữ số chẵn có C44 cách.
Sắp xếp có 7! cách.
Như vậy có A52 .C32 .C44 .7! 302400 số thỏa mãn u cầu bài tốn. Xác suất cần tìm
Câu 2:
302400 5
.
54
9.A98
Chọn đáp án C.
Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có bảng biến thiên như hình vẽ:
Bất phương trình e
A. m f 4 e 2 .
x
m f x nghiệm đúng với mọi x 4;16 khi và chỉ khi:
B. m f 4 e 2 .
C. m f 16 e 2 .
D. m f 16 e 2 .
Lời giải:
Từ BBT suy ra f ' x 0, x 4;16 . Ta có: e
Đặt g x e
x
f x , x 4;16 g ' x
Bảng biến thiên:
(*) thỏa mãn khi m min g x f 4 e 2 .
4;16
Chọn đáp án B.
e
x
m f x m e
x
2 x
x
f x (*) .
f ' x 0, x 4;16
Câu 3:
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1; 2; 3 và tiếp xúc với mặt phẳng P có
phương trình 2 x 9 y 9 z 123 0 . Số điểm có tọa độ nguyên thuộc mặt cầu S là
A. 124 .
Lời giải:
B. 120 .
C. 144 .
2 18 27 123
Bán kính mặt cầu là: R d I , P
4 81 81
D. 96 .
166
PT S : x 1 y 2 z 3 166 32 6 2 112 6 2 7 2 9 2 2 2 9 2 9 2 .
2
2
2
Xét điểm M x; y; z với x , y , z nguyên và thuộc S .
Do đó bộ số
x 1 ; y 2 ; x 3 là một hoán vị của bộ số 3; 6;11 , 6;7; 9
và 2; 9; 9 , có tất cả
18 hoán vị như vậy.
Với mỗi bộ hoán vị của 3; 6;11 cho ta hai số x ; hai số y ; hai số z tức có tất cả 8 bộ x; y ; z có
thể. Ta kiểm tra không xảy ra trường hợp hoặc x y hoặc y z hoặc z x . Nên 8 bộ x; y ; z
là phân biệt.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 3.6.8 96 144 điểm có tọa độ nguyên thuộc mặt cầu S .
Chọn đáp án C.
Câu 4:
x 2 t
Cho mặt cầu S : x y z 2 x 4 z 1 0 và đường thẳng d : y t
. Tổng các giá trị của
z m t
m để d cắt S tại hai điểm phân biệt A , B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của S tại A và
2
2
2
B vuông góc với nhau bằng
A. 4 .
B. 5 .
Lời giải:
Mặt cầu S có tâm I 1; 0; 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Điều kiện để d cắt S tại hai điểm phân biệt A , B là phương trình
2 t
2
t 2 m t 2 2 t 4 m t 1 0 3t 2 2( m 1)t m2 4 m 1 0
2
5 21
5 21
m
2
2
A
x
;
y
;
z
,
B
x
;
y
;
z
A
2
t
;
t
;
m
t
,
B
Gọi 1 1 1 2 2 2
1 1
2 t 2 ;t 2 ; m t 2
1
phân biệt m2 5m 1 0
Theo đề IA IB IA.IB 0 1 t1 1 t2 t1t2 m 2 t1 m 2 t2 0
3t1t2 t1 t2 m 2 t1 t2 m 2 1 0
2
2m 2
t1 t2 3
m 1
2
Theo vi-et ta có
Khi
đó
.
.
m
5
m
4
0
2
m
4
m
4
m
1
t .t
1 2
3
Cách khác: Gọi H là hình chiếu vng góc của I trên d.
có hai nghiệm
H
d
B
A
I
IA IB
Do
nên tứ giác IAHB là hình vuông. Suy ra IH 2 IA 2 R 2 d I ; d 2.
IA IB
Từ đây, áp dụng công thức khoảng cách, hoặc gọi tọa độ H d và giải IH 2 ta được kết quả
bài toán như cách trên.
Chọn đáp án B.
Câu 5:
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1; 2 thỏa mãn
2
1
x 1 f x dx 3 , f 2 0
2
và
1
2
2
f x dx 7 . Tính tích phân I f x dx .
2
1
1
A. I
7
.
5
7
B. I .
5
C. I
7
.
20
D. I
7
.
20
Lời giải:
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
1
1
1
1
x 1 f x dx f x d x 1 x 1 f x x 1 f x dx x 1 f x dx
3 1
31
3
1
31
1
2
x 1 f x dx 1 1
3
1
2
2
2
2
1
1
2
2
3
3
6
Ta có f x 7 x 1 dx f x dx 14 f x x 1 dx 49 x 1 dx 0
1
f x 7 x 1 f x 7 x 1 dx
3
Câu 6:
3
7 x 1
4
1
4
C .
4
4
2
2
7 x 1 7
7 x 1 7
7
7
dx .
Mà f 2 0 nên C . Suy ra f x
. Vậy I f x dx
4
4
5
4
4
4
1
1
Chọn đáp án B.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với m 10 ) để phương trình
2 x 1 log 4 x 2 m m có nghiệm?
A. 9 .
B. 10 .
C. 5 .
Lời giải:
Điều kiện: x 2 m 0 .
Phương trình 2 x 1 log 4 x 2 m m 2 x log 2 x 2 m 2 m 1
D. 4 .
x
2 x t 2m
2 t 2m
t
Đặt t log2 x 2m , ta có hệ phương trình t
2 x 2m
2 x 2 m
2 x t 2t x 2 x x 2t t 2
Xét hàm số f u 2u u có f u 2u.ln 2 1 0, u
Do đó 2 x t .
Khi đó ta có phương trình: 2 x x 2 m
3 ( và để ý
nên đồng biến trên
.
x 2m 2 x 0, x )
Xét hàm số g x 2 x x có g x 2 x.ln 2 1
g x 0 2 x.ln 2 1 0 2 x
1
1
x log 2
log 2 ln 2
ln 2
ln 2
Bảng biến thiên của y g x như sau:
Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình 2 có nghiệm khi 2m
1
log 2 ln 2
ln 2
1 1
m 10
m 1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; 9
log 2 ln 2 0,46
m
2 ln 2
Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài.
Chọn đáp án A.
Cho hàm số f x . Hàm số y f x có bảng xét dấu như sau:
m
Câu 7:
Số điểm cực tiểu của hàm số y f x 2 3x là
A. 5 .
B. 4 .
C. 3 .
Lời giải:
Xét hàm số y g x f x 2 3x , ta có y 2 x 3 . f x 2 3x .
D. 2 .
x 3
2
2x 3 0
x 1
2
2x 3 0
x 3 x 2
y 0
2
x 2
2
x 3x 1
f x 3x 0
x 3 13
x 2 3 x 3
2
x 3 21 .
2
3 13
3
3 21
Trong đó x
là nghiệm bội chẵn, còn x , x 1, x 2, x
là nghiệm
2
2
2
đơn.
2 x 1
2
x 3x 2
3 21
2
x
Mặt khác từ bảng xét dấu f x ta có f x 3x 0 2
2
x 3x 3
x 3 21 .
2
Bảng xét dấu y :
Vậy hàm số y f x 2 3x có hai điểm cực tiểu.
Câu 8:
Chọn đáp án D.
Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ dưới đây đường đậm
hơn là đồ thị hàm số y f x . Biết rằng hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại điểm có hồnh độ là
3 và cắt nhau tại hai điểm nữa có hồnh độ lần lượt là 1 và 3 . Tìm tập hợp tất các giá trị
thực của tham số m để bất phương trình f x g x m nghiệm đúng với mọi x 3; 3 .
12 8 3
12 10 3
; .
A. ;
.
B.
9
9
Lời giải:
Xét hàm số h x f x g x .
12 10 3
; .
C.
9
12 8 3
D. ;
.
9
Vì đồ thị hàm số f x tiếp xúc với đồ thị hàm số g x tại điểm có hồnh độ 3 và cắt nhau tại
hai điểm nữa có hồnh độ lần lượt là 1 và 3 suy ra h x f x g x a x 3
Mặt khác ta có h 0 27 a 2 1 1 a
Xét hàm y h x
1
27
2
1
1 4
x 3 x 1 x 3
x 4 x 3 6 x 2 36 x 27 .
27
27
2
x 1 x 3 .
x 3
1
1
3
2
2
Ta có y h x
4 x 12 x 12 x 36
x 3 4 x 12 . Suy ra y 0 x 3 .
27
27
x 3
Bảng biến thiên:
x
- 3
-3
+
h'(x)
0
0
-
3
+
3
0
-
12+8 3)
9
h(x)
0
-∞
0
-∞
12-8 3
9
Vây tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để bất phương trình f x g x m
f x g x m nghiệm đúng với mọi x 3; 3 là m
Câu 9:
12 8 3
.
9
Chọn đáp án D.
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N , P , Q lần lượt là
trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA và O là giao điểm của AC với BD . Thể tích khối
chóp O.MNPQ bằng
2a3 2
.
81
Lời giải:
A.
B.
a3 2
.
81
C.
2a3
.
81
D.
a3 2
.
54
1
a 2
Gọi O là tâm của mặt đáy, ta có SO ABCD và SO AC
.
2
2
1
1
a 2 a3 2
Thể tích khối chóp S. ABCD là V SABCD .SO .a2 .
.
3
3
2
6
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD .
4
2
1
Ta có SMNPQ 2SMNP 2. SMN P SABCD và d O; MNPQ OH SO .
3
9
9
3
2
a 2
Do đó, Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng V V
.
27
81
Chọn đáp án B.
Câu 10: Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 x m 1 .2 x 2 m 3 0 có hai nghiệm trái
dấu là
A. 2 .
Lời giải:
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .
Xét phương trình: 4 x m 1 .2 x 2 m 3 0 1
Đặt t 2 x t 0 . Phương trình 1 trở thành: t 2 m 1 t 2m 3 0
t2 t 3
f t 2 (do t 2 không là nghiệm)
t2
t2 t 3
t 2 4t 5
Xét f t
, t 0 ; \2 ; f t
0, t 0; \2 .
2
t2
t 2
t 2 t 3 m t 2 m
Bảng biến thiên:
1
có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2 2 có hai nghiệm t1 1 t2 .
đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f t tại hai điểm nằm về hai phía đường thẳng
t 1 1,5 m 3 . Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Chọn đáp án C.
Câu 11: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC . Mặt phẳng
chứa AK cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại M và N . Gọi V1 , V theo thứ tự là thể tích khối
chóp S.AMKN và khối chóp S. ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số
A.
3
.
8
B.
1
.
2
C.
1
.
3
V1
bằng
V2
D.
2
.
3
Lời giải:
Giả sử x
SN
SM
, x; y 0;1 .
, y
SD
SB
1
1
Ta có ABCD là hình bình hành nên VS. ABC VS. ACD VS. ABCD V .
2
2
SM SK
SK SN
1 1
1 1
1
VS. AMKN VS. AMK VS. AKN
.
.VS. ABC
.
.VS. ACD x. V y. V V . x y
SB SC
SC SD
2 2
2 2
4
V
1
1 x y .
V 4
SM SN
SK SM SN
Mặt khác, VS. AMKN VS. AMN VS.KMN
.
.VS. ABD
.
.
.V
SB SD
SC SB SD S . ABC
V
3xy
3xy
1
1
1
1
3
. Do đó x y xy x y 3xy
V1 xy.V xy. V
V 1
2
2
2
4
4
4
V
4
2
4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 3xy x y 2 xy xy xy
3
9
V1 3
3 4 1
xy .
V 4
4 9 3
x y 3xy
V
2
1
Dấu " " xảy ra khi
x y . Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 là .
V
3
3
x y
Chọn đáp án C.
Anh Việt vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng mua nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng
bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng và chịu lãi suất là 0,9% / tháng cho số tiền
Do đó
Câu 12:
chưa trả. Với hình thức hồn nợ như vậy thì ít nhất sau bao lâu anh Việt sẽ trả hết số nợ ngân
hàng?
A. 65 tháng.
B. 66 tháng.
C. 67 tháng.
D. 68 tháng.
Lời giải:
Gọi A là số tiền vay ngân hàng; r là lãi suất hàng tháng cho số tiền còn nợ; m là số tiền trả nợ
hàng tháng; n là thời gian trả hết nợ.
Để trả hết nợ thì A 1 r
n
n
m
1 r 1 0
r
500 1 0,9%
n
n
10
20
20
1 0,9% 1 0 1 0,9%
n log 1 0,9%
66,72
0,9%
11
11
Vậy sau 67 tháng anh Việt trả hết nợ.
Chọn đáp án C.
Câu 13: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B , AB a , cạnh bên SA vng góc
n
với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa SE và BC
bằng
a 3
.
3
Lời giải:
A.
B.
a
.
2
C.
a 2
.
3
D.
a 3
.
2
Cách 1:
Gọi I là hình chiếu của B lên SE BI SE (1)
BC AB
Ta có
BC SAB BC BI (2). Từ (1) và (2) suy ra d SE , BC BI .
BC SA
Ta có AES ∽ IEB
BI BE
BI
SA SE
a 2.a
2. 2a 2
2
a
4
Cách 2:
Gọi F là trung điểm của AC , suy ra BC€ EF SEF .
a 2
a 2
.
d SE, BC
3
3
Do đó d SE; BC d BC ; SEF d B; SEF d A; SEF
SA.AE
SA AE
2
2
a 2
.
3
Chọn đáp án C.
3
Câu 14: Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a , b , c sao cho
4x 2 ln xdx a b ln 2 c ln 3 . Giá
2
trị của a b c bằng
A. 19 .
Lời giải:
B. 5 .
C. 19 .
D. 5 .
1
u ln x
du dx
Xét I 4 x 2 ln xdx . Đặt
x
2
dv 4 x 2 dx v 2 x 2 2 x
3
3
I 2 x 2 2 x ln x 2 x 2 dx 24ln 3 12ln 2 x 2 2 x
2
3
2
3
2
24ln 3 12ln 2 7 .
Suy ra a 7; b 12; c 24 . Vậy a b c 5 .
Chọn đáp án D.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;1; 3 , B 6; 5; 5 . Gọi S là mặt cầu
đường kính AB . Mặt phẳng P vng góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là
hình trịn tâm H (giao của mặt cầu S và mặt phẳng P ) có thể tích lớn nhất, biết rằng
P : 2 x by cz d 0 với b, c , d
A. S 24 .
Lời giải:
. Tính S b c d .
B. S 18 .
C. S 12 .
D. S 18 .
AB
42 42 22
3.
2
2
Dễ thấy H nằm ngồi đoạn IA thì thể tích khối nón sẽ lớn hơn khi thấy H nằm trong đoạn
IA .
S
là mặt cầu đường kính AB có tâm I 4; 3; 4 và bán kính R
IH x 0 x 3 , bán kính mặt nón đỉnh A là r R2 IH 2 9 x 2 .
1
1
Thể tích khối nón là V AH. .r 2 3 x 9 x 2 x 3 3x 2 9 x 27 f x .
3
3
3
Xét f x x 3 3x 2 9 x 27 trên khoảng 0; 3 .
3
x 1
6x 9 0
.
x 3
Bảng biến thiên của f x trên khoảng 0; 3 :
Ta có f x
3x
3
2
Thể tích khối nón lớn nhất khi IH x 1 , mặt phẳng P vng góc với AB tại H nhận
AB 4; 4; 2 làm véc tơ pháp tuyến nên phương trình mp P có dạng 2 x 2 y z d 0
2.4 2.3 4 d
18 d
d 15
.
18 d 3
3
4 41
d 21
Với d 15 thì mp P : 2 x 2 y z 15 0 , hai điểm A , I nằm khác phía P nên loại.
IH x 1 d I , P
Với d 21 thì mp P : 2 x 2 y z 21 0 , hai điểm A , I nằm cùng phía P thỏa mãn nên ta
b 2
có c 1 b c d 18 .
d 21
Chọn đáp án B.
Câu 16: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua M 4; 2;1 , song song với mặt
phẳng : 3 x 4 y z 12 0 và cách A 2; 5; 0 một khoảng lớn nhất là
x 4 t
A. y 2 t .
z 1 t
x 4 t
B. y 2 t .
z 1 t
x 4 t
C. y 2 t .
z 1 t
x 1 4t
D. y 1 2t .
z 1 t
Lời giải:
Gọi mặt phẳng là mặt phẳng qua M 4; 2;1 , song song với mặt phẳng
: 3x 4 y z 12 0 suy ra : 3x 4 y z 21 0 .
Gọi d là đường thẳng đi qua M 4; 2;1 , song song với mặt phẳng : 3 x 4 y z 12 0 suy
ra d .
Gọi H là hình chiếu vng góc của A xuống đường thẳng d d A , d AH AM 86 .
Khoảng cách từ A đến d lớn nhất khi H M u AM , n 3 1;1;1 .
d
Câu 17:
x 4 t
Vậy đường thẳng cần lập có phương trình là y 2 t .
z 1 t
Chọn đáp án C.
Cho số phức z thỏa mãn z 4 i z 4 3i 10 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z 3 7 i . Khi đó M 2 m 2 bằng
A. 90 .
B.
405
.
4
C.
645
.
4
D. 100 .
Lời giải:
w
w 10
z4i
4 2i
z4i
w
2 i
2 i .
Đặt z
i
2 i
z 4 3i w 4 2i z 4 3i w 10
2 i
2 i
| w 10| | w 10|
Ta có | z 4 i | | z 4 3i | 10
10 | w 10| | w 10| 10 5 suy ra tập
5
5
hợp điểm A biểu diễn số phức w là elip có 2 a 10 5 ,2c 20 a 5 5 , c 10
x2 y 2
b a 2 c 2 5 , nên phương trình E :
1.
125 25
x 5 5 cos
x2 y 2
1 A
Do A E :
.
125 25
y A 5sin
w
| w 15i | AC
với C 0; 15 .
3 6i
2 i
5
5
2
2
2
2
1
5 5 cos 5sin 15
5 5 cos 5sin 15
5
Ta có | z 3 7 i |
AC
Có
5
1
5
15
35
100 sin 2 sin .
10
10
5
1
=
Đặt t sin ,t 1;1 f t t2
15
35
t , t 1;1 , ta có max f t f 1 1 ,
10
10
1;1
AC 5 13
15
65
405
suy ra m 2 5
M. Khi đó M 2 m2
min f t f
.
2
16
4
1;1
5
20
Chọn đáp án B.
Câu 18: Cho hình chóp S. ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , AB a , AC a 2 , BAC 45 .
Gọi B1 , C1 lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB , SC . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình
chóp ABCC1 B1 bằng
A.
a3
2
.
B. a 3 2 .
C.
a3 2
3
.
D.
4 3
a .
3
Lời giải:
S
C1
B1
A
C
I
B
Xét tam giác ABC có BC 2 AB2 AC 2 2.AB.AC.cos BAC a2 2a2 2a.a 2.
BC a
Tam giác ABC có BA BC a , BAC 45 là tam giác vuông cân tại B
BC AB
Ta có:
BC SAB BC AB1
BC SA
1
2
a2
AB SB
Khi đó: 1
AB1 SBC AB1 CB1 AB1C vuông tại B1
AB1 BC
Gọi I là trung điểm của AC
Vì tam giác ABC vuông tại B nên IA IB IC
Vì tam giác AB1C vng tại B1 nên IA IC IB1
Vì tam giác ACC1 vng tại C 1 nên IA IC IC1
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCC1 B1 với bán kính R
1
a
AC
2
2
4
a3 2
Thể tích khối cầu đó là: V R2
.
3
3
Chọn đáp án C.
Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 1 i 8 z 1 là
hình trịn có tâm và bán kính lần lượt là
A. I 1; 8 , R 2 .
B. I 0; 8 , R 6 .
C. I 0; 8 , R 6 .
w1
w1
D. I 0; 8 , R 3 .
Lời giải:
Ta có: w 1 i 8 z 1 z
1 i 8
z 1 2
1 i 8
1 2 w 8i 6
Gọi w x yi , x , y ; i 2 1 . Ta có w 8i 6 x 2 y 8
2
36
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 1 i 8 z 1 là hình trịn có tâm và bán kính lần
lượt là I 0; 8 , R 6 .
Chọn đáp án C.
Câu 20: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn
f x
0;1
4 6 x 2 1 . f x 40 x 6 44 x 4 32 x 2 4, x 0;1 . Tích phân
2
thỏa mãn
f 1 1
1
xf x dx bằng
0
A.
5
.
12
5
.
12
B.
C.
13
.
15
D.
13
.
15
Lời giải:
1
Ta có
1
f x dx 4 6x
2
0
0
1
Ta tính
0
6x
0
0
2
1
1
1 . f x dx 2 x 3 x f x 2 x 3 x f x dx 1 2 x 3 x f x dx
1
Thay vào * ta có
0
1
f x 2 2x
0
1
1 . f x dx 40 x6 44 x 4 32 x 2 4 dx *
u f x dx
du f x dx
6 x 2 1 . f x dx. Đặt
2
3
dv 6 x 1 dx v 2 x x
1
Suy ra
2
3
1
0
0
0
1
1
2
f x dx 4 1 2 x 3 x f x dx 40 x6 44 x 4 32 x 2 4 dx *
0
0
x dx 0 f x 2 2 x 3 x f x x 4 x 2 C
2
1
Vì f 1 1 nên C 1 . Vậy f x x 4 x 2 1 xf x
0
5
.
12
và
Chọn đáp án A.
Câu 21: Cho hàm số y f x là một hàm đa thức có bảng xét dấu f x như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2 x là
A. 5 .
Lời giải:
B. 3 .
C. 1 .
D. 7 .
Ta có g x f x 2 x f x x . Số điểm cực trị của hàm số f x bằng hai lần số điểm cực
2
trị dương của hàm số f x cộng thêm 1.
1
1
x 2
x 2
Xét hàm số h x f x 2 x h x 2 x 1 f x 2 x 0 x 2 x 1
.
1 5
2
x 2
x x 1
2
Bảng xét dấu hàm số h x f x x :
Hàm số h x f x 2 x có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số g x f x 2 x f x x có 5
2
điểm cực trị.
Chọn đáp án A.
Câu 22: Cho hàm số f x x 5 3x 3 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f
3
f x m x 3 m có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 ?
A. 18 .
Lời giải:
B. 17 .
Xét phương trình f
Đặt t
3
3
C. 15 .
D. 16 .
f x m x 3 m (1)
f t x 3 m
f t t 3 f x x 3 (2)
3
f
x
t
m
f x m . Ta có
Xét hàm số g u f u u3 g u f u 3u2 5u4 12u2 0, u .
Khi đó (2) g t g x t x
3
f x m x x 3 f x m x 5 2 x 3 3m
Xét hàm số h x x 5 2 x 3 h x 5x 4 6 x 2 0, x
Ta có bảng biến thiên của hàm số h x :
Từ bảng biến thiên suy ra để (1) có nghiệm thuộc đoạn 1; 2 3 3m 48 1 m 16
Mà m m 1; 2; 3;...;16 suy ra có 16 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Chọn đáp án D.
Câu 23: Đường thẳng y kx 4 cắt parabol y x 2 tại hai điểm phân biệt và diện tích các hình
2
phẳng S1 , S2 bằng nhau như hình vẽ sau:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. k 6; 4 .
1
C. k 1; .
2
B. k 2; 1 .
1
D. k ; 0 .
2
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y kx 4 và parabol y x 2 :
2
x 0
2
kx 4 x 2 x 2 4 x kx 0
. Dựa vào đồ thị ta có
x 4 k
S1
4 k
0
S2
kx 4 x 2 dx
2
0
Câu 24:
4 k
x dx
x 4 k
2
6
k 2 8 k 4 k
x 2 dx kx 4 dx
3
k
2
4 k k 2 8 k 4 k 4 4 k
S
6
3
k
2
4 k
3
4
k
4 k
2
2
3
S1
4 k
3
2
4 k 2
2 k 0 .
k 0
3
.
44 k .
2
2
k 0,46 n
.
k 4 12 k 3 48 k 2 72 k 24 0
k 5,54 l
Chọn đáp án D.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : mx ( m 1) y z 2 m 1 0 , với m là
tham số. Gọi (T) là tập hợp các điểm H m là hình chiếu vng góc của điểm H (3; 3; 0) trên (P).
Gọi a , b lần lượt là khoảng cách lớn nhất, khoảng cách nhỏ nhất từ O đến một điểm thuộc (T).
Khi đó a b bằng
A. 5 2 .
B. 3 3 .
C. 4 2 .
D. 8 2 .
Lời giải:
Ta có ( P) : mx ( m 1) y z 2 m 1 0 m( x y 2) y z 1 0 .
x 2 t
x y 2 0
Do đó mặt phẳng (P) ln đi qua đường thẳng cố định d :
y t
y z 1 0
z 1 t
K là hình chiếu vng góc của H (3; 3; 0) trên đường thẳng d thì K (1;1; 0) .
Do HH m ( P ) HH m KH m , tập hợp các điểm H m là đường trịn tâm I đường kính HK.
Ta có I (2; 2; 0) a b OI R OI R 2OI 2.2 2 4 2 .
Chọn đáp án C.
Câu 25: Cho F x 4 x là một nguyên hàm của hàm số 2 x. f x . Tích phân
f ' x
ln 2 dx
1
2
bằng
0
A.
2
.
ln 2
B.
4
.
ln 2
C.
2
.
ln 2
D.
4
.
ln 2
Lời giải:
Vì F x 4 x là một nguyên hàm của hàm số 2 x. f x nên
F x 2 x. f x 4 x ln 4 2 x. f x f x 2 x ln 4
1
0
f ' x
1
1
1
1
1
1
1
2
4
2
2
.
dx 2 f ' x dx 2 f x 2 2 x ln 4
2x
2
ln 2 ln 2 ln 2
ln 2
ln 2
ln 2 0
ln 2
ln 2
0
0
0
Chọn đáp án A.
Câu 26: Cho hàm số y x 4 2mx 2 2m2 m4 có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa
mãn ABCD là hình thoi với D 0; 3 . Số giá trị m thỏa mãn là
A. 2.
Lời giải:
B. 4.
C. 0.
D. Vơ số.
x 0
. Ta có y ' 4 x 3 4mx y ' 0 2
.
x m
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị m 0 .
Tập xác định: D
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
A 0; 2m2 m4 ;
B
m ; m 4 3m 2 ;
C m ; m4 3m2 . Gọi I trung điểm của BC I 0; m4 3m2 .
Vì A , D Oy , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tứ giác ABCD là hình thoi I là trung điểm
của AD 2 m4 3m2 2m2 m4 3 m4 4m2 3 0
Câu 27:
m 1
m 1
m2 1
m 0
2
.
m 3 m 3
m 3
Chọn đáp án A.
Cho số phức z được biểu diễn bởi điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy , M không thuộc
đường thẳng Ox . Gọi M ' là điểm biểu diễn cho số phức ( z) và N là điểm biểu diễn cho số
phức 1 3i . Giả sử z x yi với x , y
và tam giác MNM ' vuông tại N , MM ' N 30 0 . Tính
S 2x y2 .
A. S 1 .
Lời giải:
B. S 1 .
C. S 4 .
D. S 2 .
y
M
3
N
O
1
x
M'
Ta có M ( x; y ) và M '( x; y) do đó M và M ' đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Mặt khác, tam giác MNM ' vuông tại N , MM ' N 30 0 suy ra tam giác OMN đều.
Do NOx 60 0 và Noy 300 suy ra M Ox hoặc M đối xứng với N qua Oy.
Vì đề bài cho M Ox M đối xứng với N qua Oy M( 1; 3) . Vậy S 1.
Chọn đáp án A.
Câu 28:
x 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y t và điểm A(0; 4; 0) . Điểm M
z 1
thay đổi nhưng luôn cách đều đường thẳng d và đường thẳng Ox . Tìm giá trị nhỏ nhất của
độ dài đoạn thẳng AM .
65
.
2
Lời giải:
A.
B.
1
.
2
C.
6.
D. 3 2 .
Gọi M( x; y; z) , ta có ud (0;1; 0) là VTCP của d . N (0; 0;1) d .
u , MN
d
Ta có ud , MN (1 z; 0; x) ; d( M , d)
ud
( z 1)2 x 2 ; d( M ,Ox) y 2 z 2 .
Vì M ln cách đều đường thẳng d và đường thẳng Ox suy ra d( M , d) d( M ,Ox)
( z 1)2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 2 z 1 .
Ta lại có, AM x 2 ( y 4)2 z 2 2 y 2 8 y 15 z 2 2 z 2( y 2)2 ( z 1)2 6 6
y 2
“=” xảy ra khi và chỉ khi
. Vậy AM nhỏ nhất bằng 6 .
z
1
Chọn đáp án C.
Câu 29: Cho hình lập phương cạnh 1 cm . Gọi H là hình đa diện lồi có đỉnh là trung điểm các cạnh của
hình lập phương đó. Gọi S là diện tích tồn phần của hình đa diện H . Hỏi S gần với kết quả
nào nhất trong các kết quả sau?
A. 4,8 cm 2 .
B. 3,7 cm 2 .
C. 6,4 cm 2 .
D. 5,5 cm 2 .
Lời giải:
Gọi M , N , P , Q , R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD , DA và BB của hình
lập phương ABCD. ABC D .
Ta có: Stp H 6SMNPQ 8SMNR
2
1
MNPQ là hình vng và MNR là tam giác đều có MN AC
.
2
2
MN 2 3
1
1
Do đó: Stp H 6SMNPQ 8SMNR 6 MN 2 8
6. 2. . 3 3 3 4,7 cm 2 .
2
2
4
Chọn đáp án A.
Câu 30: Gọi H là phần giao của hai khối
1
hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với
4
nhau như hình vẽ sau. Tính thể tích của khối H .
a3
A. V H .
2
Lời giải:
3a 3
B. V H
.
4
2a3
C. V H
.
3
a3
D. V H
.
4
Đặt hệ toạ độ Oxyz như hình vẽ, xét mặt cắt song song với mp Oyz cắt trục Ox tại x : thiết
diện mặt cắt luôn là hình vng có cạnh
a2 x2
0 x a .
Do đó thiết diện mặt cắt có diện tích: S x a x 2 .
2
a
a
Vậy V H S x dx
0
Chọn đáp án C.
0
a
x3
2a3
.
a x dx a 2 x
3 0
3
2
2
Câu 31: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên
và có đồ thị C1 . Biết tiếp tuyến với C1 tại điểm có
hồnh độ bằng 3 là y 2 x 1 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C2 của hàm số
y f x 4 2 tại điểm có hồnh độ bằng 1.
A. y 2 x 7 .
B. y 2 x 5 .
C. y 8 x 1.
D. y 8 x 15 .
Lời giải:
Tiếp tuyến của C1 tại điểm có hồnh độ bằng 3 là y f ' 3 x 3 f ' 3 f 3 .
Tiếp tuyến của C1 tại điểm có hồnh độ bằng 3 là y 2 x 1 .
f ' 3 2
f ' 3 2
Từ hai ý trên suy ra:
3 f ' 3 f 3 1
f 3 7
Đặt y g x f x4 2 g ' x 4 x 3 . f ' x 4 2 .
Khi đó g ' 1 4 f ' 3 8 và g 1 f 3 7 .
Phương trình tiếp tuyến của C2 : y g x tại điểm có hồnh độ bằng 1 là
y g ' 1 x 1 g 1 y 8 x 1 7 y 8 x 1.
Chọn đáp án C.
Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy
là tam giác cân với AB AC a và góc
BAC 120 o và cạnh bên BB ' a . Gọi I là trung điểm của CC ' . Tính cosin góc giữa hai mặt
phẳng ABC và AB ' I .
3
.
10
Lời giải:
A.
B.
30
.
10
C.
30
.
30
D.
10
.
30
Trong BCB ' C ' , B ' I BC D .
Trong ABC , dựng AH AD tại H . Vì AD CH nên AD IH .
Do đó:
AB ' I , ABC IH ,CH IHC 90 .
ABC cân tại A , BAC 120 ABC ACB 30 ACD 150 .
Áp dụng định lý Cosin trong ABC :
BC 2 AB2 AC 2 2 AB.AC.cos BAC a2 a 2 2.a . a .cos120 o 3a 2 BC B ' C ' CD a 3.
Tương tự trong ACD :
AD 2 AC 2 CD 2 2.AC .CD .cos ACD a 2 3a 2 2. a. a 3.cos150 o 7 a 2 AD a 7.
1
1
Ta có SACD .CA .CD .sin ACD .CH . AD
2
2
CA.CD .sin ACD a . a 3 .sin150 o a 21
CH
.
AD
14
a 7
