Phương pháp giải một số dạng toán cực trị hình học trong chương trình phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MAI THỊ THÚY KIỀU

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG
TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Đà Nẵng - 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MAI THỊ THÚY KIỀU

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG
TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG

Ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN THÀNH CHUNG
Đà Nẵng - 2020

i

Mục lục
LỜI CẢM ƠN

1

MỞ ĐẦU

2

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

1.1

1.2

Một số kiến thức cơ bản về hình học trong chương trình phổ
thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Các định lý hình học thường gặp . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Phương pháp tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Nguyên lý cực hạn và nguyên lý Dirichlet . . . . . . .

7

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

8

1.2.1

Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovsky . . . . . . . .

10

2 MỘT SỐ DẠNG TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG
CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG

11

2.1

Bài tốn cực trị về góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Bài toán cực trị về khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

Bài toán cực trị về diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4

Bài tốn cực trị về thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.5

Bài toán cực trị trong hình học tổ hợp . . . . . . . . . . . . .

52


ii

KẾT LUẬN

61

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

62



2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tìm cực trị của một đại lượng cho trước là một trong những bài toán quan
trọng của toán học. Những bài toán này thường xuất phát từ thực tiễn, được
mô tả dưới dạng bài toán tối ưu, với những phương pháp và thuật toán phức
tạp được đưa ra để dẫn đến một lời giải (hay cịn gọi là phương án) tốt nhất.
Có thể nói rằng, bài tốn cực trị là một trong những mơ hình khởi đầu cho
việc ứng dụng tốn học.

Tư tưởng về bài tốn cực trị hay tìm phương án tốt nhất được đưa vào
chương trình phổ thơng qua các bài tốn về cực trị trong đại số, giải tích hoặc
hình học. Bài tốn cực trị trong chương trình đại số và giải tích thường phổ
biến hơn, việc tìm lời giải cho các bài tốn này nhìn chung cũng rõ ràng hơn.
Đó là bài tốn tìm nghiệm lớn nhất hay nhỏ nhất của một phương trình, tìm
giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số. Bài toán cực trị trong hình
học cho dù trực quan hơn nhưng định hướng tìm lời giải thường khó hơn.
Trong những năm gần đây, các yếu tố ứng dụng thực tiễn được đề cập nhiều
hơn trong chương trình trung học phổ thơng, từ nội dung sách giáo khoa cho
đến các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, các kỳ thi học sinh giỏi trong
nước và quốc tế. Đặc biệt, nội dung về bài toán cực trị hình học được quan
tâm khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau xuất phát từ những ứng dụng
của nó. Việc giải các bài tốn cực trị hình học vừa rèn luyện được nhiều kỹ


3

năng vừa phát triển được tư duy sáng tạo cho học sinh. Thơng qua việc giải
các bài tốn về cực trị hình học, học sinh sẽ có cái nhìn bao quát, gần gũi
với thực tiễn. Các bài toán cực trị hình học thường gặp bao gồm: tìm giá trị
lớn nhất hay nhỏ nhất của một góc, một cạnh hay diện tích của một hình,
thể tích của một khối, tìm cực trị trong hình học tổ hợp.
Từ những phân tích và đánh giá ở trên có thể thấy rằng việc nghiên cứu
phương pháp giải các bài tốn cực trị hình học là rất cần thiết. Cùng với sự
gợi ý hướng dẫn của thầy TS. Nguyễn Thành Chung, tôi quyết định chọn
đề tài "phương pháp giải một số dạng toán cực trị hình học trong
chương trình phổ thơng" để tìm hiểu và nghiên cứu.
2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu
- Tìm hiểu về các dạng tốn cực trị hình học trong chương trình phổ
thơng.

- Hệ thống, phân loại các phương pháp giải tốn khác nhau về cực trị
hình học trong chương trình phổ thơng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài tốn cực trị hình học trong
chương trình phổ thơng, bao gồm các bài tốn cực trị về góc, khoảng cách,
diện tích, thể tích và bài tốn cực trị hình học tổ hợp. Các bài toán được xét
bao gồm cực trị trong hình học phẳng và hình học khơng gian.
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là sách giáo khoa, sách tham khảo ở
chương trình phổ thơng trong và ngồi nước. Bên cạnh đó, chúng tơi cũng
tham khảo một số tài liệu liên quan trong chương trình đại học nhằm làm
rõ hơn bài toán cực trị. Những kiến thức này được chọn lọc để học sinh và
giáo viên phổ thông có thể hiểu và vận dụng.


4

4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu nghiên cứu của các
tác giả có liên quan đến cực trị và cực trị hình học.
- Phân tích và tổng hợp các tài liệu hiện có về cực trị hình học trong
chương trình phổ thơng, từ đó phân loại thành các dạng tốn cực trị với các
phương pháp giải cụ thể.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Đề tài cung cấp những kiến thức về hình học, cực trị hình học, những
khái niệm và định lý được trình bày chọn lọc để người đọc dễ dàng tìm hiểu
và vận dụng.
- Đề tài cũng cung cấp một số phương pháp giải các bài tốn về cực trị
hình học trong chương trình phổ thơng, từ đó phân loại và tìm phương pháp
giải cụ thể.
6. Tổng quan và cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn gồm hai chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này chuẩn bị một số kiến thức cơ bản trong nghiên cứu các kết
quả chính của Luận văn.
Chương 2: Một số dạng tốn cực trị hình học trong chương trình
phổ thông
Chương này chúng tôi hệ thống và phân loại một số dạng tốn cực trị
hình học, đó là: Bài tốn cực trị về góc, khoảng cách, diện tích, thể tích và
bài tốn cực trị trong hình học tổ hợp. Ngồi ra, cuối mỗi phần là các bài
tập đề nghị nhằm củng cố về lý thuyết.


5

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản sẽ được
dùng trong chương 2. Nội dung chính được trình bày ở đây bao gồm một số
định lý hình học thường gặp trong mặt phẳng và không gian, phương pháp
tọa độ, nguyên lý cực hạn, nguyên lý Dirichlet. Phần cuối của chương trình
bày hai phương pháp cơ bản để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là
phương pháp dùng cực trị hàm số và phương pháp dùng bất đẳng thức. Các
tài liệu tham khảo được sử dụng trong chương này bao gồm [1, 2, 6, 7, 9, 10].

1.1
1.1.1

Một số kiến thức cơ bản về hình học trong chương
trình phổ thơng

Các định lý hình học thường gặp

Định lý 1.1.1 (Định lý sin). Trong △ABC bất kì với BC = a, CA = b,

AB = c và R là bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta có
b
c
a
=
=
= 2R.
sin A sin B
sin C

Định lý 1.1.2 (Định lý cosin). Trong △ABC bất kì, với BC = a, CA = b,

AB = c, ta có

a2 = b2 + c2 − 2bc. cos A.


6

b2 = a2 + c2 − 2ac. cos B.
c2 = a2 + b2 − 2ab. cos C.
Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức về cạnh tam giác). Trong tam giác ABC bất
kì ta ln có

AB − AC ≤ BC ≤ AB + AC.
Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Ptolemy). Với bốn điểm A, B, C, D trên mặt

phẳng ta ln có AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD. Dấu “ = ” xảy ra khi và

chỉ khi A, B, C, D là bốn điểm nằm trên một đường tròn.

Định lý 1.1.5. Cho tứ diện ABCD có AD = a, BC = b, d(AD, BC) = d,

(AD, BC) = α, khi đó ta có
1
1
V = .AD.BC.d(AD; BC). sin(AD, BC) = abd sin α.
6
6

(1.1)

Định lý 1.1.6. Cho hình chóp S.ABC . Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên
các cạnh SA, SB, SC . Khi đó

SM SN SP
VS.M N P
=
.
.
.
VS.ABC
SA SB SC

(1.2)

Định lý 1.1.7. Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng (α) có diện tích S và

H ′ là hình chiếu vng góc của H trên mặt phẳng (β). Khi đó diện tích S ′
của H ′ được tính theo cơng thức

S ′ = S. cos ϕ

(1.3)

với ϕ là góc giữa (α) và (β).

1.1.2

Phương pháp tọa độ

- Cho đường thẳng (d) đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương

u = (a, b, c). Khi đó


7




x = x0 + at



y = y0 + bt ; (t ∈ R) .




 z = z0 + ct
y − y0
z − z0
x − x0
Phương trình chính tắc của (d) :
=
=
.
a
b
c
- Cho đường thẳng (d1 ) có vectơ chỉ phương u1 = (a1 , b1 , c1 ) và (d2 ) có
Phương trình tham số của đường thẳng (d) :

vectơ chỉ phương u2 = (a2 , b2 , c2 ). Hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) vng góc
khi u1 .u2 = 0.
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P ) trong khơng gian Oxyz có
dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 > 0.
- Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: Cho điểm M (a, b, c) và mặt
|Aa + Bb + Cc + D|
phẳng (P ) : Ax+By+Cz+D = 0, khi đó d(M, (P )) = √
.
A2 + B 2 + C 2
- Cho mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến n = (A, B, C) và mặt phẳng

(Q) có vectơ pháp tuyến n′ = (A′ , B ′ , C ′ ). Gọi 00 ≤ α ≤ 900 là góc giữa mặt
phẳng (P ) và mặt phẳng (Q), khi đó

cos α =
1.1.3

|n.n′ |

|n|.|n′ |

=√

|AA′ + BB ′ + CC ′ |
√
.
A2 + B 2 + C 2 . A′2 + B ′2 + C ′2

Nguyên lý cực hạn và nguyên lý Dirichlet

Định lý 1.1.8. Trong tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực ln có thể
chọn được số bé nhất và số lớn nhất.
Định lý 1.1.9. Trong một tập hợp khác rỗng các số tự nhiên ln ln có
thể chọn được số bé nhất.
Định lý 1.1.10. Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng
có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.
Định lý 1.1.11. Nếu nhốt n con thỏ vào m cái chuồng (m ≥ 2) thì tồn tại


8

một chuồng có ít nhất

n+m−1

m

con thỏ, ở đây ta ký hiệu [α] để chỉ phần

nguyên của số α.

1.2

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số

1.2.1

Cực trị hàm số

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ⊂ R và x0 ∈ D.
(a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và
f (x) < f (x0 ) với mọi x ∈ (a, b) \ {x0 }.
Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
(b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và
f (x) > f (x0 ) với mọi x ∈ (a, b) \ {x0 }.
Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực
đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Định lý 1.2.2 (Fermat). Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Nếu f có
đạo hàm tại điểm x0 thì f ′ (x0 ) = 0.

Định lý 1.2.3. Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và
có đạo hàm trên các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). Khi đó ta có
(i) Nếu f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (a, x0 ) và f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (x0 , b) thì hàm số đạt
cực tiểu tại x0 .


9

(ii) Nếu f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (a, x0 ) và f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (x0 , b) thì hàm số đạt
cực đại tại x0 .

(iii) Nếu f ′ (x) có dấu khơng đổi trên (a, b) \ {x0 } thì hàm số khơng có cực
trị tại điểm x0 .

Định lý 1.2.4. Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a, b) chứa
điểm x0 , f ′ (x0 ) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . Khi đó
(a) Nếu f ”(x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
(b) Nếu f ”(x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ⊂ R.
(a) Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho f (x) ≤ f (x0 ) với mọi x ∈ D thì

số M = f (x0 ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên tập hợp D.

Kí hiệu: M = max f (x).
x∈D

(b) Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho f (x) ≥ f (x0 ) với mọi x ∈ D thì

số m = f (x0 ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập hợp D.

Kí hiệu: m = min f (x).
x∈D

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b),
có thể trừ một số hữu hạn điểm. Nếu f ′ (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
thuộc (a; b) thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f
trên đoạn [a; b] như sau:
- Tìm các điểm x1 , x2 , ...., xm thuộc (a; b) tại đó hàm số f có đạo hàm
bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
- Tính f (a), f (b), f (x1 ), ..., f (xm ).
- So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị
lớn nhất của f trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ
nhất của f trên đoạn [a; b].


10

1.2.2

Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovsky

Định lý 1.2.6 (Bất đẳng thức Cauchy). Cho dãy số thực không âm x1 , x2 , ..., xn .
Khi đó

√
x1 + x2 + ... + xn
≥ n x1 .x2 ...xn .
n
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn .
Định lý 1.2.7 (Bất đẳng thức Bunyakovsky). Cho các bộ số thực (a1 , a2 , ..., an )

và (b1 , b2 , ..., bn ), mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có

(a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn )2 ≤ a21 + a22 + . . . + a2n
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

b21 + b22 + . . . + b2n .

a1
a2
an
=
= ... = .
b1
b2
bn


11

Chương 2
MỘT SỐ DẠNG TỐN CỰC TRỊ
HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG
TRÌNH PHỔ THƠNG
Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải một số dạng tốn
cực trị hình học trong chương trình phổ thơng. Các bài tốn cực trị được
xét bao gồm, cực trị về góc, khoảng cách, diện tích, thể tích và bài tốn cực
trị trong hình học tổ hợp. Các ví dụ được lựa chọn để minh họa bao gồm cả
hình học phẳng, hình học khơng gian và phương pháp tọa độ. Các tài liệu
tham khảo được sử dụng trong chương bao gồm [3, 4, 5, 8, 11, 12].

2.1

Bài tốn cực trị về góc

Bài tốn cực trị về góc được xét ở đây bao gồm góc giữa hai đường thẳng,
góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc liên quan đến bài toán trong mặt
phẳng tọa độ. Để giải bài tốn cực trị về góc, trước hết chúng ta cần biết
cách xác định góc, từ đó áp dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất để tìm cực trị của nó.
Ví dụ 2.1.1. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh BC, CD lần lượt
lấy các điểm K, M sao cho BK : KC = 4 : 1, CM : M D = 4 : 1. Tìm tỉ


12

số AB : BC để số đo góc KAM lớn nhất.
Giải

Đặt BAK = x > 0, DAM = y > 0, (x + y < 90◦ ), khi đó KAM lớn
nhất khi BAK+DAM nhỏ nhất hay x+y nhỏ nhất khi tan(x+y) nhỏ nhất.
Giả sử AB : BC = 1 : m, (m > 0). Ta có

tan(x + y) =

tan x =

BK BC
4m
BK
=

.
=
,
AB
BC AB
5

tan y =

DM
DM DC
1
=
.
=
.
AD
DC AD
5m

tan x + tan y
=
1 − tan x. tan y

4m
1
4m 1
: 1−
+
.

5
5m
5 5m
1
25 4m
+
.
= .
21
5
5m

1
4m
+
nhỏ nhất.
5
5m
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
Suy ra tan(x + y) nhỏ nhất khi

4m
1
4
4m 1
+
≥2
.
= .
5

5m
5 5m 5
4m
1
1
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
=
suy ra m = . Do đó KAM
5
5m
2
lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1.


13

Ví dụ 2.1.2. Cho đường trịn (O) và một điểm M nằm trong đường trịn,
khơng trùng với tâm O. Dựng điểm P trên đường tròn sao cho OP M lớn
nhất.
Giải

Giả sử P Q là một dây cung bất kỳ qua M . Tam giác cân OP Q có cạnh
bên OP = OQ khơng đổi (bán kính đường trịn) nên góc ở đáy OP M sẽ lớn
nhất khi góc ở đỉnh P OQ nhỏ nhất. Mà P OQ là góc ở tâm của đường tròn

(O) nên P OQ sẽ nhỏ nhất khi cung P Q nhỏ nhất.
Dây P Q nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O đến dây cung lớn
nhất, suy ra P Q ⊥ OM tại M .

Vậy điểm P phải dựng là các điểm P1 , P2 trên đường tròn (O) sao cho

P1 P2 qua M và vng góc với OM .
Ví dụ 2.1.3. Cho đường thẳng xy , hai điểm A và B không nằm trên xy và
thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy . Tìm trên xy một
điểm M sao cho góc AM B là lớn nhất.


14

Giải
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: AB//xy

Dựng đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với xy tại M (trước hết dựng
trung trực của AB cắt xy tại M ). Dựng trung trực của AM cắt trung trực

M B tại tâm O cần tìm.
Ta chứng minh tồn tại góc AM B là lớn nhất.
Thật vậy, lấy điểm M ′ bất kì (M ′ = M ) trên xy , nối M ′ với A và B , gọi

N là giao điểm của AM ′ với đường tròn (O). Ta ln có AM ′ B < AN B.
Mặt khác AN B = AM B suy ra AM ′ B ≤ AM B . Dấu “ = ”xảy ra khi

và chỉ khi M ≡ M ′ .

Trường hợp 2: AB⊥ xy

Dựng hai đường tròn (O) và (O′ ) đi qua A, B tiếp xúc xy tại M và M ′ .

15

Do △AOO′ cân nên AOO′ = AO′ O ⇒ AM B = AM ′ B . Cả hai điểm M

và M ′ đều thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy bài tốn có hai nghiệm hình.
Trường hợp 3: AB khơng song song và cũng khơng vng góc với xy .

Giả sử ta dựng được đường tròn (O), (O′ ) qua A, B và tiếp xúc với xy tại

M, M ′ . Vì AB khơng song song với xy nên AB cắt xy tại một điểm I .
Ta có

IM
IA
=
IB
IM

(vì △ IM B ∼ △IAM ) suy ra IM 2 = IA.IB.

(2.1)

Tương tự

IA
IM ′
=
suy ra IM ′2 = IA.IB.
′
IB

IM

(2.2)


16

Từ (2.1) và (2.2) ta được IM = IM ′ =

√

IA.IB .

Suy ra cách dựng sau: Gọi I = AB ∩ xy . Dựng đường trịn tâm I , bán
√
kính IA.IB cắt xy tại hai điểm M1 , M2 . Dựng đường tròn tâm (O1 ) đi
qua ba điểm A, B, M1 . Dựng đường tròn tâm (O2 ) đi qua ba điểm A, B, M2 .
Hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) đi qua A, B và tiếp xúc xy tại M1 , M2 .

Tương tự trường hợp 1, ta có
+ Nếu M ′ nằm trên tia IM1 mà M ′ = M1 thì AM ′ B < AM1 B.
+ Nếu M ′ nằm trên tia IM2 mà M ′ = M2 thì AM ′ B < AM2 B.
Do đó ta cần so sánh AM1 B với AM2 B . Giả sử (O1 ) có bán kính nhỏ
hơn (O2 ). Xét △AO1 O2 , ta có AO1 < AO2 nên AO2 O1 < AO1 O2 hay

AM2 B < AM1 B.
Vậy điểm phải tìm là tiếp điểm của đường thẳng xy với đường trịn có
bán kính nhỏ hơn trong hai đường tròn qua A, B và tiếp xúc với xy .
Ví dụ 2.1.4. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′ B ′ C ′ D′ , cạnh đáy bằng 1,
chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi B ′ D và (B ′ D′ C) đạt giá trị lớn nhất.

17

Giải

Gọi H là hình chiếu của D lên mặt phẳng (B ′ D′ C). Khi đó

sin (B ′ D, (B ′ D′ C)) =

DH
DH
√
.
=
B ′D
2 + x2

Mặt khác

DH = d C ′ ; B ′ D′ C

sin (B ′ D, (B ′ D′ C)) =
=

=√

x
.
2x2 + 1

DH
DH
√
=
B ′D
2 + x2
x
=
(x2 + 2) (2x2 + 1)

x2
.
2x4 + 5x2 + 2

Góc tạo bởi B ′ D và (B ′ D′ C) lớn nhất khi sin (B ′ D, (B ′ D′ C)) lớn nhất.
−2t2 + 2
t
′
, t ∈ (0, +∞). Ta có f (t) =
.
Xét hàm số f (t) = 2
2t + 5t + 2
(2t2 + 5t + 2)2
Vậy f (t) lớn nhất khi t = 1 suy ra x = 1.

x−1
y−1
z
=

= ,
1
2
2
mặt phẳng (α) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và hai điểm M (1; 2; 1), N (−1; 0; 2).
Ví dụ 2.1.5. Trong khơng gian cho đường thẳng ∆ :


18

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tạo với (α) một góc nhỏ
nhất.
b) Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua M, N và tạo với ∆ một góc lớn
nhất.

Giải
a) Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1; 0).

Gọi d là đườngthẳng đi qua A và vng góc với (α) ta có phương trình


x= 1+t


tham số của d là y = 1 − 2t , t ∈ R.



z =
2t

Trên d lấy điểm C(2; −1; 2), C = A. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của

C lên (Q) và ∆. Khi đó

ϕ = ACH và sin ϕ = sin ACH =

AH
AK
≥
.
AC
AC

AK
không đổi nên suy ra ϕ nhỏ nhất khi và chỉ khi H ≡ K hay (α)
AC
là mặt phẳng đi qua ∆ và vng góc với mặt phẳng (ACK). Mặt phẳng
Mà