Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.87 KB, 8 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>I/ Chương IV:Giới hạn:</b>
<i><b>1/ Giới hạn dãy số</b></i><b>:</b>
<i><b>Bài 1</b></i>:<b>Tìm các giới hạn:</b>
a/lim 4
5
lim 2<i>n</i> 2
<i>n</i>
d/
3 2
lim 2<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> 3
e/lim2 3
3 7
<i>n</i>
<i>n</i>
f/
2
2
3 7 1
lim
4 7
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
g/
5
4 3
7 3 1
lim
8 10 17
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
k/ 4 2
2 9
lim
3 5 3
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
l/lim 4 4 <sub>2</sub>3 2 1
2 7
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
m/
6 2
2
3 1
lim
7 3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
n/
2
3 1
lim
10 3
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
o/
4
5 3
10 11
lim
6 20
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<b>Hướng dẫn</b>:
<b>a/b/c/d</b>:Đặt n có số mũ cao nhất ra làm thừa số đưa về dạng tích
<b>e/f/k/l/n/o</b>:Chia cả tử và mẫu cho n có số mũ cao nhất.
<b>g/m</b>: có thể đưa về dạng tích
<b>Ví dụ</b>: a/
4 3
3 2
3 4 1
lim
5 2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
=
4
4
3
3
4 1
3
lim
1 2
5
<i>n</i>
<i>n n</i>
<i>n</i>
<i>n n</i>
= 4
3
4 1
3
lim .
1 2
5
<i>n n</i>
<i>n</i>
<i>n n</i>
= vì lim<i>n</i>,
4
3
4 1
3 <sub>3</sub>
lim
1 2 <sub>5</sub>
5
<i>n n</i>
<i>n n</i>
b/lim 4
3 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
2
3
1
1
lim
1
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
= 3
1
1
lim .
1
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
vìlim<i>n</i>,
3
1
1 <sub>1</sub>
lim
1 <sub>3</sub>
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i><b>Bài 2</b><b> </b></i><b>:Tìm các giới hạn</b>:
a/lim
d/lim
g/lim 4
<b>e/f/g/h/k</b>: Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.ĐS: 1
2;
2
3;
3
4;
3 2
4 ;
5
2
<b>Đặc điểm nhận biết:</b>
<i>Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giớí hạn đặc biệt</i>
<i>Hệ số không phải là hai số đối nhau ta đặt thừa số đưa về dạng tích.</i>
<b>Ví dụ</b>: a/lim
có hệ số là 5
Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích
<b>Giải:</b> a/lim
1 11 3
lim<i>n</i> 5 2
<i>n n</i> <i>n</i>
vìlim<i>n</i> và 2
1 11 3
lim 5 2 5 2 0
<i>n n</i> <i>n</i>
b/lim
có hệ số là 1. Hệ số là hai số đối nhau→Nhân lượng liên hợp.
<b>Giải: </b>
b/lim
2 2
2
10 1 1 10 1 1
lim
10 1 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
=lim <sub>2</sub> 8
10 1 1
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> = 2
8
lim 4
10 1 1
1 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i><b>Bài 3</b></i><b>:Tìm các giới hạn</b>
a/lim2.3 5.4
3.4 2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
b/
3.2 7
lim
10.7 5.4
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
c/
2 7. 4
lim
3 6 4
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i><sub></sub>
d/
1 2
1
6.3 6
lim
6 2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<b>Hướng dẫn</b>:Biến đổi đưa về cùng số mũ.Trong cơng thức có chứa <i><sub>a b c</sub>n</i>, ,<i>n</i> <i>n</i>
chọn<i>m</i>ax
Giả sử là<i>a</i> ta chia cả tử và mẫu cho <i><sub>a</sub>n</i><sub> biến đổi đưa về các giớí hạn đặt biệt.</sub>
<b>Đáp số theo thứ tự là</b>:5
3;
1
10;
7
24
;-6.
<i><b>Bài 4</b></i><b>: Tìm các giới hạn</b>
a/
2 9
lim
3 2<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
b/
2
2
1
lim
2
3 5
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
c/ lim
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
d/
2
3
1 1
lim
4
2 5
3
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Hướng dẫn:</b>Biến đổi đưa về dạng tích
<b>Đáp số theo thứ tự là</b>:0; ;;0
<b>Ví dụ</b>:
3
3
5 1
lim
2
4 5
3
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
= 2 3
2 3
5 1
1 <sub>3</sub>
lim
1 5 2
4
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
vì 2 3
2 3
5 1
1 <sub>1</sub>
lim
1 5 <sub>4</sub>
4
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
vàlim 3
2
<i>n</i>
<i><b>2/Giới hạn hàm số</b></i>:
<b>Bài tốn 1</b>:Tìm giới hạn hàm số khi <i>x</i> <i>x</i>0(tương tự cho trường hợp <i>x</i> <i>x x</i>0; <i>x</i>0
).
* <b>Dạng 1</b>: Nếu <i>f x</i>
0 0
lim
<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> <i>f x</i> .
<b>Áp dụng</b>:
a/lim 2<i><sub>x</sub></i><sub></sub><sub>1</sub>
4 3
lim
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
c/
2
3
lim 3 7 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> d/
2
3
2 3 1
lim
3 5
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
* <b>Dạng 2</b>:
lim
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>g x</i>
với <i>f x</i>
☺Nếu <i>f x g x</i>
lim
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>g x</i>
=
1
1
lim
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>g x</i>
.
☺Nếu <i>f x</i>
<b>Ví dụ</b>:
a
3
2
2
8
lim
4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
=
2
2
2 2 4
lim
2 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
=
2
2
2 4
lim 3
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
b/ <sub>2</sub>
6
4 1 5
lim
7 6
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
=
4 1 5 4 1 5
lim
7 6 4 1 5
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
=
1 6 4 1 5
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
=
1 4 1 5
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i><sub></sub> <i><sub>x</sub></i><sub> </sub>
<b>Áp dụng:</b>
<i><b>Bài</b></i>
<i><b> </b><b> 1 </b><b> </b></i>:
a/
b/
3
2
1
11 10
lim
1
<i>x</i>
c/
2
2
3
5 6
lim
9
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
d/
5
1
1
lim
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
e/
2
2
4
2 13 20
lim
16
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
f/
3
2
1
3 2
lim
10 9
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
g/
3
2
2
5 2
lim
3 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
h/
3
2
3
10 3
lim
7 12
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
k/
3
2
3
3 3
lim
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
m/
10
1
1
lim
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Đáp số theo thứ tự là</b>: 5
3
; -4; 1
6; 5;
3
8
; 0; 7; -17; 3 3; 10.
<i><b>Bài 2</b><b> </b></i>:
a/ <sub>2</sub>
0
2 1 1
lim
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
b/ 1 2
4 5 3
lim
c/ 3
2 3
lim
3
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
d/ 8 2
1 3
lim
2 15 8
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
e/
4
3 4 4
lim
4 9 5
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
f/
3
2
8
6 4 4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
g/ 2 2
3 12 1
lim
6
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
h/ 4 2
6 1 2 3
lim
3 7 6
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
. l/ 0 2 3
1 2 1
lim
3
3 ;
1
3
; 2
3
; 1
102;
15
16; -16;
1
25
; 7
40;
3
22
;1
6
* <b>Dạng 2</b>:
với <i>f x</i>
<b>Ví dụ</b>:
3
5 8
lim
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
.Ta có:<i>x</i>lim 5<sub></sub>3
<b>Áp dụng</b>:
a/
2
2 11
lim
2 4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
b/
2
5
10
lim
c/
2
2
2 5
lim
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
d/ <sub>4</sub> 2
2 1 7
lim
16
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
e/ 32
2 7
lim
2 3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài tốn 2</b>:Tìm giới hạn hàm số khi <i>x</i> <sub> (</sub><i>x</i> <sub>)</sub>
* <b>Dạng 1</b>:<i><sub>x</sub></i>lim<sub> </sub> <i>f x</i>
<b>Cách giải</b>:Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khi<i>x</i> <sub> giải tương tự)</sub>
<b>Ví dụ</b>:<i><sub>x</sub></i>lim 2<sub> </sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
vì
3
lim
<i>x</i> <i>x</i> và 2 3
1 1
lim 2 2 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<b>Áp dụng:</b>
a/<i><sub>x</sub></i>lim 20<sub> </sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
c/
4
2
lim 2 3 5
4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
d/
7 5
lim 2 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
* <b>Dạng 2:</b>
lim
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>g x</i>
Với <i>f x</i>
<b>Ví dụ:</b>a/
2
2
3 7 1
lim
4 7
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
=
2
2
7 1
3 <sub>3</sub>
lim
7 <sub>4</sub>
4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
;(<b>Đã chia cả tử và mẫu cho</b> 2
<i>x</i> )
b/ lim <sub>5</sub>2 1
4 3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
=
4 5
4 5
3 1
lim 0
4 3
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x x</i>
;(<b>Đã chia cả tử và mẫu cho </b> 5
<i>x</i> <b>)</b>
<b>Tuy nhiên nếu </b> <i>f x</i>
<b>Ví dụ:</b>
6 2
3
10 3
lim
4 2 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
=
6
4 6
3
2 3
1 3
10
lim
2 1
4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
= 3 4 6
2 3
1 3
10
lim
2 1
4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Vì: <i><sub>x</sub></i>lim<sub> </sub><i>x</i>3 <sub>,</sub> 4 6
1 3
10 <sub>5</sub>
lim 0
2 1 <sub>2</sub>
4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Áp dụng:</b>
a/
5 3
5 2
4 5 4
lim
2 3 7
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
b/
3 2
3
6 7
lim
2 3 5
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
c/
2
4 3
2 3
lim
4 6 9
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
d/
4 3
2
7 6 13
lim
2 4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
e/
6 4
3
3 3
lim
4 10 7
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
f/
10 3
6
10 5 3
lim
3 2 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
* <b>Dạng 3:</b>
<i>x</i> <i>f x</i> <b> với </b><i>f x</i>
<b>Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp</b>
<b>Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích</b>.
<b>Ví dụ</b>:a/lim
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <b>Nhận xét</b>: <i>x</i> có hệ số là-1;vì<i>x</i> nên
2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>có hệ số là 1
Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
<b>Giải</b>: a/ lim
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> =
2
1 1
lim
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
= lim <sub>2</sub> 1
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
= 2
1
lim
1 1
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
=
2
1
1
lim
1 1
1 1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
=1
2
b/ lim
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <b>Nhận xét</b>:3<i>x</i> có hệ số là 3;vì<i>x</i> nên
2
4<i>x</i> 2 <i>x</i> 2<i>x</i>
có hệ số là -2 hệ số không là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích
<b>Giải</b>: b/ lim
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> =
1
lim 4 3 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
= lim 4 1 3 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
=
Vì: <i><sub>x</sub></i>lim<sub> </sub><i>x</i> <sub>;</sub> <sub>lim</sub> <sub>4</sub> 1 <sub>3</sub> 1 <sub>1 0</sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
c/ lim 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <b>Nhận xét</b>:
3
3<i>x</i> bậc ba; vì<i>x</i> <sub>nên</sub> <sub>9</sub> 2 <sub>3</sub> <sub>3</sub>
<b>Giải:</b> lim 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
3 6
4 6
9 1
lim 3 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
= 3 3 4 6
9 1
lim 3 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
= 3 3 4 6
2 9 1
lim 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
vì: <i><sub>x</sub></i>lim<sub> </sub><i>x</i>3 <sub>,</sub> lim 3 2<sub>3</sub> 9<sub>4</sub> 1<sub>6</sub> 3 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<b>Áp dụng</b>:
a/ lim
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> b/
2
lim 1 10 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> c/
4 2 4
lim 4 10 3 4 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> d/
lim 2 3 2 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> e/
2 2
lim 1 2 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> f/
lim 9 3 7 5 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> g/
lim 3 9
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> h/
2 2
lim 3 7 16 4 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> k/
2
lim 9 3 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> .
<b>Hướng dẫn:</b>
<b>a/b/c/d/k:Nhân lượng liên hợp biến đổi.</b>Đáp số theo thứ tự là:3 2
4 ; 6;
5
2; 0;
7
6
<b>e/f/g/h:Đặt thừa số đưa về dạng tích.</b> Đáp số theo thứ tự là: ; ; ;
<i><b>* Các dạng khác:</b></i>
a)
3
2
1 1 1 1
1 1 1
lim lim lim lim 1 3
1 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>x x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
3 3
3 2 3 2
2 2 2
1 1
3 3 2
2
1 1 2 3 1 3
5 7 5 2 7 2
) lim lim (1)
1 1 1
5 2 1 ( 1 3
lim lim lim (2)
8
1 <sub>1</sub> <sub>5</sub> <sub>2</sub> <sub>1</sub> <sub>5</sub> <sub>2</sub>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>b</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
3 2 2
2
1 1 <sub>2</sub> <sub>2</sub> 2 <sub>3</sub> <sub>2</sub>
3
7 2 1
lim lim
1 <sub>1</sub> <sub>7</sub> <sub>2</sub> <sub>7 4</sub>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<sub></sub> <sub></sub>
=
1 <sub>2</sub> 2 <sub>3</sub> <sub>2</sub>
3
1 1
lim (3)
12
7 2 7 4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Thay ( 2) , ( 3 ) vào ( 1 ) có : A = 3 1 11
8 12 24
<i><b>3.Hàm số liên tục</b></i><b>:</b>
* <b>Dạng 1:Xét tính liên tục của hàm số</b> <i>f x</i>
<b>Dùng định nghĩa: Nếu</b> <i>f x</i>
0 0
lim
<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> <i>f x</i> <b>thì </b> <i>f x</i>
2 <sub>17</sub> <sub>16</sub>
16
16
15 16
<sub></sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>neáu x</sub></i>
<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i>
<i>neáu x</i>
2
16 16
17 16
lim lim
16
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
= 16
lim 1 15 16
<i>x</i> <i>x</i> <i>f</i> .Vậy <i>f x</i>
<b>Áp dụng</b>:
Xét tính liên tục của ham số <i>f x</i>
a/
2
0
2 5 3 <sub>3</sub>
3
3
5 3
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>
<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>
<i>neáu x</i>
; b/
2
0
2 3 20 <sub>4</sub>
4
4
13 4
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>
<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>
<i>nếu x</i>
c/
5 6 6 <sub>6</sub>
6 <sub>6</sub>
5 <sub>6</sub>
12
<sub> </sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>
<i>x</i>
<i>f x</i> <i>Tại x</i>
<i>nếu x</i>
; d/
9 4 0
0
8 <sub>0</sub>
2
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i> <i>nếu x</i>
<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>
<i>nếu x</i>
e/
2
0
3 2 <sub>1</sub>
1 <sub>1</sub>
1
2
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>
<i>x</i>
<i>f x</i> <i>Tại x</i>
<i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i> ; f/
1 1 <sub>0</sub>
0
6 1 <sub>0</sub>
1
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<i>x</i> <i><sub>x nếu x</sub></i>
<i>x</i>
<i>f x</i> <i>Tại x</i>
<i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>
<i>x</i>
<b>Hướng dẫn:d/e/f để tính được</b>
lim
<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> <b> cần tính </b><i>x</i>lim<sub></sub><i>x</i><sub>0</sub> <i>f x</i>
* <b>Dạng 2:Định tham số để hàm số liên tục tại </b><i>x</i>0
<b>Cách giải</b>:Tính <i>f x</i>
0
lim
<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> ,lập phương trình 0
lim
<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> <i>f x</i> giải tìm tham số.
<b>Ví dụ</b>: Cho hàm số
2
2
7 6 <sub>6</sub>
6
2 7 10 6
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>
<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>nếu x</i>
.Tìm m để h/số <i>f x</i>
2
6 2 7 10
<i>f</i> <i>m</i> <i>m</i>
2
6 6
7 6
lim lim
6
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
6
lim 1 5
<i>x</i> <i>x</i>
<sub>. Hàm số </sub> <i><sub>f x</sub></i>
6
lim 6
<i>x</i> <i>f x</i> <i>f</i>
2
2<i>m</i> 7<i>m</i> 10 5
2<i>m</i>2 7<i>m</i> 5 0
1
5
2
<i>m</i>
<i>m</i>
<sub></sub>
<b>Áp dụng:</b>
<b>Tìm m để hàm số</b> <i>f x</i>
a/
2
0
2
4 3 <sub>3</sub>
3
3
7 8 3
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>
<i>f x</i> <i>x</i> <i>Tại x</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>nếu x</i>
; b/
2
0
2 6 <sub>2</sub>
2
2
3 1 2
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>neáu x</sub></i>
<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>
<i>m</i> <i>nếu x</i>
c/
3
0
1 <sub>1</sub>
1
1
2 1
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>
<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>
<i>mx</i> <i>neáu x</i>
; d/
3
0
2
27 1 1
1
3 1 3
3
1
4 6
3
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i> <i><sub>neáu x</sub></i>
<i>x</i>
<i>f x</i> <i>Tại x</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>nếu x</i>
* <b>Dạng 3</b>:Chứng minh rằng phương trình <i>f x</i>
<b>Xét hàm số </b><i>y</i><i>f x</i>
0 ; : 0 0
<i>x</i> <i>a b</i> <i>f x</i>
<b>Ví dụ</b>:Cmr phương trình 3
4<i>x</i> 5<i>x</i> 3 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
Ta có: <i>f</i>
<i>x</i>0
1/Chứng minh rằng phương trình:<i><sub>x</sub></i>7 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>5 <sub>2 0</sub>
có ít nhất một nghiệm .
2/ Chứng minh rằng phương trình:<i><sub>x</sub></i>2<sub>sin</sub><i><sub>x xcox</sub></i> <sub>1 0</sub>
thuộc
3/ Chứng minh rằng phương trình: <i><sub>x</sub></i>3 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1 0</sub>
có 3 nghiệm phân biệt.
4/ Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm với mọi m:
a/<i>m x</i>
b/<i><sub>x</sub></i>4 <i><sub>mx</sub></i>2 <sub>2</sub><i><sub>mx</sub></i> <sub>2 0</sub>
5/ Phương trình sau có nghiệm hay khơng trong khoảng (– 4 ; 0 ) ?
3 <sub>3</sub> 2 <sub>4</sub> <sub>7 0</sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
( HD : Xét nghiệm trong (– 2 ; 0 ) (– 4 ; 0 ) Suy ra pt có nghiệm trong (– 4 ; 0 )
<b>II/Chương V: ĐẠO HÀM</b>
<i><b>Bài 1</b></i><b>:Tính đạo hàm của các hàm số sau</b> :
a/<i><sub>y x</sub></i>3 <sub>5</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub>
b/
4 <sub>5</sub> 3 <sub>3</sub> 2
10
4 3 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> c/<i>y</i>
e/ <i>y</i>
h/<i>y</i> 7<i>x</i>2 5
k/ 5 7
4 3
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
l/
7 4
2 10
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
m/ 2
3 1
5 3 2
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i>
n/
2
3
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
o/ Cho <i>f x</i>( )<i>x</i>3 3<i>x</i>1.<i>Tính f</i>'(5) p/ Cho ( ) 5 . '(2)
3 2
<i>x</i>
<i>f x</i> <i>Tính f</i>
<i>x</i>
(HD: '(5) 72; '(2) 17
64
<i>f</i> <i>f</i> )
q/ Cho h/s <i>f x</i>( ) <i>x</i> . <i>Tính f</i>'(7) r/ Cho <i>f x</i>( )3 . <i>Tính f</i> '( 2)
<i>x</i>
s/ Cho h/s ( ) <sub>2</sub> 8 . '(1)
3
<i>f x</i> <i>Tính f</i>
<i>x</i> <i>x</i> ( HD:
1 3 5
'(7) ; '( 2) ; '(1)
4 2
2 7
<i>f</i> <i>f</i> <i>f</i> )
t/ Cho <i>y x</i> 3 3<i>x</i>2.<i>Tìm x để a y</i>: ) ' 0 <i>b y</i>) ' 3
Giải
Ta có: a) <sub>' 0</sub> <sub>3</sub> 2 <sub>3</sub> <sub>0</sub> <sub>0</sub> <sub>2</sub>
<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>hoặc x</i>
b) <sub>' 3</sub> <sub>3</sub> 2 <sub>6</sub> <sub>3</sub> 2 <sub>2</sub> <sub>1 0</sub> <sub>1</sub> <sub>2</sub> <sub>1</sub> <sub>2</sub>
<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i><b>Bài 2:</b></i><b>Tính đạo hàm của các hàm số sau</b>:
a/<i>y</i>sin 2<i>x</i>3cos<i>x</i>1 <sub>b/</sub><i>y</i>3sin 5<i>x</i>2 cos(3<i>x</i>28) c/<i>y</i>sin 7
d/<i>y</i>tan 4 3
<i>y</i> <i>x</i> g/<i>y</i>
h/ Cho h/s ( )<sub>1 cos</sub>sin . '( ) , '(0) '<sub></sub> <sub>4</sub><sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i>
<i>f x</i> <i>Tính f x</i> <i>f</i> <i>và f</i>
<i>x</i> . Đsố:
1 2
'(0) ; '
2 4 <sub>2 1</sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>f</i> <i>f</i>
<i><b>Bài 3</b></i><b>:Tìm vi phân của các hàm số sau:</b>
a/<i><sub>y</sub></i> <sub>2</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>10</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>3</sub>
b/<i>y</i> 2<i>x</i>3 c/<i>y</i>
2
<i>x</i>
<i>y</i> e/<i><sub>y c</sub></i><sub>os 5</sub>2 <i><sub>x</sub></i> <sub>6</sub>
f/<i>y</i>cot 5
h/ <sub>2</sub> 1
2 7 3
<i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i>
k/ 2
1
3cos
<i>y</i>
<i>x</i>
<i><b>Bài 4:</b></i><b> Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau</b> :
a/
10
1
10
<i>x</i>
<i>y</i> <i>x</i> b/ 3 2
4 1
<i>x</i>
<i>x</i>
c/
6
2 5
<i>y</i> <i>x</i> d/<i>y x</i> cos 2<i>x</i> e/ 2
sin
<i>y x</i> <i>x</i>
<i><b>Bài 5:</b></i><b>Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau</b>:
a/<i><sub>y x</sub></i>3 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>2</sub>
tại điểm <i>M</i>0
b/<i><sub>y</sub></i> <sub>2</sub><i><sub>x</sub></i>2 <i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub>
tại điểm có hoành độ <i>x</i>0 1
c/
2 <sub>4</sub> <sub>5</sub>
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
tại điểm có hồnh độ <i>x</i>0 0
d/<i>y</i> 2<i>x</i>1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 7
3
<i>x</i>
<i>y</i>
e/<i><sub>y</sub></i> <sub>2</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>8</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub>
biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d:<i>x</i> 4<i>y</i>16 0
f/
2 <sub>3</sub> <sub>1</sub>
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
<b>Hướng dẫn</b>:
<b>Tiếp tuyến của đồ thị hàm số </b><i>y</i><i>f x</i>
'
<i>o</i> <i>o</i> <i>o</i>
<i>y y</i> <i>f x</i> <i>x x</i> <b><sub>.(1)</sub></b>
<b>*Nếu tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng </b><i>y ax b a</i> ,
<b>*Nếu tiếp tuyến của đồ thị vng góc với đường thẳng</b> <i>y ax b a</i> ,
<i>f x</i>
<i>a</i>
<i>xo</i> <i>yo</i><b> áp</b>
<b>dụng công thức (1) viết được phương trình.</b>
<b>*Nếu biết tiếp tuyến có hệ số góc k thì : </b> <i>f x</i>'
<b>*Bài tập tương tự:</b>
<b>Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau</b>:
a/ 2
5 6
<i>y x</i> <i>x</i> tại điểm <i>M</i>0
b/<i><sub>y x</sub></i>3 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>5</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub>
tại điểm có hồnh độ <i>x</i>0 2
c/<i><sub>y</sub></i> <sub>4</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>5</sub>
tại điểm có tung độ <i>y</i>0 2
d/<i>y</i> 2<i>x</i>1 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d:<i>y</i>2<i>x</i>1
e/ 5 1
2 1
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>