Tải bản đầy đủ (.doc) (8 trang)

toan 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.87 KB, 8 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP </b>


<b>ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 (CB) </b>



<b>HỌC KÌ II</b>






<b>I/ Chương IV:Giới hạn:</b>


<i><b>1/ Giới hạn dãy số</b></i><b>:</b>
<i><b>Bài 1</b></i>:<b>Tìm các giới hạn:</b>


a/lim 4

<i>n</i>27<i>n</i>13

b/lim 5

 <i>n</i>37<i>n</i>21

c/ 5 3


5


lim 2<i>n</i> 2


<i>n</i>


 


 


 


  d/



3 2


lim 2<i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i> 3



e/lim2 3


3 7


<i>n</i>
<i>n</i>




 f/


2
2


3 7 1


lim


4 7


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


 


  g/


5



4 3


7 3 1


lim


8 10 17


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 


  k/ 4 2


2 9


lim


3 5 3


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>




 



l/lim 4 4 <sub>2</sub>3 2 1


2 7


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


 


 m/


6 2


2


3 1


lim


7 3


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 


  n/



2


3 1


lim


10 3


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


  


 o/


4
5 3


10 11


lim


6 20


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 



 
<b>Hướng dẫn</b>:


<b>a/b/c/d</b>:Đặt n có số mũ cao nhất ra làm thừa số đưa về dạng tích


<b>e/f/k/l/n/o</b>:Chia cả tử và mẫu cho n có số mũ cao nhất.


<b>g/m</b>: có thể đưa về dạng tích


<b>Ví dụ</b>: a/


4 3


3 2


3 4 1


lim


5 2


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 


  =



4


4


3


3


4 1


3
lim


1 2


5
<i>n</i>


<i>n n</i>
<i>n</i>


<i>n n</i>


 


 


 


 



 


 


 


 


= 4


3


4 1


3
lim .


1 2


5


<i>n n</i>
<i>n</i>


<i>n n</i>


 


 



= vì lim<i>n</i>,


4


3


4 1


3 <sub>3</sub>


lim


1 2 <sub>5</sub>


5


<i>n n</i>
<i>n n</i>


 

 


b/lim 4


3 1


<i>n</i> <i>n</i>



<i>n</i>





2


3


1
1
lim


1
3
<i>n</i>


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>n</i>





 




 



 


= 3


1
1
lim .


1
3


<i>n</i>
<i>n</i>


<i>n</i>






 vìlim<i>n</i>,


3


1


1 <sub>1</sub>


lim



1 <sub>3</sub>


3
<i>n</i>
<i>n</i>






<i><b>Bài 2</b><b> </b></i><b>:Tìm các giới hạn</b>:


a/lim

2<i>n</i>23<i>n</i> 1 7<i>n</i>3

<sub> b/</sub>lim 10

 <i>n</i> 4 4<i>n</i>2 3<i>n</i>4

<sub> c/</sub>lim

<i>n</i>2 <i>n</i> 4<i>n</i>2 <i>n</i> 10



d/lim

9<i>n</i>2 1 <i>n</i>25<i>n</i> 7

<sub> e/</sub>lim

<i>n</i>2  <i>n</i> 1 <i>n</i>

<sub> f/</sub>lim

9<i>n</i>24<i>n</i> 2 3 <i>n</i>



g/lim 4

<i>n</i> 1 16<i>n</i>22<i>n</i> 3

<sub> h/</sub>lim

2<i>n</i>23<i>n</i> 2<i>n</i>21

<sub> k/</sub>lim

<i>n</i>43<i>n</i>2 1 <i>n</i>21


<b>Hướng dẫn</b>: <b>a/b/c/d</b>: Đặt thừa số đưa về dạng tích.Đáp số theo thứ tự:     ; ; ;


<b>e/f/g/h/k</b>: Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.ĐS: 1
2;


2
3;


3
4;


3 2



4 ;


5
2


<b>Đặc điểm nhận biết:</b>


<i>Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giớí hạn đặc biệt</i>
<i>Hệ số không phải là hai số đối nhau ta đặt thừa số đưa về dạng tích.</i>


<b>Ví dụ</b>: a/lim

5<i>n</i>2 <i>n</i> 11 2 <i>n</i>3

<sub> Nhận xét:</sub>2<i>n</i> có hệ số là -2 và <sub>5</sub><i><sub>n</sub></i>2 <sub>5</sub><i><sub>n</sub></i>


 có hệ số là 5


Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích


<b>Giải:</b> a/lim

5<i>n</i>2 <i>n</i> 11 2 <i>n</i>3

= 2


1 11 3


lim<i>n</i> 5 2


<i>n n</i> <i>n</i>


 


    


 



 


 


vìlim<i>n</i> và 2


1 11 3


lim 5 2 5 2 0


<i>n n</i> <i>n</i>


 


      


 


 


</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b/lim

<i>n</i>210<i>n</i> 1 <i>n</i>1


Nhận xét:<i>n</i><sub> có hệ số là -1;</sub> <i><sub>n</sub></i>2 <i><sub>n</sub></i>


 có hệ số là 1. Hệ số là hai số đối nhau→Nhân lượng liên hợp.
<b>Giải: </b>


b/lim

<i>n</i>210<i>n</i> 1 <i>n</i>1

=

 



2 2



2


10 1 1 10 1 1


lim


10 1 1


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


       


   


=lim <sub>2</sub> 8


10 1 1


<i>n</i>


<i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i> = 2


8


lim 4


10 1 1



1 1


<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>




   


<i><b>Bài 3</b></i><b>:Tìm các giới hạn</b>


a/lim2.3 5.4


3.4 2


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 b/


3.2 7


lim


10.7 5.4


<i>n</i> <i>n</i>



<i>n</i> <i>n</i>




 c/




1
2


2 7. 4


lim


3 6 4


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


<i>n</i><sub></sub> 


  


  d/



1 2


1



6.3 6


lim


6 2


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>
<i>n</i>


 




 
<b>Hướng dẫn</b>:Biến đổi đưa về cùng số mũ.Trong cơng thức có chứa <i><sub>a b c</sub>n</i>, ,<i>n</i> <i>n</i>


chọn<i>m</i>ax

<i>a b c</i>, ,



Giả sử là<i>a</i> ta chia cả tử và mẫu cho <i><sub>a</sub>n</i><sub> biến đổi đưa về các giớí hạn đặt biệt.</sub>
<b>Đáp số theo thứ tự là</b>:5


3;
1
10;


7
24



 ;-6.


<i><b>Bài 4</b></i><b>: Tìm các giới hạn</b>


a/




2 9


lim


3 2<i>n</i>


<i>n</i>
<i>n</i>




 b/

<sub></sub>

<sub></sub>



2


2


1
lim


2



3 5


3


<i>n</i>


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 
 
  <sub></sub> <sub></sub>
 


c/ lim

2 1

 

<sub>2</sub> 3 3


1


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


 


 d/







2


3


1 1


lim


4


2 5


3


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i>


 


 
 <sub></sub> <sub></sub>
 
<b>Hướng dẫn:</b>Biến đổi đưa về dạng tích



<b>Đáp số theo thứ tự là</b>:0; ;;0
<b>Ví dụ</b>:




3


3


5 1


lim


2


4 5


3


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 


 
  <sub></sub> <sub></sub>
 



= 2 3


2 3


5 1


1 <sub>3</sub>


lim


1 5 2


4


<i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 


 

 
 


 



vì 2 3


2 3


5 1


1 <sub>1</sub>


lim


1 5 <sub>4</sub>


4


<i>n</i> <i>n</i>


<i>n</i> <i>n</i>


 




 


vàlim 3


2


<i>n</i>
 




 
 


<i><b>2/Giới hạn hàm số</b></i>:


<b>Bài tốn 1</b>:Tìm giới hạn hàm số khi <i>x</i> <i>x</i>0(tương tự cho trường hợp <i>x</i> <i>x x</i>0; <i>x</i>0


 


  ).


* <b>Dạng 1</b>: Nếu <i>f x</i>

 

xác định tại <i>x</i>0 thì

 

 



0 0


lim


<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> <i>f x</i> .
<b>Áp dụng</b>:


a/lim 2<i><sub>x</sub></i><sub></sub><sub>1</sub>

<i>x</i>215<i>x</i>7

<sub> b/</sub> <sub>2</sub>
2


4 3


lim
1



<i>x</i>


<i>x</i>
<i>x</i>





 c/



2
3


lim 3 7 2


<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  d/


2


3


2 3 1


lim


3 5


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>



<i>x</i>


 


 


* <b>Dạng 2</b>:

 



 


0


lim


<i>x</i> <i>x</i>


<i>f x</i>
<i>g x</i>


 với <i>f x</i>

 

0 <i>g x</i>

 

0 0
<b>Cách giải:</b>


☺Nếu <i>f x g x</i>

 

,

 

là những đa thức thì phân tích <i>f x</i>

  

 <i>x x f x</i> 0

  

1 ,<i>g x</i>

  

 <i>x x g x</i> 0

1

 

khi đó:

 



 


0


lim



<i>x</i> <i>x</i>


<i>f x</i>
<i>g x</i>


 =


 


 


0


1


1


lim


<i>x</i> <i>x</i>


<i>f x</i>
<i>g x</i>


 .


☺Nếu <i>f x</i>

 

hoặc <i>g x</i>

 

có chứa căn bậc hai ta nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt


<b>Ví dụ</b>:
a



3


2
2


8
lim


4


<i>x</i>


<i>x</i>
<i>x</i>




 =




 



2


2


2 2 4


lim



2 2


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>




  


  =


2


2


2 4


lim 3


2


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>





 


</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b/ <sub>2</sub>


6


4 1 5


lim
7 6
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 
  =

 



2



4 1 5 4 1 5


lim


7 6 4 1 5


<i>x</i>



<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 
   
    =


 


6
4 6
lim


1 6 4 1 5


<i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>




    =


6
4 2
lim
25


1 4 1 5


<i>x</i> <i><sub>x</sub></i><sub></sub> <i><sub>x</sub></i><sub> </sub> 
<b>Áp dụng:</b>


<i><b>Bài</b></i>
<i><b> </b><b> 1 </b><b> </b></i>:
a/

 


2
5
25
lim
5 1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x x</i>



  b/


3
2
1
11 10
lim
1
<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

 


 c/


2
2
3
5 6
lim
9
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

 


 d/


5
1
1
lim
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
 




 e/


2


2
4


2 13 20


lim
16
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

 

f/
3
2
1
3 2
lim
10 9
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>


 


  g/


3
2
2
5 2
lim
3 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 


  h/


3
2
3
10 3
lim
7 12
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 



  k/


3
2
3
3 3
lim
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>



 m/


10
1
1
lim
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>




<b>Đáp số theo thứ tự là</b>: 5
3



 ; -4; 1
6; 5;


3
8


 ; 0; 7; -17; 3 3; 10.


<i><b>Bài 2</b><b> </b></i>:


a/ <sub>2</sub>


0


2 1 1


lim
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

 


 b/ 1 2


4 5 3


lim


1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

 


 c/ 3


2 3
lim
3
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

 


 d/ 8 2


1 3
lim


2 15 8


<i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>





 


  e/
4


3 4 4


lim


4 9 5


<i>x</i>


<i>x</i>
<i>x</i>




 


  f/


3


2


8


lim


6 4 4


<i>x</i>


<i>x</i>
<i>x</i>






  g/ 2 2


3 12 1


lim
6
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

  


  h/ 4 2


6 1 2 3


lim


16
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

  

k/ <sub>2</sub>
3
9 2
lim


3 7 6


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>




 


  . l/ 0 2 3


1 2 1


lim
3


<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

  

<b>Đáp số theo thứ tự là</b>:1


3 ;
1
3


 ; 2
3


 ; 1
102;


15


16; -16;
1
25


 ; 7
40;


3
22



 ;1


6
* <b>Dạng 2</b>:

 



 


0
lim
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>g x</i>


 với <i>f x</i>

 

0 0;<i>g x</i>

 

0 0
<b>Cách giải</b>:Sử dụng quy tắc b trang 131.


<b>Ví dụ</b>:


3
5 8
lim
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>




 .Ta có:<i>x</i>lim 5<sub></sub>3

<i>x</i> 8

 7 0;<i><sub>x</sub></i>lim<sub></sub><sub>3</sub>

<i>x</i> 3

0 và<i>x</i> 3 0 <i>x</i> 3 do đó
3

5 8
lim
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>






<b>Áp dụng</b>:
a/
2
2 11
lim
2 4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>




 b/
2
5
10
lim


5
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>


 


 c/



2
2
2 5
lim
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



 d/ <sub>4</sub> 2


2 1 7


lim
16
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>




 


 e/ 32


2 7
lim
2 3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

 
 <sub></sub> <sub></sub>
 


<b>Bài tốn 2</b>:Tìm giới hạn hàm số khi <i>x</i> <sub> (</sub><i>x</i>  <sub>)</sub>


* <b>Dạng 1</b>:<i><sub>x</sub></i>lim<sub> </sub> <i>f x</i>

 

Với <i>f x</i>

 

là một đa thức.


<b>Cách giải</b>:Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khi<i>x</i>  <sub> giải tương tự)</sub>
<b>Ví dụ</b>:<i><sub>x</sub></i>lim 2<sub>  </sub>

<i>x</i>3 <i>x</i> 1

<sub>=</sub> lim 3 2 1<sub>2</sub> 1<sub>3</sub>


<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 


   



 


  vì


3
lim


<i>x</i>  <i>x</i>   và 2 3


1 1


lim 2 2 0


<i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i>


 


   


 


 


<b>Áp dụng:</b>


a/<i><sub>x</sub></i>lim 20<sub>  </sub>

<i>x</i>3 3<i>x</i>24

<sub> b/</sub> lim 6 3 3 7


<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>



 


 


 


  c/


4
2


lim 2 3 5


4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
  
 
   
 


  d/



7 5


lim 2 1


<i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i> 



* <b>Dạng 2:</b>

 


 



lim


<i>x</i>


<i>f x</i>
<i>g x</i>


  Với <i>f x</i>

 

,<i>g x</i>

 

là một đa thức.
<b>Cách giải</b>:


</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Ví dụ:</b>a/


2


2


3 7 1


lim


4 7


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>



 


 


  =


2


2


7 1


3 <sub>3</sub>


lim


7 <sub>4</sub>


4


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>


 


 



 


;(<b>Đã chia cả tử và mẫu cho</b> 2


<i>x</i> )


b/ lim <sub>5</sub>2 1


4 3


<i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


 




  =


4 5


4 5


3 1


lim 0



4 3
1


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x x</i>


 





;(<b>Đã chia cả tử và mẫu cho </b> 5


<i>x</i> <b>)</b>


<b>Tuy nhiên nếu </b> <i>f x</i>

 

<b>là đa thức bậc cao hơn </b><i>g x</i>

 

<b>thì ta có thể đưa về dạng tích</b>


<b>Ví dụ:</b>


6 2
3


10 3


lim



4 2 1


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


  


 


  =


6


4 6


3


2 3


1 3


10
lim


2 1



4


<i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


  


 


 


 


 


 


 


 


 



= 3 4 6


2 3


1 3


10
lim


2 1


4


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


  


 


 


 


Vì: <i><sub>x</sub></i>lim<sub>  </sub><i>x</i>3  <sub>,</sub> 4 6


2 3


1 3


10 <sub>5</sub>


lim 0


2 1 <sub>2</sub>


4


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


  


 


 


 


<b>Áp dụng:</b>


a/



5 3


5 2


4 5 4


lim


2 3 7


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


  


 


  b/


3 2


3


6 7


lim



2 3 5


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


 


  


  c/


2


4 3


2 3


lim


4 6 9


<i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>



  




  d/


4 3


2


7 6 13


lim


2 4


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


  


 


  e/
6 4


3



3 3


lim


4 10 7


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


 


  


  f/


10 3


6


10 5 3


lim


3 2 1


<i>x</i>



<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


 


 


  


* <b>Dạng 3:</b>


 


lim


<i>x</i>  <i>f x</i> <b> với </b><i>f x</i>

 

<b>có chứa căn bậc hai thì tùy mỗi bài ta có thể đưa về dạng tích hoặc nhân</b>
<b>lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(Tương tự cho trường hợp</b><i>x</i>  <b><sub>)</sub></b>
<b>Đặc điểm nhận biết</b>:


<b>Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp</b>


<b>Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích</b>.


<b>Ví dụ</b>:a/lim

2 1



<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i> <b>Nhận xét</b>: <i>x</i> có hệ số là-1;vì<i>x</i> nên
2


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>có hệ số là 1



Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp


<b>Giải</b>: a/ lim

2 1



<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i> =


2

 

2



2


1 1


lim


1


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 


     


  


= lim <sub>2</sub> 1



1


<i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 




   = 2


1
lim


1 1


1


<i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>



 




   =


2


1
1
lim


1 1


1 1


<i>x</i>


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


 




  


=1
2



b/ lim

4 2 3 1



<i>x</i>   <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <b>Nhận xét</b>:3<i>x</i> có hệ số là 3;vì<i>x</i>  nên
2


4<i>x</i> 2 <i>x</i> 2<i>x</i>


có hệ số là -2 hệ số không là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích


<b>Giải</b>: b/ lim

4 2 3 1



<i>x</i>   <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> =


1


lim 4 3 1


<i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 


  


 


 


 



= lim 4 1 3 1


<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 


   


 


 


 


= 


Vì: <i><sub>x</sub></i>lim<sub>  </sub><i>x</i> <sub>;</sub> <sub>lim</sub> <sub>4</sub> 1 <sub>3</sub> 1 <sub>1 0</sub>


<i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i>


 


     


 


 


 



c/ lim 3

3 2 9 2 1



<i>x</i>   <i>x</i>   <i>x</i>  <b>Nhận xét</b>:
3


3<i>x</i> bậc ba; vì<i>x</i>  <sub>nên</sub> <sub>9</sub> 2 <sub>3</sub> <sub>3</sub>


 


</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Giải:</b> lim 3

3 2 9 2 1



<i>x</i>   <i>x</i>   <i>x</i> 


3 6


4 6


9 1


lim 3 2


<i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 <sub></sub> <sub></sub>


    <sub></sub>  <sub></sub>


 <sub></sub> <sub></sub>


 



= 3 3 4 6


9 1


lim 3 2


<i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 


  


 


 


 


= 3 3 4 6


2 9 1


lim 3


<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 


    



 


 


 


vì: <i><sub>x</sub></i>lim<sub>  </sub><i>x</i>3  <sub>,</sub> lim 3 2<sub>3</sub> 9<sub>4</sub> 1<sub>6</sub> 3 0


<i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


 


    


 


 


 


<b>Áp dụng</b>:


a/ lim

2 2 3 5 2



<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> b/



2


lim 1 10 3



<i>x</i>   <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> c/



4 2 4


lim 4 10 3 4 1


<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i>  d/




lim 2 3 2 1


<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> e/



2 2


lim 1 2 3


<i>x</i>   <i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i>  f/


2


lim 9 3 7 5 3


<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> g/


4 2



lim 3 9



<i>x</i>   <i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i>  h/



2 2


lim 3 7 16 4 3


<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> k/



2


lim 9 3 1


<i>x</i>   <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> .
<b>Hướng dẫn:</b>


<b>a/b/c/d/k:Nhân lượng liên hợp biến đổi.</b>Đáp số theo thứ tự là:3 2
4 ; 6;


5
2; 0;


7
6




<b>e/f/g/h:Đặt thừa số đưa về dạng tích.</b> Đáp số theo thứ tự là: ;  ;  ; 
<i><b>* Các dạng khác:</b></i>


a)



<sub></sub>

<sub></sub>




3
2


1 1 1 1


1 1 1


lim lim lim lim 1 3


1 1 1


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>x x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


   


   




     


  







3 3


3 2 3 2


2 2 2


1 1


3 3 2


2


1 1 2 3 1 3


5 7 5 2 7 2


) lim lim (1)


1 1 1


5 2 1 ( 1 3


lim lim lim (2)


8



1 <sub>1</sub> <sub>5</sub> <sub>2</sub> <sub>1</sub> <sub>5</sub> <sub>2</sub>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>b</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>


 


  


 


      


 


 


 



 <sub></sub>   <sub></sub>


 <sub></sub> <sub></sub>  <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>


    


 <sub></sub>  <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>


 


 



3 2 2


2


1 1 <sub>2</sub> <sub>2</sub> 2 <sub>3</sub> <sub>2</sub>


3


7 2 1


lim lim


1 <sub>1</sub> <sub>7</sub> <sub>2</sub> <sub>7 4</sub>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>



<i>x</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>


 


  




 




 <sub></sub>     <sub></sub>


 


=




1 <sub>2</sub> 2 <sub>3</sub> <sub>2</sub>


3


1 1


lim (3)


12



7 2 7 4


<i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


 


   


Thay ( 2) , ( 3 ) vào ( 1 ) có : A = 3 1 11


8 12 24


  


<i><b>3.Hàm số liên tục</b></i><b>:</b>


* <b>Dạng 1:Xét tính liên tục của hàm số</b> <i>f x</i>

 

<b>tại </b><i>x</i>0<b>.</b>
<b>Cách giải</b>:


<b>Dùng định nghĩa: Nếu</b> <i>f x</i>

 

<b> xác định tại</b><i>x</i>0<b>và </b>

 

 



0 0


lim


<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> <i>f x</i> <b>thì </b> <i>f x</i>

 

<b>liên tục tại</b><i>x</i>0
<b>Ví dụ</b>:Cho hàm số

 




2 <sub>17</sub> <sub>16</sub>


16
16


15 16


  





 


 <sub></sub>




<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>neáu x</sub></i>


<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i>


<i>neáu x</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

 



2


16 16



17 16


lim lim


16


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>f x</i>


<i>x</i>


 


 




 = 16

 



lim 1 15 16


<i>x</i> <i>x</i>  <i>f</i> .Vậy <i>f x</i>

 

liên tục tại<i>x</i>0=16


<b>Áp dụng</b>:


Xét tính liên tục của ham số <i>f x</i>

 

tại <i>x</i>0trong các trường hợp sau:



a/

 



2


0


2 5 3 <sub>3</sub>


3
3


5 3


  





<sub></sub> <sub></sub> 


 <sub></sub>




<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>


<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>


<i>neáu x</i>



; b/

 



2


0


2 3 20 <sub>4</sub>


4
4


13 4


  





<sub></sub> <sub></sub> 


 <sub></sub>




<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>


<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>


<i>nếu x</i>



c/

 

0


5 6 6 <sub>6</sub>


6 <sub>6</sub>


5 <sub>6</sub>


12


 <sub> </sub>





 <sub></sub>


<sub></sub> 


 <sub></sub>





<i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>


<i>x</i>


<i>f x</i> <i>Tại x</i>



<i>nếu x</i>


; d/

 

0


9 4 0


0


8 <sub>0</sub>


2


 <sub></sub> <sub></sub>




<sub></sub> <sub></sub> 







<i>x</i> <i>nếu x</i>


<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>


<i>nếu x</i>


e/

 




2


0


3 2 <sub>1</sub>


1 <sub>1</sub>


1
2


  





 <sub></sub>


<sub></sub> 


 <sub></sub> <sub></sub>





<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>


<i>x</i>



<i>f x</i> <i>Tại x</i>


<i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i> ; f/

 

0


1 1 <sub>0</sub>


0


6 1 <sub>0</sub>


1


 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>







<sub></sub> 




 <sub></sub> <sub></sub>


 <sub></sub>




<i>x</i> <i><sub>x nếu x</sub></i>



<i>x</i>


<i>f x</i> <i>Tại x</i>


<i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>


<i>x</i>


<b>Hướng dẫn:d/e/f để tính được</b>

 


0


lim


<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> <b> cần tính </b><i>x</i>lim<sub></sub><i>x</i><sub>0</sub> <i>f x</i>

 

<b> và</b>

 


0
lim
<i>x</i><sub></sub><i>x</i> <i>f x</i>


* <b>Dạng 2:Định tham số để hàm số liên tục tại </b><i>x</i>0
<b>Cách giải</b>:Tính <i>f x</i>

 

0 ,

 



0


lim


<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> ,lập phương trình 0

 

 

0


lim



<i>x</i><i>x</i> <i>f x</i> <i>f x</i> giải tìm tham số.
<b>Ví dụ</b>: Cho hàm số

 



2


2


7 6 <sub>6</sub>


6


2 7 10 6


  





 


 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>




<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>


<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i>


<i>m</i> <i>m</i> <i>nếu x</i>



.Tìm m để h/số <i>f x</i>

 

liên tục tại <i>x</i>0=6
<b>Giải:</b>Ta có hàm số <i>f x</i>

 

xác định tại<i>x</i>0=6 và

 



2


6 2 7 10


<i>f</i>  <i>m</i>  <i>m</i>


 



2


6 6


7 6


lim lim


6


<i>x</i> <i>x</i>


<i>x</i> <i>x</i>


<i>f x</i>


<i>x</i>


 



 




 6



lim 1 5
<i>x</i> <i>x</i>


   <sub>. Hàm số </sub> <i><sub>f x</sub></i>

<sub> </sub>

<sub>liên tục tại </sub><i><sub>x</sub></i><sub>0</sub><sub>= 6 khi chỉ khi: </sub>

 

 



6


lim 6


<i>x</i> <i>f x</i> <i>f</i>
2


2<i>m</i> 7<i>m</i> 10 5


     2<i>m</i>2 7<i>m</i> 5 0


1
5
2
<i>m</i>
<i>m</i>








 <sub></sub>

<b>Áp dụng:</b>


<b>Tìm m để hàm số</b> <i>f x</i>

 

<b>liên tục tại </b><i>x</i>0<b> trong các trường hợp sau</b>:


a/

 



2


0
2


4 3 <sub>3</sub>


3
3


7 8 3


  





<sub></sub> <sub></sub> 



 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>




<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>


<i>f x</i> <i>x</i> <i>Tại x</i>


<i>m</i> <i>m</i> <i>nếu x</i>


; b/

 



2


0


2 6 <sub>2</sub>


2
2


3 1 2


  





<sub></sub> <sub></sub> 



 <sub></sub> <sub></sub>




<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>neáu x</sub></i>


<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>


<i>m</i> <i>nếu x</i>


c/

 



3


0


1 <sub>1</sub>


1
1


2 1


 





<sub></sub> <sub></sub> 



 <sub></sub> <sub></sub>




<i>x</i> <i><sub>nếu x</sub></i>


<i>f x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>Tại x</i>


<i>mx</i> <i>neáu x</i>


; d/

 



3


0
2


27 1 1


1


3 1 3


3
1


4 6


3



 





 <sub></sub>


<sub></sub> 


 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>





<i>x</i> <i><sub>neáu x</sub></i>


<i>x</i>


<i>f x</i> <i>Tại x</i>


<i>m</i> <i>m</i> <i>nếu x</i>


* <b>Dạng 3</b>:Chứng minh rằng phương trình <i>f x</i>

 

0<sub> có ít nhất một nghiệm thuộc </sub>

<sub></sub>

<i>a b</i>;

<sub></sub>


<b>Cách giải</b>:


<b>Xét hàm số </b><i>y</i><i>f x</i>

 

<b>,chứng minh </b><i>y</i><i>f x</i>

 

<b>liên tục trên</b>

<i>a b</i>;

<b> và </b> <i>f a f b</i>

   

0

 



0 ; : 0 0



<i>x</i> <i>a b</i> <i>f x</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Ví dụ</b>:Cmr phương trình 3


4<i>x</i>  5<i>x</i> 3 0 có ít nhất một nghiệm thuộc

0; 2

.
<b>Giải</b>: Xét hàm số <i>f x</i>

 

4<i>x</i>3 5<i>x</i> 3 liên tục trên R nên liên tục trên

0;2



Ta có: <i>f</i>

 

0 3 , <i>f</i>

 

2 19 suy ra <i>f</i>

   

0 <i>f</i> 2 57 0


  <i>x</i>0

0;2 :

<i>f x</i>

 

0 0.Vậy 4<i>x</i>3 5<i>x</i> 3 0 có ít nhất một nghiệm thuộc

0; 2

.
<b>Áp dụng</b>:


1/Chứng minh rằng phương trình:<i><sub>x</sub></i>7 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>5 <sub>2 0</sub>


   có ít nhất một nghiệm .


2/ Chứng minh rằng phương trình:<i><sub>x</sub></i>2<sub>sin</sub><i><sub>x xcox</sub></i> <sub>1 0</sub>


   thuộc

0;

.


3/ Chứng minh rằng phương trình: <i><sub>x</sub></i>3 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1 0</sub>


   có 3 nghiệm phân biệt.


4/ Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm với mọi m:
a/<i>m x</i>

1

 

3 <i>x</i> 2

2<i>x</i> 3 0


b/<i><sub>x</sub></i>4 <i><sub>mx</sub></i>2 <sub>2</sub><i><sub>mx</sub></i> <sub>2 0</sub>



   


5/ Phương trình sau có nghiệm hay khơng trong khoảng (– 4 ; 0 ) ?


3 <sub>3</sub> 2 <sub>4</sub> <sub>7 0</sub>


   


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


( HD : Xét nghiệm trong (– 2 ; 0 ) (– 4 ; 0 ) Suy ra pt có nghiệm trong (– 4 ; 0 )


<b>II/Chương V: ĐẠO HÀM</b>


<i><b>Bài 1</b></i><b>:Tính đạo hàm của các hàm số sau</b> :


a/<i><sub>y x</sub></i>3 <sub>5</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub>


    b/


4 <sub>5</sub> 3 <sub>3</sub> 2


10


4 3 2


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i>y</i>    c/<i>y</i>

2<i>x</i>3

 

<i>x</i> 7

d/<i>y</i>

3<i>x</i> 7

10



e/ <i>y</i>

5<i>x</i> 3 7

20 f/ <i>y</i>

4<i>x</i>1 5

 

<i>x</i> 3

12 g/<i><sub>y</sub></i> <sub>7</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>5</sub>


   h/<i>y</i> 7<i>x</i>2 5


k/ 5 7


4 3


<i>x</i>
<i>y</i>


<i>x</i>





 l/


7 4


2 10


<i>x</i>
<i>y</i>


<i>x</i>






 m/ 2


3 1


5 3 2


<i>x</i>
<i>y</i>


<i>x</i> <i>x</i>





  n/


2
3
<i>x</i>
<i>y</i>


<i>x</i>







o/ Cho <i>f x</i>( )<i>x</i>3 3<i>x</i>1.<i>Tính f</i>'(5) p/ Cho ( ) 5 . '(2)



3 2







<i>x</i>


<i>f x</i> <i>Tính f</i>


<i>x</i>


(HD: '(5) 72; '(2) 17


64


 


<i>f</i> <i>f</i> )


q/ Cho h/s <i>f x</i>( ) <i>x</i> . <i>Tính f</i>'(7) r/ Cho <i>f x</i>( )3 . <i>Tính f</i> '( 2)


<i>x</i>


s/ Cho h/s ( ) <sub>2</sub> 8 . '(1)


3






<i>f x</i> <i>Tính f</i>


<i>x</i> <i>x</i> ( HD:


1 3 5


'(7) ; '( 2) ; '(1)


4 2


2 7


   


<i>f</i> <i>f</i> <i>f</i> )


t/ Cho <i>y x</i> 3 3<i>x</i>2.<i>Tìm x để a y</i>: ) ' 0 <i>b y</i>) ' 3


Giải


Ta có: a) <sub>' 0</sub> <sub>3</sub> 2 <sub>3</sub> <sub>0</sub> <sub>0</sub> <sub>2</sub>


      


<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>hoặc x</i>


b) <sub>' 3</sub> <sub>3</sub> 2 <sub>6</sub> <sub>3</sub> 2 <sub>2</sub> <sub>1 0</sub> <sub>1</sub> <sub>2</sub> <sub>1</sub> <sub>2</sub>



            


<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>


<i><b>Bài 2:</b></i><b>Tính đạo hàm của các hàm số sau</b>:


a/<i>y</i>sin 2<i>x</i>3cos<i>x</i>1 <sub>b/</sub><i>y</i>3sin 5<i>x</i>2 cos(3<i>x</i>28) c/<i>y</i>sin 7

<i>x</i> 3

3cos

2<i>x</i>1

4


d/<i>y</i>tan 4 3

 <i>x</i>

<sub> e/</sub><i>y</i>tan 4

<i>x</i>22 <i>x</i> 5

<sub> f/</sub> 2
cot 2 7


<i>y</i> <i>x</i>  g/<i>y</i> 

1 tan 5<i>x</i>

20


h/ Cho h/s ( )<sub>1 cos</sub>sin . '( ) , '(0) '<sub></sub> <sub>4</sub><sub></sub>


 <sub></sub> <sub></sub>




<i>x</i>


<i>f x</i> <i>Tính f x</i> <i>f</i> <i>và f</i>


<i>x</i> . Đsố:


1 2


'(0) ; '


2 4 <sub>2 1</sub>



 


 <sub></sub> <sub></sub>



 




<i>f</i> <i>f</i>


<i><b>Bài 3</b></i><b>:Tìm vi phân của các hàm số sau:</b>


a/<i><sub>y</sub></i> <sub>2</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>10</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>3</sub>


   b/<i>y</i> 2<i>x</i>3 c/<i>y</i>

5<i>x</i> 2

7 d/ sin3


2
<i>x</i>


<i>y</i> e/<i><sub>y c</sub></i><sub>os 5</sub>2 <i><sub>x</sub></i> <sub>6</sub>


 


f/<i>y</i>cot 5

<i>x</i>2 <i>x</i> 2

g/<i><sub>y</sub></i>

<sub></sub>

<sub>1 sin</sub>2 <i><sub>x</sub></i>

<sub></sub>

4


  h/ <sub>2</sub> 1


2 7 3



<i>y</i>


<i>x</i> <i>x</i>




  k/ 2


1
3cos
<i>y</i>


<i>x</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>Bài 4:</b></i><b> Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau</b> :
a/


10


1
10


<i>x</i>


<i>y</i>  <i>x</i> b/ 3 2


4 1


<i>x</i>


<i>y</i>


<i>x</i>





 c/



6
2 5


<i>y</i> <i>x</i> d/<i>y x</i> cos 2<i>x</i> e/ 2
sin


<i>y x</i> <i>x</i>


<i><b>Bài 5:</b></i><b>Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau</b>:


a/<i><sub>y x</sub></i>3 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>2</sub>


   tại điểm <i>M</i>0

1; 2



b/<i><sub>y</sub></i> <sub>2</sub><i><sub>x</sub></i>2 <i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub>


   tại điểm có hoành độ <i>x</i>0 1


c/


2 <sub>4</sub> <sub>5</sub>



2


<i>x</i> <i>x</i>


<i>y</i>
<i>x</i>


 




 tại điểm có hồnh độ <i>x</i>0 0


d/<i>y</i> 2<i>x</i>1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 7


3
<i>x</i>


<i>y</i> 


e/<i><sub>y</sub></i> <sub>2</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>8</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub>


   biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d:<i>x</i> 4<i>y</i>16 0


f/


2 <sub>3</sub> <sub>1</sub>


1



<i>x</i> <i>x</i>


<i>y</i>
<i>x</i>


 




 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2


<b>Hướng dẫn</b>:


<b>Tiếp tuyến của đồ thị hàm số </b><i>y</i><i>f x</i>

 

<b><sub> tại tiếp điểm </sub></b><i>M x y<sub>o</sub></i>

<sub></sub>

<i><sub>o</sub></i>; <i><sub>o</sub></i>

<sub></sub>

<b><sub>có phương trình</sub></b>

  



'


<i>o</i> <i>o</i> <i>o</i>


<i>y y</i> <i>f x</i> <i>x x</i> <b><sub>.(1)</sub></b>


<b>*Nếu tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng </b><i>y ax b a</i>  ,

0

<b><sub> thì </sub></b> <i>f x</i>'

<sub> </sub>

<i><sub>o</sub></i> <i>a</i> <i>x<sub>o</sub></i>  <i>y<sub>o</sub></i><b><sub> áp</sub></b>
<b>dụng cơng thức (1) viết được phương trình.</b>


<b>*Nếu tiếp tuyến của đồ thị vng góc với đường thẳng</b> <i>y ax b a</i>  ,

0

<b> thì</b> '

 

1
<i>o</i>


<i>f x</i>



<i>a</i>


  <i>xo</i>  <i>yo</i><b> áp</b>
<b>dụng công thức (1) viết được phương trình.</b>


<b>*Nếu biết tiếp tuyến có hệ số góc k thì : </b> <i>f x</i>'

 

<i>o</i> <i>k</i>  <i>xo</i> <i>yo</i><b> áp dụng cơng thức (1) viết được phương</b>
<b>trình</b>


<b>*Bài tập tương tự:</b>


<b>Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau</b>:


a/ 2


5 6


<i>y x</i>  <i>x</i> tại điểm <i>M</i>0

1; 2



b/<i><sub>y x</sub></i>3 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>5</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub>


    tại điểm có hồnh độ <i>x</i>0 2


c/<i><sub>y</sub></i> <sub>4</sub><i><sub>x</sub></i>2 <sub>3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>5</sub>


   tại điểm có tung độ <i>y</i>0 2


d/<i>y</i> 2<i>x</i>1 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d:<i>y</i>2<i>x</i>1


e/ 5 1



2 1


<i>x</i>
<i>y</i>


<i>x</i>





</div>

<!--links-->

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×