Bài giảng Chuyên đề BĐT Cô-si

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (144.49 KB, 11 trang )

I. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
VD1: CMR: (a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
)(c
2
+ a
2
) 8a
2
b
2
c
2
a,b,c
Bài toán nay thờng gặp sai lầm sau:
Sử dung kết quả: x
2
+y
2
2xy. Do đó:
a
2
+ b
2
2ab

b
2
+ c
2
2bc
c
2
+ a
2
2ac
suy ra (a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
)(c
2
+ a
2
) 8a
2
b
2
c
2
Lời giải đúng :
a

2
+ b
2
2ab
b
2
+ c
2
2bc
c
2
+ a
2
2ac
suy ra (a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
)(c
2
+ a
2
) 8a
2
b
2

c
2
=8 a
2
b
2
c
2
.
VD2: CMR:

Giải
Ta có:
(ĐPCM)
VD3: Cho a,b,c,d 0 và a+b+c+d=1

CMR:
81
1

abcd
Giải
Từ gt ta suy ra:
=

Tơng tự ta có:

+
+

+
+

+

+ dcba 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
( )( )( )
3
111
3
111 dcb
bcd
d
d
c
c
b
b
+++

+
+
+
+
+

+++

+
+++

+
+++

+
+++

+
3
3
3
3
)1)(1)(1(
3
1
1
)1)(1)(1(
3
1
1
)1)(1)(1(
3
1

1
)1)(1)(1(
3
1
1
cba
abc
d
dba
abd
c
dca
acd
b
dcb
bcd
a
28
)(64)( baabba ++
( )
( )
[ ]
2224
4
4
4
2
8
)(64)(2.2
)2).((22

)(
baabbaab
abbaabba
baba
+=+=

+++=
=

+=+
Nh©n vÕ theo vÕ ta ®îc:

Suy ra: (§PCM)
Chóng ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n trªn:
VD4: Cho
CMR:
Vd5: Cho:
CMR:

Gi¶i

Ta cã: VT=
(§PCM)
Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t:
VD6: Cho
CMR:
VD7: CMR:
( )( )( )( ) ( )( )( )( )
dcba
abcd
dcba
++++
≥
++++
1111
81
1111
1
81
1
≥
abcd
n
n
n
n
aaa
n
aaa
aaa
)1(

1
...
1
1
1
...
1
1
1
1
0,...,,
21
21
221
−
≤





−≥
+
++
+
+
+
>
8
111

1
0,,
≥






−






−






−



=++
>
c

c
b
b
a
a
cba
cba
8
2
.
2
.
2
..
1
.
1
.
1
=≥
+++
=
−−−
c
ab
b
ca
a
bc
c

ba
b
ac
a
cb
c
c
b
b
a
a
( )
n
n
n
n
n
na
a
a
a
a
a
aaa
aaa
1
1
...
11
1...

0,...,,
2
2
2
1
21
21
−≥








−








−









−



=+++
>
( )
0,,8)1()1)(1(1
3
1
3
3
3
≥∀≥+≥+++≥






++
+
cbaabcabccba
cba
03
)1)((

4
2
>
+
+
ba
bba
a
II.Kỹ thuật tách nghịch đảo
Kỹ thuật tách nghịch đảo đó là kỹ thuật tách nghịch đảo phần nguyên
theo mẫu số để khi chuyển sang TB nhân thì các phần chứa biến bị triệt
tiêu chỉ còn lại hằng số.
VD1: CMR:
Giải
Vì nên a và b cùng dấu. Do đó:
VD2: CMR:
Giải
VD3: CMR:
Giải
Ta có:

(ĐPCM)
VD4: CMR:
Giải
Ta có: (PCM)
VD5: CMR:
02
+
ab
a

b
b
a
1.
=
a
b
b
a
2.2
=+=+
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
2
1
2
2
2

+

+
a
a
2
1
1
12
1
1
1
1
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
++=
+
++
=

+
+
a
a
a
a
a
a
a
a

=
>

+
1
22
22
ab
ba
ba
ba
03
)(
1
>>

+
ba
bab
a
3
)(
1
.).(3
)(
1
)(
)(
1
3
=

++=

+
bab
bba
bab
bba
bab
a
=

+=

+=

+
=

+
22
2
).(2
2
)(
2
)(
2)(
222
ba
ba
ba
ba
ba
ab
ba
ba
abba
ba
ba
==

+
++

+
+
+
+
+
+=
+
+
3141
)1)((
4
)
2
1
)(
2
1
)((4
1
)1)((
4
2
1
2
1
)(

)1)((
4
4
2
22
bba
bb
ba
bba
bb
ba
bba
a
Giải
Ta có:
(ĐPCM)
Ta có thể tổng quát bài toán này:
VD6: Cho

CMR:
Giải
Ta có:
VT=
(ĐPCM)
III. kỹ thuật đánh giá từ tb nhân sang tb cộng
VD1: CMR: (1)
Giải
Ta có: (1)
Theo BĐT Cô si ta có:
2)1(

)1(
13221
1
21
2)1(
)...()()(
1
10...
+

+

+
>>>>
kn
kn
nn
kk
n
n
k
kn
aaaaaaa
a
Zkaaa

[ ]
2)1(

)1(
2)1(
)1(
)(
13221
113232
2121
13221
13221
2)1(
1
2)(1(
)...()()(
1
............
))...()((
1
)(...)()(
+

+

+
=

+

+

++

++

++

+

++

+=

+++++
kn
kn
kn
kn
siCo
k
nn
kk
n

hangsok
nnnn
hangsokhangsok
n
nnn
nnn
k
kn
k
kn
aaaaaaa
k
aa
k
aa
k
aa
k
aa
k
aa
k
aa
a
aaaaaaa
aaaaaaa

))(( dbcacdab
+++
1

))(())((

++
+
++

dcba
cd
dbca
ab
1
2
1
2
1
2
1
=

+
+
+
+
+
=

+
+
+
+

+
+
+

db
db
ca
ca
db
d
ca
b
db
c

ca
a
VT
3
3
)1)(1)(1(1
++++
cbaabc
VD2: CMR: (1)
Gi¶i
Ta cã: (1)
Theo B§T C« si ta cã:

(§PCM)
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n nµy:
VD3:CMR: (1)
Gi¶i
Ta cã: (1)
Theo B§T C« si ta cã:
(§PCM)
VD4: CMR:
Gi¶i
Ta cã:
Theo B§T C« si ta cã:

1
)1)(1)(1(
1.1.1
)1)(1)(1(