Tài liệu BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ

Các bài tập hàm số liên tục Page 1 11/30/2013
CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN
Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a
•
Phương pháp :
)()(lim afxf
ax
=
→

Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
a.
1)²3³(lim
1
−=+−
→
xxx
x
b.
0)²(lim
0
=−
→
xx
x
c.
3)1²(lim
2
=−
−→
x

x
Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ
)(
)(
xQ
xP
tại x = a
•
Phương pháp :
)(
)(
lim
xQ
xP
ax
→
– Nếu
0)(
≠
aQ
thì
)(
)(
)(
)(
lim
aQ
aP
xQ
xP

ax
=
→
– Nếu
0)(
=
aQ
và
0)(
≠
aP
thì
∞=
→
)(
)(
lim
xQ
xP
ax
– Nếu
0)(
=
aQ
và
0)(
=
aP
thì
)(

)(
lim
xQ
xP
ax
→
có dạng
0
0
tính
)(
)(
lim
)()(
)()(
lim
)(
)(
lim
xD
xC
xDax
xCax
xQ
xP
axaxax
→→→
=
−
−

=
Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
1.
3
1
5²
lim
1
=
+
+
→
x
x
x
2.
∞=
−
+
→
3
1²
lim
3
x
x
x
3.
1)2(lim
3

)2)(3(
lim
3
65²
lim
333
=−=
−
−−
=
−
+−
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
4.
4
1
3
1
lim
)3)(1(
1
lim
34²
1

lim
111
−=
−−
=
−−+
+
=
−−−
+
−→−→−→
xxx
x
xx
x
xxx
5.
2
1
1
12
lim
)1)(1(
)12)(1(
lim
1²
13²2
lim
111
=

−
+
=
−+
++
=
−
++
−→−→−→
x
x
xx
xx
x
xx
xxx
6.
6
1
5
2
lim
)5)(1(
)2)(1(
lim
54²
23²
lim
111
−=

+
−
=
+−
−−
=
−+
+−
→→→
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
7.
32)4²)(2(lim
2
)4²)(2)(2(
lim
2
16
lim
22
4
2
=++=
−
++−

=
−
−
→→→
xx
x
xxx
x
x
xxx
8.
5
7
1
1
lim
5
7
1
=
−
−
→
x
x
x
9.
∞=
−
−

=
−
−−
=
−
+−
→→→
2
1
lim
)²2(
)1)(2(
lim
)²2(
23²
lim
222
x
x
x
xx
x
xx
xxx
10.
3
4²
8³
lim
2

=
−
−
→
x
x
x
11.
∞=
−
++−
=
+−
−
→→
)²1(
)1²).(1(
lim
12²
1³
lim
11
x
xxx
xx
x
xx
Các bài tập hàm số liên tục Page 2 11/30/2013
12.
5

)22²).(2(
lim
2²
42³
lim
22
−=
+−+
=
+
+−
−→−→
x
xxx
xx
xx
xx
Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai
•
Phương pháp : Khử dạng vô định
0
0
bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp
Cần nhớ :
•
a – b =
))(( baba
−+

•

a – b =
)².²)((
333333
bbaaba
++−
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
1.
)1²1(
)1²1)(1²1(
lim
1²1
lim
00
++++
++++++−+
=
++−+
→→
xxxx
xxxxxx
x
xxx
xx


0
2
0
)1²1(
²

lim
0
==
++++
−
=
→
xxxx
x
x
2.
)2)(2)(321(
)2)(321)(321(
lim
2
321
lim
44
+−++
+++−+
=
−
−+
→→
xxx
xxx
x
x
xx
3

4
)321).(4(
)2).(4.(2
lim
²)2).(321(
)2²).(321(
lim
44
=
++−
+−
=
−++
+−+
=
→→
xx
xx
xx
xx
xx
3.
)2).(914(
)314).(2²(
lim
314
2
lim
22
++−+

++−−
=
−+
+−
→→
xxx
xxx
x
xx
xx
8
9
)2).(2.(4
)314).(2)(1(
lim
2
=
++−
++−+
=
→
xxx
xxx
x
4.
2
111
lim
0
=

−−
→
x
x
x
5.
1
23²
1
lim
1
−=
−+
−
→
x
x
x
6.
[ ]
9
1
)²1(113
lim
3
11
lim
3
3
0

3
0
=
−+−+
=
−−
→→
xxx
x
x
x
xx
7.
3
2
23²
1
lim
3
1
−=
−+
+
−→
x
x
x
8.
2.2
3

)1²).(1).(21(
1²).(21).(21(
lim
1
21
lim
333
33
1
3
1
=
++−++
++++−+
=
−
−+
→→
xxxx
xxxx
x
x
xx
Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ
)(
)(
lim
xQ
xP
x

∞→
( có dạng
∞
∞
)
•
Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
1.
3
2²
15²3
lim
=
−
+−
∞→
x
xx
x
2.
1
)5)(2(
1²
lim
=
−+
−
∞→
xx

x
x
3.
∞=
−
++−
∞→
2²
1³
lim
x
xx
x
4.
0
)1).(1³2(
)35).(1²3(
lim
=
+−
++
∞→
xx
xx
x
5.
2
3
35²2
17²3

lim
=
+−
+−
∞→
xx
xx
x
Các bài tập hàm số liên tục Page 3 11/30/2013
6.
3²5
²22²3
lim
4
+
+−+
∞→
x
xxx
x
=
5
3
7.
∞=
+
−+
∞→
72
1²

lim
3 5
x
xx
x
8.
4
1²4
32²
lim
=
−+
++
+∞→
xx
xx
x
9.
3
2
1²4
32²
lim
−=
−+
++
−∞→
xx
xx
x

10.
1)234²4(lim
−=−+−
+∞→
xxx
x
11.
+∞=−+−
−∞→
)234²4(lim xxx
x
Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai

•
Phương pháp :
– Trường hợp 1 : Khử dạng vô định
∞
∞
bằng cách chia tử và mẩu cho lũy
thừa lớn nhất
– Trường hợp 2 : Khử dạng vô định
∞−∞
bằng cách nhân thêm lượng
biểu thức liên hợp
•
Cần nhớ : x
→
+
∞
thì x =

²x
x
→
–
∞
thì x = –
²x
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
1.
2
²
11
1
4
1
²
1
1
lim
²
1²
²
4²1²
lim
1²
4²1²
lim
=
+−
−++

=
+−
−++
=
+−
−++
∞→∞→∞→
xx
xx
x
xx
x
xxx
xx
xxx
xxx
2.
)3²(
)3²)(3²(
lim)3²(lim
xxx
xxxxxx
xxx
xx
−+−
−+−++−
=++−
−∞→−∞→
xxx
xxx

x
−+−
−+−
=
−∞→
3²
²3²
lim
2
1
)1
²
31
1(
)
3
1(
lim
3²
3
lim
=
++−−
−−
=
−+−
+−
=
−∞→−∞→
xx

x
x
x
xxx
x
xx
3.
xxx
x
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
+−
−
=
+−
+−−−
=−−
+∞→+∞→+∞→
4²
4
lim
4²
)4²)(4²(
lim)4²(lim
=
2
)1
4

1(
4
lim
−=
+−
−
+∞→
x
x
x
x
4.
1
1
²
lim
−=
+
−
−∞→
x
xx
x
5.
1
1
²
lim
=
+

−
+∞→
x
xx
x
6.
)4²).(3(lim xxx
x
−++
+∞→
( dạng
∞
.0 ) đs : 2
7.
[ ]
4
7
27²4lim
−=++
−∞→
xxx
x
Các bài tập hàm số liên tục Page 4 11/30/2013
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
0
x
:
Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện
– Tính

)(
0
xf
– Tính
)(lim
0
xf
xx
→
– So sánh
)(lim
0
xf
xx
→
=
)(
0
xf
Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số :
1.f(x) =
2
1
−
+
x
x
tại x = 1 , x = 2
Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2
2

2
1
lim)(lim
11
−=
−
+
=
→→
x
x
xf
xx
)(lim
1
xf
x
→
= f(1)
Vậy f(x) liên tục tại x = 1
Tại x = 2 thì f(x) không xác định
Vậy f(x) không liên tục tại x = 2
2.f(x) =





≤+
>

−
−−
132
1
1
12²3
xkhix
xkhi
x
xx
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1
Tacó : f(1) = 5
4
1
)13)(1(
lim
1
12²3
lim
11
=
−
+−
=
−
−−
++
→→
x
xx

x
xx
xx

5)32(lim
1
=+
−
→
x
x
Không tồn tại
)(lim
1
xf
x
→
Vậy f(x) không liên tục tại x = 1
3. f(x) =





≠
+−
−
=
2
23²

)2(2
22
xkhi
xx
x
xkhi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2
Ta có : f(2) = 2
2
)2)(1(
)2(2
lim
23²
)2(2
lim)(lim
222
=
−−
−
=
+−
−
=
→→→
xx
x
xx
x
xf
xxx

)(lim
2
xf
x
→
= f(2)
Vậy f(x) liên tục tại x = 2
Các bài tập hàm số liên tục Page 5 11/30/2013
4. f(x) =





≠
−
−+−
=
1
1
22²³
14
xkhi
x
xxx
xkhi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 )
5.f(x) =






>
−
≤+
1
3²
1
11
xkhi
xx
xkhix
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 )
6.







≠
−
−−
=
=
2
2
321

21
)(
xkhi
x
x
xkhi
xf
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x = 2 )
7.







≠
−
=
=
0
²sin
cos1
0
4
1
)(
xkhi
x
x

xkhi
xf
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x = 0 )
8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1
a. f(x) =
1
23²
−
+−
x
xx
Ta có :
1
1
)2).(1(
lim
1
23²
lim)(lim
111
−=
−
−−
=
−
+−
=
→→→
x
xx

x
xx
xf
xxx
Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1
Vậy f(x) =





−=−
−≠
−
+−
11
1
1
23²
xkhi
xkhi
x
xx

b. f(x) =
1
1
−
x
Ta có :

+∞=
−
=
++
→→
1
1
lim)(lim
11
x
xf
xx

−∞=
−
=
−−
→→
1
1
lim)(lim
11
x
xf
xx
Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1
Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1
9.Định a để f(x) liên tục tại x = x
0