Bài soạn on tap:nguyen ham

Ôn tập: nguyên hàm
I.Lý thuyết
1. Định nghĩa: Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b), nếu
với mọi x (a; b); ta có F(x) = f(x)
2. Nhận xét:
+ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của h/số f(x) trên khoảng (a; b)
+ Ngợc lại, mọi nguyên hàm của h/số f(x) trên khoảng (a; b) đều ó thể viết dới dạng F(x)
+ C, với C là hằng số
Ta kí hiệu biểu thức F(x) + C là

dxxf )(
( đọc là tích phân của f(x)dx)


dxxf )(
= F(x) + C
Trong đó:

đợc gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm số dới dấu tích phân; f(x)dxlà biểu
thức dới dấu tích phân và đó cũng là vi phân của h/số F(x)
3. Tính chất:

( )
)()(
'
xfdxxf
=



=

dxxfadxxaf )()(
( Với a là hằng số)



=
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

1. Bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản.






<=
=
=

+
=
=
+
10,
ln
0,ln
1,
1
1
a

a
a
dxa
edxe
xx
x
dx
x
dxx
xdx
x
x
xx







kxx
x
dx
kxx
x
dx
xxdx
xxdx
=
+=

=
=




,cot
sin
2
,tan
cos
cossin
sincos
2
2
2. Các ph ơng pháp tính nguyên hàm :
A.Ph ơng pháp 1 : Đa về các nguyên hàm cơ bản
Ví dụ : Nguyên hàm của h/số f(x) = 4x
2
là

+==
C
x
dxxdxx
3
444
3
22
Nguyên hàm của h/số f(x) = sinx + cosx là

+=+=+
Cxxxdxxdxdxxx sincoscossin)cos(sin

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = 5(x
2
2x+ 3) b) f(x) = 5(3x
2
1)
2

c) f(x) =
3
2
1
x
d) f(x) = 2
x
.3
2x+1
e)
2
2
1
2
)(
x
x

xf
+
=
f) f(x) = 3
3
x
g) f(x) =
xx
22
cossin
1
h) f(x) = 3sin
2
x/2
i) f(x) =
2
1
x
k) f(x) = (2tanx + cotx)
2
m) f(x) =
2
3
)
2
(
x
x
+
B.Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp đổi biến số

Tính

dxxf )(

+ Đặt u = u(x)
+ Lấy vi phân 2 vế, để tính dx theo u và du
+ Biểu thị f(x)dx theo u và du. G/s f(x)dx = g(u)du
+ Tính

+=
CuGduug )()(
+ Thay u trong G(u) theo biểu thức của nó theo x
Ví dụ: 1) Tìm nguyên hàm của h/s f(x) = (5x + 3)
5
.
Ta có nguyên hàm của h/s f(x) = (5x + 3)
5
là

+
dxx
5
)35(
.
Tính

+
dxx
5
)35(

+ Đặt u = 5x + 3 => du = (5x + 3) = 5dx. Từ đó có dx =
du
5
1
+

+
dxx
5
)35(
=
CuC
u
duuduu
+=+==

6
6
55
30
1
65
1
5
1
5
1
= 1/30(5x + 3)
6
+ C

2) Tìm nguyên hàm của h/s f(x) = cos
2
xsinx
Ta có nguyên hàm của h/s f(x) là


xdxxsincos
3
Tính

xdxxsincos
3
+ Đặt u = cosx => du = (cosx)dx = -sinxdx. Từ đó sinxdx = - du
+

xdxxsincos
3
=

+==
C
u
duuduu
4
)(
4
33
=-1/4(cosx)
4
+ C

Bài tập áp dung: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) f(x) = (-2x + 5)
4
b) f(x) = sin
4
xcosx
c) f(x) =
54
3
)56(
+
x
x
d) f(x =
xx sin.1cos2

e) f(x) =
1
+
x
x
e
e
f) f(x) =
53
1
+
x
g) f(x) =

x
x
.3
2
h) f(x) = tanx
i) f(x) =
2
)2sin5(
cos
+
x
x
k) f(x) =
x
x
4
2
cos
sin

B.Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp đổi biến số
Tính

dxxf )(
Chú ý: Để tính một số nguyên hàm, đôi khi ngời ta đổi biến số thành một hàm lợng
giác của biến mới.
1. Nếu hàm số dới dấu tích phân chứa
22
xa

thì đặt x = asinu hoặc
a = acosu.
2. Nếu có
22
xa
+
thì đặt x = a.tanu hoặc x = a.cotu
3. Nếu có
22
ax

thì đặt x =
u
a
sin
hoặc x =
u
a
cos
Ví dụ: Tính


dxx
2
4
Giải:
Đặt x = 2.sinu với u [
2
;
2

] => dx = 2.cosudu
Ta co:
uuuux cos2cos4)sin1(4sin444
2222
====
Khi đó

+==

===
C
u
uduudu
u
uduuduudxx )
2
2sin
.(2)2cos1(2
2
2cos1
4cos4cos2.cos24
22
Ghi nhớ:
A. Các hệ thức sau đây thờng đợc dùng để tính nguyên hàm:
1. dx = d(x + b) 2. kdx = d(kx) = d(kx + b) 3. xdx = 1/2d(x
2
)
4. x

n
dx =
)(
1
1
1
+
+
n
xd
n
5. dx/x = d(lnx) 6. e
kx
dx = 1/kd(e
kx
)
7. cosxdx = d(sinx ) 8. sinxdx = - d(cosx) 9.
)(tan
cos
2
xd
x
dx
=
10.
)(cot
sin
2
xd
x

dx
=
B. Bảng nguyên hàm đợc suy ra từ phơng pháp đổi biến số


+=+==
+
+++
)cos(
1
)sin(.3
ln.
.2
1
.1 bkx
k
dxbkx
ak
a
dxae
k
dxe
bkx
bkxbkxbkx

+
+
=+
+
1

)(1
)(.4
1



bkx
k
dxbkx

+=++=
+
+=
+
)sin(
1
)cos(.7)cot(
1
)(sin
.6)tan(
1
)(cos
.5
22
bkx
k
dxbkxbkx
kbkx
dx
bkx

kbkx
dx
Chẳng hạn:
C
xd
xd
dxCxxdx
x
xxx
+=
+=

+
=+=
+
+++

3ln
3
2
1
)32(3
2
1
2
)32(
33.2
4
3
cos

3
4
4
3
sin1
32
323232

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng công thức ở phần ghi nhớ
a) f(x) = (-2x + 5)
4
b) f(x) = sin
4
xcosx
c) f(x) =
54
3
)56(
+
x
x
d) f(x =
xx sin.1cos2

e) f(x) =
1
+
x
x

e
e
f) f(x) =
53
1
+
x
g) f(x) =
x
x
.3
2
h) f(x) = tanx
i) f(x) =
2
)2sin5(
cos
+
x
x
k) f(x) =
x
x
4
2
cos
sin

Bài 2: Tính các tích phân sau
1)

dxx
2
2
2)

+
4
2
x
dx
3)


9
2
x
dx
B. Ph ơng pháp 3 : Nguyên hàm từng phần
Tính

dxxf )(
. Nếu biểu thức dới dấu tích phân f(x)dx thờng có dạng:
f(x)dx P(x)e
x
dx P(x)sinxdx P(x)cosxdx P(x)lnxdx e
x
sinxdx
u P(x) P(x) P(x) lnx sinx

dv e
x
dx sinxdx cosxdx P(x) e
x
dx
(Với P(x) là đa thức )
Khi đó ta đã đa

dxxf )(
về dạng

udv
Sau đó ta áp dụng công thức sau:

=
vduvuudv .
(*): Công thức nguyên hàm
từng phần .
Quy tắc tính:
1. Viết f(x)dx dới dạng udv
2. Tính u và v (v =

dv
)
3. Thay vào (*)
Ví dụ áp dụng
Tính

+
xdxx sin)12(

Đặt u = 2x + 1 => du = (2x + 1)dx = 2.dx
dv = sinxdx => v = -cosx
Do đó áp dụng công thức (*) ta có:


+++=++=+
Cxxxxdxxxxdxx sin2cos)12(cos2cos)12(sin)12(
Bài tập áp dung: Tìm nguyên hàm các hàm số sau đây
1) f(x) = x
2
.cosx 2) f(x) = (x + 2).sin2x 3) f(x) = (-x + 3)e
x
4) f(x) = (x
2
+ 1)e
-x
5) f(x) = (3x 6)lnx 6 ) f(x) = (-x
2
+ 1)lnx
7) f(x) = e
x
.cosx 8) f(x) = e
2x
sinx