ÔN TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011
ÔN TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
Hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là của f trên K nếu
'( ) ( ),F x f x x K= ∀ ∈
.
2. Định lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì ∀C∈R, F(x) + C cũng là một nguyên hàm
của f(x). Ta ký hiệu:
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
và gọi là họ nguyên hàm của f trên K.
3. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Nguyên hàm của những hàm số
hợp đơn giản

Cxdx
+=
∫
Cudu
+=
∫
kdx kx C= +
∫

( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C

u
duu
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫
α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
≠+=
∫
xCx
x
dx

( )
0ln
≠+=
∫
uCu
u
du
( )
0ln
1
≠++=
+
∫
xCbax
abax
dx
Cedxe
xx
+=
∫
Cedue
uu
+=
∫
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++

∫
1
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
x
x
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
( )
0 1
ln
mx n
mx n
a

a dx C a
m a
+
+
= + < ¹
ò
Cxxdx
+=
∫
sincos
Cuudu
+=
∫
sincos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++=+
∫
sin
1
cos
Cxxdx
+−=
∫
cossin
Cuudu
+−=
∫

cossin
( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++−=+
∫
cos
1
sin
Cxdx
x
+=
∫
tan
cos
1
2
Cudu
u
+=
∫
tan
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a

dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
Cudu
u
+−=
∫
cot
sin
1
2
( )
( )
Cbax
a

dx
bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
tan ln cosxdx x c= − +
∫
cot ln sinxdx x c= +
∫
3. Các tính chất nguyên hàm:
Cho các hàm số f(x) và g(x) có nguyên hàm. Khi đó:
•
. ( )k f x dx =
∫
( )k f x dx
∫
( k là hằng số)
•
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
BpH
Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011
4. Các phương pháp tìm nguyên hàm:
a) Nguyên hàm từng phần
udv uv vdu= -

ò ò
b) Phương pháp đổi biến
[ ( )] '( ) ( )f u x u x dx f u du=
ò ò
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1.
3 2
( ) 2 3 2f x x x x= − + −
2.
2
( ) 3 3f x x x x= + + +
3.
( ) sin 2cos( 1) 3f x x x= + + +
4.
2
2 1
( )
3
x
f x
x x
+
=
+ +
5.
3 2
( ) (2 1) 5f x x x x= + + +
6.
5

( ) sin .cosf x x x=
7.
( ) .sinf x x x=
8.
2
( ) .sinf x x x=
9.
2
( ) .cosf x x x=
10.
( ) (2 1).cos(3 2)f x x x= + −
11.
( ) .cos
x
f x e x=
12.
2
( ) lnf x x=
.
II. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −
∫
trong đó, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K chứa [a; b]
2. Tính chất
Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:

1)
( ) 0
a
a
f x dx =
ò
2)
( ) ( )
a a
b b
f x dx f x dx=-
ò ò
3)
( ) ( ) ( )+ =
∫ ∫ ∫
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx
4)
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
ò ò ò
5)
. ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
ò ò

; k
R∈
3. Các phương pháp tính tích phân
a. Phương pháp đổi biến:
[ ]
( )
( )
( ) '( ) ( )
u b
b
a
u a
f u x u x dx f u du=
∫ ∫
b. Phương pháp tích phân từng phần:
( )
( ) '( ) ( ) ( ) | ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1.
1
3
0
( 1)+

∫
x dx
2.
2
2 2
1
(2 -3)( -3 1)+
∫
x x x dx
3.
1
3
0
(3 -1)
∫
x x
e e dx
;
BpH
Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011
4.
3
1
(3 4)+
∫
x dx
5.
2
-2
( -1)

∫
x x dx
6.
1
2
0
( -2 )
∫
x
x e dx
7.
2
2
2
1
3 +
∫
x x
dx
x
8.
2
3
1
4+
∫
x x
dx
x
9.

1
3
0
( - )
∫
x
x e dx
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1.
-
(2sin -cos )
∫
x x dx
π
π
2.
3
2
0
1
(sin )
cos
+
∫
x dx
x
π
3.
4

0
cos (1 2 tan )+
∫
x x dx
π
4.
3
4
2
6
1-sin
sin
∫
x
dx
x
π
π
5.
2
0
cos2
sin cos+
∫
x
dx
x x
π
6.
2

4
0
cos
2
∫
x
dx
π
.
7.
2
4
0
tan
∫
xdx
π
8.
4
2 2
6
cos sin
∫
dx
x x
π
π
9.
2
5

0
sin cos
∫
x xdx
π
10.
3
2
0
(1 sin ) cos+
∫
x xdx
π
11.
4
2
6
1
cot (1 )
sin
+
∫
x dx
x
π
π
12.
3
2
2

6
cos
sin
∫
x
dx
x
π
π
.
Bài 3. Tính các tích phân sau
1.
3
2
0
2 1+
∫
x x dx
2.
2 3
1
5 -1
∫
2
x x dx
3.
1
2
3
0

3 1
2
+
+ +
∫
x
dx
x x
4.
2
4 2+
+
∫
3
1
x
dx
x x
5.
2
3 3
3
1+
∫
2
0
x
dx
x
6.

2
2
1
2 -1
- 6+
∫
x
dx
x x
Bài 4. Tính các tích phân sau
1.
0
sin
∫
x xdx
π
2.
0
cos
∫
x xdx
π
3.
1
ln
∫
e
x xdx
4.
2

1
∫
x
xe dx
5.
2
0
( 1)sin 3+
∫
x xdx
π
6.
2
0
sin
∫
x xdx
π
7.
2
0
cos
∫
x xdx
π
; 8.
3
2
4
sin

∫
xdx
x
π
π
9.
4
2
0
cos
∫
xdx
x
π
10.
2 2
2
0
cos
∫
x xdx
π
11.
2 2
2
0
sin
∫
x xdx
π

12.
2
1
ln
∫
e
xdx
.
Bài 5: Tính các tích phân sau:
a)
1
1
x dx
-
ò
b)
3
2
0
4x dx-
ò
c)
2
2
1 1x x dx
-
é ù
- + +
ë û
ò

d)
3
2
0
4 4x x dx- +
ò
e)
2
0
1 sin2xdx
p
-
ò
f)
1
ln
e
e
x dx
ò
Bài 6: Tính các tích phân:
a)
1
2
1
1 x dx
-
-
ò
b)

1
2 2
1
2x x dx
-
-
ò
c)
0
2
2
1
4
x
dx
x
-
-
ò
BpH
Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011
d)
1
2
0
1
1
dx
x+
ò

e)
0
2
2
1
3
x
dx
x
-
+
ò
f)
0
2
1
1
2 2
dx
x x
-
+ +
ò
Bài 7: Tính các tích phân sau:
a)
2
1
1 1
x
I dx

x
=
+ -
ò
b)
4
2
0
1 2sin
1 sin2
x
I dx
x
p
-
=
+
ò
c)
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
+
=
ò
d)
( )

4
2
0
1
sin 2 cos
I dx
x x
p
=
+
ò
e)
2
0
sin2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
p
+
=
+
ò
f)
2 3
2
5
4
dx

I
x x
=
+
ò
g)
6
4
0
tan
cos2
x
I dx
x
p
=
ò
h)
4
0
sin( )
4
sin2 2(1 sin cos )
x
I dx
x x x
p
p
-
=

+ + +
ò
i)
1
2
0
( 2)
x
x e dx-
ò
j) I =
3
2
2
ln( )x x dx-
ò
k) I =
2
3
1
ln x
dx
x
ò
l) I =
2
sin
0
( cos ) cos
x

e x xdx
p
-
ò
m) I =
2
2
1
( 1)
x
x e
dx
x
-
ò
n)
4
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
p
=
+
ò
BpH