Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán định vị và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

Phạm Thị Hồi

BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

Phạm Thị Hồi

BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH :

TOÁN ỨNG DỤNG

MÃ SỐ:

60. 46. 01. 12

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC :
GS.TSKH Lê Dũng Mƣu

Hà Nội - Năm 2015

Thang Long University Libraty


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả luận văn xin cam đoan về tính hợp pháp và tính đúng đắn của
luận văn. Dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Luận văn đã
tổng hợp các kiến thức lý thuyết và kết quả nghiên cứu mới đây về bài tốn
định vị và khơng trùng lặp với các luận văn khác.

Học viên

Phạm Thị Hồi

i


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả quý Thầy Cô đã giảng
dạy trong chương trình Cao học Tốn ứng dụng khóa 1 – Trường Đại học
Thăng Long, những người đã truyền đạt kiến thức hữu ích về ngành Tốn ứng
dụng làm cơ sở cho tơi hồn thành luận văn này.
Đặc biệt tơi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo GS.TSKH. Lê Dũng Mưu.
Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q
trình thực hiện luận văn, đồng thời cịn là người giúp tơi lĩnh hội được những

kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học.
Qua đây, tôi cũng xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn
bè thân thiết là những người luôn sát cánh bên tôi, tạo mọi điều kiện tốt nhất
cho tơi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học
tập, cũng như khi tơi thực hiện và hồn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn khơng tránh khỏi có những thiếu
sót, rất mong nhận được ý kiến góp ý của các Thầy giáo, Cô giáo và các anh
chị học viên để luận văn được hồn thiện hơn.
Hải Phịng, tháng 07 năm 2015
Học viên thực hiện

Phạm Thị Hồi

ii

Thang Long University Libraty


MỤC LỤC
Bản cam đoan ................................................................................................. i
Lời cảm ơn ............................................................................................................ ..ii
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ ............................................................. 3
1.1.Tập lồi ......................................................................................................... 3
1.2. Tập a-phin .................................................................................................. 4
1.3. Tập lồi đa diện và định lý tách các tập lồi đa diện.................................... 5
1.4. Bao lồi ........................................................................................................ 7
1.5. Hàm lồi và cực trị của hàm lồi ................................................................... 9
1.6. Bài toán quy hoạch lồi.............................................................................. 14
1.7. Tốn tử chiếu ............................................................................................ 16

CHƢƠNG 2 BÀI TỐN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG ................................ 21
2.1. Giới thiệu bài toán .................................................................................... 21
2.2. Phương pháp tối ưu giải một bài toán định vị .......................................... 26
KẾT LUẬN .................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 42


LỜI NÓI ĐẦU

LỜI NÓI ĐẦU
Một vấn đề quan trọng trong hình học là xác định vị trí của điểm, một
ứng dụng quan trọng từ bài tốn xác định vị trí của điểm là xác định vị trí một
cơ sở cần được xây dựng. Khi chúng ta cần xây dựng một bệnh viện, một nhà
máy, một trạm xăng, một bến xe, hay một hệ thống giao thông nối các điểm
quan trọng với nhau thì câu hỏi đặt ra là vị trí xây dựng như thế nào là tối ưu,
thuận tiện nhất sao cho đảm bảo việc thỏa mãn nhu cầu của người sử dụng là
tốt nhất để đem lại sự thu hút và lợi ích nhiều nhất. Ví dụ như khi xây dựng
một trạm đổ xăng hay bến xe cần tính tốn sao cho khoảng cách tới các khu
dân cư đơng đúc là ngắn nhất, thuận tiện đường nhất, …, cũng như vậy khi
xây dựng một hệ thống giao thơng thì xây dựng thế nào để hệ thống giao
thơng đó có độ dài ngắn nhất, tiết kiệm chi phí xây dựng, thuận tiện cho việc
sử dụng sau này. Bài toán xác định vị trí của một điểm, một cơ quan…là một
ví dụ của bài tốn định vị.
Bài tốn này khơng chỉ thu hẹp trong phạm vi những điểm lân cận mà
còn được mở rộng sao cho đạt được sự tối ưu với các điểm ở biên, ví dụ như
khi ta xây dựng một trạm phát sóng hay một trạm điện trong một thị trấn thì
vấn đề đặt ra là vị trí xây dựng ở đâu để những hộ dân hay cơ quan xa nhất
cũng nhận được tốt nhất.
Bài toán định vị được gặp và áp dụng nhiều từ những bài toán tìm cực
trị của một điểm đến những bài tốn xác định nghiệm tối ưu kèm theo những

điều kiện ràng buộc để giải quyết vấn đề tìm vị trí của một điểm sao cho đạt
được sự tối ưu. Đây là đề tài đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan
tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tơi chọn đề tài: Bài tốn định vị và một số ứng
dụng.
Luận văn trình bày một cách có hệ thống bài tốn định vị trong đó đi
sâu vào các bài tốn có hàm mục tiêu minimax và ứng dụng của bài toán này.

1

Thang Long University Libraty


LỜI NÓI ĐẦU

Luận văn gồm hai chương
Chương 1: Kiến thức bổ trợ.
Chương này trình bày một số kiến thức của giải tích lồi như tập lồi,
hàm lồi, cực trị của hàm lồi, bài toán quy hoạch lồi, toán tử chiếu là những
kiến thức nền tảng, cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu và giải quyết bài
toán định vị.
Chương 2: Bài tốn định vị và ứng dụng.
Chương này trình bày một cách tổng quan hơn về một bài toán định vị
là bài tốn tìm một điểm (hay một vị trí) trong một miền xác định sao cho
khoảng cách lớn nhất từ điểm (vị trí) đó tới các điểm (vị trí) cho trước là nhỏ
nhất.
Xét một số ví dụ từ quá trình được nghiên cứu và giải bằng phương
pháp hình học đến ví dụ áp dụng một thuật tốn giải cho bài tốn phức tạp
hơn.
Trình bày một thuật tốn được coi như cải biên của thuật toán dưới vi
phân để giải bài toán định vị trong trường hợp số điểm cho trước có thể rất

lớn.

2


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Chương này trình bày lại một số khái niệm và kết quả của giải tích lồi.
Các khái niệm và kết quả này là những kiến thức nền tảng quan trọng, được
sử dụng cho chương sau. Các kết quả trình bày trong chương này được tổng
hợp từ các tài liệu [1], [2], [3], [4].
1.1.Tập lồi
Định nghĩa 1.1. Một tập C 

là một tập lồi nếu C chứa đoạn thẳng

đi qua hai điểm bất kỳ x, y  C , tức là

x, y  C,   0,1   x  (1   ) y  C
Ta nói

x là tổ hợp lồi của các điểm (véc-tơ) x1,..., xk
k

k

j 1

j 1

(1.1)
nếu

x    j x j ,  j  0  j  1......k và   j  1 .
Tương tự, x là tổ hợp a-phin của các điểm (véc-tơ) x1,..., xk nếu
k

k

j 1

j 1

x    j x j với   j  1 .
Mệnh đề 1.1. Tập hợp C lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của
các điểm của nó. Tức là: C lồi khi và chỉ khi
k

k

j 1

j 1

k  N, 1,..., k > 0 :   j  1 ,  x1, ..., x k  C    j x j  C .
Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa.
Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm.
Với k = 2, điều cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi

và tổ hợp lồi.
Giả sử mệnh đề đúng với k−1 điểm. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng
với k điểm.

3

Thang Long University Libraty


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Giả sử x1, ..., x k  C là tổ hợp lồi của k điểm. Tức là
k

k

j 1

j 1

x    j x j ,  j  0  j  1,..., k và   j  1 .
Đặt
k 1

   j .
j1

Khi đó 0    1 và
k 1

k 1  j

j 1

j 1

x    j x j  k x k   
k 1  j

Do 

j 1



 1 và



x j  x k k .

j
 0 , j  1,..., k 1 nên theo giả thuyết quy nạp


điểm
k 1  j

y 

j 1



 C.

Ta có

x   y  k x k .
Do

  0, k  0 và
k

  k    j  1
j 1

nên x là một tập hợp lồi của hai điểm y và x k đều thuộc C.
Vậy x  C.
1.2. Tập a-phin
Định nghĩa 1.2. Nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ x, y  C
đều thuộc tập C, tức là

x, y C,     x  (1  ) y C
thì C được gọi là tập a-phin.

4

(1.2)

Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Từ định nghĩa cho thấy tập a-phin là một trường hợp riêng của tập lồi.
Các không gian con, các siêu phẳng vv... là các trường hợp riêng của tập aphin.
Một ví dụ về tập a-phin là siêu phẳng được định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 1.3. Siêu phẳng trong khơng gian

n

là một tập hợp các

điểm có dạng

x 
trong đó a

n

n

| aT x  

là một véc-tơ khác 0 và  



.

Véc-tơ a thường được gọi là véc-tơ pháp tuyến của siêu phẳng.

1.3. Tập lồi đa diện và định lý tách các tập lồi đa diện
Định nghĩa 1.4. Một tập được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giao của
một số hữu hạn các nửa khơng gian đóng.
Quy ƣớc: Giao của một họ rỗng các nửa khơng gian đóng là

n

.

Định nghĩa 1.5. Nửa khơng gian là một tập hợp có dạng

 x | aT x   
trong đó a  0 và  

.

Tập trên là nửa khơng gian đóng.





T
Tập x | a x   là nửa không gian mở.

Nhận xét 1.1.
(i)

n

,  là các tập lồi đa diện.

(ii) Tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một hệ hữu hạn các bất
phương trình tuyến tính. Dạng tường minh của một tập lồi đa diện được cho
như sau:



D : x 

n



|  a j , x  b j , j  1,..., m ,

5

Thang Long University Libraty


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

ở đó a j 

n

, j  1, m , b j  , j  1, m .

Hoặc nếu ký hiệu A là ma trận có m-hàng là các véc tơ

a j với j = 1, ...,

m và véc-tơ bT  (b1 ,..., bm ) , thì hệ trên được viết là:

D : {x 

n

| Ax  b} .

Chú ý rằng, do một phương trình
a, x  b

có thể viết một cách tương đương dưới dạng hai bất phương trình
a, x  b

và
a, x  b

nên tập nghiệm của một hệ hữu hạn các phương trình và bất phương trình
cũng là một tập lồi đa diện.
Định nghĩa 1.6. Cho D1, D2 là hai tập khác rỗng.
(i) Ta nói siêu phẳng H tách D1 và D2 nếu D1 nằm trong nửa khơng
gian đóng xác định bởi H, cịn D2 nằm trong nửa khơng gian đóng kia.
(ii) Ta nói siêu phẳng H tách thực sự D1 và D2 nếu D1 và D2 không
đồng thời thuộc H.
(iii) Ta nói siêu phẳng H tách mạnh D1 và
cho tập D1   B

D2   B

n

n

D2 nếu tồn tại ε >0 sao

nằm trong nửa không gian mở xác định bởi H, cịn

nằm trong nửa khơng gian mở kia, ở đây B

hình cầu đơn vị trong

n

n

 {x | || x ||  1} là

.

Nhận xét 1.2. Giả sử H   x |  a, x    , khi đó H tách mạnh D1 và D2
nếu tồn tại ε >0 sao cho

6


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

D1   B

n

  x |  a, x   

D2   B

n

  x | a, x    .

và

Định lí 1.1. Nếu D1 và D2 là các tập lồi đa diện, khác rỗng, rời nhau
trong không gian Euclid hữu hạn chiều, thì tồn tại siêu phẳng tách mạnh D1
và D2 .
Định lí 1.2. Nếu D1 và D2 là các tập lồi, khác rỗng trong

n

, thì điều

kiện cần và đủ để tồn tại một siêu phẳng tách thực sự D1 và D2 là

riD1  riD2   , ở đó riD ký hiệu cho phần trong tương đối của D.
với C 

Định lí 1.3. (Định lý minimax) Cho hàm f : C  D 

D

n

m

,

là các tập lồi đóng khác rỗng f (u, v) là hàm lồi theo biến u, lõm

theo biến v, xác định và liên tục trên C × D. Nếu một trong hai tập C và D là
compact thì

inf sup f (u, v)  sup inf f (u, v)

vD uC

uC vD

1.4. Bao lồi
Định nghĩa 1.7. Cho P là tập hữu hạn k-điểm trong

n

, giao của tất

cả các tập lồi chứa P được gọi là bao lồi của P. Ta kí hiệu bao lồi của P là
conv(P).



k

k

i 1

i 1



conv (P ) :  i x i / x i  P ,i  0, i  1,..., k ,  i  1 .
Nhận xét 1.3. Bao lồi của tập S là tập lồi nhỏ nhất chứa S. Bao lồi của
một tập hữu hạn điểm P 

n

là một đa diện lồi trong

n

.

Định nghĩa 1.8. Mỗi p  P thỏa mãn p  conv( P \  p) được gọi là một
đỉnh của conv(P).

7

Thang Long University Libraty

Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Định lí 1.4. (Định lí Caratheodory). Nếu dim X=m thì mọi điểm
x  ConvX có thể biểu diễn bằng tổ hợp lồi của không quá m+1 điểm thuộc

X.
Chứng minh: Xét x  ConvX và giả sử tổ hợp lồi
k

k

i 1

i 1

x   i xi ,  i  1, i  0, xi  X .
là tổ hợp lồi có số véctơ k nhỏ nhất có thể được của x .
Ta sẽ chứng minh k  m  1 . Thật vậy, giả sử ngược lại k  m  1, các
vectơ {x1 ,..., xk } khơng thể độc lập affine vì dim X  m , như vậy các véctơ

{x2  x1 ,..., xk  x1} khơng thể độc lập tuyến tính. Tức là, tồn tại bộ
số  2 ,...,  k   0 sao cho
k

  i ( xi  x1 )  0.

i 2
k

Nếu đặt  1     i , ta có
i 2

k

k

i 1

i 1

  i xi  0,   i  0, ( 1 ,...,  k )  0.

Như vậy,

x có thể viết lại như sau
k

k

k

i 1

i 1

i 1

x   i xi   (i  t i ) xi   i (t ) xi .
Rõ ràng, với t đủ nhỏ, biểu thức trên vẫn là tổ hợp lồi của x . Tuy nhiên

nếu ta chọn

i
 i 0 |  |
i

t  min

thì số hệ số dương trong tổ hợp lồi sẽ ít hơn số hệ số dương trong tổ hợp ban
đầu, mâu thuẫn với giả thiết k là nhỏ nhất có thể được.

8


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

k

Lưu ý: chắc chắn tồn tại i,  i  0 vì   i  0, ( 1 ,...,  k )  0 .
i 1

Định lý 1.5. (Định lý Radon) Một tập có ít nhất n  2 điểm
trong

n

có thể chia thành hai tập con có bao lồi giao nhau.

1.5. Hàm lồi và cực trị của hàm lồi
Định nghĩa 1.9. Cho hàm f xác định trên tập lồi D. Hàm f được gọi là

hàm lồi trên D nếu

f   x  1    y    f  x   1    f  y  , x, y  D,    0,1 .

(1.3)

Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên D nếu

f   x  1    y    f  x   1    f  y  , x, y  D,    0,1 .

(1.4)

Hàm f được gọi là hàm lồi mạnh trên D với hệ số   0 nếu


2
f   x  (1   ) y    f ( x)  (1   )f( y)   (1   ) x  y , x, y  D,   (0,1).
2
Bổ đề 1.1. (i). Cho vector a cố định, a

n

(1.5)

nào đó, hàm

2

f (x ) : x  a là lồi mạnh với modun   1 trên tồn khơng gian
.

n

(ii). Cho J là tập chỉ số hữu hạn khác rỗng, X là tập lồi và g j là hàm

lồi mạnh trên X với modun  j với mọi j  J . Khi đó, hàm g  max jJ g j là
lồi mạnh trên X với modun   min j J  j .
Định nghĩa 1.10. Cho f :

n



  là hàm lồi. Vector v được

gọi là dưới gradient của f tại x nếu với mọi y 

n

ta có

v , y  x  f ( y )  f (x ).
Tập dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x và
được kí hiệu bởi f ( x) . Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu

9

Thang Long University Libraty

Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

f ( x)   . f được gọi là khả dưới vi phân nếu nó khả dưới vi phân tại mọi

x domf , với



domf  x 

n



: f (x )   .

Định nghĩa 1.11. Cho X là một tập lồi trong

n

. Điểm x  X được

gọi là điểm cực biên của X nếu không tồn tại y, z  X , y  z sao cho
x  (1  ) y   z với 0    1 .

Khi X là một tập lồi đa diện, điểm cực trị của nó còn được gọi là đỉnh.
Đối với tập hữu hạn điểm P, chúng ta sẽ đề cập đến các bài toán lồi
như là bài tốn tìm bao lồi của P.
1.5.1. Cực tiểu địa phƣơng và cực tiểu toàn cục.
Định nghĩa 1.12. Giả sử f :

C

n

n

 [, ] là hàm số tùy ý và

là tập tùy ý.

0
Điểm x  C  dom f , nếu với mọi x ∈ C ta có   f ( x 0 )  f  x 

thì x0 được gọi là điểm cực tiểu tồn cục của f  x  trên C.
0
Nếu tồn tại lân cận U ( x ) của x0 sao cho   f ( x 0 )  f  x  với
0
mọi x  C  U ( x ) thì x0  C được gọi là điểm cực tiểu địa phương của

f  x  trên C.
Các khái niệm cực đại địa phương và cực đại toàn cục được định nghĩa
tương tự. Đối với hàm tùy ý f trên tập C, ta ký hiệu tập tất cả các điểm cực
tiểu (cực đại) toàn cục của f trên C là ArgminxC f  x  ( ArgmaxxC f  x ) .
Do min{ f  x  : x  C}  max{ f  x  : x  C} nên lý thuyết cực tiểu
(hay cực đại) hàm lồi cũng chính là lý thuyết cực đại (hay cực tiểu) hàm lõm.

10

Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.5.2. Cực tiểu hàm lồi (cực đại hàm lõm)
Định lý 1.6. Cho f :
n

trong

n



là hàm lồi và C là tập lồi, khác rỗng

. Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu

toàn cục. Tập Argminx C f  x  là tập lồi của C.
Từ đây suy ra bất cứ điểm cực đại địa phương nào của một hàm lõm
trên một tập lồi cũng là điểm cực đại toàn cục. Tập tất cả các điểm cực đại
của một hàm lõm trên tập lồi là lồi.
Định lý 1.7. Với mọi hàm lồi chính thường f:
a) Cực đại của f trên một đoạn thẳng bất kỳ đạt tại một đầu mút của
đoạn đó.
b) Nếu f  x  hữu hạn và bị chặn trên trên một nửa đường thẳng thì
cực đại của f trên nửa đường thẳng này đạt tại điểm gốc của nó.
c) Nếu f  x  hữu hạn và bị chặn trên trên một tập a-phin thì f bằng
hằng số trên tập này.
Mệnh đề 1.2. Giả sử f  x  là hàm lồi khả vi liên tục, xác định trên
tập lồi C và giả sử

x0  C . Khi đó,

f ( x 0 )  f  x  x  C (nghĩa là

x0 là

0
0
điểm cực tiểu của hàm f  x  trên C) khi và chỉ khi  f ( x ), x  x   0

với mọi x  C .
Mệnh đề 1.3. Giả sử f :
Điều kiện cần và đủ để

n



là hàm lồi và C là tập lồi trong

n

.

x0  C là điểm cực tiểu của f trên C là
0  f ( x0 )  NC ( x 0 ),

với NC ( x0 )  { p :  p, x  x 0   0, x  C} là nón pháp tuyến trong của C
0

tại x .

11

Thang Long University Libraty


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Hệ quả 1.1. Với các giả thiết như trong Mệnh đề 1.3, điểm trong

x0  C là điểm cực tiểu khi và chỉ khi 0  f ( x0 ).
Mệnh đề 1.4. Giả sử C 

n

là tập Compact  , f : C 

là một

C
hàm liên tục bất kì và f là hàm bao lồi của f trên C. Khi đó, mỗi điểm cực
C
tiểu tồn cục của f trên C cũng là một điểm cực tiểu của f ( x) trên convC.

*

Mệnh đề 1.5. Muốn cho điểm x của tập lồi đóng C là điểm cực tiểu
*
*

của hàm lồi khả vi f  x  trên C, điều kiện cần và đủ là x  p ( y ), trong đó

y*  x*  f ( x* ) và   0 là một số bất kỳ.
1.5.3. Cực tiểu của hàm lồi mạnh
Sau đây ta xét một lớp hàm ln có cực tiểu trên mọi tập đóng khác
rỗng. Hơn nữa, giống như hàm lồi chặt, cực tiểu này là duy nhất nếu tập đó là
lồi.
Định nghĩa 1.13. Hàm f  x  xác định trên tập lồi C 

n

được gọi

là lồi mạnh, nếu tồn tại hằng số   0 đủ nhỏ (hằng số lồi mạnh) sao cho với
mọi x, y  C và mọi   0,1 ta có bất đẳng thức:

f [ x  (1   ) y ]   f ( x)  (1   ) f ( y )   (1   )  || x  y ||2 .

(1.6)

Có thể chứng minh rằng hàm f  x  lồi mạnh khi và chỉ khi hàm

f ( x)   . x

2

là lồi.

Rõ ràng một hàm lồi mạnh thì lồi chặt, nhưng điều ngược lại khơng
chắc đúng (chẳng hạn, hàm e , x 

x

lồi chặt nhưng không lồi mạnh).

Mệnh đề 1.6. Nếu f  x  là hàm lồi mạnh và khả vi trên tập lồi đóng C
thì:

12


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

a) Tồn tại duy nhất điểm

x*  C

sao cho f ( x )  min  f ( x) : x  C.

b) f ( x)  f ( y ), x  y   || x  y ||2 với mọi x, y ∈ C.
0
c) Với bất kỳ x  C tập mức dưới C0   x  C : f ( x)  f ( x0 ) bị chặn.

Mệnh đề 1.7. Giả sử f  x  lồi mạnh trên tập lồi đóng C và x là điểm
0

cực tiểu của f trên C. Khi đó, với mọi x  C ta có

|| x  x 0 ||2 

2



[ f ( x)  f ( x 0 )].

(1.7)

Hơn nữa, nếu f khả vi thì

|| x  x 0 || 

1



|| f ( x) ||

(1.8)

và

0  f ( x)  f ( x0 ) 

1



|| f ( x ) ||2 .

1.5.4. Cực đại hàm lồi (cực tiểu hàm lõm)

Mệnh đề 1.8. Giả sử C 

n

là tập lồi và f : C 

là hàm lồi. Nếu

f  x  đạt cực đại trên C tại điểm trong tương đối x0 của C ( x 0  riC ) thì
f  x  bằng hằng số trên C . Tập ArgmaxxC f  x  là hợp của một số diện
của C .
Mệnh đề 1.9. Giả sử C là tập lồi, đóng và f : C 

là hàm lồi. Nếu

C không chứa đường thẳng nào và f  x  bị chặn trên trên mọi nửa đường

thẳng trong C thì
sup  f ( x) : x  C  sup  f ( x) : x V (C ) ,

13

Thang Long University Libraty


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

trong đó V  C  là tập các điểm cực biên của C , nghĩa là nếu cực đại của

f  x  đạt được trên C thì cực đại cũng đạt được trên V  C  .

Hệ quả 1.2. Hàm lồi thực f  x  trên tập lồi đa diện D, không chứa
đường thẳng nào, hoặc không bị chặn trên trên một cạnh vơ hạn nào đó của
D, hoặc đạt cực đại tại một đỉnh của D.
Hệ quả 1.3. Hàm lồi thực f  x  trên tập lồi compact C đạt cực đại tại
một điểm cực biên của C.
1.6. Bài toán quy hoạch lồi
1.6.1. Bài toán và định nghĩa
Cho D 

n

và f :

n



. Xét bài toán quy hoạch toán học

min{ f  x  : x  D}.

(P)

Bài toán này có nghĩa là hãy tìm một điểm x  D sao cho

f ( x )  f ( x) với mọi x  D .
Mỗi điểm x  D được gọi là một phương án chấp nhận được của bài
toán (P). Tập D được gọi là miền (tập) chấp nhận được, f được gọi là hàm
mục tiêu của bài toán (P). Thông thường, tập D được cho như là tập nghiệm
của một hệ bất đẳng thức hoặc đẳng thức có dạng

D : {x  X :g j  x   0,h i  x   0, j  1,..., m, i  1,..., p},
trong đó   X 

n

và g j ,h i :

n



(1.9)

 j  1,...m, i  1,... p  .

Bài toán (P) với D cho bởi (1.9) gọi là trơn nếu cả hàm mục tiêu và các
ràng buộc đều trơn (khả vi).
Bài tốn (P) có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.
Định nghĩa1.14. Điểm x  D được gọi là lời giải tối ưu địa phương
của bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho

14


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

f (x* )  f  x  , x U  D
và x  D gọi là lời giải tối ưu toàn cục của (P) nếu

f (x* )  f  x  , x  D.
1.6.2. Sự tồn tại nghiệm tối ƣu
Xét bài tốn tối ưu tồn cục (P). Có 4 trường hợp tồn tại nghiệm tối ưu
của bài tốn này
• D = ∅ (khơng có nghiệm).
• f khơng bị chặn dưới trên D(inf f  x   ).
xD
• inf f  x    nhưng giá trị cực tiểu không đạt được trên D.
xD

• Tồn tại x  D sao cho f ( x )  min f ( x).
xD

Định lí 1.8. Để bài tốn (P) tồn tại nghiệm tối ưu tồn cục thì điều kiện
cần và đủ là
F(D) : {t  : f  x   t , x  D}

đóng và bị chặn dưới.
Định lí 1.9. (Weierstrass). Nếu D là tập compact và f nửa liên tục dưới
trên D thì bài tốn (P) có nghiệm tối ưu.
Định lí 1.10. Nếu f nửa liên tục dưới trên D và thỏa mãn điều kiện bức
sau

f  x    khi x  D, x  
thì f có điểm cực tiểu trên D.
1.6.3. Điều kiện tối ƣu
Xét bài toán (P) định nghĩa bởi
Min f(x)
với điều kiện





x  D : x  X : g j ( x)  0, hi ( x)  0, j  1,..., m, i  1,..., k ,

15

Thang Long University Libraty


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

trong đó   X 

n

n

và f , g j , hi :



(j , i ) . Ta gọi bài toán (P) là

bài toán lồi nếu X là tập lồi đóng và các hàm f , g j là lồi, hi là hàm affine.
Định lí 1.11. (Karush-Kuhn-Tucker). Giả sử (P) là bài toán lồi. Nếu x
*



*



là một nghiệm tối ưu của bài tốn (P) thì tồn tại i  0 i  0,1,..., m và





* * *
* *
µ j j  1,..., k khơng đồng thời bằng 0 sao cho L( x ,  , µ )  min L( x,  , µ )
*

xX

(điều kiện đạo hàm triệt tiêu), i* gi ( x* )  0  i  1,.., m  (điều kiện bù).
Hơn nữa, nếu intX =  và điều kiện Slater .

   0 i

x  D : gi x
0

 1,..., m  .

0

được thỏa mãn và các hàm affine hi  i  1,.., k  độc lập tuyến tính trên X thì
0*  0 và các điều kiện đạo hàm triệt tiêu và điều kiện bù là điều kiện đủ để
*

điểm chấp nhận được x là nghiệm tối ưu của bài toán (P).
Chú ý rằng, nếu X là tập mở (hơn nữa X là tồn bộ khơng gian) thì theo
Moreau-Rockafellar, điều kiện đạo hàm triệt tiêu kéo theo
m

k

0  f(x ) +   j g j (x ) +  i hi (x ).
*

*

*

j 1

*

*

i 1

1.7. Toán tử chiếu
Định nghĩa 1.15. Giả sử C   là một tập con của khơng gian

y

n

n

và

là một vectơ bất kì, gọi
dC ( y)  inf x  y .
xC

Ta nói dC ( y) là khoảng cách từ y tới C. Nếu tồn tại PC ( y) C sao cho

dC ( y)  y  PC (y) , thì ta nói PC (y) là hình chiếu của y lên C.

16


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Từ định nghĩa này hình chiếu PC (y) của y trên C là nghiệm của bài
tốn tối ưu
1

min 
xC

2

2

x y .


Nói cách khác, việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm
cực tiểu của hàm x  y

2

trên C.

Mệnh đề 1.10. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian
n

, khi đó với mọi x

n

, hình chiếu PC ( x) của x trên C luôn tồn tại và duy

nhất.
n
Chứng minh: Giả sử x  , y C ta có dC ( x)  y  x , suy ra tồn tại

dãy ( xn )n trong C sao cho

xn  x  dC ( x)   .
Vậy dãy ( xn )n là bị chặn do đó có một dãy con ( xk ) hội tụ yếu đến
n

y . Do C đóng nên y  C vậy

y  x  lim
xk  x  lim
xn  x  dC ( x) .
n
n
n

Chứng tỏ y là hình chiếu của

x

trên C.

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, nếu tồn
tại hai điểm y và z đều là hình chiếu của

x

trên C thì

x  y  NC ( y), x  z  NC (z) .
Tức là,

y  x, z  y  0
và

z  x, y  z  0 .

17

Thang Long University Libraty


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Cộng hai vế của bất đẳng thức này ta suy ra y  z  0 và do đó y  z .
Mệnh đề 1.11. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian
n

, ánh xạ y

PC ( y) khi đó:

(i). PC ( x)  PC (y)  x  y x, y 

n

(tính khơng giãn);

2

(ii). PC ( x)  PC (y)  PC ( x)  PC (y), x  y x, y 
Chứng minh: Theo Mệnh đề 1.10 ánh xạ x

n

(tính đồng bức).

PC ( x) xác định khắp

nơi. Do

z  p( z)  NC ( p( z)) với mọi z.
Nên áp dụng với

z  x và

z  y , ta có

x  p( x), p( y)  p( x)  0;
và

y  p( y), p( x)  p( y)  0.
Cộng hai bất đẳng thức lại ta được

p( y)  p( x), p( y)  p( x)  x  y  0.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz suy ra

p ( x)  p ( y )  x  y .
ii) Để chứng minh tính đồng áp bức áp dụng Mệnh đề 1.11 lần lượt với
p( x) và p( y) ta có:

p( x)  x, p( x)  p( y)  0.
y  p( y), p( x)  p( y)  0.
Cộng hai bất đẳng thức ta được
2

p( x)  p( y)  y  x, p( x)  p( y)  p( x)  p( y), y  x  p( x)  p( y)  0.

18


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chuyển vế ta được
2

p( x)  p( y ), x  y  p( x)  p( y ) .

Tóm lại việc xác định hình chiếu là rất khó, nhưng trong một số trường
hợp chúng ta vẫn có thể xác định được. Ta xét một số trường hợp cụ thể
thường gặp trong các ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.1. Chiếu xuống hình cầu đóng.
Cho C là hình cầu bán kính R tâm A  (a1, a2 ,..., an )T 

n

được định

nghĩa bởi


C :  z  (z1, z 2 ,..., z n )T 

n



Khi đó, hình chiếu y  PC ( x) của

n

|  ( zi  ai )2 
i 1

x

2

.


lên C được xác định như sau

Nếu x  C thì y  x .
Nếu x C thì hình chiếu của
nối

x

x

lên C là giao điểm của đường thẳng

với tâm A của C, kí hiệu là  với mặt cầu

C :  z 

n



2

n

|  ( zi  ai )2 

.


i 1

Ta có

   z  (z1,z 2 ,...,z n ) 

n

| zi  ai  t ( xi  ai ), i  1,...,n, t 

.

Thay zi  ai  t ( xi  ai ) ta được
n

t 2  ( xi  ai )2 

2

i 1

.

Do đó
R

t

1
2 2

.

 n
  ( xi  ai ) 
 i 1


Vì vậy, y có tọa độ như sau

19

Thang Long University Libraty


Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ

yi  ai  t ( xi  ai )  ai 

R
1

2 2

 n

( xi  ai ).

  ( xi  ai ) 
 i 1


Ví dụ 1.2. Chiếu xuống hình hộp chữ nhật
Cho C là một hình hộp được định nghĩa bởi



C : x  ( x1, x2 ,..., xn )T 

n

a  (a1, a2 ,..., an )T , b  (b1,b 2 ,...,b n )T T .
Khi đó, hình chiếu của

x

lên C được xác định như sau:

ai , khi xi  ai
( PC ( x))i   xi , khi xi  ai , bi  .
b , khi x  b
i
i
 i

20



| ai  xi  bi , i  1,2,...,n ,