Chuyên đề Vật lý tại Húc Nghì

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>Cái hay của</b></i>

một bài toán

<b>Phan duy nghĩa</b>

<i>(P. Hiệu trởngTrờng tiểu học Sơn Long,</i>
<i>Hơng Sơn, Hà Tĩnh)</i>

RONG nhiều cuốn sách tham khảo
toán tiểu học có đề cập đến bài toán
sau: <i><b>"Cho hình tam giác ABC.</b></i>
<i><b>Trên AB, BC lần lợt lấy các điểm D, E sao</b></i>
<i><b>cho AB = 3AD; BC = 4BE. Nối A với E, C</b></i>
<i><b>với D. AE cắt CD tại M. Tính t s </b></i>

<i>ME</i>
<i>MA</i>

<i><b>"</b></i>

T

Nghiên cứu kĩ bài toán này các bạn sẽ thấy
có nhiều điều thú vị sau:

Th nhất, bài tốn có nhiều cách giải
Sau đây xin trình bày các cách giải đó:
<b> Cách 1. </b>

Nối B với M. Vì AB = 3AD nên AD =

2
1

BD. Hai tam giác ACD và DCB có đáy AD
và DB, chung chiều cao hạ từ C tới AB nên
SACD = ₂1 SDCB. Mặt khác, hai tam giác này

có chung đáy CD nên từ tỉ số diện tích trên,
ta suy ra tỉ số các chiều cao tơng ng AH =

2
1

BI <i>(1)</i>. Vì BC = 4BE nên BC =

3
4

EC. Hai
tam giác BMC và EMC có đáy BC và EC,
chung chiều cao hạ từ M tới BC nên SBMC =

3
4

SEMC. Mặt khác, hai tam giác này cã

chung đáy MC nên từ tỉ số diện tích ở trên
suy ra tỉ số các chiều cao tơng ứng là: BI =

3
4

EK <i>(2)</i>. Tõ <i>(1)</i>vµ <i>(2)</i>, ta cã: AH =

2
1

BI =

2
1

x

3
4

EK =

3
2

EK. Hai tam giác MAC và
MEC có chung cạnh đáy MC, từ tỉ số các
chiều cao AH =

3
2

EK suy ra SMAC =

3
2

SMEC. Hai tam giác này có chung chiÒu cao

hạ từ C tới AE nên đáy MA =

3
2

ME. VËy
<i>ME</i>

<i>MA</i>
=

3
2

.
<b> C¸ch 2. </b>

Nối B với M ta có: Hai tam giác MBC và
MEC có đáy BC =

3
4

EC vµ cã chung
chiỊu cao h¹ tõ M xng BC, suy ra: SMBC

=

3
4

SMEC. Hai tam giác ACD và CBD có

ỏy AD =

2
1

BD và có chung chiều cao hạ
từ C xuèng AB, suy ra: SACD = 1₂ SBCD.

Hai tam giác ACD và BCD có chung đáy
CD nên chiều cao hạ từ A xuống CD bằng

2
1

chiều cao hạ từ B xuống CD. Hai tam
giác BMC và AMC có chung cạnh MC và
có chiều cao gấp đơi nhau, suy ra: SAMC =

2

1

SBMC. Mặt khác, hai tam giác ACM vµ

MCE cã chung chiỊu cao h¹ tõ C xuèng
AE, suy ra:

MA SAMC SAMC x SBMC

ME SMEC SMEC x SBMC

<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

2
1

x

3
4

=

3
2

. VËy:
<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

.

<b>Cách 3. </b>

Nối B với M <i>(nh hình vÏ)</i>. Ta cã: SACE =

SABE x 3. Vì đáy EC = 3BE. Mà hai hình

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

chiỊu cao h¹ tõ B xuèng AE. SABM = SADM x

3 <i>(1)</i>. V× chóng chung chiỊu cao h¹ tõ M
xuèng AB vµ cã AB = 3AD.

SACM = SABM x 3 <i>(2)</i>. Vì chung đáy AM và

cã chiỊu cao gÊp 3 lÇn nhau. Tõ <i>(1)</i>vµ <i>(2)</i>, ta
cã: SACM = SADM x 9. Coi SADM là 1 phần thì

SACD là 10 phần. Hay: SACD = SADM x 10.

Mà: SACD = 1₃ SABC . Vì đáy AD = ₃1 AB và

cã chung chiÒu cao h¹ tõ C tíi AB. Nªn:
SABC = SADM x 10 x 3 = SADM x 30. Mặt

khác, ta cã: SABM + SACM = SADM x 3 +

SADM x 9 = SADM x 12. Suy ra: SBCM = SADM

x (30 - 12 ) = SADM x 18 vµ SBME = SBCM : 4

= SADM x 18 : 4 = SADM x 4,5.

SABM MA SADM x 3 2

SBME ME SADM x 4,5 3

VËy:
<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

.
C¸ch 4.

Nèi B víi M. LËp luËn nh c¸ch 3, ta cã:
SABM = 3 (phÇn); SABC = 30 (phÇn). Suy ra:

SABE = ₄1 SABC = 15₂ (phÇn). VËy: SBME =

2
15

- 3 =

2
9

(phần). Hai tam giác ABM và
BME có chung chiều cao hạ từ B xuống AE,
nên suy ra tỉ số hai cạnh đáy là:

<i>ME</i>
<i>MA</i>

= 3 :

2
9

=

3
2

.
<b> C¸ch 5. </b>

Nèi B víi M. LËp ln nh c¸ch 3, ta cã: SABC

= 30 (phÇn). SACM = 9 (phÇn).

SAEC = ₄3 SABC = 45₂ (phÇn).

Suy ra: SCME = 45₂ - 9 = 27₂ (phÇn).

Hai tam giác CMA và CME có chung
chiều cao hạ từ C xuống AE, nên suy ra:

<i>ME</i>
<i>MA</i>

= 9 :

2
27

=

3
2

.
<b> C¸ch 6.</b>

Nối E với D. Hai tam giác ACD và ABC có
AD =

3
1

AB và có chung chiều cao hạ từ C
tới AB nên SACD = ₃

1

SABC <i>(1)</i>. Tơng tự với

hai tam giác AED và AEB, ta có: SAED =

3
1

SAEB <i>(2)</i>. Hai tam giác AEB và ABC có

BE =

4
1

BC và có chung chiều cao hạ từ A
tới BC nên SABE = ₄

1

SABC <i>(3)</i>. Từ đây ta

có: SABE = ₃1 SAEC<i>(4)</i>. Tõ <i>(2)</i> vµ <i>(3)</i>, ta cã:

SAED = ₁₂1 SABC <i>(5)</i>. Tõ <i>(2)</i> vµ <i>(4)</i>, ta cã:

SAED = ₉1 SAEC . Hai tam gi¸c AED vµ

AEC có chung đáy AE suy ra tỉ số các
chiều cao DP =

9
1

CQ. Hai tam giác AMD
và ACM có chung cạnh đáy AM, từ tỉ số
các chiều cao ở trên, suy ra: SAMD = ₉1

SACM. Tỉng diƯn tÝch hai tam giác này là

diện tích tam giác ACD và bằng

3
1

SABC

theo <i>(1)</i>. Nªn SAMD = ₃₀1 SABC <i>(6)</i>. Tõ <i>(5)</i>

vµ <i>(6)</i>, ta cã: SAMD = ₃₀

12

SAED = ₅

2

SAED.

Hai tam giác này có chung chiều cao DP,
suy ra tỉ số hai cạnh đáy là MA =

5
2

AE.
VËy:

<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Nèi E víi D. Hai tam giác CBD và CAB có
chung chiều cao hạ từ C xuống AB và có BD
=

3
2

AB, nên suy ra: SCBD =

3
2

SCAB (1). Hai

tam giác DBC và DEC có chung chiều cao
hạ từ D xuống BC và có EC =

4
3

BC, nªn
suy ra: SDEC = ₄3 SDBC (2). Tõ (1) vµ (2), ta

cã: SDEC = ₄3 SDBC = ₄3 x₃2 SCAB = 1₂ SCAB

(3). Mặt khác, ta có: Hai tam giác CAD và
CAB có chung chiều cao hạ từ C xuống AB
và có AD =

3
1

AB, nªn suy ra: SCAD =

3
1

SCAB (4). Tõ (3) vµ (4), ta cã: SDEC = ₂3

SCAD. Hai tam gi¸c DEC và CAD có chung

cạnh CD nên từ tỉ số diện tích trên ta suy ra
tỉ số hai chiều cao là: EH =

2
3

AI. Hai tam
giác AMC và EMC có chung cạnh MC và có
tỉ số chiÒu cao EH =

2
3

AI , nªn suy ra:
SEMC = ₂3SAMC. Hai tam gi¸c nµy cã chung

chiều cao hạ từ C xuống AE nên từ tỉ số diện
tích trên ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy là:

<i>MA</i>
<i>ME</i>
=

2
3

. Hay:
<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

.
<b> C¸ch 8. </b>

Nèi E víi D. LËp ln nh c¸ch 6, ta cã: SAEC

=

4
3

SABC (1). SACM =

30
9

SABC (2). Tõ (1)

vµ (2), ta cã: SAEC = ₄3 x30₉ SACM = ₂5

SACM. Hai tam gi¸c CAE vµ CAM cã

chung chiều cao hạ từ C xuống AE nên từ
tỉ số diện tích ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy
là:

<i>AM</i>
<i>AE</i>

=

2
5

. VËy:
<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

.
C¸ch 9.

Nèi E víi D. LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã:
SAEC = ₄3 SABC (1).

SDEC = ₄3 SBCD = ₄3 x₃2 SCAB = ₂1 SCAB

(2). Tõ (1) vµ (2), ta cã: SAEC = ₂3 SDEC .

MỈt kh¸c, ta cã: SEDM = ₉1SEMC. Suy ra:

SDEC = ₉

10

SEMC. Ta cã:

AE SCAE SCAE x SEDC

ME SEMC SEMC x SEDC

=

2
3

x

9
10

=

3
5

. VËy:

<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

.
C¸ch 10.

Nèi E víi D. LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã:
SAEC = ₄3 SABC. SACD = ₃1 SABC. Suy ra:

SAEC = ₄

9

SACD. Mặt khác, ta có: SCAM =

9SDAM. Suy ra: SACD = 10₉ SCAM. Ta cã:

AE SAEC SAEC x SACD

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

=

4
9

x

9
10

=

2
5

. VËy:
<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

.
<b> C¸ch 11.</b>

Nèi E víi D. LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã:
SAMD = ₉1SACM. Suy ra: SAMD = ₁₀1 SCAD.

SCAD = ₃

1

SABC ; SEAD = ₁₂

1

SABC. Suy ra:

SCAD = 4 SEAD. Ta cã:

MA SAMD SAMD x SCAD

AE SEAD SEAD x SCAD

=

10
1

x 4 =

5
2

. VËy:
<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

.

<b> C¸ch 12.</b>

Nèi E víi D. LËp luËn nh c¸ch 6, ta cã: SEDM

=

9
1

SEMC. Suy ra: SEDM =

10
1

SDEC.

SDEC = ₂

1

SCAB; SDAE = ₁₂

1

SABC. Suy ra:

SDEC = 6SDAE. Ta cã:

ME SEDM SEDM x SDEC

AE SDAE SDAE x SDEC

=

10
1

x 6 =

5
3

. VËy:
<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

.
C¸ch 13 .

Kẻ ER song song với DC. Nối R với C, nối
E với D. Hai tam giác RCE và RDE có
chung cạnh đáy RE, các chiều cao hạ từ D
và C bằng nhau (do RE song song với DC)
nên SRCE = SRDE <i>(1)</i>. Hai tam giác BRE và

BRC cã BE =

4
1

BC vµ cã chung chiỊu cao
hạ từ R tới BC nên SBRE = ₄1 SBRC. Do <i>(1)</i>

nên SBRC = SBED do đó SBRE = ₄1 SBED. Hai

tam giác này có đáy cùng nằm trên cạnh
AB và chung chiều cao hạ từ E tới AB, suy
ra BR =

4
1

BD. Mặt khác: AB = 3AD nên
nếu chia AB ra 6 phần bằng nhau thì AD là
2 phần và BD là 4 phần. Vậy BR là 1 phần
và RD là 3 phần, AR là 5 phần. Hai tam
giác MAD và MAR có chung chiều cao hạ
từ M tới AR và có AD =

5
2

AR nên SMDA =

5

2

SMAR. Nèi R víi M, do DM song song

víi RE nªn SMDR = SDME. Suy ra: SMAR =

SADE. VËy: SMDA = ₅2 SADE.

LËp luËn nh trên ta có:
<i>ME</i>
<i>MA</i>

=

3
2

.
<b>Cách 14.</b>

Nối B với M, D víi E <i>(nh h×nh vÏ)</i>. LËp
ln nh c¸ch 3, ta cã: SABC = 30 (phần).

SABE = 1₄ SABC = 15₂ (phần). Hai tam giác

EAD và EAB có chung chiều cao hạ từ E
xuống AB và có AD =

3
1

AB, nên suy ra:
SEAD = ₃1SEAB = ₂5 (phÇn).

VËy: SDME = ₂5 - 1 = ₂3 (phÇn). Hai tam

giác DAM và DME có chung chiều cao hạ
từ D xuống AE nên ta suy ra tỉ số hai cạnh
đáy là:

<i>ME</i>
<i>MA</i>

= 1 :

2
3

=

3
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

 <b>Thø hai, bµi toán vừa giải ở trên là một</b>
trờng hợp của bài toán tổng quát sau: <i><b>"Trên</b></i>
<i><b>các cạnh AC và AB của hình tam giác ABC</b></i>
<i><b>lấy các điểm M và N. Nối B với M, C với N.</b></i>
<i><b>BM và CN cắt nhau t¹i O.</b></i>

<i><b> H·y tÝnh </b></i>

<i>OM</i>
<i>OB</i>

<i><b> nÕu biÕt </b></i>

<i>AN</i>
<i>BN</i>

=

<i>m</i>

<i><b> và</b></i>

<i>AM</i>
<i>CM</i>

=

<i>n </i>

<i><b>".</b></i>

<i>Giải:</i>

Nối A với O ta cã: Hai tam giác AOC và
MOC có chung chiều cao hạ từ C xuống AC
nên suy ra:

SAOC AC AM + MC

SMOC MC MC

= 1 +
<i>MC</i>

<i>AM</i>

= 1 +
<i>n</i>

1

.

Hai tam giác BNC và ANC có chung chiều
cao hạ từ C xuống AB và có

<i>AN</i>
<i>BN</i>

= m nªn
suy ra : SBNC = m x SANC. Hai tam gi¸c BNC

và ANC có chung đáy NC nên từ tỉ số diện
tích trên suy ra chiều cao hạ từ B tới NC
bằng m lần chiều cao hạ từ A tới NC. Hai
tam giác BOC và AOC có chung cạnh OC và
có tỉ số chiều cao bằng m nên suy ra: SBOC =

<i>m x S</i>

AOC. Hai tam giác BOC và MOC có

chung chiều cao hạ tõ C xuèng BM nªn suy
ra:

OB SBOC SBOC x SAOC

OM SMOC SMOC x SAOC

OB SBOC SAOC

OM SAOC SMOC

VËy:
<i>OM</i>

<i>OB</i>

= m x (1 +
<i>n</i>

1

)

<b> - Nh vậy bài toán đã giải ở trên là một </b>
tr-ờng hợp của bài toán tổng quát khi m = 1₂
và n = 3.

- Đặc biệt nếu m = n = 1 th×
<i>OM</i>

<i>OB</i>

= 2.
Đây là một trong những tính chất của ba

đ-ờng trung tuyến trong tam giác.

<b>Th ba, qua bài toán tổng quát trên ta</b>
thấy đợc mối quan hệ giữa các tỉ số

<i>AN</i>
<i>BN</i>
,
<i>AM</i>

<i>CM</i>

víi tØ sè
<i>OM</i>

<i>OB</i>

. Sâu sắc hơn nữa là
nếu biết 2 trong 3 tỉ số này, ta s tớnh c t
s cũn li.

Chẳng hạn xét bài toán sau: <i><b>" Cho hình</b></i>
<i><b>tam giác ABC. E là trung điểm của cạnh</b></i>
<i><b>BC. Nối AE. I là trung điểm của AE. Kẻ</b></i>
<i><b>CI kéo dài cắt AB tại M, kẻ BI kéo dài cắt</b></i>
<i><b>AC tại N.</b></i>

<i><b>Tính các tỉ số: </b></i>

<i>MB</i>

<i>AM</i>

<i>; </i>

<i>IC</i>
<i>IM</i>

<i>; </i>

<i>NC</i>
<i>AN</i>

<i>; </i>

<i>IB</i>
<i>IN</i>

<i><b> ".</b></i>
<i>Gi¶i:</i>

Hai tam giác ABE và AEC có chung chiều
cao hạ từ A xuống BC và có BE = EC nên
suy ra: SABE = SAEC = ₂1 SABC. Hai tam

gi¸c CAI và CIE có chung chiều cao hạ từ
C xuống AE và có AI = IE nên suy ra: SCAI

= SCIE = 1₂ SAEC = 1₄ SABC. T¬ng tù, ta cã:

SIBE = SIEC; SBAI = SBIE. Coi SIBE = 1 (đvdt)

thì SIBE = SIEC = SCAI = SBAI = 1 (đvdt) và

SBIC = 2 (đvdt). Vì SBIC = 2 (đvdt); SCAI = 1

(đvdt) nên suy ra: chiều cao hạ từ B xuống
CM gấp 2 lần chiều cao hạ từ A xuèng CM
hay SBIM = SIAM x 2.

Suy ra: SIAM = 1 : (1 + 2) = ₃1(®vdt); SBIM

=

3
2

(đvdt). Tơng tự ta tính đợc: SIAN =

3
1

(®vdt); SINC = ₃2(®vdt). VËy:

<i>MB</i>
<i>AM</i>

= SIAM : SBIM =

3
1

:

3
2

=

2
1

.

<i>IC</i>
<i>IM</i>

= SIAM : SCAI =

3
1

: 1 =

3
1

.

<i>NC</i>
<i>AN</i>

= SIAN : SINC =

3
1

:

3
2

=

2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>IB</i>
<i>IN</i>

= SIAN : SBAI =

3
1

: 1 =

3
1

.

 <b>Thứ t, thay đổi cách phát biểu bài tốn đã</b>
cho ta có bài toỏn mi sau:

<i><b>"Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB</b></i>
<i><b>lấy điểm M sao cho AB = 3AM và trên</b></i>
<i><b>cạnh AC lấy điểm N sao cho NA = </b></i>

3
2

<i><b>NC.</b></i>
<i><b>Đờng thẳng MN cắt cạnh BC kéo dài tại</b></i>
<i><b>điểm K. Tính tỉ số: </b></i>

<i>CK</i>
<i>BC</i>

<i><b> ".</b></i>

Các bạn tự giải bài toán trên nhé.

Chắc chắn cịn nhiều điều thú vị xung
quanh bài tốn ó nờu.

Các bạn hÃy cùng tiếp tục suy nghĩ nhÐ.

<i><b>Phan duy nghÜa</b></i>

</div>

<!--links-->