mét sè vên ®ò cçn biõt thªm vò c¨n bëc hai chóng ta ® biõt r»ng trong ch¬ng i cña phçn §¹i sè 9 víi tiªu ®ò lµ c¨n bëc hai c¨n bëc ba th× kiõn thøc còng nh kü n¨ng c¬ b¶n cña nã chýnh lµ vën dông §

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (362.64 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

một số vấn đề cần biết thêm về Căn bậc hai.
Chúng ta đã biết rằng: Trong chơng I của phần Đại Số 9 với tiêu đề là căn bậc hai
- Căn bậc ba, thì kiến thức cũng nh kĩ năng cơ bản của nó chính là vận dụng ĐN, HĐT
và các phép biến đổi của căn thức vào việc giải các bài tập tính tốn và thu gọn (Các
công thức biến đổi căn bậc hai đợc nhắc lại ở cuối chun đề). Song có khơng ít các bài
tập trong chơng trình, đặc biệt là các bài tập dành cho các em HS khá giỏi thì việc thực
hiện vận dụng trực tiếp các kiến thức đó sẽ dẫn đến một lời giải rờm rà, không ngắn gọn
và thậm chí khơng giải đợc. Sau đây là một số dạng tốn đó và kèm theo là cách giải
quyết loạt bài tập nh vậy.

d¹ng 1

Vận dụng "hệ thức Viét" để đa biểu thức có dạng S2 P về dạng



a b



2

(Biểu thức S2 P đa đợc về dạng



a b



2 nếu S và P l tng v tớch ca hai
s))

Chúng ta bắt đầu với các căn thức có dạng S2 P . Việc đa căn thức này về dạng

a b

2 chỉ dễ dạng thực hiện đợc nếu nh các số a và b là không quá lớn và dễ

nhẩm. Tuy nhiên việc tìm hai số a và b trong nhiều trờng hợp là một vấn đề không đơn
giản.

XÐt bài toán: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A5 48 10 7 4 3  b) B 66536 192 14168

Biểu thức A tuy có nhiều dấu căn nhng khá đơn giản cho HS khi thực hiện rút gọn
căn thức từ trong ra ngồi, ở biểu thức B thì tuy có ít dấu căn nhng việc đa biểu thức
66536 192 14168 về dạng bình phơng của một tổng (hay bình phơng của một hiệu) thì

đúng là một việc khó làm!

Trở lại bài toán ban đầu đã đặt ra là đa biểu thức có dạng S2 P về dạng



a b



2
Ta có: S2 P 



a b



2  S2 P



a b



2  S2 P(a b ) 2 ab

Từ đó thấy rằng có thể coi S = (a + b) còn P = ab

Trên cơng vị là một ngời giáo viên thì chúng ta đều biết rằng nếu hai số a và b có tổng
bằng S và tích bằng P thì hai số a và b là nghiệm của phơng trình bậc hai: x2 - Sx + P = 0
(Theo hệ thức Viét). Do vậy để đa biểu thức có dạng S2 P về dạng



a b



2 ta
làm theo các bớc sau:

 Bớc 1: Viết căn thức đã cho về dạng S2 P (chú ý phải có số 2 đứng trớc P)
 Bớc 2: Lập phơng trình x2 - Sx + P = 0 rồi giải tìm đợc hai nghiệm x

1 = a và x2= b
 Bớc 3: Biến đổi và rút gọn căn thức S2 P = 2

( a b)  a b

Chóng ta h·y cïng minh ho¹ b»ng mét viƯc rót gän mét số biểu thức sau đây:

Ví dụ 1) M = 10 2 21

Bớc 1: Căn thức đã cho đã có dạng S2 P với S = 10 và P = 21

Bớc 2: Có thể nhẩm nhanh đợc ngay hai số 3 và 7 có tổng bằng 10 và tích bằng 21
Bớc 3: Khi đó M = 10 2 21 ( 7 3)2 7 3

    

Chó ý: Trong thực hành ta chỉ cần trình bầy bớc 3

Ví dô 2) N = 53 4 90

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bớc 2: Phơng trình x2 - 53x + 360 = 0 cã hai nghiƯm x

1 = 45 vµ x2 = 8

Bớc 3: Khi đó N = 53 4 90 53 2 360 ( 45 8)2 45 8 3 5 2 2

        

VÝ dô 3) Q = 65 2 984

Thực hiện tơng tự trên ta có đợc: Q = 65 2 984 ( 41 24)2 41 24 41 2 6

      

VÝ dô 4) K = 66536 192 14168  66536 2 130572288 (lµm xt hiƯn sè "2")

( 64512 2024) 64512 2024 96 7 2 506

     

Bài tập đề nghị: Rút gọn các căn thức sau:

1) 20 2 96 2) 110 2 1261
3) 65 2 984 4) 4,932 18, 204
5) 13 160 53 4 90 6) 15 6 6 35 12 6
7) 2 2 5 13 48 8) 6 2 2 12 18 128

 

 

     

      

9) 40 2 57  40 2 57 10) 8 2 10 2 5   8 2 10 2 5 

11) 6 2 2 3  2 12 18 128 12) 15 216  33 12 6
13) 4 10 2 5  4 10 2 5 14) 14 8 3  24 12 3
15) 4 5 3 5 48 10 7 4 3   16) 2 2 21 4 11 6 2

17) 13 30 2  9 4 2  5 3 2

dạng 2

phơng pháp tính gián tiếp giá trị cđa mét biĨu thøc

Đối với một số bài tốn rút gọn biểu thức số có chứa căn bậc hai thì việc đ a biểu
thức trong dấu căn về dạng bình phơng của một tổng hoặc một hiệu là khơng thể (hoặc
nếu đa đợc về dạng bình phơng của một tổng hoặc một hiệu thì lời giải khá phức tạp,
đơi khi dài dịng mất nhiều thời gian). Khi đó có thể lựa chọn phơng pháp tính gí trị của
biểu thức đó một cách gián tiếp. Chúng ta sẽ đi tìm hiểu qua một số ví dụ điển hình sau

đây:

VÝ dơ 1) TÝnh A = 3 5  7 3 5  2

Nhận xét: Ta nhận thấy biểu thức 3 5 và 7 3 5 đều không thể đa đợc về dạng

( a b) và nh vậy không thể rút gọn đợc biểu thức A bằng cách rút gọn mỗi biểu thức
thành phần của A

Để ý rằng nếu: gấp đôi biểu thức 3 5đợc 6 2 5 ( 5 1)   2

gấp đôi biểu thức 7 3 5 đợc 7 3 5 14 6 5 (3     5)2

Và khi đó ta có lời giải của Ví dụ 1 nh sau:





2 2

2. 2 3 5 7 3 5 2 6 2 5 14 6 5 2
( 5 1) (3 5) 2 5 1 3 5 2 4
A         

          

VËy A = 4 : 2 2 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy biĨu thøc B cã thĨ rót gọn bằng cách nhân hai vế của (2)

với 2 (tơng tự cách giải của Ví dụ 1). Tuy nhiên ta thấy rằng 2 3 và 2 3là các

biu thc liên hợp của nhau, tích của chúng có giá trị bằng 1. Do đó ta nghĩ tới việc có
thể lập tích 2 3. 2 3 bằng cách xét luỹ thừa bậc hai của biểu thức B. Ta có lời giải
cho Ví dụ 2 nh sau:

Ta cã: B2 =





2 3 2 3  2 3 2  3 2 (2  3)(2 3) 4 2 6  

Do 2 3 2 3 > 0 nªn B > 0. VËy B = 6

 KL1: Nh vậy khi thực hiện thu gọn biểu thức A ta có thể tính kA (việc xác định hệ 
số k tuỳ thuộc vào hạng tử trong căn) hoặc luỹ thừa của A (việc xác định bậc của 
luỹ thừa tuỳ thuộc vào bậc của căn thức)

Chúng ta tiếp tục thấy đợc sự "lợi hại" của phơng pháp luỹ thừa của biểu thức cần
thu gọn qua các ví dụ sau:

VÝ dơ 3. TÝnh C = 32 10 1 3 2 10 3

3 3 9

  

§Ĩ ý thÊy 2 10 3 2 10 1

9 3 3

   do đó 2 10 1

3 3

 vµ 2 10 3
9

 lµ hai biĨu thức liên hợp của
nhau.

C3 =

3
3 2 10 1 3 2 10 1

3 3 3 3

 

    

 

 

3 3

3 2 10 1 32 10 1 3 3 2 10 1 32 10 1 32 10 1 32 10 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

         

                 

         

         

(VËn dơng H§T: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b))

C3 = 2 10 1 2 10 1 33 2 10 1 2 10 1 .

3 3 3 3 3 3 3 3

   

         

   

   

C (Thay 3 2 10 1 3 2 10 3

3 3 9

   =

C)

C3=4 3 43 100. 4 6.

  C =  C

Suy ra: C3 - 6C - 4 = 0  (C + 2).(C2- 2C - 2) = 0. Do C > 0 nên C + 2  0. 
Do đó ta có C2 - 2C - 2 = 0.

Tìm đợc C1 = 1+ 3 (Thoả mãn C > 0); C2 = 1 - 3 (Loại, không thoả mãn C > 0)

VËy C = 1+ 3

VÝ dô 4. TÝnh D = 4 10 2 5  4 10 2 5 (3)

Ta cã: D2 =

4 10 2 5 4 10 2 5

 

    

 

 

= 4 10 2 5 4   10 2 5 2 (4   10 2 5 )(4  10 2 5 )

2 2

8 2 16 (10 2 5) 8 2 6 2 5 8 2 ( 5 1) 8 2( 5 1) 6 2 5 ( 5 1)

                

Do 4 10 2 5  4 10 2 5  4 10 2 5  4 10 2 5  D < 0. VËy C = 1 5

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Đặt E1 = 3 5 2 3  3 5 2 3 . Tính (E1)2 rồi tìm đợc E1 = 3 1

Đặt E2 = 3 5 2 3  3 5 2 3 . Tính (E2)2 rồi tìm đợc E2 = 1 3

Do vËy E = E1 + E2 = 2

VÝ dô 6. TÝnh G = 5 17 2 7  5 17 2 7 7

Đặt G1= 5 17 2 7  5 17 2 7

Bằng phơng pháp luỹ thừa bậc hai biểu thức G1 ta tìm đợc G1 = 7 1 . Do vậy G = 1

 KL2: Nh vËy khi thùc hiƯn thu gän biĨu thøc A = B + C ta có thể tính gián tiếp B 
hoặc C hoặc cả B và C

Bi tp ngh:

Bài 1: Rút gọn các căn thức sau:

1) 2 3



5 2



2) 3 5  3 5

3) 3 5 17 2 5 6

    4

8 2 10 2 5   8 2 10 2 5   2 10

5) 6 18 2 17  6 18 2 17  6 18 2 17  6 18 2 17

6) 2 3 2 3

2 3 2 3

 



 

15
4

4
1




Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

1. A = 3 20 14 2 320 14 2

   2. B = 3 2 5 3 2 5

3. C =

3 3

26 675 26 675
26 675 26 675

 



 

4. D = 3 6 3 10 3 6 3 10

  

5. E = 3 5 2 13 35 2 13

   6. F = 3 45 29 2 345 29 2

7. G = 32 10 1 32 10 1

27 27

   8. H = 34 5 31 3 4 5 31

3 3 3 3

  

Bµi 3. Cho a 3 5. 3



 5

 

10 2

. CMR a là số tự nhiên.

Bài 4. CMR: 4 49 20 6 4 49 20 6 3
2

  


HD: Ta cã: 49 20 6 (5 24)2 ( 3 2)4

     . Suy ra: 4 49 20 6 3 2

   .

Tơng tự nh vậy, ta có: . Từ đó ta có PCM

dạng 3

tính giá trị của biểu thức KHI BIếT GIá TRị MộT biểu
thức LIÊN HợP CủA Nó

Ví dụ 1. Cho A = 16 2 2 9 2 2 1







 x x x x . Tính B = 16 2 x x 2  9 2 x x 2 .
Nhận xét: Ta nhận thấy A và B là hai biểu thức liên hợp của nhau. Tích của chúng bằng
7, là một số khơng đổi. Do đó ta có thể lập tích A.B từ đó có cách giải cho bài tốn này
Giải: Ta có A.B =( 16 2x x2 9 2x x2)( 16 2x x2 9 2x x2)

         

 1. B = (16 2x x2) (9 2x x2) 7

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Mét sè Bµi tËp cïng d¹ng VÝ dơ 1

1.Cho 2 2

25 x  15 x 2. TÝnh 25 x 2  15 x 2

2.Cho 2   2  

x 6x 13 x 6x 10 1. TÝnh x2  6x 13  x2  6x10

3. TÝnh M x2 4x 9 x2 4x 8

      . BiÕt x2 4x 9  x2 4x 8 12.

4. Tỉng qu¸t 1: Cho M A(x) a  A(x) b = c. TÝnh N A(x) a  A(x) b

5. Tỉng qu¸t 2: Cho M A(x) a  A(x) b = c. TÝnh N A(x) a  A(x) b

Chú ý: A(x) a 0; A(x) b 0  nên A(x) a  A(x) b ≥ A(x) a  A(x) b . 
Hay M ≥ N  khi lập đề toán tơng tự cần chú ý đến ĐK : c ≥a b

c


 c2 ≥ a - b để

bài tốn có tồn tại. Đây là một điểm mà một số GV không để ý đến vì vậy thờng chỉ 
lập ra đợc đề tốn và giải đợc nó tuy nhiên khơng để ý đến tính logíc của bài Tốn. 
Ví dụ sau đây là một câu trong đề thi HSG của một số năm.

TÝnh M x2 4x 9 x2 4x 8

      . BiÕt N = x2 4x 9 x2 4x 8 1
2

      . (?!!!)

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức S x 1 y2 y 1 x2





 víi xy (1x2)(1y2)a

HD: TÝnh a2 - 1 = 2 2 2 2 2 2

(1 )(1 ) 2 (1 )(1 )

x y  x y  xy x y - 1

VÝ dô 3. Cho 2 2

(x x 1).(y y 1) 1 . Tìm giá trị của biểu thức Ax2007 y2007

Đây là một dạng bài tập gặp khá nhiều trong các lần thi chọn HSG huyên hay
tỉnh, đôi khi là trong các kì thi vào THPT

Gi¶i: Tõ 2 2

(x x 1).(y y 1) 1          

 
 

2 2

y 1 y

x x 1 y 1 y

y 1 y

(1)

Vµ         

 
 

2 2

1 x 1 x

y y 1 x 1 x

x 1 x

(2)

Tõ (1) vµ (2) 



x x21

 

 x2 1 x

 

 y2 1 y

 

 y2 1 y



2x = -2y  x = -y x2007 = (-y)2007 = -y2007
VËy 2007 2007

Ax y =  y2007 y2007= 0

Tỉng qu¸t VD3: Cho (A A2 a ).(B B2a ) a . T×m GT cđa b't': MA2 k 1 B2 k 1
dạng 4

một số phơng pháp so s¸nh hai biĨu thøc chøa Cbh
1. ¸p dơng tÝnh chÊt ab a bvíi a ; b ≥ 0

VÝ dụ 1.1: So sánh 3 và 11

Vì 9 < 11 nªn 9  11. VËy 3 < 11
VÝ dơ 1.2: So sánh 2

35 và

3
36

Vì 2.36= 72 < 35.3 = 105 nªn 2 3

35  36 . Vậy

2
35 <

3
36
2. Đa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta có 2 3  12; 3 2  18 .V× 12 < 18 nên 2 3 < 3 2
3. Bình phơng mõi sè råi so s¸nh

VÝ dơ 3.1: So s¸nh 2 3 vµ 3 2

Ta cã(2 3)2 12; (3 2)2 18

 .Vì 12 < 18 nên (2 3)2 (3 2)2.Vậy 2 3<3 2
VÝ dơ 3.2: So s¸nh 5  3 vµ 6  2

Ta cã ( 5 3)2 = 8 + 2 15 ; ( 6 2

 )2 = 8 + 2 12

V× 15 > 12 nªn 8 + 2 15> 8 + 2 12 .VËy 5 3 > 6  2

(Chó ý: ë VÝ dô 3.2 cã 5 + 3 = 6 + 2 nên dùng pp bình phơng hai số)

4. ¸p dơng tÝnh chÊt a  bvµ c  d  a c  b d víi a;b;c;d ≥ 0

(phơng pháp cộng vế với vế của các bất đẳng thức cùng chiều)
Ví dụ 4: So sánh 4 5 3 2 và 2 7 2 3

Ta cã 4 5 3 2  80  18 ; 2 7 2 3  28 12

V× 80  28; 18  12 , nªn 80  18  28  12

VËy 4 5 3 2 > 2 7 2 3

Chú ý: Phơng pháp này không đợc dùng để trừ các BĐT cùng chiều

5. áp dụng tính chất a  bvà c d  a c b d với a;b;c;d ≥ 0
(phơng pháp trừ vế với vế của các bất đẳng thức ng ợc chiều )
Ví dụ 5: So sánh 2 5 2 2 và 3 2 3

Ta cã 2 5 2 2  20  8;3 2 3  18  9

V× 20  18; 8  9 , nªn 20  8  18  9

VËy 2 5 2 2 > 3 2 3

6. áp dụng tính chất bắc cầu: a b vµ b c  a  c víi a;b;c ≥ 0
VÝ dơ 6: So s¸nh 65 1 vµ 15  8

Ta có: 65 1 > 64 1 8 1 7    ; 15  8  16  9   4 3 7
Dó đó 65 1 > 7 > 15  8. Vậy 65 1 > 15 8

7. §a về hai phân số cùng tử có mẫu dơng (hoặc cïng mÉu…) råi so s¸nh:
VÝ dơ 7: So s¸nh 2010  2008 vµ 2009 2007

Ta cã: 2010 2008 ( 2010 2008)( 2010 2008) 2

2010 2008 2010 2008

 

  

 

( 2009 2007)( 2009 2007) 2
2009 2007

2009 2007 2009 2007

 

  

 

Do 2010  2008  2009  2007 > 0 nªn 2 2

2010 2008  2009 2007 .
VËy 2010  2008 < 2009 2007

(Chó ý: 2010 - 2009 = 2009 - 2007 = 2)

8. Giả sử và biến đổi tơng đơng:
Đề bài: So sánh a và b

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nếu c  d là Đ thì a> b là Đ; Nếu c  d là S thì a > blà S, khi đó a b

Cách 2: Giả sử a < b. c  d

Nếu c  d là Đ thì a < b là Đ; Nếu c  dlà sai thì a < bsai, khi đó a≥ b
Chú ý: Phơng pháp này dùng thích hợp cho trờng hợp a  b

VÝ dơ 8.1: So s¸nh 8 3 và 7 2

Ta giả sö 8  3 ≥ 7  2(*)

2 2

8 2 3 7 ( 8 2) ( 3 7)

       

10 2 16 10 2 21 2 16 2 21 (**)

    

BĐT (**) sai nên BĐT (*) sai, vậy ta có 8  3 < 7  2

Bài tập đề ngh.

Bài 1: So sánh

1) 4 và 20 11) 3 5 2 7 vµ 2 10 3 3 21) 4 7 4 7 2 và số 0
2) 7 2 vµ 1 12) 8  5 vµ 7  6 22) 4 7  4 7 và 2

3) vµ 5 3 13) 2005 2007 vµ 2 2006 23) a b ; a b (a > b > 0)
4) 2 33 vµ 3 23 14) 2000 1999

 vµ 2001 2000 24) a b ; a b (a > b > 0)
5) 7 15 và 7 15) 2009 2008 vµ 2011 2010 25) x 1 x ; x x1 (x  1)

6) 3 ; 5 8 16) 3 2 và 2 3 26) n  n 2 và 2 n+1
7) 33 vµ 3 1333 17)

2005 2002 vµ 2007 2004
8) 17  5 1 và 45 18) a 3 3 3 và b=2 2 1  
9) 5

222 vµ
3
111

19) 2000 1999; 2001 2000

10) 23 2 19 và 27
3

 20) 1 8

2 vµ

3 30)

5 1
2 5 v

Bài 2

a*) So sánh S 1 1 .... 1 ... 1

1.1998 2.1997 k.(1998 k 1) 1.(1998 1)

     

   vµ

1998
2.

1999

HD câu a: Từ BĐT: a b 2 ab với a,b không âm 1 2
2

a b
ab

 



b) Cho A = 9 + 3 7 và B = 9 - 3 7. Hãy so sánh A + B v A. B

Bài 3. Chứng minh các BĐT sau:

1) 2002 2003 2002 2003

2003  2002  

2) Chøng minh r»ng 2000 2 2001  2002 0
3) 211 312 413 ... ( 11) 2








n
n

HD 






































 1

1
1

1
1
1
1

1
1
)

1
(
)

1
(

k
k
k

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>




















1
1
1
2
2
1
1
1
k
k
k
k
k
k
4)
20
29
3
2
2
3

2
3
2
2
3
2
5
7










5)  1 1 1 1 1 1







 n n n n n

n (với mọi giá trị dơng của n)

T ú tính tổng:

100
99
99
100
1
...
4
3
3
4
1
3
2
2
3
1
2
2
1










S
6) a)
100

2 2 ...  2 2  2

dấu căn

b) 6 6 6 6  30 30 30 30 9

7) a 2



 a



1;  a 0 8) 3 4x 4x12 Víi mäi x t/m·n:

4
3
4
1



x
9(*).



a2 b2 a



a2 b2 b



a b a2 b2

  

     ( Víi a, b là hai số dơng)

10) 4 2

y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x

với x0;y0;xy
11)
1
2
1
.
1
2
1
2

2

a
a
a
a
a
a
a
a

(a > 0& a  1) 12) 1 1 1 ... 1 n

2 3 n

    

13) 2 n 1 2 n 1 2 n 2 n 1
n

      .Từ đó suy ra 2004 1 1 1 ... 1 2005
2 3 1006009

     

Bµi 4: Cho a; b; c 0 Chøng minh r»ng:
1.

2
a b

ab


 (Bất đẳng thức Côsi) 2. a b c   ab  bc ca

3. 1

a b   a b 4. a b 2

b a  (a > 0; b > 0)
dạng 5

một số bài toán mang tính chất của dÃy sè cã quy lt
Bµi 1: Cho biĨu thøc : Sk 



21

 

k  2  1 ; k



k  *

a) Chøng minh r»ng S 2009 .S2010 - S4019 = 2 2 (nN ; n 2 )
b) S m + n + Sm -n = Sm .S n (m,n*;m n)

HD: a) Đặt a = 21 và b = 2 1thì a.b = 1 vµ a+ b=2 2
S 2009 .S2010 - S4019 = (a2009 + b2009)( a2010 + b2010) -(a4019 + b4019)

= a4019 + b4019 + a2009 .b2010 + a2010 .b2009 - a4019 - b4019

= a2009 .b2010 + a2010 .b2009 = (a.b)2009.( a2 +b2) =12009.(a+b) = 2
2
b) S m + n +Sm -n = am+n + bm+n + am-n + bm-n = am+n + bm+n+ anbn.( am-n + bm-n) (Do anbn =1)

= am+n + bm+n+ ambn+ anbn = (am + bm)( an+ bn) = S
m .S n

Chó ý: Cịng tõ c©u b ta suy ra S 2009 .S2010 =S4019 +S1  S 2009 .S2010 - S4019 = S1 = 2 2

Bµi 2: Cho biĨu thøc : Sn 



5 4

 

n  5 4



a) TÝnh S 2 b) Chøng minh r»ng S 2n = S2n- 2 (nN ; n 2)
HD: a) =



5 4

 

2  5 4



2  9 2 20 9 2 2018

b) Đặt a = 5 4và b = 5 4 th× a.b = 1
Ta cã 2

S - 2 = (an + bn )2 - 2 = a2n + b2n +2anbn -2 = a2n + b2n +2(ab)n -2 = a2n + b2n = S
2n

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Đặt An = x1n + x2n + x3n . Chứng minh rằng An là số nguyên với (với mäi n  *)

(Trích đề thi HSG Tỉnh HY năm học 2009 - 2010)
HD: Giải PT (1) tìm đợc x1 = 1; x2;3 = 2 5

Ta cã An = 





 

 



n n

1 2 5 2 5 . Đặt Bn =



n n

2 5 2 5 .

Ta cã Bn+2 =









 

  

n 2 n 2

2 5 2 5

=        

           

     

n 1 n 1 n n

(2 5) (2 5) . (2 5) (2 5) (2 5).(2 5) (2 5) (2 5)

 Bn+2 = 4Bn+1 + Bn (*) Ta l¹i cã B0 = 2; B1 = 4 (**).

Tõ (*) vµ (**)  Bn với mọi n *.Vậy An là số nguyên với (với mọi n *)

Bài 4: Giả sử phơng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (1) cã 2 nghiệm phân biệt x
1;x2..
Đặt Sn = x1n+x2n (n nguyên dơng)

a) CMR aSn + 2 + bSn+ 1 + cSn = 0 b) ¸p dơng: TÝnh gtr cđa: A=

5
5

2
5
1
2









 









 

HD: a. Đk để (1) có hai nghiệm là b2 - 4ac ≥ 0

Ta cã: aSn + 2 + bSn+ 1 + cSn = a(x1n+2+x2n+2) + b(x1n+1+x2n+1) + c(x1n+x2n)
= (ax1n+2+ bx1n+1+ cx1n) + (ax2n+2+ bx2n+1+ c+x2n)

= x1n(ax12+ bx1+ cx1) + x2n(ax22+ bx2+ cx2) = x1n .0 + x2n .0 = 0

(Do x1 vµ x2 lµ nghiƯm cđa (1) nên ax12+ bx1+ cx1= 0 và ax22+ bx2+ cx2 = 0)

b. Đặt S5 =

5 5

1 5  1 5 th× S1 =



 



1 1

1 5  1 5 2; S2 =





2 2

1 5 1 5 12
- Phơng trình bËc hai Èn x nhËn x1  1 5;x2  1 5lµm nghiƯm lµ: x2 - 2x - 4 = 0
(a =1; b = -2; c = -4)

- Theo câu a ta có 1.S 3+ (-2)S2 + (-4)S1 = 0. Do S1 = 2 và S2 = 12 nên ta tìm đợc S3 = 32
- Tơng tự có: 1.S 4 + (-2)S3 + (-4)S2 = 0. Với S2 = 12; S3 = 32, tìm đợc S4 = 114

- có : 1.S 5 + (-2)S4 + (-4)S3 = 0. Với S3 = 32, S4 = 114, Tìm đợc S 5 = 356
Vậy A = S 5 / 32= …

d¹ng 6: một số bài tập khác

Bài 1. Cho a là một nghiệm dơng của phơng trình 4x2 + 2 x - 2 = 0. Tính giá trị của
biểu thức

4 2

a +1

A =

a + a +1 - a (Trích đề thi HSG Tỉnh HY 2009 - 2010)
HD: a là một nghiệm dơng của phơng trình 4x2 + 2 x - 2 = 0

 4a2 + 2 a - 2 = 0 

2
2 1 a 4 1 2a a

a ; a

8
2 2

  

 

Ta cã:

4 2

a +1
A =

a + a +1 - a =

8 8 3

8 2 2 2 2 2 2

  

   

4 2 1- 2a + a a 1- a a 1- a

A = a + a +1 + a +

Bµi 2. Cho phơng trình x2 + x - 1 = 0. Cmr phtrình có hai nghiệm trái dấu. Gọi x
1 là
nghiệm âm của phơng trình. HÃy tính giá trị cđa biĨu thøc: 8 1 1

1 10x 13 x

x

P

Bài 3. Tính giá trị của biểu thức



3 2



2009
2
8

3  

 x x

A víi



5 2



5
6
14
5

38
5
17









x

HD: *Biến đổi mẫu số: M = 5 14 6 5  5



3 5



2  5 3  5 3  M = 3
*Biến đổi ts: T3 =



17 5 38

 

5 2

 

3 17 5 38 17 5 38

 

17 5



2 382 1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

VËy x =

3
1

thay vµo biÓu thøc A ta cã:

2009

3 2 2009

2009
2 2

1 1 1 8

3. 8. 2 2 3

3 3 3 3

A              

     

 

 

VËy A=32009

Bµi 4: Cmr gtr cđa biĨu thøc sau ko pth vµo x (x > 0):

3 6

2 3. 7 4 3 x

A x

9 4 5. 2 5 x

  

 

  

HD: 3  6







2 6   4







2 4 

*TÝnh: 2 3 2 3 7 4 3; 2 5 2 5 9 4 5 (A = 1)

phô lôc

1. Các công thức biến đổi căn bậc hai
1) 2

A = A

2) AB = A B (Víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0)

3) A  A

B B (Víi A ≥ 0 vµ B > 0)

4) 2

A B = A B (Víi B ≥ 0)

5) 2

A B = A B (Víi A  0 vµ B ≥ 0)

A B = - A B (Víi A < 0 vµ B ≥ 0)

6) A 1 AB

B B (Víi AB  0 vµ B  0)

7) A A B

B (Víi B > 0)

8)  2






C C( A B)

A B

A B (Víi A ≥ 0 vµ A  B

2)

9) 






C C( A B )

A B

A B (Víi A ≥ 0, B ≥ 0 và A B)

Chú ý: Công thức căn thức phøc t¹p: A B = A + A - B2  A - A - B2

2 2

2. Một số kiến thức bổ sung thờng dùng
 Bẩy HĐT đáng nhớ (lớp 8):

1. (A+B)2 = A2+2AB+B2 (1)

2. (A-B) 2 = A2-2AB+B2 (2)

3. A2-B2 = (A-B)(A+B) (3)

4. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 = A3+ B3 +3AB (A + B) (4)
5. (A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3 = A3+ B3 - 3AB (A - B) (5)
6. A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2) (6)
7. A3+B3 = (A+B)(A2 +AB +B2) (7)
Các HĐT thờng dùng ë líp 9





2 ab b a b

a    (1)

2. a b



a  b



a  b



(2)

</div>

mét sè vên ®ò cçn biõt thªm vò c¨n bëc hai chóng ta ® biõt r»ng trong ch­¬ng i cña phçn §¹i sè 9 víi tiªu ®ò lµ c¨n bëc hai c¨n bëc ba th× kiõn thøc còng nh­ kü n¨ng c¬ b¶n cña nã chýnh lµ vën dông §

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>















 



 

 

 















 





 





 





 















 





















 

 

 

 



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>







Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

mét sè vên ®ò cçn biõt thªm vò c¨n bëc hai chóng ta ® biõt r»ng trong ch¬ng i cña phçn §¹i sè 9 víi tiªu ®ò lµ c¨n bëc hai c¨n bëc ba th× kiõn thøc còng nh kü n¨ng c¬ b¶n cña nã chýnh lµ vën dông §