Phan loai giai toan vecto

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (172.92 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Hình học 10

Chơng I - Véc tơ

I. Véc tơ:

1. Định nghĩa:

Véctơ là một đoạn thẳng có:

+ Mt đầu đợc xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn.
+ Hớng từ gốc đến ngọn gọi là hớng của véctơ.

+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mơ đun)

Véctơ có gốc A, ngọn B đợc kí hiệu là AB; độ dài của AB kí hiệu l AB

Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thờng phía trên có mũi tên nh: a; b; c; ...

2. Véctơ không:

Véctơ không: 0 là véctơ có:

+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau.
+ Độ dài bằng 0.

+ Hớng bất kì.

3. Hai véctơ cùng ph ¬ng:

Hai vÐct¬  AB CD; gäi lµ cïng ph¬ng: kí hiệu // //

A,B,C,D thẳng hàng
AB CD

AB CD

4. Hai véctơ cùng h ớng:

Hai véctơ AB;CD gọi là cïng híng: kÝ hiƯu











h íng

cïng

CD

AB,

tia

hai

CD

//

AB

CD

AB

5. Hai vÐct¬ ng ợc h ớng:

Hai véctơ AB;CD gọi là ngợcchớng: kí hiệu

h ớng

ng ợc

CD

AB,

tia

hai

CD

//

AB

CD

AB

6. Hai véctơ b»ng nhau: Hai vÐct¬ AB;CD b»ng nhau: kÝ hiƯu















CD

AB

CD

AB

CD

AB

7. Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ AB;CD đối nhau: kí hiệu















CD

AB

CD

AB

CD

AB

8. Gãc cđa hai vÐct¬:

Gãc cđa hai vÐct¬ AB;CD là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lỵt cïng híng víi hai tia AB; CD.

+ Khi AB;CD không cùng hớng thì 0o xOy180o.

+ Khi AB;CD cùng hớng thì xOy0o

II. Các phép toán véctơ:

1. Phép cộng véctơ:

nh ngha: Tổng của hai véctơ a;b là một véctơ đợc xác nh nh sau:

+ Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ OAa.

+ Từ điểm A dựng véctơ ABb

+ Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ a;b: OBab

HƯ thøc Chasles (Qui t¾c ba điểm):

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn lu«n cã: ABBCAC

(HƯ thøc Chasles cã thĨ më réng cho n điểm liên tiếp)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm cđa AB ta lu«n cã:



MA MB



2

1
MI 

TÝnh chÊt:

- Giao hoán: abba
- Kết hợp:

ab

ca

bc

- Cộng với không: a0a

- Cộng với véctơ đối: a(a)0

2. PhÐp trõ vÐct¬: a ba(b)

Víi a bc abc

Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có: ABOB OA

3. Phép nhân một véctơ với một số thực:
a. Định nghĩa: k.a là một véctơ:

- Với a0;k0thì véctơ k.a sẽ cùng phơng víi a vµ sÏ:

+ Cùng hớng với a nếu k>0.
+ Ngợc hớng với a nếu k<0.
+ Có độ dài k.a k.a

- 0.ak.00

b. TÝnh chÊt:

+) 1.aa;( 1).a a +)m.(n.a)(mn)a +) (mn)amana

+) m(ab)mamb +) a;b cïng ph¬ng  akb (a0)

4. TØ sè cđa hai véctơ cùng ph ơng:

b
a
k

b
a
nếu
0
k

b
a
nếu
0
k
k
b
a

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

phân loại bài tập về Véc tơ và các phép toán

Dng 1. Chng minh cỏc ng thc vộct

*Ph

ơng pháp:

+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung ®iĨm.

+ Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ng ợc lại; biến đổi hai vế cùng thành
một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đ cho thành một đẳng thức ln đúng.ã

*Bµi tập minh hoạ:

Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D chøng minh r»ng:

a.ABCDADCB b. AB CDAC BD
c. ABDCBDCA0 d. ABCDBCDA0

Bài 2. Cho tam giác A, B, C. G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. CM:
a. GBGBGC0 b. MBMBMC3MG

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm I. AO a;BO b

a. Chứng minh rằng: ABAD2AI

b. Tính AC;BD;AB;BC;CD;DA theo a;b.

Bài 4. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng: AD BE CF    AE BF CD 

Bài 5. Cho tam giác ABC. I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác. CM: a IA b IB c IC. . . 0

Bài 6. Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Gọi G là trọng tâm của G và G'. Chøng minh r»ng:

' ' ' 3 '

AA BB CC  GG
   

   
   
   
   
   
   
   
   

   
   
   
  

Bài 7. Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD. Chøng minh r»ng:

AD BD AC BC    MN

    

Bài 8. Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) HAHBHC2HO b) HG2GO

Bài 9. Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F lần lợt là hình chiếu của nó trên
BC, CA, AB. Chứng minh rng: MO

2
3
MF
ME

MD

Bài 10. Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS. Chứng mình:

0

PS
IQ

RF

Bài 11. Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lợt là trung điểm của BC, CD. CM: 2

ABAIFADA

3DB

Bi 12. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G. CM:

a. AB

3
1
AC
3
2

AH  ;



AB AC



3

1

CH 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Dạng 2. Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ

*Ph

¬ng ph¸p chung:

+ Biến đổi đẳng thức đ cho về dạng: ã OMa trong đó O và a đ biết.ã

+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một véctơ bằng véctơ a. Khi ú ngn ca vộct ny
chớnh l im M.

*Bài tập áp dông:

Bài 1. Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết: 2MA 3MB0

Bài 2. Cho hai điểm A, B và một véc tơ v. Xác định điểm M biết: MAMBv

Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.
a. Xác định điểm K sao cho: 3AB2AC 12AK 0

b. Xác định điểm D sao cho: 3AB4AC 12KD0

Bài 4. Cho tam giác ABC.

a. Xỏc nh im I sao cho: IA2IB0

b. Xác định điểm K sao cho: KA2KBCB

c. Xác định điểm M sao cho: MAMB2MC0

Bài 5. Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho:

0
)
KE
KD

(
3
KC
KB
KA
.
c

0
ID
IC
IB
IA
.
b

0
OC
3
OB
2
OA
.
a



















Bài 6. Cho tam giác ABC. Xác định vị trí điểm M sao cho: MAMB2MC0
Bài 7. Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N sao cho:

a. MA2MB0 b.NA2NBCB

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả m n: ã 3AMABACAD

Bài 9. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm O thoả m n: ã OAOBOCOD0

Bài 10. Cho tam giác ABC cố định. Chứng minh aMA4MB 5MC khơng phụ thuộc vị trí của điểm M.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

*Ph

ơng pháp chung:

Mun chng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: ABkAC(kR). Để chứng minh đợc

điều này ta có thể áp dụng một trong hai phơng pháp:
+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ.

+ Cách 2: Xác định hai vộct trờn thụng qua t hp trung gian.

*Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung ®iĨm cđa BC; D vµ E lµ hai ®iĨm sao cho: BDDEEC

a. Chøng minh: ABACADAE

b. TÝnh vÐct¬: ASABADACAE theo AI

c. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Đặt ABu; ACv

a. Gi P l điểm đối xứng với B qua C. Tính AP theo u; v?

b. Qọi Q và R là hai điểm định bởi: AB
3
1
AR
;
AC
2
1

AQ  . TÝnh RP;RQ theo u; v.

c. Suy ra P, Q, R thẳng hàng.

Bài 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho: 2IA3IC0, 2JA5JB3JC0

a. CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC.
b. CMR: J là trung điểm của BI.

Bài 4. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J thoả m n: · IA 2IB; 3JA2JC0

Chøng minh IJ ®i qua trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P thoả m n:· MAMB0; 3AN 2AC0; PB2PC

Chøng minh M, N, P th¼ng hàng.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm I, J tho¶ m n:· 3JA2JC 2JD0; JA 2JB2JC0

Chøng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao ®iĨm cđa AC vµ BD.

Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
CMR: O, G, H thng hng.

Bài 8. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho: MB 3MC0, AN3NC, PAPB0

Chøng minh r»ng M, N, P th¼ng hàng.

Dạng 4. Chứng minh hai điểm trùng nhau

*Ph

ơng pháp chung:

Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lùa chän mét trong hai híng:
C¸ch 1: Chøng minh MM' 0

C¸ch 2: Chøng minh OM OM' víi O là điểm tuỳ ý.

*Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A1BC;B1AC;C1AB sao cho: AA1BB1CC1. Chứng minh

rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm.

Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác
ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Dạng 5. Quỹ tích điểm

*Ph

¬ng ph¸p chung:

Đối với các bài tốn quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:
- Nếu MA MB với A, B cho trớc thì M thuộc đờng trung trực của đoạn AB.

- Nếu MC k.AB với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng trịn tâm C, bán kính bằng k.AB .

- NÕu MAkBC th×

+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC nếu kR

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và cùng hớng BC nếu kR

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và ngợc hớng BC nu kR

*Bài tập áp dụng:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a. MB MC
2

3
MC
MB

MA   

b. MA3MB 2MC 2MA MB MC

Bài 2. Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a. CMR: véctơ v3MA 5MB2MC không đổi.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

trục toạ độ và hệ trục toạ độ



Phần 1. Trục toạ độ

Bài 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của 

AB.

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 

MA + 5MB = 0



d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB = 1

Bài 2. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 

MA + MB  MC = 0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 

NA  3NB = NC

Bài 3. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA  2MB = 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB

Bài 4. Trên trục x'Ox cho 4 ®iĨm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :

AC
1

AD
1

AB
2

b/ Gäi I lµ trung ®iĨm AB. CMR: 2
IA
ID
.

IC 

c/ Gäi J lµ trung ®iĨm CD. CMR: AC.ADAB.AJ

phần 2. Hệ toạ độ đề các vng góc



I. Toạ độ véc tơ - Toạ độ im:

Bài 1. Biểu diễn véc tơ uxiyj biết a) u(2;5) b) u( 4;0)

Bài 2. Xác định toạ độ của véc tơ u biết: a) u5i 2j b) u3i c)u7j

Bài 3. Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ c biết

a) ca3b; a(2; 1); b(3;4) b) c3a 5b; a( 2;3); b(3; 6)

Bµi 4. Cho ba ®iĨm A(-1;1); B(1;3)

a) Xác định toạ độ của các véc tơ: AB;BA b) Tìm toạ độ điểm M sao cho BM(3;0)

c) Tìm toạ độ điểm N sao cho NA(1;1)

II. Biểu diễn Véc tơ:

Bài 1. Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a;b biết:

a) a(2; 1);b( 3;4);c( 4;7) b) a(1;1);b(2; 3);c( 1;3)

Bài 2. Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). H y biĨu diƠn vÐc t¬ · AD theo các véc tơ AB;AC

Bài 3. Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a;b biết:

a) a( 4;3);b( 2; 1);c(0;5) b) a(4;2);b(5;3);c(2;0)

Bµi 4. Cho bèn ®iĨm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). H y biĨu diƠn véc tơ Ã AD theo các véc tơ AB;AC

III. Xỏc định điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài:

Bài 1. Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)

a. Xác định toạ độ điểm E sao cho AE2BC

b. Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5

c. T×m tËp hợp điểm M biết: 2(MAMB) 3MC MB MC

Bi 2. Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác định toạ độ:

a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I của đờng tròn ngoi tip tam giỏc.

d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Bài 3. Cho M(1+2t; 1+3t). H y tìm ®iÓm M sao cho · 2
M
2
M y

x  nhá nhất.

Bài 4. Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;

2
3

)

a. CM: ABC vuông b. Tìm toạ độ tâm đờng trịn ngoại tiếp ABC.
c. Tìm tập hợp các điểm M thoả m n: ã 2MA2MB 3MC MA MC

Bài 5. Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm toạ độ của:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

c. Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. d. Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
e. Điểm M biết: CM2AB 3AC f. Điểm N biết: AN2BN 4CN0

Bài 6. Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). Tìm toạ độ của:

a. Trọng tâm G b. Tâm đờng tròn ngoại tiếp c. Điểm M biết 2AM 3CMAB
Bài 7. Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Bµi 8. Cho ®iĨm A(3;1)

a. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vng và điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất.
b. Viết phơng trình hai đờng chéo của hình vng OABC.

Bµi 9. Cho M(1-2t; 1-3t). H y tìm điểm M sao cho Ã 2
M
2
M y

x nhá nhÊt.

IV. VÐc t¬ cïng ph

¬ng - Ba điểm thẳng hàng:

Bài 1. Cho A(0;4); B(3;2).

a. Chứng minh A,B,C biÕt C(-6-3t;8+2t) b. A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0). Tính chu vi ABD.

Bi 2. Cho A(2;1); B(6;-1). Tỡm to :

a. Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng.

c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA 2 5.

Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)

a. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC. B. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất.

Bài 4. Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(2;-4) b) A(1;2) vµ B(3;4)

Bài 5. Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c. 2 2

OB
1
OA

1

 nhá nhÊt.

Bài 6. Cho A(-1;-4); B(3;4). Tìm toạ độ:

a. §iĨm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng.

c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA 3 5.

Bài 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)

a. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC. B. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất.

Bài 8. Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biÕt:
a) A(1;2) vµ B(3;4) b) A(1;1) và B(2;-5)

Bài 9. Tìm điểm P trên trục tung sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-3)

Bài 10. Tìm điểm P trên đờng thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)

Bài 11. Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c. 2 2

OB
1
OA

1

 nhá nhÊt.

Bài 12. Cho M(1;2) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất c. 2 2

OB
1
OA

1

 nhá nhÊt.

Bµi tËp tù lun:

Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau: a =i  3j , b =

2
1



+j ; c = i +

2
3



; d = 3i ; e = 4j .
Bài 2. Viết dới dạng u = xi + yj , biÕt r»ng:



= (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)

Bài 3. Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ:

a/ u = 3a  2b b/ v = 2a + b c/ w = 4a 

2
1


Bµi 4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)

a/ Tìm tọa độ của các vectơ 

AB, AC , BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho: 

CM = 2AB  3AC

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho: 

AN + 2BN  4CN = 0

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

Bµi 6. Trong mp Oxy cho ABC cã A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bµi 7. Trong mp Oxy cho ABC cã A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).

a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng trịn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng trịn đó.

Bµi 8. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). H y tìm trên trục hoành các điểm M sao cho Ã ABM vuông tại M.

Bµi 9. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ H y tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho Ã ABC cân tại C.

b/ Tớnh din tớch ABC. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bµi 10. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ CMR : ABC vuông cân. d/ Tớnh din tớch ABC.

Chúc các em ôn tập tốt!

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tích vô hớng

I. Lí thuyết:

1. Định nghĩa: a.ba.b.cos



a,b



 

o



o

o
o
180
b
,
a
90
0
b
,
a
cos
0
b
.
a
b
a
90
b
,
a
0
b

,
a
cos
0
b
.
a
90
b
,
a
0
0
b
,
a
cos
0
b
.
a

2. Tính chất:

a. Giao hoán b. Tính chất phân phèi c.

a
.
b
b
.

a  a.



bc



abac

 

mabm

 

a.b

3. Biểu thức toạ độ của tích vơ h ớng:

NÕu a(x1;y1);b(x2;y2) a.b x1y1x2y2

4. C«ng thức hình chiếu:

a. Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì: AB.CDAB.CD

b. Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của CD thì:

CD
.
'
B
'
A
CD
.
AB

II. Bài tập áp dụng:

Tính tích vô hớng

Bi 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G.

a. Tính các tích vô hớng AB.CD;AB.BC b. Gọi I là điểm thoả m n Ã IA 2IB4IC0. Chøng minh r»ng:

BCIG là hình bình hành từ đó tớnh IA

ABAC

;IB.IC;IA.IB

Bài 2. Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.

a. Tính AB.AC từ đó suy ra: AB.ACBC.CACA.AB

b. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc
nhọn tạo bởi AG và BC.

Bài 3. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vng, N là điểm tuỳ ý trên
cạnh BC. Tính:

a. MA.MBMC.MD b.NA.NB c. NO.BA

Bµi 4. Cho ba vÐc t¬ a;b;c thoả m n điều kiÖn · a a;b b;c c vµ ab3c0. TÝnh:

a
c
c
b
b
a

A  

Bài 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đờng cao AH

a. TÝnh các tích vô hớng AB.HC b.

AB AC

.2ABBC

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB=6, AC=8, BC=10

a. TÝnh AB.AB b. Trên AB lấy M sao cho AM=2; trên cạnh AC lÊy N sao ch0o AN=4. TÝnh AM.AN

Bài 7. Cho hình thang vng ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2
Tính các tích vơ hớng AB.CD;BD.BC;AC.BD

Bµi 8. Cho ba vÐc tơ a;b;c thoả m n ®iỊu kiƯn · a 3;b 2;c 1 vµ ab3c0. TÝnh:

a
c
c
b
b
a

A  

Chứng minh đẳng thức về tích vơ hớng hay về độ dài

Bµi 9. Cho hai điểm A và B, O lµ trung ®iĨm cđa AB vµ M lµ mét ®iĨm t ý. Chøng minh r»ng:

2
2 OA

OM
MB
.

MA  

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a. Chøng minh r»ng tích vô hớng AM.AM1 có giá trị không phụ thuộc M.

b. CMR: AM.AN có giá trị không phụ thuộc M.

Bài 11. Cho nửa đờng trịn đờng kính AB có AC, BD là hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E.

Chøng minh r»ng: 2

AB
BD
.
BE
AC
.

AE  

Bµi 12. Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung ®iĨm cđa BC.
Chøng minh r»ng:

a. .BC2

4
1
MA
.

MH  b. 2 2 2 BC2
2
1
AH
MA

MH

Bài 13. Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C. Chøng minh r»ng: AM.BCMB.CAMC.AB0

Chøng minh tÝnh vu«ng góc - thiết lập điều kiện vuông góc

Bi 14. Chng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy.

Bài 15. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngồi các tam giác vng cân đỉnh A là ABD, ACE. Gọi M là trung
điểm BC. Chứng minh rằng: AMDE

Bài 16. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh r»ng: ABCD AC2 BD2 AD2 BC2






Bài 17. Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng cao AB=h. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:
a. BDCI b. ACDI c.BMCN với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.

Bµi 18. Cho tø giác ABCD biết AB.ADBA.BCCB.CDDC.DA0. Tứ giác ABCD là hình gì? V× sao?

Điểm thoả mãn đẳng thức về tích vơ hớng hay độ dài

Bài 19. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

4
a
MA
.
MC
MC
.
MB

MB
.
MA

2





Bµi 20. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:



MAMB

 

.MAMC



0 b. 2MB2 MB.MCa2 víi BC=a.

</div>

Phan loai giai toan vecto

Hình học 10

Chơng I - Véc tơ

I. Véc tơ:











<b>h íng</b>

<b>cïng</b>

<b>CD</b>

<b> AB,</b>

<b>tia </b>

<b>hai</b>

<b>CD</b>

<b>//</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>h ớng</b>

<b>ng ợc</b>

<b> </b>

<b>CD</b>

<b> AB,</b>

<b>tia </b>

<b>hai</b>

<b>CD</b>

<b>//</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>















<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>















<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>

<b>CD</b>

<b>AB</b>

II. Các phép toán véctơ:





phân loại bài tập về Véc tơ và các phép toán

<b>Dng 1. Chng minh cỏc ng thc vộct</b>

*Ph

ơng pháp:

*Bµi tập minh hoạ:





<b>Dạng 2. Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ</b>

*Ph

¬ng ph¸p chung:

*Bài tập áp dông:

<b>Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng</b>

*Ph

ơng pháp chung:

*Bài tập áp dụng:

<b>Dạng 4. Chứng minh hai điểm trùng nhau</b>

*Ph

ơng pháp chung:

*Bài tập áp dụng: